ình học không gian là một nội dung quan trọng trong chương trình Toán phổ thông. Các kiến thức và kỹ năng chủ yếu được tập chung vào chương trình lớp 11. Đa số học sinh còn hạn chế trong việc giải toán và trình bày một bài toán hình học không gian. Bài toán về thể tích (được đề cập ở chương I, chương trình lớp 12) cũng là một trong số đó. Nó cũng hay được đề cập tới trong các kỳ thi ĐH CĐ, Học sinh giỏi và THPT Quốc gia.Với mong muốn giúp đỡ học sinh phần nào định hướng tốt hơn trong việc giải toán và trình bày lời giải. Tôi soạn chuyên đề Ứng dụng thể tích vào giải toán. Chuyên đề gồm các vấn đề sau:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT TRIỆU THÁI CHUYÊN ĐỀ : ỨNG DỤNG THỂ TÍCH VÀO GIẢI TỐN GIÁO VIÊN : TRẦN XN HỊA TỔ: TỐN TIN Email : tranxuanhoa.gvtrieuthai@vinhphuc.edu.vn LẬP THẠCH, VĨNH PHÚC - 2015 Trang TRẦN XUÂN HÒA - THPT TRIỆU THÁI Mục lục 0.1 PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 0.2 PHẦN II: ỨNG DỤNG THỂ TÍCH TRONG GIẢI TỐN Vấn đề : Tốn tính thể tích, tỉ số thể tích phương pháp so sánh trực tiếp Vấn đề : Tính tốn diện tích thiết diện cách dùng cơng thức thể tích Vấn đề : Tính thể tích cách dùng cơng thức tỉ số thể tích Vấn đề : Tính tỉ số thể tích cách dùng cơng thức tỉ số thể tích Vấn đề : Dùng thể tích tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng Vấn đề : Ứng dụng thể tích chứng minh hệ thức Vấn đề : Toán cực trị thể tích khối đa diện Vấn đề : Một vài toán đề thi ĐH - CĐ Vấn đề : Một vài toán đề thi HSG 4 11 13 14 15 15 ĐÁP SỐ 17 HƯỚNG DẪN GIẢI TOÁN 18 0.1 PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Hình học khơng gian nội dung quan trọng chương trình Tốn phổ thơng Các kiến thức kỹ chủ yếu tập chung vào chương trình lớp 11 Đa số học sinh hạn chế việc giải tốn trình bày tốn hình học khơng gian Bài tốn thể tích (được đề cập chương I, chương trình lớp 12) số Nó hay đề cập tới kỳ thi ĐH - CĐ, Học sinh giỏi THPT Quốc gia.Với mong muốn giúp đỡ học sinh phần định hướng tốt việc giải tốn trình bày lời giải Tơi soạn chun đề "Ứng dụng thể tích vào giải tốn" Chun đề gồm vấn đề sau: • Tốn tính thể tích, tỉ số thể tích phương pháp so sánh trực tiếp • Tính tốn diện tích thiết diện cách dùng cơng thức thể tích • Tính thể tích cách dùng cơng thức tỉ số thể tích • Tính tỉ số thể tích cách dùng cơng thức tỉ số thể tích • Dùng thể tích tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng • Ứng dụng thể tích chứng minh hệ thức • Tốn cực trị thể tích khối đa diện 0.2 PHẦN II: ỨNG DỤNG THỂ TÍCH TRONG GIẢI TỐN KIẾN THỨC CƠ BẢN Cơng thức tính thể tích khối chóp : V = Bh với B diện tích đáy, h chiều cao Cho hai khối đa diện H H1 tích tương ứng V V1 biết V = k V1 = a V = ka V1 Nếu chia khối đa diện H thành khối đa diện H1 , H2 , · · · , Hn V = V1 + V2 + · · · + Vn Với V thể tích khối đa diện H, Vi thể tích khối đa diện Hi , i = 1, n Cho hình chóp S ABC A , B , C điểm nằm cạnh S A, S B, S C ta có hệ VS A B C S A S B SC thức = VS ABC S A S B SC LTS Sau nêu số vấn đề liên quan đến tốn Thể tích ✑ Vấn đề : Tốn tính thể tích, tỉ số thể tích phương pháp so sánh trực tiếp Ta thường phải so sánh đường cao, diện tích đáy hình chóp phải tính với đường cao, diện tích hình chóp biết hay dễ dàng tính Ví dụ minh họa Ví dụ 0.1 Cho tứ diện S PQR với góc tam diện đỉnh S vng Gọi A, B, C theo thứ tự trung điểm đoạn PQ, QR, RP a) Chứng minh mặt khối tứ diện S ABC tam giác b) Tính thể tích khối tứ diện S ABC cho S P = a, S Q = b, S R = c Trang TRẦN XUÂN HỊA - THPT TRIỆU THÁI Hướng dẫn tìm lời giải Ta thấy tỉ số thể tích V1 = S ABC V2 = S PRQ so sánh trực tiếp với tỉ số diện tích, tức V1 S ABC = = V2 S RPQ Lời giải : a) Các mặt tứ diện tam giác Trong tam giác PR vuông RS P có S C = Do AB đường trung bình tam PR PQ giác RQP nên AB = Tương tự ta có BC = = S A, CA = 2 RQ = S B Suy ∆S AB = ∆ABC có cạnh S A = BC, S B = CA, AB chung Tương tự có ∆S CB = ∆ABC ∆S CA = ∆ABC Vậy mặt tứ diện S ABC tam giác 1 b) Thể tích khối S PQR V = S P.S Q.S R = abc Khối S PQR S ABC có đường cao khoảng cách VS ABC S ABC AB 1 abc từ S đến mặt phẳng PQR nên = = = ⇒ VS ABC = VS PQR = VS PQR S PQR PR 4 24 Nhận xét Tỉ số thể tích so sánh trực tiếp với tỉ số diện tích Ví dụ 0.2 Cho tứ diện S BCD tích V; M, P trung điểm S B CD Gọi N ∈ S D cho DS = 3NS Tính thể tích tứ diện BMNP Hướng dẫn tìm lời giải Ta thấy tứ diện BMNP có mặt bên BMN nằm mặt bên SBD tứ diện SBCD tỉ số thể diện tích chúng Mặt khác khoảng cách từ đỉnh đối diện chúng đến mặt phẳng so sánh với d(P; (S BD)) V1 nhau: = nên so sánh thể tích V1 = VBMNP với V2 = VS BCD : = d(C; (S BD)) V2 12 Lời giải : Kẻ CH ⊥ (S BD); PK ⊥ (S BD) Khi PK = CH Gọi NN , DD đường cao tam giác NBM DS B, ta có: NN BM S NBM NN NS BM mà = = 21 = = nên S DS B DD DS SB 2 DD S B S NBM 1 = = S DS B PK.S NBM 1 VP.BMN = 31 = Do VBMNP = V Vậy VC.S BD 12 12 CH.S S BD Bài tập luyện tập Bài 0.1 Cho hình chóp S ABCD tích V Có ABCD hình bình hành Gọi M, N, P trung điểm BC, CD, S D Tính thể tích tứ giác AMNP Bài 0.2 Cho hình hộp ABCD.A B C D tích V Biết M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, CC Tính thể tích tứ diện MNPQ Bài 0.3 Cho hình chóp S ABCD tích V Có ABCD hình bình hành; M trung điểm BC G trọng tâm tam giác SCD Tính thể tích tứ diện S AMG [Gợi ý] Hai hình chóp S ABCD S AMG khó so sánh Ta dùng hình chóp S AMN trung gian để so sánh (N trung điểm CD) Bài 0.4 Cho hình hộp ABCD.A B C D với AA = a, AB = b, AD = c Tính thể tích tứ diện ACB D theo a, b, c Trang TRẦN XUÂN HÒA - THPT TRIỆU THÁI Bài 0.5 Cho hình chóp tứ giác S ABCD Qua điểm A, B trung điểm cạnh bên S C có mặt phẳng Mặt phẳng chia thể tích hình chóp theo tỉ số nào? Bài 0.6 Cho khối lập phương ABCD.A B C D a) Hãy dựng thiết diện qua đỉnh A, trung điểm cạnh BC tâm mặt DC D b) Tìm tỉ số thể tích hai phần nhận khối lập phương ✑ Vấn đề : Tính tốn diện tích thiết diện cách dùng cơng thức thể tích Để tính diện tích thiết diện ngồi phương pháp tính trực tiếp, tức dùng cơng thức trực tiếp áp dụng cho hình cụ thể Ví dụ : Diện tích hình vng cạnh nhân cạnh, hình thang (đáy lớn+đáy nhỏ).chiều cao chia 2, hình thoi tích độ dài hai đường chéo, Trong nhiều trường hợp không cần thiết phải biết hình thù (hình dạng : chữ nhật, thoi, hình thang, ) ta tính nhờ công 3V thức sau: V = B.h ⇒ B = , đó: B diện tích thiết diện đa giác cần tính, V thể tích có h đáy đa giác thiết diện, h độ dài chiều cao tương ứng Ví dụ minh họa Ví dụ 0.3 Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, AC, AD vng góc với đơi AB = a, AC = 2a, AD = 3a Hãy tính diện tích tam giác BCD theo a Hướng dẫn tìm lời giải Có thể tính BC, CD, DB diện tích tam giác BCD tính cơng thức He-rong (tương đối phức tạp) Nhưng kiên trì nghĩ tiếp phát thấy: Bằng cách dựng mặt phẳng (ABI) ⊥ (BCD), d(A; (BCD)) = AH Dễ dàng tính AH Mặt khác tính thể tích ABCD Nếu coi tứ diện ABCD hình chóp đỉnh A đáy BCD, từ CT: V = AH.S BCD ⇒ S BCD =>>> Lời giải: Cách : Trong tam giác ACD kẻ AI ⊥ CD Ta có AB ⊥ AC, AB ⊥ AD ⇒ AB ⊥ CD mà AI ⊥ CD nên (ABI) ⊥ CD ⇒ (ABI) ⊥ (BCD) = BI Trong tam giác ABI kẻ AH ⊥ BI, AH ⊥ (BCD) √ Ta có CD2 = AC + AD2 = 13a2 ⇒ CD = a 13 Trong tam giác 1 6a vng ACD A có = + ⇒ AI = √ Trong 2 AI AC AD 13 49a tam giác vng ABI A có BI = AB2 + AI = ⇒ BI = 13 7a2 7a √ Vậy S BCD = BI.CD = 2 13 1 6a Cách : Trong tam giác vng ABI có = + ⇒ AH = Ta có VABCD = AB.AC.AD = a3 2 AH AB AI 3VABCD 7a2 Mặt khác VABCD = AH.S BCD ⇒ S BCD = = AH Nhận xét Rõ ràng với cách nhìn linh hoạt cách 2, cho ta thấy tính tốn ta đơn giản nhiều Mặt khác cho thấy, quan niệm ta tổng quát khái niệm hình chóp : tứ diện coi hình chóp tam giác với đỉnh tùy ý Ví dụ 0.4 Cho hình chóp S ABC Gọi K, N trung điểm S A BC Điểm M S C cho SM = MC a) Tìm tỉ số diện tích hai tam giác AS C AK M Trang TRẦN XUÂN HÒA - THPT TRIỆU THÁI b) Mặt phẳng (α) qua K song song với AB, S C có qua N khơng? c) Gọi (P) mặt phẳng qua K, M, N • Vẽ thiết diện (P) cắt hình chóp S ABC • Chứng minh KN chia thiết diện thành hai phần có diện tích • Cho biết khoảng cách từ A đến (P) h thể tích hình chóp V Tính diện tích thiết diện nói theo V h Lời giải : SM SM = ⇒ = MC MC S AK M S S AM S S AC Dễ thấy = ; = nên = S S AM S S AC S AK M 2) Mặt phẳng (α) song song với AB nên giao tuyến EK (S AB) phải song song với AB với E ∈ BC, mà K trung điểm S A nên E trung điểm SB Cũng vậy, (α) ∥ S C nên giao tuyến d với (S BC) qua E song song với SC Nhưng E lại trung điểm SB nên d phải qua trung điểm BC Hay, mặt phẳng (α) phải qua N 3) a Gọi I giao điểm MK với AC Nối IN, IN cắt AB H Thiết diện tạo thành (P) tứ diện S.ABC tứ giác MNHK 3) b Ta có AB ∥ (KENF), S C ∥ (KENF), AK = S K Do đó, suy điểm AB, SC cách mặt phẳng (KENF) Vì S HKN = S MNK , tức KN chia thiết diện MNHK thành hai phần có diện tích 3) c Ta có VAMNK = S MNK h (1) 1 Gọi hN khoảng cách từ N đến (AK M), ta có: VN.AMK = S AMK hN (2) Mà S AMK = S ABC nên từ (1) 1 (2) ta suy : S MNK h = S S AC hB (3) với hN = , khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AKM) 3V Gọi V thể tích S ABC, ta có V = S S AC hB ⇔ S S AC hB = 3V (3) cho ta S MNK h = hay 10 3V 3V S MNK = Từ : S MNHK = 2S MNK = 10h 5h 1) Ta có Bài tập luyện tập √ Bài 0.7 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a 3, đường cao S A = a Mặt phẳng qua A vng góc với SB H cắt SC K Tính SK diện tích tam giác AHK Bài 0.8 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình nửa lục giác ABCD với AB = 2a, BC = CD = DA = √ a, S A ⊥ (ABCD), S A = a Một mặt phẳng (α) qua A vng góc với S B, cắt S B, S C, S D B ,C , D a) Chứng minh AB C D nội tiếp b) Giả sử C D cắt CD I Chứng minh AI ⊥ AB c) Tính thể tích hình chóp S AB C D d) Tính diện tích thiết diện AB C D Bài 0.9 Cho tứ diện ABCD tích V; M ∈ AC; N ∈ AD; P ∈ BD cho CM DN DP = = = Cho biết CA DA DB khoảng cách từ D đến (MNP) h Tính diện tích tam giác MNP Vấn đề : Tính thể tích cách dùng cơng thức tỉ số thể tích Trang TRẦN XN HỊA - THPT TRIỆU THÁI ✑ VS ABC S A S B SC = Lưu ý, công thức áp dụng trường hợp VS A B C S A S B SC hai hình chóp tam giác có chung đỉnh A ∈ S A; B ∈ S B; C ∈ S C Cần nhớ tới công thức : Ví dụ minh họa √ Ví dụ 0.5 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác ABC vng B Biết S A ⊥ (ABC), AB = a, BC = a Mặt phẳng (α) qua A, vuông góc với S C H, cắt S B K Tính thể tích khối chóp S AHK theo a Hướng dẫn tìm lời giải √ VS AHK S K S H a3 Áp dụng Công thức thấy = = , thể tích S ABC tính VS ABC S B SC 10 Lời giải : Ta có BC ⊥ (S AB) ⇒ BC ⊥ AK (1) Mà S C ⊥ (AHK) ⇒ S C ⊥ AK (2) Từ (1) (2) suy AK ⊥ (S BC) ⇒ AK ⊥ S B Ta có tam giác ABC vng B suy AC = 4a2 ; tam giác S AC vuông A nên S C = 5a2 VS AHK SA SH SK SH SK (S H.S C)(S K.S B) Ta có = = = = VS ABC S A S B SC S B SC S B2 S C S A2 S A2 1 3√ = ⇒ V = V = a S AHK S ABC 10 60 S B2 S C 10 Ví dụ 0.6 Cho hình chóp S ABCD tích V, ABCD hình bình hành M điểm cạnh S A SM cho = Mặt phẳng (MBC) cắt S D N Tính thể tích hình chóp S BCN M SA Hướng dẫn tìm lời giải Ta thấy hình chóp cần tính hình chóp tứ giác, nên chia thành hình chóp tam giác S BCM S MNC nhận thấy hai hình chóp tích so sánh với thể tích hình chóp S ABC; S CDA V tích Lời giải : Chia hình chóp S BCN M làm hai hình chóp đáy tam giác V Ta có VS ABC = VS ACD = VS MCN S M SC S N 2 4 V 2V = = = ⇒ VS MCN = = VS ACD S A SC S D 3 9 VS MCB S M S B S C V = = ⇒ VS MBC = VS ABC S A S B SC 3 5V Suy VS BCN M = VS MBC + VS MCN = Bài tập luyện tập Bài 0.10 Trên đường thẳng vng góc với A với mặt phẳng hình vuông ABCD cạnh a ta lấy điểm S với S A = 2a Gọi B , D hình chiếu A lên S B S D Mặt phẳng (AB D ) cắt S C C Tính thể tích hình chóp S AB C D √ Bài 0.11 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB = a, AD = a 2, S A = a S A vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M N trung điểm AD S C, I giao điểm MB AC Chứng minh (S AC) ⊥ (S MB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Trang TRẦN XUÂN HÒA - THPT TRIỆU THÁI Bài 0.12 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, góc mặt bên đáy α Gọi M trung điểm cạnh S C, mặt phẳng (MAB) cắt S D N Tính theo a α thể tích hình chóp S ABMN Bài 0.13 Cho hình chóp tứ giác S ABCD, đáy hình vng cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60◦ Gọi M trung điểm S C Mặt phẳng qua AM song song với BD, cắt S B E cắt S D F Tính thể tích khối chóp S AEMF Bài 0.14 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, S A ⊥ (ABCD) AB = a, AD = b, S A = c Lấy điểm B , D theo thứ tự thuộc S B, S D cho AB vng góc với S B, AD vng góc với S D Mặt phẳng (AB D ) cắt S C C Tính thể tích khối chóp S AB C D Bài 0.15 Cho hình chóp tứ giác S ABCD với đáy hình vng ABCD có cạnh a, mặt bên tạo với đáy hình chóp góc 60◦ Mặt phẳng (P) chứa cạnh AB cắt S C, S D M N Cho biết góc tạo mặt phẳng (P) mặt đáy hình chóp 30◦ a) Tứ giác ABMN hình gì? Tính diện tích tứ giác ABMN theo a b) Tính thể tích hình chóp S ABMN theo a Bài 0.16 [HSG - 2012] Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = 2a, tam giác S AB cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ABCD Gọi M trung điểm S D, mặt phẳng (ABM) vng góc với mặt phẳng (S CD) đường thẳng AM vng góc với đường thẳng BD Tính thể tích khối chóp S BCM khoảng cách từ M đến mặt phẳng (S BC) Bài 0.17 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật Lấy M, N cạnh S B, S D cho SM SN = = BM DN SP a) Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh S C P Tính tỉ số CP b) Tính thể tích hình chóp S AMPN theo thể tích V hình chóp S ABCD Vấn đề : Tính tỉ số thể tích cách dùng cơng thức tỉ số thể tích Ví dụ minh họa Ví dụ 0.7 Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình bình hành Điểm M thuộc cạnh S A cho SM = x SA Tính x để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành hai phần tích Hướng dẫn tìm lời giải V x2 + x nên VS BCN M = V Để thể Dễ thấy VS BCM = x.VS ABC ; VS MNC = x2 VS CDA ; VS ABC = VS CDA = 2 V tích cần có VS BCN M = Lời giải : Ta có BC ∥ AD nên (MBC) cắt (S AD) theo giao tuyến MN ∥ BC VS MBC S M S B SC Ta có = = x Mà VS ABC = VS ABCD = VS ABC S A S B SC 1 V Do VS MBC = V.x Cũng vậy, 2 VS MCN S M SC S N = = x2 ⇒ VS MCN = V.x2 VS ACD S A SC S D 2 Ta lại có VS NBCM = VS MBC + VS MCN = V(x + x ) Vì (MBC) chia S ABCD thành hai phần tích √ 1 −1 + nên VS MBCN = VS ABCD = V ⇔ x + x = ⇔ x = với x > 2 Trang TRẦN XUÂN HỊA - THPT TRIỆU THÁI Ví dụ 0.8 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy 2a, chiều cao h Gọi M, N trung điểm cạnh AB, S C Mặt phẳng (DMN) chia hình chóp S ABCD thành hai phần Tính thể tích phần tỉ số thể tích hai phần Hướng dẫn tìm lời giải Nhận thấy mặt phẳng (DMEN) chia khối chóp S ABCD thành khối Trong khối BME.CDN nằm VI.BME = , rút VI.BME Do đó, hình chóp I.CDN (khối chóp tính được) Mặt khác, có VI.CDN VBME.CDN = VI.CDN − VI.BME Lời giải : IB IM IE = = ; = IC ID IN h Gọi H trung điểm OC NH ⊥ (ABCD) NH = (do SO ) Coi ∆ICD đáy, NH chiều cao hình NH ∥ S O, NH = 1 2a2 h chóp I.CDN ta có : VICDN = S ICD NH = CD.CI.NH = 3 IB I M IE VI.BME = = Mà VI.CDN IC ID IN Gọi V1 thể tích phần hình chóp nằm (ABCD) (DMN) ta có : V1 = VI.CDN − VI.BME = VI.CDN = 5a2 h 7a2 h V1 Suy thể tích phần lại : V2 = VS ABCD − V1 = = 9 V2 Mặt phẳng (DMN) cắt S B, CB E, I với Bài tập luyện tập SM SN = ; = MA NB Mặt phẳng (α) qua MN song song với S C chia hình tứ diện S ABC thành hai phần TÍnh tỉ số thể tích hai phần Bài 0.18 Cho tứ diện S ABC hai điểm M, N thuộc cạnh S A, S B cho Bài 0.19 Khối chóp S ABCD có đáy hình bình hành tâm O tích V Gọi M trung điểm S C Một mặt phẳng (α) qua AM song song với BD chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần tính theo V thể tích phần Bài 0.20 Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD hình chữ nhật, cạnh bên S A vng góc với đáy Một mặt phẳng qua A vng góc với cạnh S C, cắt S B B , cắt S C C , cắt S D D a) Chứng minh tứ giác A B C D có hai góc đối diện vng b) Chứng minh S di chuyển đường thẳng vng góc với mặt phẳng ABCD A mặt phẳng (A B C D ) qua đường thẳng cố định điểm A, B, B , C, C , D, D nằm mặt cầu cố định c) Giả sử góc cạnh S C mặt bên S AB x Tính tỷ số thể tích hình chóp S AB C D thể tích hình chóp S ABCD theo x biết AB = BC Bài 0.21 Cho hình hộp ABCD.A B C D có đáy hình vng ABCD tâm O cạnh 2a, cạnh bên AA = 3a Gọi Q, I trung điểm đoạn thẳng DD , OB Mặt phẳng (α) qua IQ song song với AC chia hình hộp ABCD.A B C D thành hai phần.Tính thể tích phần tỉ số thể tích hai phần SM SN = , = MA NB Mặt phẳng (P) qua hai điểm M, N song song với cạnh S C chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần Bài 0.22 Cho hình chóp S ABC hai điểm M, N nằm hai cạnh S A, S B tương ứng với Bài 0.23 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành Gọi M trung điểm S C Một mặt phẳng (α) qua AM song song với BD chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần Trang 10 TRẦN XUÂN HÒA - THPT TRIỆU THÁI √ Bài 0.24 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vuông tâm O cạnh a, cạnh bên S A ⊥ (ABCD), S A = a Gọi I trung điểm OC Mặt phẳng (α) qua I song song với BD, S C chia hình chóp S ABCD thành hai phần Tính thể tích phần tỉ số thể tích hai phần Vấn đề : Dùng thể tích tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng ✑ • Xét cơng thức V = Bh, số trường hợp ta biết V B dễ dàng nên suy h • Với tốn tính khoảng cách hai đường chéo Ta quy khoảng cách điểm mặt phẳng Ví dụ minh họa Ví dụ 0.9 Cho hình chóp S ABC có mặt bên tam giác vuông đỉnh S S A = S B = S C = a Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) Hướng dẫn tìm lời giải √ Ta thấy tính thể tích VS ABC tam giác ABC có cạnh a nên diện tích tính Nếu coi S đỉnh khối chóp VS ABC = d(S ; (ABC)).S ABC Từ đó, tính khoảng cách theo cơng thức thể tích Dĩ nhiên sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông S AI S Lời giải : 1 S A S B.S C = a3 2√ Lại√có ∆ABC tam giác cạnh a nên S ABC = a2 Với S K khoảng cách từ S đến (ABC) ta √ có 3VS ABC a VS ABC = S ABC S K ⇒ S K = = S ABC Ta có VS ABC = VA.S BC = Ví dụ 0.10 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, cạnh bên S A ⊥ (ABCD), S A = h Gọi M, N trung điểm S A, S B Tính : a) Thể tích hình chóp S CDMN b) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (CDMN) Hướng dẫn tìm lời giải Chia khối chóp tứ giác thành khối chóp tam giác S CDM; S MNC Có thể so sánh dễ dàng thể tích khối S CDM; S MNC theo thể tích S ABCD nên tính thể tích khối chóp tứ giác Nếu tính trực tiếp khoảng cách từ S đến (CDMN) khó khăn Nhận thấy tính diện tích tứ giác CDMN (là hình thang vng D M) Từ tính khoảng cách từ S đến (CDMN) theo công thức thể tích Lời giải : Trang 11 TRẦN XN HỊA - THPT TRIỆU THÁI a) Ta có : S M S N S C VS MDC S M S D SC VS MNC = = ; = = Mà VS ABC S A S B S C VS ADC S A S D SC VS ABC = VS ADC = VS ABCD Suy 1 VS MNC = VS ABC = VS ABCD , 1 VS MDC = VS ADC = VS ABCD Như VS CDMN = VS MNC + VS MDC = VS ABCD = a2 h 8 b) Dễ thấy CD ⊥ (S AD), CD ⊥ DM Suy CDMN hình thang vng D M với CD = a, MN = √ √ a 1√ (CD + MN)DM , DM = AD2 + AM = = a 4a2 + h2 Mặt khác, gọi H 4a + h2 Ta có S CDMN = 2 hình chiếu vng góc S mặt phẳng (CDMN) ta có : 3VS CDMN ah = √ VS CDMN = S CDMN S H ⇒ S H = S S DMN 4a2 + h2 ah Vậy khoảng cách từ S đến mặt phẳng (CDMN) √ 4a2 + h2 Bài tập luyện tập Bài 0.25 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC vng B, AB = a, BC = 2a, S A ⊥ (ABC), S A = 2a Gọi M trung điểm S C a) Chứng minh tam giác AMB cân M b) Tính diện tích tam giác AMB c) Tính thể tích khối chóp S AMB, suy khoảng cách từ S đến mặt phẳng (AMB) Bài 0.26 Cho khối chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a S CD = α, α > 45◦ a) Tính thể tích, diện tích tồn phần khối chóp S ABCD theo a α b) Tính góc cạnh bên mặt đáy (ABCD) theo α c) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (S AD) theo a α Bài 0.27 Cho hình vng ABCD cạnh a, gọi I √ trung điểm AB Qua I dựng đường vng góc với mặt a phẳng (ABCD) lấy điểm S cho S I = a) Chứng minh tam giác S AD vng b) Tính thể tích hình chóp S ACD, từ suy khoảng cách từ C đến mặt phẳng (S AD) Bài 0.28 Cho hình lập phương ABCD.A B C D Gọi O giao điểm đường chéo đáy ABCD Biết OA = a a) Tính thể tích hình chóp A ABD, từ suy khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (A BD) b) Chứng minh AC vuông góc với (A BD) Bài 0.29 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB = a, BC = 2a, AA = a Lấy điểm M cạnh AD cho MA = 3MD a) Tính thể tích khối chóp M.AB C b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB C) Bài 0.30 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình thang ABCD vuông A D; AB = AD = a; CD = 2a Cạnh bên S D vng góc với mặt phẳng (ABCD); S D = a Trang 12 TRẦN XUÂN HÒA - THPT TRIỆU THÁI a) Chứng minh tam giác S BC vng Tính diện tích tam giác S BC b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (S BC) ✑ Sử dụng công thức V = Vấn đề : Ứng dụng thể tích chứng minh hệ thức 3V 3V Bh ⇔ h = ∨B= B h Ví dụ minh họa Ví dụ 0.11 Cho tứ diện ABCD, gọi d khoảng cách hai đường thẳng BC AD, α góc hai đường thẳng Chứng minh VABCD = BC.AD.d sin α Lời giải : Vẽ AC ∥ BC AC = BC ∆ABC = ∆CC A(c − c − c) Do tứ diện D.ABC tứ diện D.CC A có chung thể tích, chung đỉnh D, có hai đáy nằm (ABCC ) Gọi IJ đường vng góc chung AD BC I J ⊥ AC AC ∥ BC Do đó, I J ⊥ (AC D) Mà BC ∥ (AC D) nên I J đường cao tứ diện C.ADC 1 Ta có VC.AC D = S AC D I J = AC AD sin α.I J = 1 BC.AD.I J sin α Vậy VABCD = BC.AD.I J sin α 6 Ví dụ 0.12 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với Gọi S , S , S , S diện tích mặt : (ABC), (OAB), (OBC), (OCA) Chứng minh : S = S 12 + S 22 + S 32 Lời giải : 1 = + + 2 OH OA OB2 2 2 9V 9V 9V 9V ⇔ = + + với V 2 2 OC OH OA OB OC thể tích tứ diện Suy S = S 12 + S 22 + S 32 Ta hạ OH ⊥ (ABC) Bài tập luyện tập Bài 0.31 Gọi M điểm nằm tứ diện ABCD Các đường thẳng MA, MB, MC, MD cắt mặt đối diện MA1 MB1 MC1 MD1 A1 ; B1 ; C1 ; D1 Chứng minh : + + + =1 AA1 BB1 CC1 DD1 Bài 0.32 Cho tứ diện ABCD Gọi h1 , h2 , h3 , h4 khoảng cách từ đỉnh A, B, C, D đến mặt đối diện Giả sử M điểm nằm tứ diện Gọi x, y, z, t khoảng cách tương ứng từ M đến mặt x y z t (BCD), (ACD), (ABD), (ABC) Chứng minh : + + + = h1 h2 h3 h4 Trang 13 TRẦN XUÂN HÒA - THPT TRIỆU THÁI Bài 0.33 Cho hình chóp S ABC; G trọng tâm tam giác ABC Một mặt phẳng (α) cắt S A, S B, S C, S G lần SA SB SC SG lượt A , B , C , G Chứng minh : + + =3 SA SB SC SG ✑ Vấn đề : Tốn cực trị thể tích khối đa diện Sử dụng ứng dụng đạo hàm Thiết lập biểu thức theo biến tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức ứng dụng đạo hàm Ví dụ minh họa Ví dụ 0.13 Hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh S A = x, tất cạnh lại có độ dài a) Chứng minh S A ⊥ S C b) Tính diện tích đáy ABCD tính đường cao S H hình chóp Từ suy điều kiện x để tốn có nghĩa c) Tìm x để hình chóp tích lớn Lời giải a) Ta có ∆S BD = ∆CBD(c − c − c) nên OC = OS hay AC OS = Suy ∆S AC vuông S hay S A ⊥ S C b) Ta có ABCD hình thoi Theo Pitago √AC = √ √ √ − x2 S A2 + S C = x2 + 1; OB = BC − OC = Nên S ABCD = AC.BD = (1 + x2 )(3 − x2 ) Ta có diện tích S H.AC S A.S C x tam giác SAC = ⇒ SH = √ 2 x +1 √ Điều kiện để tốn có nghĩa |x| ≤ √ x − x2 c) Ta tích VS ABCD = S H.S ABCD = 3 √ √ √ Khảo sát hàm số y = x√ − x2 [−√ 3; 3], suy thể tích lớn x = Vmax = Bài tập tương tự Bài 0.34 Trong mặt phẳng (P) cho tam giác OAB có OA = OB, AB = 2a đường cao OH = h Trên đường thẳng d vng góc với (P) P lấy điểm M với OM = x Gọi E, F hình chiếu vng góc A lên MB, OB Gọi N giao điểm đường thẳng EF d a) Chứng minh MB ⊥ NA MA ⊥ NB b) Tính BE, BF, EF, AF thể tích tứ diện ABEF theo a, h, x c) Tìm vị trí M d cho tứ diện MNAB tích nhỏ tính giá trị nhỏ Bài 0.35 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên S A = h S A ⊥ (ABCD) Gọi M điểm thay đổi cạnh CD Đặt CM = x Hạ S H ⊥ BM a) Tính S H theo a, h, x b) Tìm vị trí M để thể tích tứ diện S ABH đạt giá trị lớn tính giá trị lớn Trang 14 TRẦN XN HỊA - THPT TRIỆU THÁI Bài 0.36 Cho tam giác ABC cạnh a Trên đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (ABCD) A lấy điểm M Gọi H trực tâm tam giác ABC, K trực tâm tam giác BCM a) Chứng minh MC ⊥ (BHK) HK ⊥ (BMC) b) Khi M thay đổi d, tìm giá trị lớn thể tích tứ diện KABC Bài 0.37 Trong mặt phẳng (P) cho hình vng ABCD cạnh 2a Trên đường thẳng qua trung điểm E cạnh AB vng góc với (P) lấy điểm S cho S E = a Trên đường thẳng AB lấy điểm M di động Hạ S H ⊥ CM Đặt ECM = α a) Tìm quỹ tích điểm H M di động b) Gọi I, J trung điểm EC, S C Tính thể tích tứ diện JIEH theo a α Xác định α để thể tích lớn Vấn đề : Một vài toán đề thi ĐH - CĐ 3a , hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm AB Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách từ A đến mặt phẳng (S BD) Bài 0.38 [KA,14] Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, S D = Bài 0.39 [KB,14] Cho hình lăng trụ ABC.A B C có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng (ABC) trung điểm AB, góc A C mặt phẳng đáy 60◦ Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A B C khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC A ) Bài 0.40 [KD,14] Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng cân A, mặt bên S BC tam giác cạnh a mặt phẳng (S BC) vng góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích khối chóp S ABC khoảng cách hai đường thẳng S A, BC Bài 0.41 [KA,13] Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng A, ABC = 30◦ , S BC tam giác cạnh a mặt bên S BC vng góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S ABC khoảng cách từ C đến mặt phẳng (S AB) Bài 0.42 [KB,13] Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên (S AB) tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách từ A đến mặt phẳng (S CD) Bài 0.43 [KD,13] Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a, cạnh bên S A vng góc với đáy, BAD = 120◦ , M trung điểm BC S MA = 45◦ Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách từ D đến mặt phẳng (S BC) Bài 0.44 [KA,12] Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABC) điểm thuộc cạnh AB cho HA = 2HB Góc đường thẳng S C mặt phẳng (ABC) 60◦ Tính thể tích khối chóp S ABC khoảng cách hai đường thẳng S A BC theo a Bài 0.45 [KA,11] Cho hình chóp S ABC có ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a, hai mặt phẳng (S AB) (S AC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60◦ Tính thể tích khối chóp S BCN M khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a Vấn đề : Một vài toán đề thi HSG Bài 0.46 [Vĩnh Phúc, 15-16] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = b(a, b > 0), S A ⊥ (ABCD) S A = 2a Lấy điểm M thuộc cạnh S A cho AM = x < x < 2a Trang 15 TRẦN XUÂN HÒA - THPT TRIỆU THÁI a) Tính diện tích hình chóp S ABCD cắt mặt phẳng (MBC) b) Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp S ABCD thành hai phần tích √ Bài 0.47 [Vĩnh √ Phúc,14-15] Cho hình chóp S ABCD thỏa mãn S A = 5, S B = S C = S D = AB = BC = CD = DA = Gọi M trung điểm cạnh BC Tính thể tích khối chóp S MCD khoảng cách hai đường thẳng S M, CD Bài 0.48 [Dự bị Vĩnh Phúc, 14-15] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tam giác S AB cân S Góc đường thẳng S A mặt phẳng đáy 45◦ , góc mặt phẳng (S AB) mặt phẳng √ đáy ◦ 60 Tính thể tích khối chóp S ABCD, biết khoảng cách hai đường thẳng CD S A a Bài 0.49 [Thanh Hóa, 11-12] Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật AB = a, BC = 2a, mặt phẳng (S AB) vuông góc với đáy, mặt phẳng (S BC) (S CD) tạo với đáy góc Biết khoảng 2a cách S A BD √ a) Tính thể tích S ABCD b) Tính cosin góc hai đường thẳng S A BD Bài 0.50 [Vĩnh Phúc, 13-14] Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm BC H trung điểm AM Biết HB = HC = a, HBC = 30◦ ; góc mặt phẳng (S HC) mặt phẳng (HBC) 60◦ Tính theo a thể tích khối chóp S HBC tính cosin góc đường thẳng BC mặt phẳng (S HC) Bài 0.51 [Vĩnh Phúc, 12-13] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = 2a, tam giác S AB cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M trung điểm SD, mặt phẳng (ABM) vng góc với mặt phẳng (S CD) đường thẳng AM vng góc với đường thẳng BD Tính thể tích khối chóp S BCM khoảng cách từ M đến mặt phẳng (S BC) Bài 0.52 [Vĩnh Phúc, 11-12] Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy tam giác vng B với AB = a, AA = 2a, A C = 3a Gọi M trung điểm cạnh C A , I giao điểm đường thẳng AM A C Tính thể tích khối tứ diện I.ABC khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC) Trang 16 TRẦN XUÂN HÒA - THPT TRIỆU THÁI ĐÁP ÁN 0.1 VS ABC = abc 24 0.3 VS AMG = V 0.4 V = abc 0.5 Theo tỉ số : 0.20 c) cos2 2x cos2 x 0.21 25a3 119a3 , 12 12 0.22 0.23 0.6 Tỉ số 29 : √ √ 23a3 3a3 S S AC 0.24 , 0.4 a) = 5; b) Mặt phẳng (α) qua N; c) Gọi 96 32 S AK M √ 3V √ a2 I = MK ∩ AC, H = IN ∩ AB, S MNHK = 0.25 b) ; b) h = a 5h √ √ √ 4a a3 3a 3 tan2 α − a 0.7 S K = ; VS AHK = , S AHK = , S = a2 (tan α + 1); b) 0.26 a) 40 20 √ 2α−1 tan tan2 α − a 45a tan S CH = ; c) d = ; b) 0.8 a) VS AB C D = VS AB C + VS AC D = tan α 224 √ √ √ 3VS AB C D 45a2 a a3 S AB C D = = ,h = 0.27 b) V = SB 224 12 √ √ 4V 4V 0.9 V M.DNP = ; S MNP = a3 a 27 9h 0.28 a) V = ,h = 27 16a3 0.10 VS AB C D = 2VS AB C = a a3 45 0.29 a) V = ; b) h = √ √ 0.11 Gọi V thể tích S ABC, V1 thể tích S ABN, V2 a2 a V ; b) h = thể tích S BNI VANIB = V − (V1 + V2 ) = = 0.30 a) S = 6 S A.AB.AD 36 (x2 + 1)(3 − x2 ); b) S H = 0.13 b) S ABCD = √ x 0.12 Gọi V0 , V thể tích S ABCD ; c) x = √ V0 a tan α x2 + S ABMN, VS BMN = = 16 0.34 c) x = ON = |a2 − h2 | √ a3 0.13 V = 18 a2 h2 + x2 h2 + a4 0.35 a) S H = ; b) M trùng D, V = a2 + x2 S AB C D S C a h 0.14 V = 12 √ √ 3a2 a3 a3 0.15 S ABMN = ,V = 0.36 b) max = 16 48 √ VS ABCD a3 a 0.37 a) Đường tròn đường kính EC; b) α = 45◦ 0.16 V = = , d(M; (S BC)) = 4 a3 2a 0.38 V = ;d = V 3 0.17 a) ; b) √ √ 3a 3a 0.39 V = ;d = 13 0.18 √ √ a3 a 0.40 V = ;d = 0.19 24 Trang 17 TRẦN XUÂN HÒA - THPT TRIỆU THÁI 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 √ a3 a 19 V = ;d = 16 39 √ √ a3 a 21 V= ;d = √ a a3 V = ;d = 4 √ √ a3 a 42 V= ;d = 12 √ √ 2a 39 V = a3 3; d = 13 √ x √ a) S = b(1 − ) a2 + x2 ; b)x = (4 − 2)a 4a √ 3a3 0.48 V = 0.49 a) V = 4a3 ; b) cos ϕ = √ √ a3 13 0.50 V = ; cos α = 16 √ a3 a 0.51 V = ; d = 3 0.52 V = 4a3 2a ;d = √ HƯỚNG DẪN GIẢI TỐN Trang 18 TRẦN XN HỊA - THPT TRIỆU THÁI ... Vấn đề : Một vài toán đề thi ĐH - CĐ Vấn đề : Một vài toán đề thi HSG ... Vấn đề : Dùng thể tích tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng Vấn đề : Ứng dụng thể tích chứng minh hệ thức Vấn đề : Toán. .. Vấn đề : Tính tốn diện tích thiết diện cách dùng cơng thức thể tích Vấn đề : Tính thể tích cách dùng cơng thức tỉ số thể tích Vấn đề :