SKKN rèn luyện kĩ năng giải tốt các bài toán về số nguyên tố cho học sinh khá giỏi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TỐT CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI Người thực hiện: Lê Thị Sâm Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Triệu Sơn SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Tin học THANH HOÁ NĂM 2019 MỤC LỤC MỞ ĐẦU…………………………………………………… 1.1 Lí chọn đề tài……………………………….…… …………… … 1.2 Mục đích nghiên cứu……………………………………….… 1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu………………………………………………….1 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM…………………………… 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm……………………………… 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm…… ….2 2.3 Các giải pháp áp dụng để giải vấn đề………………………… 2.3.1 Giải pháp 1: Tạo tâm lí hứng thú cho học sinh tiếp cận số nguyên tố……………………………………………………… ………… … …2 2.3.2 Giải pháp 2: Tìm hiểu kiến thức liên quan số nguyên tố………… 2.3.2.1 Định nghĩa……………………………………………… …….… 2.3.2.2 Thuật tốn kiểm tra tính ngun tố số nguyên dương……… ………………………………………………………………….5 2.3.2.3 Thuật toán sàng nguyên tố Ơ-ra-to-Xten(Euratothenes)…………… 2.3.3 Giải pháp 3: Vận dụng linh hoạt thuật toán giải toán liên quan số nguyên tố……………………………………… … … 2.3.3.1 Các thuật toán mà học sinh vận dụng………………………………………………… …………… ………6 2.3.3.2 Các bước giải toán……………………………………….……6 2.3.4 Giải pháp 4: Hệ thống tốn có liên quan số ngun tố……… …………………………………………………………………… 12 2.3.5 Giải pháp 5: Rèn luyện kĩ làm việc nhóm thơng qua học sinh giám khảo ………………………………………………………….…17 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm……………………………… … 18 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ………………………………………….… …… 19 3.1 Kết luận……………………………………………………….… 19 3.2 Kiến nghị……………………………………………………… ……….19 Tài liệu tham khảo………………………………………………………… 20 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Số nguyên tố chuyên đề khó “bí ẩn” cho nhiều nhà khoa học nên nghiên cứu từ lâu Người ta tìm nhiều điều lí thú số nguyên tố áp dụng vào thực tiễn có nhiều hiệu quả, lĩnh vực hệ mật mã công nghệ thông tin Số ngun tố đưa vào chương trình tốn trung học sở để giảng dạy nên nhiều giáo viên dạy tốn học quan tâm Do nhiều sáng kiến lĩnh vực toán nghiên cứu như: “Số ngyên tố dạng liên quan” tác giả Nguyễn Minh-giáo viên tổ Tốn-Lí-Tin trường THCS Quang Trung; sáng kiến “Số nguyên tố trường THCS đối tượng học sinh giỏi” tác giả Lê Đình Huân trường THCS Tam Dị 2… Tuy nhiên mơn Tin học sáng kiến số nguyên tố hạn chế Trong đề thi học sinh giỏi môn Tin học cấp số nguyên tố ý đặc biệt Các dạng tập số nguyên tố biến đổi đa dạng phong phú Bởi vậy, trăn trở muốn tìm hiểu, nghiên cứu xây dựng chuyên đề số nguyên tố làm tài liệu cho thân q trình ơn luyện học sinh giỏi mong muốn chia sẻ với quý đồng nghiệp hoàn thiện chuyên đề Từ lí với kinh nghiệm giảng dạy định chọn đề tài: “Rèn luyện kĩ giải tốt toán số nguyên tố cho học sinh giỏi’’ làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm thân năm học 2018 -2019 Rất mong nhận đóng góp ý kiến, nhận xét đánh giá quý đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện 1.2 Mục đích nghiên cứu - Các phương pháp giúp học sinh giải tốt tập số nguyên tố - Nghiên cứu đề tài với mong muốn tài liệu nâng cao hiệu môn học cho học sinh tham gia học sinh giỏi cấp 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Số nguyên tố - Các tập số nguyên tố SGK Tin học 10 Tin học 11 - Các tập số nguyên tố kì thi học sinh giỏi nhiều tỉnh khác 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lí thuyết: Tìm đọc, nghiên cứu, phân tích tài liệu liên quan Rút kinh nghiệm thực tiễn giảng dạy Từ xây dựng sở lí luận đề tài - Phương pháp khảo sát thực tế, thu thập thơng tin…Từ đề giải pháp phù hợp để nâng cao hứng thú học môn Tin học cho học sinh NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong nghiên cứu khoa học việc tìm quy luật, phương pháp để giải vấn đề vô quan trọng Nó giúp ta có định hướng tìm lời giải lớp toán Trong dạy học giáo viên người có vai trò thiết kế điều khiển cho học sinh thực luyện tập hoạt động tương thích với nội dung dạy học Vì vậy, trang bị phương pháp, tập trung dạy cách học, rèn luyện kĩ năng, phát triển lực cho học sinh nhiệm vụ quan trọng người giáo viên SGK tin học 10 đề cập ví dụ thuật tốn kiểm tra tính ngun tố số nguyên dương Nhưng xoay quanh thuật toán tập số nguyên tố, đề thi số nguyên tố nhiều kì thi học sinh giỏi cấp lại vô đa dạng Tôi theo dõi đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa năm gần có nhiều năm đề cập đến nội dung này, vào năm học 2014-2015 với bảo vệ mật máy tính, năm học 2016-2017 với tổng nguyên tố, năm học 2017-2018 với tập dãy số Ham-ming; Đề thi học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Quảng Trị năm học 2017-2018 với số siêu nguyên tố; … Vì vậy, tơi nhận thấy cần bổ sung thêm số giải pháp giúp học sinh dễ dàng giải dạng toán 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trường THPT Triệu Sơn trường nằm phía tây huyện Triệu Sơn, có nhiều xã miền núi, đặc biệt khó khăn như: xã Thọ Bình, Triệu Thành, Bình Sơn…có nhiều học sinh em dân tộc thiểu số nên điểm đầu vào thấp Tư học sinh chậm, điều kiện kinh tế khó khăn, đường học xa khó nên ảnh hưởng nhiều đến kết học tập em Do đặc thù môn Tin học mơn học mẻ, học lập trình với em trở nên xa lạ Khi chọn em vào đội tuyển học sinh giỏi em bỡ ngỡ, tư hạn chế nguồn học sinh Do vậy, việc em giải tốt tốn lập trình gặp nhiều khó khăn Năm học 2016- 2017 năm học 2017-2018 em đội tuyển học sinh giỏi trường chạy khơng hết test tốn số ngun tố đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh 2.3 Các giải pháp áp dụng để giải vấn đề 2.3.1 Giải pháp 1: Tạo tâm lí hứng thú cho học sinh tiếp cận số nguyên tố Nói số nguyên tố chuyên đề khó, em tham gia thi học sinh giỏi cấp Qua nhiều năm giảng dạy thân trăn trở vấn đề Làm để em tiếp cận chuyên đề với tâm lí thoải mái, tự tin? Làm để có hệ thống tập logic, tìm phương pháp giải đơn giản, hiệu quả? SGK tin học 10 có đưa thuật tốn kiểm tra tính ngun tố số ngun dương để giảng dạy Tìm hiểu thuật tốn tơi thiết nghĩ thuật tốn khó em làm quen với khái niệm “thuật tốn” nên giáo viên trình bày thuật tốn dễ tạo tâm lí “nản” trò Bởi vậy, thân tơi cho em tìm hiểu thuật tốn trước hết tơi cho em tìm hiểu điều thú vị số nguyên tố buổi đầu dạy chuyên đề với mục đích tạo tâm lí “thoải mái” “thân thiện” tiếp cận nội dung Ví dụ 1: VE SẦU MAGICICADA (Nguồn: S&V Junior -Theo Tạp chí Tia Sáng 12 2002) Hiện nay, miền Đơng nước Mĩ có ba dòng ve sầu Magicicada có cách sống kỳ lạ Sau giao phối, ve sầu chui xuống đất đẻ trứng vào gốc to bỏ Ấu trùng ve sầu lì lại suốt 13 17 năm liền Sau thời gian dài sống nhờ rễ vậy, ấu trùng nở thành ve sầu chui lên mặt đất, cặp đôi, đẻ trứng chết Và hệ lại tiếp tục chu kì 17 năm 13 năm Theo số nhà nghiên cứu, chu kì 13 17 năm (hai số nguyên tố) yếu tố sống số loại ve sầu Lập luận họ sau: chim động vật ăn mồi thích ve sầu có chu kì sống khoảng đến năm; với chu kì sống 13 17 năm, lâu sau ve sầu phải sống thời gian phát triển đơng kẻ thù ăn thịt Ví dụ, 17 x = 51 năm, 13 x = 65 năm trùng Như vậy, "chu kì sống nguyên” giúp ve sầu giảm nguy phải sống kẻ thù Để có khả này, chắn ve sầu phải trải qua q trình tiến hóa dài Sau nhiều hệ, có ve sầu có chu kì sống số nguyên tố có khả tồn đến ngày hôm Một ve sầu Magicicada thoát khỏi bọc nhộng sau 17 năm phát triển ấu trùng Ví dụ 2: MẬT MÃ (Nguồn: S&V Junior -Theo Tạp chí Tia Sáng 12 2002) Trong suốt nhiều kỉ, kĩ thuật mã hóa dựa theo phương pháp cổ truyền: sử dụng mật mã (có thể từ, văn đối chiếu, dãy số ) để bảo mật thông tin Người nhận, người gửi cho biết mật mã, cần áp dụng q trình ngược lại hiểu thơng tin bị mã hóa Theo chuyên gia, phương pháp hai chiều, tức sử dụng mật mã để làm hai việc mã hóa giải mã Kĩ thuật có nhược điểm độ bí mật tuyệt đối mật mã khơng đảm bảo Vì thực tế, người gửi phải thông báo cho người nhận mật mã thông qua hình thức Ví dụ, ta muốn chuyển thơng tin mã hóa cho người xa ta phải chuyển văn chứa đựng thơng tin mã hóa mật mã cho người thư, điện thoại, Internet mật mã bạn (khơng mã hóa) dễ bị người khác biết Để đảm bảo độ bí mật, người ta áp dụng nguyên lí số nguyên tố Như biết, số nguyên tố đặc biệt chúng số nguyên chia hết cho Ta dễ dàng thực phép nhân số nguyên tố với Ví dụ, nhân 319489 x 242483 = 774707470337 Nhưng trình ngược lại lại phức tạp Ví dụ, để kiểm tra xem số 267281174273 có phải số ngun tố hay khơng, ta phải nhiều thời gian với hàng loạt phép tính phát số kết phép nhân 274177 với 974849 Mà số có chữ số Các bạn hình dung kết ban đầu số có 20, 30 hay 50 chữ số khối lượng phép tốn khổng lồ đến mức nào! Ngược lại với phương pháp hai chiều hay gọi đối xứng, mơ hình số ngun tố cho phép dễ dàng mã hóa thơng tin dường khơng thực q trình ngược lại Ví dụ, chọn hai số ngun tố p q sau nhân chúng với để thu kết N N mật mã biết mật mã sử dụng để khóa thơng tin gửi cho bạn kết N phép nhân hai số p q (hai yếu tố thiếu để giải mã có bạn biết) nên khơng thể đọc thơng tin mã hóa bạn Phương pháp vừa dễ thực mà độ bảo mật lại cao Dựa nguyên tắc này, nhà lập trình quản lí mạng máy tính nghĩ hệ thống mã hóa đáp ứng hai yêu cầu dễ sử dụng độ bảo mật cao thông tin mạng Internet mang tên RSA (RSA tên viết tắt thành viên sáng lập: Rivest, Shamir Adleman lấy từ ba chữ đầu ba tên tác giả Thuật tốn lần đầu mơ tả vào năm 1977 học viện cơng nghệ Massachusetts) Qua hai ví dụ tơi nhận thấy em hào hứng thích thú muốn tìm hiểu số ngun tố Từ lí giải em cần tìm hiểu số nguyên tố? Và đặt cho em câu hỏi xoay quanh số nguyên tố như: Số ngun tố có kì diệu hay khơng? Có thú vị hay không? Tại số nguyên tố lại làm “đau đầu” nhiều nhà toán học giới? Số nguyên tố ứng dụng vào sống nào? Tại toán liên quan đến số nguyên tố hay “chú ý” kì thi học sinh giỏi cấp? Sau tơi chốt lại vấn đề: Có thể nói số nguyên tố tìm hiểu từ lâu đời ln chứa ẩn điều thú vị cho nhà nghiên cứu ví dụ vòng đời ve sầu Magicicada Đặc biệt số nguyên tố ứng dụng quan trọng hệ mật mã RSA với việc mã hóa bảo mật thông tin Ba nhà sáng lập: Rivest, Shamir Adleman nghiên cứu hệ mật mã RSA sâu vào tốn “phân tích số ngun thành tích thừa số ngun tố” Đây thuật tốn phù hợp với việc tạo chữ kí điện tử đồng thời với việc mã hóa RSA sử dụng phổ biến thương mại điện tử Ngoài ứng dụng sử dụng rộng rãi lĩnh vực Tài chính- Ngân hàng như: RSA mã hóa thẻ ATM Xét mức độ an toàn dựa thuật tốn, giải pháp sử dụng thuật tốn RSA ln có độ tin cậy cao Đây điểm đáng lưu tâm bối cảnh nguy rủi ro an ninh an tồn thơng tin Nhận thức tầm quan trọng bảo mật thông tin, Ngân hàng Đầu tư Phát triển Việt Nam (BIDV) nghiên cứu đầu tư bảo mật hệ thống công nghệ thông tin, đặc biệt, giải pháp xác thực hai yếu tố RSA cho hệ thống ngân hàng cốt lõi corebanking số giải pháp bảo mật khác cho ứng dụng phục vụ bảo mật cho giao dịch ngân hàng Ứng dụng giúp cho trình giao dịch ngân hàng khách hàng trở nên đơn giản, gọn nhẹ Điều cho thấy tầm quan trọng số nguyên tố ứng dụng thực tiễn Bởi số nguyên tố chuyên đề “quan tâm” kì thi học sinh giỏi cấp Có thể tiền đề cho học sinh có lòng đam mê mơn tin học trở thành kĩ sư công nghệ thông tin tương lai 2.3.2 Giải pháp 2: Tìm hiểu kiến thức liên quan số nguyên tố 2.3.2.1 Định nghĩa Số nguyên tố số tự nhiên lớn 1, có hai ước Hợp số số tự nhiên lớn 1, có nhiều hai ước 2.3.2.2 Thuật tốn kiểm tra tính nguyên tố số nguyên dương *Ý tưởng thuật tốn - Nếu N=2 khơng có ước số phạm vi từ đến phần nguyên bậc hai N N số nguyên tố *Thuật tốn B1: Nếu N  N   thơng báo N số nguyên tố kết thúc; B4: Nếu N chia hết cho i thơng báo N khơng ngun tố kết thúc; B5: i← i+1 quay lại bước 3; 2.3.2.3 Thuật toán Sàng nguyên tố Ơ-ra-to-Xten(Euratothenes) Nhà toán học cổ HiLạp Ơ-ra-to-Xten(thế kỉ III trước Công nguyên) người tìm cách làm Ơng viết số giấy cỏ sậy căng khung rùi thủng hợp số vật tương tự sàng, hợp số sàng qua, nguyên tố giữ lại Bảng số gọi Sàng Ơ-ra-to-Xten Để tìm số nguyên tố nhỏ số tự nhiên N sàng Eratosthenes, ta làm sau: B1: Tạo danh sách số tự nhiên liên tiếp từ đến n: (2, 3, 4, , n); B2: Giả sử tất số danh sách số nguyên tố Trong đó, p = số nguyên tố đầu tiên; B3: Tất bội số p: 2p, 3p, 4p, bị đánh dấu khơng phải số ngun tố; B4: Tìm số lại danh sách mà chưa bị đánh dấu phải lớn p Nếu khơng số nào, dừng tìm kiếm Ngược lại, gán cho p giá trị số nguyên tố quay lại B3; Khi giải thuật kết thúc, tất số chưa bị đánh dấu danh sách số nguyên tố cần tìm Vì hai thuật toán xuyên suốt chuyên đề em tìm hiểu số nguyên tố nên yêu cầu em nắm vững hiểu chất hai thuật toán Bởi hai thuật tốn ví “chìa khóa vàng” mở giới “bài toán số nguyen tố” 2.3.3 Giải pháp 3: Vận dụng linh hoạt thuật toán giải toán liên quan số nguyên tố 2.3.3.1 Các thuật toán mà học sinh vận dụng - Thuật tốn: tìm Max; Min - Thuật toán: UCLN, BCNN - Thuật toán tìm kiếm - Thuật tốn xếp tráo đổi hay gọi xếp bọt (Bubble Sort) - Thuật toán xếp nhanh Quicksort … 2.3.3.2 Các bước giải toán Bước 1: Hướng dẫn học sinh ý phạm vi giá trị biến toán (Cách tổ chức liệu) Khi giải tốn thi học sinh giỏi phạm vi giá trị biến quan trọng Bởi u cầu tốn khơng đơn giản mà phức tạp lên nhiều Điều định tốn em lấy điểm hết test hay không Thông thường thời gian “hạn chế thi cử” em thử với liệu đầu vào nhỏ Bước 2: Lựa chọn thuật tốn Có thể nói bước quan trọng để giải toán có triệt để hay khơng Bởi tốn có nhiều cách giải khác chọn thuật tốn tốt q trình rèn luyện đúc rút không ngừng Điều sở để phân biệt học sinh có “khả năng” “tố chất tin học” hay không Các bạn hình dung người thám hiểm để từ điểm xuất phát đến điểm đích có nhiều đường khác người thám hiểm nhanh nhẹn, hoạt bát người biết chọn đường “ngắn nhất” “dễ nhất” Để có phán đốn tốt người thám hiểm chưa trước người thám hiểm phải trải qua “những bước tập duyệt gian khổ” có “kĩ năng” định thực tiễn Khi giải tốn thơng thường tơi yêu cầu em xây dựng thuật toán tốt Một thuật tốn tốt thuật tốn đáp ứng yêu cầu như: không gian lưu trữ, liệu đầu vào, thời gian chạy test…đặc biệt lấy điểm hết test test có liệu đầu vào lớn Việc thiết kế thuật tốn tốt nhiều thời gian lúc đầu mang lại hiệu cao sau gặp toán mà em biết chăm chăm code gặp lỗi em lúng túng lỗi bước Đặc biệt làm thi em bị áp đặt mặt thời gian Điều làm cho em bị “rối” sửa thuật tốn Vì vậy, ban đầu xác định thuật tốn tốt làm em “đau đầu” lại “nhẹ nhàng” sau cho em code toán Với đối tượng học sinh giỏi nên bước thay trình bày thuật tốn theo bước sơ đồ khối SGK Tin học 10 trình bày tơi u cầu em trình bày theo hướng ý tưởng giải thuật nhằm rèn luyện cho em tư giải thuật nhanh xác Bước 3: Lập trình cho tốn Khi em xác định thuật toán tốt kĩ lập trình bước khơng khó khăn Sau số ví dụ thể bước giải tốn trên: Ví dụ 1: Nguồn Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Đồng Tháp năm học 2012-2013 Cho dãy số nguyên dương A gồm N phần tử (0