Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải các câu hỏi thực tế trong đề toán trắc nghiệm lớp 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC CÂU HỎI THỰC TẾ TRONG ĐỀ TOÁN TRẮC NGHIỆM LỚP 12 Người thực hiện : Lê Nguyên Huấn Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học THANH HÓA NĂM 2019 MỤC LỤC - Mục 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 2.3.6 2.4 Nội dung Trang Mục lục Danh mục viết tắt sáng kiến kinh nghiệm Phần mở đầu Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng vấn đề Các giải pháp sử dụng giải vấn đề Ứng dụng đạo hàm Bài toán thể tích Ứng dụng vật lí 10 Bài toán chuyển động 12 Bài toán lãi suất 13 Bài toán kinh tế 16 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo 19 dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Kết luận, kiến nghị 20 Tài liệu tham khảo 21 Danh mục SKKN đạt giải cấp tỉnh 22 DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT Kí hiệu viết tắt SGK THPT THPT QG SKKN MTCT ycbt TN TXĐ GV HS HN TW Ý nghĩa Sách giáo khoa trung học phổ thông Trung học phổ thơng quốc gia Sáng kiến kinh nghiệm Máy tính cầm tay Yêu cầu toán Trắc nghiệm Tập xác định Giáo viên Học sinh Hà Nội Trung ương PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài: Thực hiện chủ trương đường lối, sách pháp luật Đảng nhà nước, nghị TW4 khoá VII Căn cứ vào phương hướng, nhiệm vụ kế hoạch chuyên môn trường THPT Triệu Sơn năm học 2018-2019 Với xu thi trắc nghiệm THPT Quốc gia sử dụng kiến thức liên môn vào học Những câu hỏi ứng dụng liên môn đề thi làm cho HS lúng túng, hay bỏ qua đánh xác suất dẫn đến kết không cao Trong chương trình toán THPT, các kiến thức ứng dụng liên mơn thực tế dạy, học hạn chế, tài liệu tham khảo đề cập đến Câu hỏi dạng đòi hỏi HS phải vận dụng kiến thức đa dạng ngồi toán học có kiến thức vật lí, sinh học, hóa học…để giải Đó khâu khó khăn mà các em chưa thể phối hợp đồng bộ liên môn để giải nhanh vận dụng tìm kết Những toán ứng dụng thực tế tập vận dụng thấp vận dụng cao đề thi Đặc biệt thi THPT Quốc gia Trong thực tế các toán dạng phong phú đa dạng Các em gặp một lớp các toán bất đẳng thức, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất, toán lãi xuất ngân hàng, toán vật lí chuyển đợng, phản ứng hạt nhân, chu kỳ bán rã Bài toán xác suất sinh học Bài toán tỉ lệ tăng dân số địa lí… Đòi hỏi sử dụng phương pháp đạo hàm, cơng thức liên mơn để giải Chỉ có số các em biết phương pháp giải trình bày lúng túng chưa gọn gàng, chí khơng có hướng giải Tại lại vậy? Lý là: Trong chương trình SGK THPT hiện hành kiến thức giới thiệu, không sâu vào tâp, dạy Khác xa với đề thi THPT Quốc gia, đề thi học sinh giỏi Bài tập SGK đưa sau học hạn chế Mặt khác số tiết phân phối chương trình cho phần nên quá trình giảng dạy, các giáo viên đưa nhiều tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ giải cho học sinh Nhưng thực tế, để biến đổi giải xác đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư mức đợ cao phải có lực biến đổi toán học nhanh nhẹn thục Ngoài ứng dụng đạo hàm, tích phân, cơng thức hình học, sử dụng nhiều cơng thức bợ mơn khác vât lí, hóa, sinh… Mỗi mơn học chương trình toán phổ thơng có vai trò quan trọng, quá trình dạy, giáo viên ln trình bày kiến thức dần hình thành kĩ năng, kĩ xảo cho học sinh Thực tế dạy học cho thấy có nhiều vấn đề cần giải cho phân mơn toán học phổ thơng, vấn đề giải các câu hỏi ứng dụng thực tế đề thi THPT QG vấn đề cợm thầy trò năm đầu thi trắc nghiệm toán Xuất phát từ thực tế trên, chọn đề tài “ Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải câu hỏi thực tế đề toán trắc nghiệm lớp 12” 1.2 Mục đích nghiên cứu Từ lý chọn đề tài, từ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 12 trường THPT Tôi tổng hợp, khai thác hệ thống hoá lại các dạng toán ứng dụng liên môn, cách giải đề thi trắc nghiệm THPT QG Học sinh cần nắm định nghĩa các tính chất có liên quan Rèn luyện cho học sinh kỹ giải tập nhiều nhớ công thức vận dụng, công thức liên môn Trang bị cho học sinh kiến thức vững vàng, chuẩn bị bước vào các kỳ thi học sinh giỏi, THPTQG để tuyển sinh đại học cao đẳng Học sinh nhớ khắc sâu thêm kiến thức liên quan đến hàm số các dạng toán khác có liên quan giải bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức, toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình chứa tham số, ứng dụng vật lí, hóa, sinh… Qua nợi dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh một số phương pháp tổng quát một số kỹ phát hiện hướng giải Học sinh thơng hiểu trình bày toán trình tự, logic, không mắc sai lầm biến đổi Hy vọng đề tài nhỏ đời giúp các bạn đồng nghiệp các em học sinh có mợt cái nhìn tồn diện phương pháp giải mợt số các toán ứng dụng thực tế dựa vào tổng hợp kiến thức liên mơn Mục đích: Trang bị đầy đủ cho phương pháp giải một lớp các toán ứng dụng thực tế 1.3 Đối tượng nghiên cứu Thực hiện tất đối tượng học sinh khối 12 Giải một số các toán ứng dụng thực tế đề thi, đặc biệt đề thi trung học phổ thông Quốc gia 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận chung - Khảo sát điều tra từ thực tế dạy học - Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm hàng năm - Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên bộ môn - Liên hệ thực tế nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy - Phương pháp: Học sinh cần nắm vững lý thuyết đạo hàm, nguyên hàm, hình học mợt số bất đẳng thức, cơng thức lãi xuất, công thức chu kỳ bán rã, phản ứng hạt nhân Xác suất… - Thông qua việc giảng dạy trực tiếp các lớp khối 12 năm học từ 2010 đến 2019 PHẦN NỘI DUNG: 2.1 Cơ sở lí luận: Khi gặp toán ứng dụng thực tế học sinh phải nắm các kiến thức liên mơn Đó hạn chế HS GV, đơi HS học qua loa, GV không khắc sâu Khi gặp câu hỏi dạng lúng túng sợ thời gian bỏ qua chọn bừa một đáp án, dẫn đến kết không cao Việc nắm vững các kiến thức liên môn để giải toán ứng dụng thực tế cần thiết để các em HS có điểm cao thi trắc nghiệm Vì các câu hỏi chủ yếu kiến thức mức độ vận dụng thấp vận dụng cao Muốn làm tốt dạng toán các em phải nắm vững tri thức khoa học mơn toán mợt cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết liên môn linh hoạt vào dạng tập Điều thể hiện việc học đơi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư logic cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học nghiên cứu môn mợt cách có hệ thống chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm tập, phân dạng các tập tổng hợp các cách giải Do vậy, mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng tìm phương pháp giải gặp các toán ứng dụng thực tế đề thi, đặc biệt đề thi THPT QG 2.2 Thực trạng vấn đề Trong thực tế, học sinh thường ngại giải các toán ứng dụng thực tế, các em khó việc chọn hướng giải vấn đề toán thường đề dài, nhiều giả thiết, khác với các dạng toán đơn thuần, thời gian ngắn các em lo không đủ để làm bài, chọn ngẫu nhiên đáp án cho nhanh Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ lớp 12, các kỳ thi thử THPT QG, thi học sinh giỏi cấp trường, cấp tỉnh việc học tập, làm tập hàng ngày nhận thấy học sinh thường bỏ qua không giải mợt số học sinh làm tập phần Nội dung học dạng với thời lượng dạng đơn giản Đề thi lại khó khăn Nếu khơng có phương pháp, đường lối HS khơng thể giải vấn đề dạng tập 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề: 2.3.1 Ứng dụng đạo hàm: 2.3.1.1 Định nghĩa đạo hàm Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a;b) x0 ∈ (a;b) Nếu tồn giới hạn (hữu hạn) lim x → x0 f ( x ) − f ( x0 ) ∆y = lim x − x0 ∆x →0 ∆x giới hạn gọi đạo hàm hàm số y = f(x) x0 f '( x0 ) =lim x → x0 f ( x) − f ( x0 ) x − x0 Ký hiệu: 2.3.1.2 Định nghĩa đạo hàm mợt phía Đạo hàm bên trái hàm số y = f(x) điểm x0, kí hiệu f’(x0), f '( x0− ) = lim ∆x →0− ∆y ∆x định nghĩa : Đạo hàm bên phải hàm số y = f(x) điểm x0, kí hiệu f’(x0), f '( x0+ ) = lim ∆x →0+ ∆y ∆x định nghĩa : 2.3.1.3 Ý nghĩa đạo hàm Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a;b) có đồ thị (C) Tiếp tuyến với (C) điểm M(x0;y0) có hệ số góc k = f’(x0) PTTT M(x0;y0): y = f’(x0)(x-x0) + y0 2.3.1.4.Các quy tắc tính đạo hàm i Giả sử u,v các hàm số biến x, có đạo hàm x đó: (u ± v) ' = u '± v ' (u.v) ' = u '.v + v '.u '  u  u '.v − v '.u  ÷= v2 v (k u ) ' = k u ' (v ≠ 0) ii Nếu hàm số u= g(x) có đạo hàm theo x u’=g’(x) hàm số y = f(u) có đạo hàm theo u y’ = f’(u), hàm số hợp y = h(x) = f[g(x)] có đạo hàm theo x h(x) = f’(u).g’(x) hay y’ = yu’.ux’ 2.3.1.5 Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp: ( u = u(x)) c ' = (c = const ) ( x n ) ' = n.x n −1 ( x)' = x ' (u n ) ' = n.u '.u n −1 u' ( u)' = u ' 1  ÷=− x x (a x ) ' = a x ln a u' 1  ÷=− u u (a u ) ' = u '.a u ln a (e x ) ' = e x (ln x) ' = x (sin x) ' = cos x (cos x) ' = − sin x (eu ) ' = u '.eu u' (ln u ) ' = u (sin u) ' = u '.cos u (cos u ) ' = −u 'sin u 2.3.1.6 Đạo hàm cấp cao Giả sử y = f(x) có đạo hàm y’ =f’(x) Nếu hàm số f’(x) lại có đạo hàm, gọi đạo hàm đạo hàm cấp hai kí hiệu y” hay f”(x) Định nghĩa tương tự cho đạo hàm cấp 2,3,4 Một cách tổng quát đạo hàm cấp n ( n>1) hàm số y=f(x), kí hiệu y (n) hay f(n) (x), định nghĩa: f(n)(x) = [f(n-1)(x)]’ 2.3.1.7 Tính đơn điệu dấu đạo hàm Định nghĩa:Cho hàm số y=f(x) xác định K Với x1 < x2 thuộc K Nếu f(x1) < f(x2) hàm số f(x) đồng biến K Nếu f(x1) > f(x2) hàm số f(x) nghịch biến K Định lí:Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm K Nếu f’(x) > với x K hàm số f(x) đồng biến K Nếu f’(x) < với x K hàm số f(x) nghịch biến K Chú ý: i.Giả sử f(x) có đạo hàm K Nếu f’(x) ≥0 (f’(x) ≤ 0) f’(x) = mợt số điểm hữu hạn hàm số đồng biến (nghịch biến) K ii.Trong một số trường hợp dấu đạo hàm cấp 1, ta xét dấu đạo hàm cấp 2, từ suy dấu đạo hàm cấp 2.3.1.8 Cực đại cực tiểu hàm số Định nghĩa:Cho hàm số y =f(x) liên tục khoảng (a;b) Nếu tồn số h >0 cho f(x)0 cho f(x)>f(x 0) với x0 ∈ (x0-h ;x0+h) x≠x0 ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu x0 Định lý: Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Giả sử hàm số y = f(x) liên tục khoảng K = (x 0-h; x0+h) có đạo hàm K \ { x0 } khoảng K , với h>0 Nếu f’(x) > khoảng (x 0-h ; x0) f’(x) < khoảng (x ; x0+h) x0 điểm cực đại hàm số f(x) Nếu f’(x) < khoảng (x 0-h ; x0) f’(x) > khoảng (x ; x0+h) x0 điểm cực tiểu hàm số f(x) 2.3.1.9 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xac định D i Số M gọi giá trị lớn hàm số y = f(x) tập D f ( x) ≤ M ∀x ∈ D , ∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = M ii Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y = f(x) tập D f ( x ) ≥ m∀x ∈ D, ∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = m 2.3.1.10 Bất đẳng thức CauChy a, b ≥ : a + b ≥ ab a1 , a2 , an ≥ : a1 + a2 + + an ≥ n n a1a2 an Chú ý:Ta sử dụng bất đẳng thức Cau Chy hai chiều 2.3.2 Bài tốn diện tích thể tích: Ví dụ Cho mợt nhơm hình chữ nhật có chiều dài 12 cm chiều rợng 10 cm Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x (cm), gập nhơm lại hình vẽ để mợt cái hợp khơng nắp Tìm x để hợp nhận tích lớn x= 10 + x= 11 + 31 A B Hướng dẫn giải: TXĐ: D=(0;5) ;V=x(12-2x)(10-2x) x= C [ 1] 11 − 31 x= D 10 − f ( x) = x − 44x + 120 x f ' ( x) = 12 x − 88 x + 120  11 + 31 ( L) x = f ' ( x) = ⇔  ⇒C  11 − 31 x =  Xét Ví dụ Với mợt miếng tơn hình tròn có bán kính R = 6cm Người ta muốn làm một cái phễu cách cắt mợt hình quạt hình tròn gấp phần lại thành hình nón ( Như hình vẽ) Hình nón tích lớn người ta cắt cung tròn hình quạt A π cm Hướng dẫn giải: B 6π cm [ 1] C 2π cm D 8π cm Gọi x (x > 0) chiều dài cung tròn phần xếp làm hình nón Như vậy, bán kính R hình tròn đường sinh hình nón đường tròn đáy hình nón có đợ dài x Bán kính r đáy xác định đẳng thức 2π r = x ⇒ r = x 2π R2 − r = Chiều cao hình nón tính theo định lý Pitago là: h = π x  V = π r H =  ÷ 3  2π  Thể tích khối nón: R2 − R2 − x2 4π x2 4π Áp dụng Bất đẳng thức Cơsi ta có:  x2 x2 x2 + + R − 4π x x2 x2 4π  8π 8π 4π V2= (R2 − ) ≤  8π 8π 4π     ÷ 4π R ÷= 27 ÷ ÷  x2 x2 2π = R − ⇔x= R ⇔ x = 6π 4π Do V lớn 8π 100(cm2 ) Ví dụ 3.Cho hình chữ nhật có diện tích để chu vi nhỏ nhất? A 10cm × 10cm B 20cm × 5cm [ 1] C Hỏi kích thước 25cm × 4cm D 15cm × cm Hướng dẫn giải: Gọi chiều dài chiều rợng hình chữ nhật là: x(cm) y (cm) Chu vi hình chữ nhật là: P = 2(x+y) = 2x + 2y Theo đề thì: xy = 100 hay y = 2− 100 x 200 x − 200 = x2 x2 Do đó: P= 2x + 2y + 200 x với x > ⇔ Đạo hàm: P’(x) = Cho y’ = x = 10 Lập bảng biến thiên ta được: Pmin=40 x = 10 Kết luận: Kích thước hình chữ nhật 10 x 10(là hình vng) Ví dụ Mợt lão nơng chia đất cho trai để người canh tác riêng, biết 800(m) người chọn miếng đất hình chữ nhật có chu vi Hỏi chọn kích thước để diện tích canh tác lớn [ 2] nhất? A 200mx200m B.300mx100m C.250mx150m D.300mx300m Hướng dẫn giải: Gọi chiều dài chiều rộng miếng đất là: x(m) y(m) (x, y>0) Diện tích miếng đất: S= x.y Theo đề thì: 2(x + y) = 800 hay y = 400 - x Do đó: S= x(400-x) = -x + ⇔ 400x với x > Đạo hàm: S’(x) = -2x + 400 Cho S’(x) = x = 200 Lập bảng biến thiên ta được: Smax = 4000 x =200, y = 200 Đáp án A Kết luận: Kích thước miếng đất hình chữ nhật 200´ 200 (là hình vng) 10 giây:H = - −t T −t T − λt N(t) = N0.2 = N0.e M(t) = m0.2 N0 m0 : số hạt nhân phóng xạ thời điểm ban đầu −t T − λt = m0 e ∆N ∆t H(t) = H0.2 − λt = H0.e H0 : khối lượng phóng : đợ phóng xạ thời xạ thời điểm ban điểm ban đầu H (t ) đầu m(t ) :đợ phóng xạ lại : khối lượng phóng sau thời gian t xạ lại sau thời H = λN = λ N0 = λN0e-λt N (t ) : số hạt nhân phóng xạ lại sau t t thời gian −t 2T gian Ví dụ Sự phân rã các chất phóng xạ biểu diễn theo cơng thức hàm m ( t ) = m 0e − m λ = số mũ ln , T t = 0), m0 khối lượng ban đầu chất phóng xạ (tại thời điểm m(t) khối lượng chất phóng xạ thời điểm t, T chu kỳ bán rã (tức khoảng thời gian để mợt nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác) Khi phân tích mợt mẫu gỗ từ cơng trình kiến trúc cổ, các nhà khoa học thấy khối lượng cacbon phóng xạ 45% so với lượng 14 14 C mẫu gỗ C ban đầu Hỏi cơng trình kiến trúc có niên đại khoảng năm? Cho biết biết chu kỳ bán rã [ 4] năm A 5157 năm Hướng dẫn giải: m ( t ) = m 0e Ta có B 3561 năm − t T C 6601 năm 14 C khoảng 5730 D 4942 năm t −   T ⇒ ∆m = m − m ( t ) = m 1 − ÷   t − ∆m 45 = 1− T = ⇒ t = −T.log 0,55 ≈ 4942 m 100 Suy năm Đáp án D Ví dụ Mợt chất phóng xạ có chu kỳ bán rã 3,8 ngày Sau thời gian 11,4 ngày đợ phóng xạ (hoạt đợ phóng xạ) lượng chất phóng xạ lại phần trăm so với đợ phóng xạ lượng chất phóng xạ ban đầu? A 25% B 75% C 12,5% D 87,5% [ 1] 12 Hướng dẫn giải: T = 3,8 ngày ; t = 11,4 = 3T ngày Do ta đưa hàm mũ để giải nhanh m = m − t T sau t − m m ⇔ =2 T = −3 = m0 ⇔ m0 α = 12,5% ⇒ Đáp án C α Ví dụ Pơlơni ngun tố phóng xạ , phóng mợt hạt biến đổi thành hạt nhân X Chu kì bán rã Pôlôni T = 138 ngày a)Xác định cấu tạo, tên gọi hạt nhân X b)Ban đầu có 0,01g Tính đợ phóng xạ mẫu phóng xạ sau chu kì bán rã [ 2] Hướng dẫn giải: a)Xác định hạt nhân X + Ta có phương trình phân rã: 210 84 Po→ 24 He+ ZA X 210 = + A  A = 206 →  206 84 = + Z Z = 82 → X : 82 Pb + Theo các ĐLBT ta có: t  − m = m T m = m − k 0,693.m N A − k   ⇒ = 2,08.10 11 Bq  H = λN mN A ⇒ H = T A H = λ   m  A  N = N A  A b)Từ Ví dụ Trong vật lí, sự phân rã các chất phóng xạ biểu diễn t  T  ÷ 2 cơng thức: m(t) =m0 , m0 khối lượng ban đầu chất phóng xạ (tại thời điểm t = 0); T chu kì bán rã (tức khoảng thời gian để nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác) Chu kì bán rã Cabon 14 C khoảng 5730 năm Cho trước mẫu Cabon có khối lượng 100g Hỏi sau khoảng thời gian t khối lượng bao nhiêu? [ 1] 5730 − t ln 5730 A m(t) =100.e B m(t) 1 = 100  ÷ 2 100 t − 5730 C.m(t) 1 = 100  ÷ 2 D.m(t) = 100.e − 100 t 5730 Hướng dẫn giải: 13 Theo công thức m( t) = m0e- kt ln 5730 ta có: m(5730) = 50 = 100.e -k.5730, suy k = − t ln 5730 Nên m(t) = 100.e Đáp án: A Ví dụ Cho biết chu kì bán rã chất phóng xạ radi Ra226 1602 năm (tức mợt lượng Ra226 sau 1602 năm phân hủy lại mợt nửa) Sự phân hủy tính theo cơng thức S = A.e rt , r ar > ⇔ (1+r)n (m - ar) = m ⇔ log1+ r n= m m − ar 16 Ví dụ Gửi triệu, lãi suất 1%/tháng lãi không nhập vào vốn, hỏi sau tháng thu bao nhiêu? [ 2] Hướng dẫn giải: P = 5(1 + 0,01 6) = 5,3 triệu Ví dụ Gửi triệu, lãi suất 1%/tháng lãi hàng tháng nhập vào vốn, hỏi sau tháng thu bao nhiêu? [ 1] ≈ Hướng dẫn giải: P = 5(1 + 0,01)6 5,3076 triệu Ví dụ Mợt người gửi vào triệu, lãi suất 8,4%/năm, lãi hàng năm nhập [ 2] vào vốn Hỏi sau khoảng năm thu gấp đôi (10 triệu) A năm B năm C 10 năm D 11năm Hướng dẫn giải: Áp dụng cơng thức lãi kép, sau n năm, ta có phương trình 10 n ⇔ n ⇔ log1,084 ≈ = 5(1+0,084) = (1+0,084) n= 8,59 Do n nguyên dương nên chọn n = Ví dụ Vay 100 triệu với lãi suất 1%/tháng Cứ sau tháng trả x đồng Định x để sau tháng, hết nợ [ 2] 100.0,01(1 + 0,01) (1 + 0,01) − 1,013 1,013 − ≈ Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức: x = = 34,002triệu Ví dụ Mợt người đem gửi tiết kiệm một ngân hàng với lãi suất 12% năm Biết cứ sau một quý ( tháng ) lãi cợng dồn vào vốn gốc Hỏi sau tối thiểu năm người nhận lại số tiền, [ 2] bao gồm vốn lẫn lãi gấp ba lần số tiền ban đầu A B C 10 Hướng dẫn giải: Gọi số tiền người gửi A, lãi suất quý 0,03 Sau n quý, tiền mà người nhận là: A ( + 0, 03) n ycbt ⇔ A ( + 0,03) = 3A ⇔ n = log1,03 ≈ 37,16 D.11 n Vậy số năm tối thiểu xấp xỉ 9,29 năm Vậy đáp án C Ví dụ Mợt bà mẹ Việt Nam anh hùng hưởng số tiền triệu đồng một tháng (chuyển vào khoản mẹ ngân hàng vào đầu tháng) Từ tháng năm 2016 mẹ không rút tiền mà để lại ngân hàng tính lãi suất 1% mợt tháng Đến đầu tháng 12 năm 2016 mẹ rút tồn bợ số tiền (gồm số tiền 17 tháng 12 số tiền gửi từ tháng 1) Hỏi mẹ lĩnh [ 2] tiền? (Kết làm tròn theo đơn vị nghìn đồng A 50 triệu 730 nghìn đồng B 48 triệu 480 nghìn đồng C 53 triệu 760 nghìn đồng D 50 triệu 640 nghìn đồng Hướng dẫn giải: Số tiền tháng mẹ nhận triệu, gửi đến đầu tháng 12 (được 11 kỳ hạn), vốn lẫn lãi số tiền tháng nhận sinh là: 4.(1 + 11 ) = ×1,0111 100 (triệu đồng) Tương tự số tiền tháng nhận sinh ra: ×1, 01 (triệu đồng) Số tiền tháng 12 mẹ lĩnh nên là: (triệu đồng) 10 × 1,0111 + × 1,0110 + + × 1,01 + = − 1,0112 ≈ 50, 730 − 1, 01 Vậy tổng số tiền mẹ lĩnh là: (50 triệu 730 nghìn đồng) Đáp án A Ví dụ Mợt người vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 0,7%/tháng theo thỏa thuận cứ tháng người trả cho ngân hàng triệu đồng cứ trả hàng tháng hết nợ (tháng cuối trả [ 1] triệu) Hỏi sau tháng người trả hết nợ ngân hàng A 22 B 23 C 24 D 21 Hướng dẫn giải: Gọi Nn số tiền người vay nợ sau n tháng, số tiền trả hàng tháng, A N1 = A(1 + r ) − a r lãi suất hàng tháng, a là số tiền vay ban đầu N = [ A(1 + r ) − a](1 + r ) − a = A(1 + r ) − a[1 + (1 + r )] { } N = A(1 + r ) − a[1 + (1 + r )] (1 + r ) − a = A(1 + r )3 − a[1 + (1 + r ) + (1 + r ) ] N m = A(1 + r ) m − a[1 + (1 + r ) + (1 + r ) + + (1 + r ) m −1 ] = A(1 + r ) m − a hết nợ nghĩa m N m = ⇔ (1 + r ) ( Ar − a) + a = ⇔ m = log1+ r (1 + r ) m − r Khi trả a a − Ar m ≈ 21,6 Thay số ta được: Do số tháng để trả hết nợ 22 tháng Ví dụ Bạn H trúng tuyển vào Trường Đại học Ngoại Thương khơng đủ tiền nợp học phí nên H định vay ngân hàng bốn năm 3% / năm triệu đồng để nộp học phí với lãi suất ưu đãi năm Ngay sau tốt nghiệp Đại học bạn H thực hiện trả góp hàng tháng cho ngân hàng số tiền 18 0, 25% / (khơng đổi) với lãi suất theo cách tính tháng vòng năm Tính số tiền hàng tháng mà bạn H phải trả cho ngân hàng (kết làm tròn đến [ 4] hàng đơn vị) A 323.582 (đồng) B 398.402 (đồng) C 309.718 (đồng) D 312.518 (đồng) Hướng dẫn giải: Tiền vay từ năm thứ đến lúc trường, bạn H nợ ngân hàng: 4000000(1 + 3%) Tiền vay từ năm thứ hai đến lúc trường, bạn H nợ ngân hàng: 4000000(1 + 3%)3 Tiền vay từ năm thứ ba đến lúc trường, bạn H nợ ngân hàng: Tiền vay từ năm thứ tư đến lúc trường, bạn H nợ ngân hàng: Vậy sau năm bạn H nợ ngân hàng số tiền là: 4000000(1 + 3%) 4000000(1 + 3%) N = 4000000 ( + 3% ) + ( + 3% ) + ( + 3% ) + ( + 3% )  ≈ 17.236.543   Lúc ta coi bạn H nợ ngân hàng khoảng tiền ban đầu đồng, số tiền bắt đầu tính lãi tháng m đồng năm Số tiền nợ cuối tháng thứ là: Số tiền nợ cuối tháng thứ là: Số tiền nợ cuối tháng thứ là: r = 0, 25% N = 17.236.543 /tháng trả góp N (1 + r ) − m [ N (1 + r ) − m] (1 + r ) − m = N (1 + r ) − m [ (1 + r ) + 1]  N (1 + r ) − m [ (1 + r ) + 1]  (1 + r ) − m = N (1 + r )3 − m (1 + r ) + (1 + r ) + 1 Số tiền nợ cuối tháng thứ 60 là: N (1 + r )60 − m  (1 + r )59 + + (1 + r ) + 1 N (1 + r )60 − m (1 + r )59 + + (1 + r ) + 1 = ⇒ m = N (1 + r )60 r ≈ 309.718 (1 + r )60 − Ta có đồng 2.3.6 Bài tốn kinh tế: Ví dụ Khi ni cá thí nghiệm hồ, mợt nhà sinh vật học thấy : Nếu đơn vị diện tích mặt hồ có n cá trung bình cá sau một vụ cân nặng P(n) = 480 - 20.n (gam) Hỏi phải thả cá mợt đơn vị diện tích mặt hồ để sau một vụ thu hoạch nhiều cá ? [ 3] 19 10 16 12 A B C Hướng dẫn giải: Gọi n số cá mợt đơn vị diện tích hồ Cân nặng mợt cá : P(n) = 480 - 20.n (gam) Cân nặng n cá : n.P(n) = 480n - 20.n2 (gam) 24 D (n> 0) Khi : ( 0; +∞ ) Xét hàm số : f(n) = 480n - 20.n Ta có : f’(n) = 480 - 40n, cho f’(n) = suy n =12 Lập bảng biến thiên ta thấy số cá phải thả một đơn vị diện tích hồ để có thu hoạch nhiều 12 Ví dụ Mợt chuyến xe bus có sức chứa tối đa 60 hành khách Nếu một chuyến xe chở x hành khác thi giá cho hành khách x   3− ÷ 40  $  [ 2] Chọn câu A Xe thu lợi nhuận cao có 60 hành khách B Xe thu lợi nhuận cao C Xe thu lợi nhuận cao D Khơng có đáp án 135$ 160$ Hướng dẫn giải: Số tiền thu : f(x) = x  x3  x  − ÷ = 9x − x + 40  20 1600  Đạo hàm, lập bảng biến thiên ta tìm GTLN f(x) 160$ 160 40 x = 40 Vậy lợi nhuận thu nhiều có hành khách Ví dụ Mợt doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại Hiện nay, doanh nghiệp tập trung chiến lược vào kinh doanh xe honda Future Fi với chi phí mua vào một 27 (triệu đồng) bán với giá 31 (triệu đồng) Với giá bán số lượng xe mà khách hàng mua một năm 600 Nhằm mục tiêu đẩy mạnh lượng tiêu thụ dòng xe ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán ước tính giảm (triệu đồng) số lượng xe bán mợt năm tăng thêm 200 Vậy doanh nghiệp phải định giá bán để sau [ 2] thực hiện giảm giá, lợi nhuận thu cao nhất? Hướng dẫn giải: Gọi x ( x>0),đơn vị (triệu đồng) giá bán Khi đó: Số tiền giảm là: 31 – x Số lượng xe tăng lên là: 200(31 – x) Vậy tổng số sản phẩm bán là: 600 + 200(31 – x) = 6800 – 200x Doanh thu mà doanh nghiệp đạt là: (6800 – 200x)x Tiền vốn mà doanh nghiệp phải bỏ là: (6800 – 200x).27 Lợi nhuận mà công ty đạt là: 20 Doanh thu – Tiền vốn =(6800 – 200x).x - (6800 – 200x).27 = -200x2 + 12200x – 183600 L’(x) = - 400x + 12200, cho L’(x) = 0, ta x = 30,5 Lập BBT ta thấy lợi nhuật lớn x = 30,5 Vậy giá bán 30,5 (triệu đồng) Ví dụ Mợt cơng ti bất đợng sản có 50 hộ cho thuê Biết cho thuê hộ với giá 000 000 đồng một tháng hợ có người th, cứ lần tăng giá cho thuê hộ thêm 100 000 đồng mợt tháng có thêm hai hợ bị bỏ trống Hỏi muốn có thu nhập cao nhất, cơng ti [ 2] phải cho th hộ với giá trị một tháng? (đồng/tháng) A 250 000 B 450 000 C 300 000 D 225 000 Hướng dẫn giải: Gọi x (đồng/tháng) số tiền tăng thêm giá cho th hợ (x > 0)Khi số hợ bị bỏ trống là: Khi đó, số tiền cơng ti thu là: T(x) = 2x 100000 (căn hộ) 2x  2x2  ( 2000000 + x )  50 − ÷ = 100000000 + 10 x − 100000  100000  [ 0; +∞ ) 4x 10 − 100000 Khảo sát hàm số T(x) T’(x) = 1000000 - 4x = 0.Ta x = 250 000 Bảng biến thiên x + T’ 250 000 250 000 (đồng/tháng) , T’(x) = +¥ - T Do Max T(x) =T(250 000) = 250 000.Vậy để có thu nhập cao số tiền cho thuê một hộ tháng 250 000 đồng Đáp án A Ví dụ Đường dây điện 110KV kéo từ trạm phát (điểm A) đất liền Côn Đảo (điểm C) biết khoảng cách ngắn từ C đến B 60km, khoảng cách từ A đến B 100km, km dây điện nước chi phí 5000 USD, chi phí cho km dây điện bờ 3000 USD Hỏi điểm G cách A bao [ 1] nhiêu để mắc dây điện từ A đến G từ G đến C chi phí A 40km B 45km C 55km 60km Hướng dẫn giải: D 21 Gọi BG = x(0 < x