Sáng kiến kinh nghiệm SKKN rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số dạng phương trình lượng giác

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC" PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ Phương trình lượng giác dạng toán thường xuất đề thi đại học thi học sinh giỏi Đa số học sinh giải dạng phương trình lượng giác bản, nhiên học sinh chưa thực giải tốt gặp phương trình lượng giác đề thi Việc cung cấp cho học sinh số phương pháp giải phương trình lượng giác việc làm cần thiết Chính chọn đề tài “ Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số dạng phương trình lượng giác” PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1.Cơ sở lý luận vấn đề a) Phương trình lượng giác bản: +) sinx= m Với m ≤ x = α + k 2π ⇔  x = π − α + k 2π (k ∈ z ) sin α =m (có thể lấy α = arcsinm) +) cosx= m ⇔ x = ±α + k 2π ( k ∈ z ) Với m ≤1 cos α =m (có thể lấy α = arccosm) +) tanx= m ⇔ x= α + kπ , với tan α =m ( lấy α =arctanm) (k ∈ z ) +) cotx= m ⇔ x= α + kπ , với cot α = m ( lấy α = arccotm) ( k ∈ z ) b) Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản +) Phương trình bậc bậc hai f(x) ( f(x) biểu thức lượng giác đó) Đặt ẩn phụ: t= f(x) +)Phương trình bậc sinx cosx: asinx+ bcosx= c (a2+b2 ≠ 0) Biến đổi vế trái dạng: Csin(x+ α ) Ccos(x+ β ) +) Phương trình bậc hai sinx cosx asin2x+ bsinxcosx+ ccos2x= ( a2+ b2+ c2 ≠ 0) Chia hai vế cho cos2x( với cosx ≠ 0), chia hai vế cho sin2x( với sinx ≠ 0) +) Phương trình dạng: asin2x+bsinxcosx+ ccos2x= d (a2+b2+c2 ≠0 ) Viết: d= d(sin2x+ cos2x) đưa dạng phương trình bậc hai sinx cosx +) Phương trình dạng: a(sinx+ cosx)+ bsinxcosx+ c= Đặt: t= sinx+ cosx= ⇒ sin x cos x = sin( x + t −1 ⇒ π π ) = cos( x − ) 4 (đk: t ≤ 2) phương trình bậc hai ẩn t +) Phương trình dạng: a(sinx- cosx)+ bsinxcosx+ c= Đặt: t= sinx- cosx= sin( x − π ) = − cos( x + π ) (đk: t ≤ ) 1− t2 ⇒ phương trình bậc hai ẩn t ⇒ sin x cos x = Phương pháp giải phương trình lượng giác thông qua sơ đồ sau Phương pháp giải phương trình lượng giác Phương pháp giải phương trình lượng giác đưa về phương trình tích Biến đổi tổng thành tích Biến đổi tích thành tổng Phương pháp giải phương trình lượng giác: Đại số hóa bằng cách đặt ẩn phụ Phương trình bậc 1, bậc đối với các hàm số lượng giác Phương trình bậc đối với sinx và cosx Phương pháp giải phương trình không mẫu mực Phương trình thuần nhất bậc đối với sinx và cosx Phương pháp giải phương trình đưa phương trình lượng giác biết cách giải Phương trình đối xứng đôí vơí sinx, cosx Phương trình lượng giác bản Thực trạng vấn đề Khi gặp toán giải lượng giác phức tạp, học sinh lúng túng cách giải quyết.Tuy nhiên nắm bắt quy luật số dạng toán khó khăn giải Giải pháp tổ chức thực Để thực đề tài này, phân thành phương pháp Mỗi phương pháp đưa số ví dụ tập áp dụng, ví dụ chủ yếu đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi năm gần số tập tương tự Sau số phương pháp giải phương trình lượng giác 1.Phương pháp1: Sử dụng biến đổi lượng giác đưa phương trình lượng giác biết cách giải.Rất nhiều phương trình lượng giác cần sử dụng công thức lượng giác công thức hạ bậc, góc nhân đôi, công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng biến đổi đưa phương trình lượng giác biết cách giải Ví dụ 1.(Đại học khối D - 2007) Giải phương trình x x (sin +cos )2 + cosx =2 (1a) Giải: Phương trình (1a) tương đương với : cos x x + sin 2 ⇔ 1+ sinx + +2sin cos x x cosx ⇔ sinx + cosx + =2 cosx π  π π  x − = + k π x = + k 2π   ⇔  ⇔   x − π = − π + k 2π  x = − π + k 2π   6 = ⇔ π cos(x- ) = (k∈ z) Vậy nghiệm phương trình : x= π +k2 π , x= - π +k2 π (k∈ z ) Ví dụ Giải phương trình : sin2xcosx + cos3x =2- cos2xsinx (3a) Giải: Phương trình (3a) tương đương với : ⇔ (sin3x +sinx ) + cos3x sin3x + ⇔ cos( cos3x= π − x )= ⇔ = 2- sin3x ⇔ π − 3x = k2 π (sin3x + ⇔ Vậy phương trình có nghiệm là: cos3x π x = 18 - x= - sinx) π 18 - =1 k 2π k 2π (k∈ z) (k∈ z) Ví dụ (Đại học khối A - 2005) Giải phương trình: cos23xcos2x - cos2x = (4a) Giải Phương trình (4a) tương đương với : (1 + cos6x) cos2x - (1 + cos2x) = ⇔ cos2x ⇔ cos6x ⇔ + cos6x cos2x - 1- cos2x = cos2x -1= ⇔ (cos4x + cos8x )- 1= cos8x+ cos4x- 2= ⇔ 2cos24x + cos4x - = +) cos4x = ⇔ 4x = k2 π  cos x = − ⇔ ⇒ cos x =  cos x = ⇔ x= kπ Vậy phương trình có nghiệm là: x= (k∈ z) kπ (k∈ z) Ví dụ4 (Đại học dự bị khối B- 2003) Giải phương trình: x π (2 − ) cos x − sin ( − ) =1 cos x − (5a) Giải Đk: cosx ≠ (*) Phương trình (5a) tương đương với: (2- )cosx π - [1- cos(x- )] = 2cosx- ⇔ (2- ⇔ (2- ⇔ cosx - 1- ⇔ sinx = )cosx )cosx π - 1+ cos(x- ) = 2cosx - - 1+ sinx = cosx cosx cosx ⇔ + sinx = cosx - tanx = ⇔ x= π + k π ( k∈ z ) Kết hợp với điều kiện (*) Vậy phương trình có nghiệm là: x= π +(2k’+ 1) π ( k’∈ z) Ví dụ (Dự bị khối A- 2002 ).Giải phương trình : cos( 2x+ π ) + cos( 2x- π )+ 4sinx = 2+ (1- sinx) (6a) Giải: Phương trình (6a) tương đương với : π cos2x.cos + sinx + ⇔ ⇔ 2 cos2x + ( sin2x - (4 + )sinx 2) sinx -2- -2- 2= =0 sinx + = (*) π   x = + k 2π  sin x = ⇔ ⇔ sin x = ⇔  (k∈ z)  π x = + k 2π sin x =  Vậy phương trình có nghiệm là: x= Ví dụ 6:(HSG-2011) π + k 2π , x= 5π + k 2π (k∈ z) Giải phương trình (1+ sinx) (1- 2sinx)+ 2(1+ 2sinx) cosx= (7a) Giải Phương trình(7a) tương đương với: 1- sinx-2sin2x+ 2cosx+ 2sin2x= ⇔ cos2x+ 2sin2x= sinx2- 2cosx ⇔ Đặt: ⇒ cos x + sin α = 5 sin x = cos α = , sin x − cos x sin α cos2x+ cos α sin2x= sin α sin2x- cos α cosx ⇔ sin(2 x + α ) = − cos(α + x) ⇔ sin(2 x + α ) = sin( x + α − ⇔ π  2 x + α = x + α − + k 2π  2 x + α = π − x − α + π + k 2π  ⇔ π Vậy phương trình có nghiệm là: x=- π ) π   x = − + k 2π   x = π − 2α + k 2π 3  π + k 2π x= − (k∈ z ) 2α k 2π + 3 (k ∈ z ) *Một số tập tương tự Giải phương trình sau : 1.(Đại học khối B- 2004) sinx- = 3( - sinx ) tan2x 2.( Đại học khối B- 2003 ) cotx - tanx + sin2x = (Đại học khối A - 2009) (1 − sin x) cos x = (1 + sin x)(1 − sin x ) 4.(Đại học khối D- 2009) cos5x sin x - sin3x cos2x -sinx= 5.(Đại học khối A - 2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2 π ) phương trình : 5( sinx + cos 3x + sin x ) + sin x = cos2x +3 π π 6.(Đại học khối D - 2005) cos4x +sin4x +cos(x- ) sin(3x- ) - = 4sin x - cos2x = + cos ( 3π x- ) 8.(Đại học khối B- 2009) sinx + cosx.sin2x + tanx= cotx+ cos x sin x cos3x= ( cos4x + sin3x) Phương pháp2: Phương pháp đặt ẩn phụ Một số phương trình lượng giác đưa ẩn phụ vào để chuyển phương trình đại số biết cách giảỉ, với cách đặt: t= sinu(x); t= cosu(x); t= sinu(x)+ cosu(x) ( Chú ý đk ẩn phụ) Hoặc đưa ẩn phụ vào để chuyển phương trình lượng giác đơn giản hơn( ẩn phụ biểu thức đại số ẩn x như: t= 2x , t= π x + ) Ví dụ Giải phương trình : 3(sinx +cosx)+ 2sin2x+ 3= (2b) Giải Phương trình ( 2b) tương đương với: (2b/ ) 3( sinx + cosx )+ sinx cosx + = Đặt sinx + cosx = t (t ≤ )⇒ sinx.cosx = t −1 Phương trình ( 2b/ ) trở thành: 3t + 2t - 2+3 = +) Với t= -1 ⇒ π ⇔ sin(x + ) = +)Với t = - ⇔ sin( x+ - ⇒ ⇔ 2t +3t+ = sinx + cosx = -1 ⇔ = t = −1 ⇔ (t / m ) t = −  2 sin( π  x = − + k 2π π  sin(- ) ⇔   x = π + k 2π sinx + cosx = - π ) = 2  x = ⇔ x =  ⇔ π x+4)=-1 sin( (k∈ z) x+ π ) = -2 −π + arcsin(− ) + k 2π 2 3π − arcsin(− ) + k 2π 2 Vậy phương trình có nghiệm là: π x=- +k2 π , x= π +k2 π , x= 1 −π 3π + arcsin()+k2 π , x= +arcsin() 2 2 (k ∈ z ) Ví dụ Giải phương trình : sin2x+ 2tanx= ( 3b) Giải: ĐK: cosx ≠ 2t Đặt tanx= t ⇒ sin2x= + t Phương trình (3b) trở thành: 2t 1− t2 ⇔ 2t3- 3t2+ 4t- 3= + 2t= +) Với t= ⇔ tanx= ⇔x= ⇔ t= π + kπ (k ∈ z ) Vậy phương trình có nghiệm là: x= π + kπ (k ∈ z ) Ví dụ 3: Giải phương trình: 3cosx+ 4sinx+ =6 cos x + sin x + (4b) Giải Đặt: 3cosx+ 4sinx+1= t ⇒ 3cosx+ 4sinx= t- 1( t ≠ o) Phương trình (4b) trở thành: t- 1+ ⇔ t2 -7t+ 6= +) Với t= ⇒ =6 ⇔ t t2- t+ 6= 6t t = ⇔ t = 4sinx+ 3cosx+ 1= ⇔ 4sinx+ 3cosx= ⇔ cos x + sin x = ⇔ sin α cos x + cos α sin x = 5 (sin α = , cos α = ) ⇔ π sin(x+ α ) = ⇔ x + α = π + k 2π + k 2π ⇔ x= - α + (k∈ z ) +)Vớit=1 ⇒ 3cosx+4sinx=0 ⇔ cos x + sin x = ⇔ sin( x + α ) = (sin α = , cos α = ) ⇒ x + α = kπ ⇒ x = −α + kπ (k∈ z ) Vậy phương trình có nghiệm là: Ví dụ4: x=- α + π + k 2π , x=- α + kπ (k∈ z ) Giải phương trình: sin3x - sin2xcosx + 11sinxcos2x - cos3x =0 (4b) Giải: +) Nếu cosx = ⇒ π x= +k π (k∈ z) ±1 Phương trình trở thành : = vô lý Vậy cosx ≠ Chia vế phương trình ( 4b) cho cos3x ≠ phương trình (4b) trở thành: tan3x- 6tan2x+11tanx-6=0 (4b/) Đặt: tanx=t (4b/) ⇔ ⇔ t3 - 6t2 +11t - = (t- 1) (t-2) ( t- 3) = +)Với t=1 ⇒ tanx =1 ⇔ t = t =  t = ⇔ ⇒ ⇒ ( t- 1)( t2 - 5t +6) =0 x= π +k π (k ∈ z) x= α + l π (l ∈ z , tan α =2) +)Với t =2 ⇒ tanx = +)Với t= ⇒ tanx= ⇒ x= β +m π (m ∈ z ,tan β = 3) π +k π , Vậy nghiệm phương trình là: x= ( k, l, m ∈ π x= α +l π , x= β +m π z ; tan α =2 ;tan β =3) Ví dụ5 Giải phương trình: sin(2x+ ) = cos( x − π ) −1 Giải Đặt: x- π π π = t ⇒ x + = 2t + 6 10 π sin( 2t + ) = cos t − ⇔ cos t − cot =  π cos t = t = + kπ ⇔ 1⇒ cos t = t = ± π + kπ   π +) t= + kπ ⇒ x − π π 2π = + kπ ⇒ x = + kπ +) t= π π π π + k 2π ⇒ x − = + k 2π ⇔ x = + k 2π +) t=- π π π −π + k 2π ⇒ x − = − + k 2π ⇔ x = + k 2π 6 (k ∈ z ) Vậy nghiệm phương trình là: x= 2π π −π + kπ , x = + k 2π , x = + k 2π (k ∈ z ) Ví dụ6 (HSGT-2009) Giải phương trình: sin(3x − π π ) = sin x.sin( x + ) 4 Giải π Phương trình cho trở thành: π sin(3t − π ) = sin( 2t − ) sin t ⇔ − sin 3t = − cos 2t sin t sin t = ⇔ sin t − sin t = ⇔  ⇔ sin t cos t = sin t = Đặt: t = x + ⇔ sin 2t = ⇔ t = k π π π ⇒ x=− +k Vậy nghiệm phương trình là: x=− π π + k (k ∈ z ) 11 (*) Một số tập tương tự: Bài 1: Giải phương trình sau: (HVQHQT- 2000) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2 ( Đại học dự bị khối B- 2004) 4(sin3x + cos3x) = cosx + 3sinx (ĐHGTVT - 2001) sin4x + sin4( x+ π ) + sin4(x - π )= (ĐHQGNH - 2000) 2sinx + cotx = 2sin2x + 2sin3x + cos3x = 3sinx π cos3( x+ ) = cos3x 4cos3x +3 sin 2 sin2x x 3π x + cos( 2 ) = cosx + sin x x cos x x 22 =sin cos +sin x π (2+ 2 x )cos Bài 2: Cho phương trình: cos6x + sin6x = msin2x a) Giải phương trình m=1 b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 3: Cho phương trình : (2sinx-1)( 2cos2x +2 sinx + m) =3 - 4cos2x a) Giải phương trình m=1 ≤ x ≤π b) Tìm tất giá trị m để phương trình có nghiệm thoả mãn: Bài 4: Cho phương trình m(sinx+ cosx) +1+ (tanx a) Giải phương trình m= +cotx+ sin x + ) cos x =0 b) Xác định m nguyên để phương trình có nghiệm khoảng (0; π ) 12 3.Phương pháp3: Giải phương trình lượng giác đưa phương trình tích Rất nhiều phương trình lượng giác cần biến đổi lượng giác để nhóm thừa số chung đưa phương trình tích, hướng đề chủ yếu đề thi đại học năm gần Phương pháp không phức tạp tính toán, thủ thuật biến đổi đòi hỏi phải vận dụng linh hoạt công thức lượng giác để tạo biến thức chung Một số kỹ nhóm thừa số chung đơn giản hiệu quả: +) cos2x = -sin2x =( 1- sinx)(1+ sinx) +) sin2 x = 1- cos2x =( 1- cosx)(1+ cosx) +) cos2x = cos2x - sin2x =(cosx-sinx)(cosx+sinx) +) 1+ sin2x =1+2sinxcosx=( sinx+cosx)2 +) 1- sin2x = 1- sinxcosx =(sinx-cosx) Ví dụ 1: (Đại học khối D- 2008) Giải phương trình : 2sinx( + cos2x)+sin2x = 1+2cosx (3a) Giải Phương trình (3a) tương đương với: 2sinx( 1+ 2cos2x - 1) + 2sinxcosx =1 +2cosx ⇔ 4sinxcos2x + 2sinxcosx =1+ cosx ⇔ sinxcosx ( 1+ 2cosx) = + 2cosx ⇔ (1 + cosx) (2 sinxcosx - 1) = 2π   x = + k 2π   cos x = − 2 cos x + = 2π  ⇔  ⇔ + k 2π ⇔  x = −  2 sin x cos x − =  sin x =  x = π + kπ  (k∈ z) Vậy nghiệm phương trình là: x= 2π +k2 π , x=- 2π +k2 π , π x= +k π ( k∈ z) Ví dụ 2: (ĐHkB-2002 ) Giải phương trình: sin23x - cos24x = sin25x - cos26x (3b) 13 Giải Phương trình (3b) tương đương với: sin23x + cos2 6x = sin25x + cos24x ⇔ − cos x + + cos12 x = − cos10 x + ⇔ cos12x - cos6x = cos8x - cos10x ⇔ - 2sin9x.sin3x = 2sin9x.sinx ⇔ + cos x 2sin9x ( sinx+ sin3x ) =0 sin x = ⇔  ⇔ sin x = − sin x π  x = k  9 x = kπ   x = −3x + k 2π ⇔  x = k π (k∈ z)    x = π + x + k 2π  π  x = kπ +  Vậy nghiệm phương trình là: x= kπ , x= kπ ∈ (k z) Ví dụ 3: (Đại học khối A- 2003 ) Giải phương trình cotx -1 = cos x + tan x +sin2x - sin2x (3c) Giải Điều kiện xác định: tan x ≠  cos x ≠ sin x ≠  (*) Với điều kiện (*) phương trình (3c) tương đương với: cos x sin x ⇔ ⇔ 1= cos x − sin x sin x cos x − sin x sin x cos x − sin x + tan x = + sin2x - 2sinxcosx cos x[ (cos x − sin x)(cos x + sin x)] cos x + sin x - sinx(cosx- sinx) = cosx ( cosx - sinx) -sinx (cosx -sinx) 14 ⇔ (cosx - sinx) ( -sinxcosx + sin2x) = ⇔ cos x − sin x =  1 − sin x cos x + sin x = +) cosx -sinx = ⇔ tanx = ⇔ x= +) - sinxcosx +sin2x = ⇔2 ⇔1 - sin2x + (1 - cos2x) = ⇔ π + kπ sin2x (k∈ z) + sin2x = sin2x + cos2x = (vô nghiệm) Vậy nghiệm phương trình là: x= π + kπ (k ∈ z) Ví dụ 4: (ĐHQG HN-99) Giải phương trình cos6x + sin6x = 2( cos8x + sin8x) (3d) Giải Phương trình (3d) tương đương với: 2cos8x + 2sin8x - cos6x -sin6x = ⇔ cos6x ( cos2x - 1) - sin6x ( 1- 2sin2x) = ⇔ cos6x cos2x - sin6x cos2x = ⇔ cos2x ( cos6x - sin6x ) = ⇔ cos2x ( cos2x - sin2x )( 1- sin2x.cos2x) =0 ⇔ ⇔ cos22x ( - sin2x.cos2x) = cos2x = ⇔ 2x = π +k π ⇔ Vậy phương trình có nghiệm là: Ví dụ5 (Đại học khối A- 2011) ⇔ cos22x (1 - x= π sin22x) =0 π + k ( k∈ z) π π x = + k (k∈ z) Giải phương trình: + sin x + cos x = sin x sin x + cot x (3e) Giải ĐK: x ≠ k π ( k ∈ z) 15 Phương trình (3e) tương đương với: sin2x( 1+ sin2x+ cos2x ) = ⇔ sinx sinxsin2x ( 2cosx + 2sinxcosx ) = 2 sinxcosx π π   x = + k π x = + kπ cos x =    ⇔ ⇔  ⇔  (m, k ∈ z ) π π cos x + sin x =    sin( x + ) =1 x = + 2mπ     π + kπ , x= Vậy phương trình có nghiệm là: x = π + mπ (m, k ∈ z ) Ví dụ (Đại học khối B- 2011) Giải phương trình: sin2xcosx +sinxcosx = cos2x+ sinx+ cosx Giải: sin2xcosx +sinxcosx = cos2x+ sinx+ cosx ⇔ 2sinxcos2x- sinx+ sinxcosx= cos2x+ cosx ⇔ sinx(2cos2x-1)+ cosx(sinx-1)- cos2x=0 ⇔ cos2x(sinx-1)+ cosx(sinx-1)= ⇔ (cos2x+ cosx)(sinx-1) = π 2π  x = + k  cos x = − cos x 3 ⇔ ⇔ sin x =  x = π + k 2π  Vậy nghiệm phương trình là: Ví dụ7 (HSGT-2010) x= π π 2π + k 2π , x = + k (k ∈ z ) 3 Giải phương trình: cos2x+ cos3x- sinx- cos4x= sin6x (3f) Giải (3f) ⇔ (cos2x-cos4x)- sinx+ (cos3x-2sin3x.cos3x) ⇔ (2sinxsin3x- sinx)- (2sin3xcos3x- cos3x)= ⇔ (2sin3x- 1)(sinx- co3x) = 16  sin x =    cos 3x = cos( π − x)  ⇔ ⇔  x  x   x   x  π 2π = +k 18 5π 2π = +k 18 π = +k π =− (k ∈ z ) π +kπ Vậy phương trình có nghiệm là: x= π 2π +k 18 , x= 5π 2π +k 18 , x= π π +k , x=- π + kπ (k ∈ z) (*) Một số tập tương tự: Giải phương trình sau: (1 + sin x + cos x ) sin( x + Đại học khối A-2010) + tan x ( Đại học khối D- 2011) π sin x + cos x − sin x − tan x + = cosx =0 3.(Đại học khối D-2004) (2cosx - 1) (2 sinx+ cosx) =sin2x - sinx 4.(Đại học khối B - 2005) 1+ sinx + cosx + sin2x + cos2x = (Đại học khối D - 2010) sin2x - cos2x + sinx - cosx - = (Đại học khối A- 2007) (1 + sin2x) cosx + ( 1+ cos2x) sinx=1+sin2x (Đại học khối B-2010) (sin2x + cos2x) cosx + cos2x -sinx = Phương pháp : Phương pháp đánh giá Xét phương trình: f(x)= g(x) (c)  f ( x) = A Trong f(x) ≥ A; g(x) ≤ A , suy (c) ⇔  g ( x) = A  +)Chú ý số bất đẳng thức bản: -1 ≤ sinx -1 Ví dụ ≤ ≤ cosx ≤ ⇒ sinnx ≤ sin2x ⇒ cosnx ≤ cos2x (n ≥ 2) Giải phương trình sau: 17 cos2x + cos 3x 2=0 (4a) Giải Phương trình (4a) tương đương với: cos2x + cos Do: cos2x ≤ 1; cos ⇒ cos2x + 3x cos =2 3x =2 3x ≤ ⇒ cos2x + cos 3x ≤  x = kπ cos x =   ⇔  ⇔  k 8π 3x cos =  x = x=k8 π (k∈ z) ⇔ Vậy nghiệm phương trình là: x=k8 π (k∈ z) Ví dụ Giải phương trình sau: sinx.cos4x = Giải sinx.cos4x = ⇔ sin x − sin x = Do: -1 ≤ sin5x ≤ 1, -1 ≤ - sin3x ≤ nên sin5x-sin3x ≤ Phuwowng trình cho tương đương với: π k 2π  x = +  sin x = π 10 ⇔ ⇒ x = + t 2π  sin x = −1  x = − π + k 2π  Vậy phương trình có nghiệm là: x = Ví dụ π + t 2π (k∈ z) Giải phương trình : cos2012x + sin2012 x = Giải Ta có: sin2x ( 1- sin2010x) ≥ cos2x (1 - cos2010x ) ≥ ( -1 ≤ sinx ≤ 1) ( -1 ≤ cosx ≤ 1) 18 Nên sin2x ≥ sin2012x cos2x Do : sin2012x + cos2012x ≤ ≥ cos2012x sin2x + cos2x =1 Dấu “=” xảy : sin x =  2010 x =1 sin x(1 − sin 2010 x) = sin  ⇔ ⇔   2  cos x(1 − cos 2010 x) =   cos x =  2010 x =1 cos  sin x = π cos x = ⇔ x = k (k∈ z)  π Vậy nghiệm phương trình : x = k (k∈ z) Qua ví dụ 3, ta có toán tổng quát: sinnx + cosnx = ( n ≥ 2, n∈ z) Giải phương trình : Ví dụ Giải phương trình : cos5x + sin5x + cos2x + sin2x = + (4a) Giải Ta có: cos2x + sin2x = sin( 2x + cos2x( 1- cos3x ) ≥ (vì -1 sin2x ( -cos3x ) ≥ ( - Nên : cos5x + sin5x ≤ ≤ π )≤ cosx ≤ ≤ sinx 1) ≤ 1) cos2x + sin2 x = Phương trình (4a) dẫn tới hệ: cos x = cos x(1 − cos x) =  cos x + sin x =   sin x = ⇔ sin x (1 − sin x) = ⇔    cos x + sin x = cox =  cos x + sin x = cos x + sin x =  5 Hệ phương trình vô nghiệm, Phương trình cho vô nghiệm Ví dụ Giải phương trình: cos3x + Giải: − cos x =2 (1+sin22x) (4b) 19 Ta có: 2(1+ sin22x) 1.cos3x+ ≥ ( ≤ sin22x ≤ 1) ∀x − cos x ≤ (12 + 12 )(cos x + − cos x) =2 ∀ x (áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpki ) Phương trình (4b) dẫn tới hệ sau:  sin x = ⇔  cos 3x = − cos x  2(1 + sin 2 x) =   cos 3x + − cos 3x = ⇔  sin x =   cos 3x = π  x =k   ⇔ x = l π   Vậy nghiệm phương trình là: Ví dụ 6: ⇔ x=2n π (n ∈ z) (k,l ∈ z) x= 2n π ( n∈ z) (ĐH Y Thái Bình) Giải phương trình: sin2x + sin 3x sin x (cos3x.sin3x + sin3x.cos3x) = sinx.sin23x Giải: x≠ k π , k∈ z Ta có: cos3x.sin3x + sin3x.cos3x = sin4x Đk: sin4x ≠ ⇒ Khi phương trình cho trở thành: sin2x + ⇔ sin 3x ( sinx - Do (sinx - = sinx.sin23x sin23x)2 + sin23x)2 ≥ ⇔ (sinx- sin23x.cos23x 2 sin 3x) =0 Và sin23x.cos23x + ( sin23x - sin43x) = (4c) ≥ 20 Nên phương trình (4c) dẫn tới hệ sau:  sin x − sin x =  2  sin x cos x = kπ   sin x = sin x = x =     ⇔ ⇔ ⇒x =mπ sin x =0 sin x =0  x =tπ   π kπ   x = +   cos x =0     π ⇔ x = +t 2π ( k , t , m ∈z )   sin x =    5π   x= +t 2π      kết hợp điều kiện suy phương trình có nghiệm là: π x= +k2 π , x = 5π +k2 π (k∈ z) π Vậy nghiệm phương trình là: x= +k2 π , x = (*) Bài tập tương tự: 5π +k2 π (k ∈ z) Giải phương trình sau: 1) sin3x - cos10x =2 2) cos8x + sin10x = 3) sinnx +cosnx = (n ≥ 2, n∈ z) 4) sinnx + cosmx =1 (m,n ≥ 2, m,n ∈ z) 5) (cos2x - sin4x)2 = + 2sin3x 6) sin3x + cos3x = 2- sin4x 7) sinx + − sin x + sinx − sin x (ĐHAN -97) =3 Kiểm nghiệm 21 ⇔ Để kiểm tra hiệu đề tài tiến hành kiểm tra hai đối tượng có chất lượng tương đương lớp 11M 11N Trong lớp 11N chưa rèn luyện kỹ phương pháp này, sau cho kiểm tra 45 phút với câu hỏi ĐỀ KIỂM TRA(45 phút) Giải phương trình lượng giác sau: (2đ) 5sinx - = 3(1- sinx) tan2x (2đ) sin x + cos x − sin x − tan x + =0 x x + cos = sin 2 (2đ) cos3x+ sin3x = (2đ) (2đ) 2cos(2x- 3π π ) = 3sin(x+ ) + Kết thu sau: Điểm < Lớp Sĩ số Điểm ∈[5; 8) Điểm ≥ Số lượng % Số lượng % Số lượng % 11M 39 23,1% 20 51,3% 10 25,6% 11N 47 28 59,6% 17 36,2% 4,2% 22 PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Trong trình dạy học, thể loại kiến thức, giáo viên biết tìm sở lý thuyết, biết phát huy sáng tạo hướng dẫn học sinh vận dụng cách hợp lý vào việc giải tập tương ứng tạo điều kiện để học sinh củng cố hiểu sâu lý thuyết với việc thực hành giải toán cách hiệu hơn, tạo hứng thú, phát huy tính chủ động sáng tạo việc học học sinh Qua đề tài thu số học : -Phải cho học sinh tiếp xúc với nhiều toán với cách giải khác - Rèn luyện cho học sinh phân tích toán để tìm lời giải tối ưu - Rèn luyện cho học sinh cách trình bày cách chặt chẽ , cô đọng Trên số kinh nghiệm mà rút áp dụng trình dạy học nhằm ngày giúp ích nhiều học tập môn toán học sinh Tuy nhiên nhiều vấn đề cần hoàn thiện, mong tiếp thu ý kiến đóng góp đồng nghiệp để bổ sung vào đề tài nhằm hoàn thiện đề tài tốt Tôi xin chân thành cảm ơn 23 [...]... (2+ 2 2 x )cos 2 Bài 2: Cho phương trình: cos6x + sin6x = msin2x a) Giải phương trình khi m=1 b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 3: Cho phương trình : (2sinx-1)( 2cos2x +2 sinx + m) =3 - 4cos2x a) Giải phương trình khi m=1 ≤ x ≤π b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng 2 nghiệm thoả mãn: Bài 4: Cho phương trình m(sinx+ cosx) +1+ 1 (tanx 2 a) Giải phương trình khi m= +cotx+ 1 sin... để học sinh củng cố và hiểu sâu về lý thuyết cùng với việc thực hành giải toán một cách hiệu quả hơn, tạo được sự hứng thú, phát huy được tính chủ động và sự sáng tạo trong việc học của học sinh Qua đề tài này tôi thu được một số bài học : -Phải cho học sinh tiếp xúc với nhiều bài toán với những cách giải khác nhau - Rèn luyện cho học sinh phân tích bài toán để tìm lời giải tối ưu nhất - Rèn luyện cho. .. sin x + 1 ) cos x =0 1 2 b) Xác định m nguyên để phương trình có nghiệm trong khoảng (0; π ) 2 12 0 3 .Phương pháp3: Giải phương trình lượng giác đưa về phương trình tích Rất nhiều phương trình lượng giác chỉ cần biến đổi lượng giác cơ bản để nhóm thừa số chung đưa về phương trình tích, đây là hướng ra đề chủ yếu trong các đề thi đại học mấy năm gần đây Phương pháp này không phức tạp về tính toán, về... như sau: Điểm < 5 Lớp Sĩ số Điểm ∈[5; 8) Điểm ≥ 8 Số lượng % Số lượng % Số lượng % 11M 39 9 23,1% 20 51,3% 10 25,6% 11N 47 28 59,6% 17 36,2% 2 4,2% 22 PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Trong quá trình dạy học, đối với mỗi thể loại kiến thức, nếu giáo viên biết tìm ra những cơ sở lý thuyết, biết phát huy và sáng tạo cái mới và hướng dẫn học sinh vận dụng một cách hợp lý vào việc giải các bài tập tương ứng... tích bài toán để tìm lời giải tối ưu nhất - Rèn luyện cho học sinh cách trình bày một cách chặt chẽ , cô đọng Trên đây là một số kinh nghiệm mà tôi đã rút ra và áp dụng trong quá trình dạy học nhằm ngày càng giúp ích được nhiều hơn trong học tập môn toán của học sinh Tuy nhiên còn nhiều vấn đề cần hoàn thiện, rất mong được tiếp thu những ý kiến đóng góp của các đồng nghiệp để bổ sung vào đề tài nhằm... cos 2 x + sin 2 x = 2 cos 2 x + sin 2 x = 2  5 5 Hệ phương trình vô nghiệm, Phương trình đã cho vô nghiệm Ví dụ 5 Giải phương trình: cos3x + Giải: 2 − cos 2 3 x =2 (1+sin22x) (4b) 19 Ta có: 2(1+ sin22x) 1.cos3x+ 1 ≥ 2 ( vì 0 ≤ sin22x ≤ 1) ∀x 2 − cos 2 3 x ≤ (12 + 12 )(cos 2 3 x + 2 − cos 2 3 x) =2 ∀ x (áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpki ) Phương trình (4b) dẫn tới hệ sau:  sin 2 x = 0 ⇔  cos 3x... cosnx ≤ cos2x (n ≥ 2) Giải phương trình sau: 17 cos2x + cos 3x 4 2=0 (4a) Giải Phương trình (4a) tương đương với: cos2x + cos Do: cos2x ≤ 1; cos ⇒ cos2x + 3x cos 4 =2 3x 4 =2 3x ≤ 4 1 ⇒ cos2x + cos 3x ≤ 4  x = kπ cos 2 x = 1   ⇔  ⇔  k 8π 3x cos 4 = 1  x = 3 2 x=k8 π (k∈ z) ⇔ Vậy nghiệm của phương trình là: x=k8 π (k∈ z) Ví dụ 2 Giải phương trình sau: sinx.cos4x = 1 Giải sinx.cos4x = 1 ⇔ sin... π 2 +kπ Vậy phương trình có nghiệm là: x= π 2π +k 18 3 , x= 5π 2π +k 18 3 , x= π π +k , 8 2 x=- π + kπ 4 (k ∈ z) (*) Một số bài tập tương tự: Giải các phương trình sau: (1 + sin x + cos x ) sin( x + 1 Đại học khối A-2010) 1 + tan x 2 ( Đại học khối D- 2011) π 4 sin 2 x + 2 cos x − sin x − 1 tan x + 3 = 1 2 cosx =0 3.(Đại học khối D-2004) (2cosx - 1) (2 sinx+ cosx) =sin2x - sinx 4.(Đại học khối B -... π Vậy nghiệm của phương trình là : x = k 2 (k∈ z) Qua ví dụ 3, ta có bài toán tổng quát: sinnx + cosnx = 1 ( n ≥ 2, n∈ z) Giải phương trình : Ví dụ 4 Giải phương trình : cos5x + sin5x + cos2x + sin2x = 1 + 2 (4a) Giải Ta có: cos2x + sin2x = 2 sin( 2x + cos2x( 1- cos3x ) ≥ 0 (vì -1 sin2x ( 1 -cos3x ) ≥ 0 ( vì - 1 Nên : cos5x + sin5x ≤ ≤ π )≤ 4 cosx ≤ ≤ sinx 2 1) ≤ 1) cos2x + sin2 x = 1 Phương trình. .. các nghiệm của phương trình là: x= 2π π −π + kπ , x = + k 2π , x = + k 2π (k ∈ z ) 3 2 6 Ví dụ6 (HSGT-2009) Giải phương trình: sin(3x − π π ) = sin 2 x.sin( x + ) 4 4 Giải π Phương trình đã cho trở thành: 4 π sin(3t − π ) = sin( 2t − ) sin t ⇔ − sin 3t = − cos 2t sin t 2 sin t = 0 ⇔ sin 3 t − sin t = 0 ⇔  2 ⇔ sin t cos t = 0 sin t = 1 Đặt: t = x + ⇔ sin 2t = 0 ⇔ t = k π π π ⇒ x=− +k 2 4 2 Vậy các nghiệm