Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số dạng phương trình lượng giác

20 380 0
Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số dạng phương trình lượng giác

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ Phương trình lượng giác dạng toán thường xuất đề thi đại học thi học sinh giỏi Đa số học sinh giải dạng phương trình lượng giác bản, nhiên học sinh chưa thực giải tốt gặp phương trình lượng giác đề thi Việc cung cấp cho học sinh số phương pháp giải phương trình lượng giác việc làm cần thiết Chính chọn đề tài “ Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số dạng phương trình lượng giác” T VẤN ĐỀ PHẦN II: GIẢI 1.Cơ sở lý luận vấn đề a) Phương trình lượng giác bản:  x    k 2 +) sinx= m   (k  z )  x      k 2 Với m  sin  =m (có thể lấy   arcsinm) +) cosx= m  x    k 2 (k  z ) Với m  cos  =m (có thể lấy   arccosm) +) tanx= m  x=   k , với tan  =m ( lấy  =arctanm) (k  z ) +) cotx= m  x=   k , với cot  = m ( lấy   arccotm) (k  z ) b) Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản +) Phương trình bậc bậc hai f(x) ( f(x) biểu thức lượng giác đó) Đặt ẩn phụ: t= f(x) +)Phương trình bậc sinx cosx: asinx+ bcosx= c (a2+b2  0) Biến đổi vế trái dạng: Csin(x+  ) Ccos(x+  ) +) Phương trình bậc hai sinx cosx asin2x+ bsinxcosx+ ccos2x= ( a2+ b2+ c2  0) Chia hai vế cho cos2x( với cosx  0), chia hai vế cho sin2x( với sinx  0) +) Phương trình dạng: asin2x+bsinxcosx+ ccos2x= d (a2+b2+c2  ) Viết: d= d(sin2x+ cos2x) đưa dạng phương trình bậc hai sinx cosx +) Phương trình dạng: a(sinx+ cosx)+ bsinxcosx+ c= Đặt: t= sinx+ cosx= sin( x   )  cos( x   ) (đk: t  )  sin x cos x  t2 1  phương trình bậc hai ẩn t +) Phương trình dạng: a(sinx- cosx)+ bsinxcosx+ c= Đặt: t= sinx- cosx= sin( x   )   cos( x   ) (đk: t  ) 1 t2  sin x cos x   phương trình bậc hai ẩn t Phương pháp giải phương trình lượng giác thông qua sơ đồ sau Phương pháp giải phương trình lượng giác Phương pháp giải phương trình lượng giác đưa phương trình tích iến đổi tổng thành tích iến đổi tích thành tổng Phương pháp giải phương trình lượng giác Đại số hóa b ng cách đặt ẩn phụ Phương trình bậc , bậc hàm số lượng giác Phương trình bậc sin cos Phương pháp giải phương trình không m u mực Phương trình bậc sin cos Phương pháp giải phương trình đưa phương trình lượng giác biết cách giải Phương trình đối ứng đôí vơí sin , cosx Phương trình lượng giác Thực trạng vấn đề Khi gặp toán giải lượng giác phức tạp, học sinh lúng túng cách giải quyết.Tuy nhiên nắm bắt quy luật số dạng toán khó khăn giải Giải pháp tổ chức thực Để thực đề tài này, phân thành phương pháp Mỗi phương pháp đưa số ví dụ tập áp dụng, ví dụ chủ yếu đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi năm gần số tập tương tự Sau số phương pháp giải phương trình lượng giác 1.Phương pháp1: Sử dụng biến đổi lượng giác đưa phương trình lượng giác biết cách giải.Rất nhiều phương trình lượng giác cần sử dụng công thức lượng giác công thức hạ bậc, góc nhân đôi, công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng biến đổi đưa phương trình lượng giác biết cách giải Ví dụ 1.(Đại học khối D - 2007) Giải phương trình x x (sin +cos )2 + cosx =2 (1a) Giải: Phương trình (1a) tương đương với : cos x x x x  sin +2sin cos + cosx =2 2 2  1+ sinx + cosx  1  sinx + cosx =  cos(x- ) = 2 2      x   k 2  x    k 2  (k  z)      x       k 2  x     k 2   6   +k2  , x= - +k2  Vậy nghiệm phương trình : x= (k z ) Ví dụ Giải phương trình : sin2xcosx + cos3x =2- cos2xsinx (3a) Giải: Phương trình (3a) tương đương với : 1 (sin3x +sinx ) + cos3x = 2- (sin3x - sinx) 2  sin3x + cos3x=   cos(   x )=   sin3x + cos3x = 2  x = k2   x = Vậy phương trình có nghiệm là: x=  18  18 - - k 2 k 2 (k  z) (k  z) Ví dụ (Đại học khối A - 2005) Giải phương trình: cos23xcos2x - cos2x = (4a) Giải Phương trình (4a) tương đương với : (1 + cos6x) cos2x - (1 + cos2x) =  cos2x + cos6x cos2x - 1- cos2x =  cos6x cos2x -1=  (cos4x + cos8x )- 1=  cos8x+ cos4x- 2=  cos x     2cos 4x + cos4x - =   cos x   cos x  +) cos4x =  4x = k2   x = k (k  z) Vậy phương trình có nghiệm là: x= k (k  z) Ví dụ4 (Đại học dự bị khối B- 2003) Giải phương trình: x  (2  ) cos x  sin (  ) 1 cos x  (5a) Giải Đk: cosx  (*) Phương trình (5a) tương đương với:  (2- )cosx - [1- cos(x- )] = 2cosx-  (2- )cosx - 1+ cos(x (2-  ) = 2cosx - )cosx - 1+ sinx = cosx  cosx - 1- cosx + sinx = cosx -  sinx = cosx  tanx =  x=  + k  ( k  z ) Kết hợp với điều kiện (*) Vậy phương trình có nghiệm là: x=  +(2k’+ 1)  ( k’ z) Ví dụ (Dự bị khối A- 2002 ).Giải phương trình cos( 2x+   ) + cos( 2x- )+ 4sinx = 2+ 4 (1- sinx) (6a) Giải: Phương trình (6a) tương đương với cos2x.cos   + sinx + sinx - cos2x + ( - )sinx - - =0 2=0  2 sin x - (4 + ) sinx + = (*)    x   k 2  sin x   sin x    (k  z)    x   k 2 sin x   Vậy phương trình có nghiệm =   k 2 , x= 5  k 2 (k  z) Ví dụ 6:(HSG-2011) Giải phương trình (1+ sinx) (1- 2sinx)+ 2(1+ 2sinx) cosx= Giải Phương trình(7a) tương đương với: (7a) 1- sinx-2sin2x+ 2cosx+ 2sin2x=   cos2x+ 2sin2x= sinx2- 2cosx Đặt: sin    cos x  sin x  5 , sin x  cos   cos x 5 sin  cos2x+ cos  sin2x= sin  sin2x- cos  cosx  sin( x   )   cos(  x)  sin( x   )  sin( x      2 x    x     k 2   2 x      x      k 2  Vậy phương trình có nghiệm là: x=-  )   x    k 2     x    2  k 2  3   k 2 x=   (k z ) 2 k 2  3 (k z ) *Một số tập tương tự Giải phương trình sau : 1.(Đại học khối B- 2004) sinx- = 3( - sinx ) tan2x 2.( Đại học khối B- 2003 ) cotx - tanx + sin2x = sin x (Đại học khối A - 2009) (1  sin x) cos x = (1  sin x)(1  sin x) 4.(Đại học khối D- 2009) cos5x - sin3x cos2x -sinx= 5.(Đại học khối A - 2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2  ) phương trình : 5( sinx + cos x  sin x ) = cos2x +3  sin x 6.(Đại học khối D - 2005)  x 4sin2 -  cos4x +sin4x +cos(x- ) sin(3x- ) cos2x = + cos ( x- =0 3 ) 8.(Đại học khối B- 2009) sinx + cosx.sin2x + cos3x= ( cos4x + sin3x) tanx= cotx+ cos x sin x Phương pháp2: Phương pháp đặt ẩn phụ Một số phương trình lượng giác đưa ẩn phụ vào để chuyển phương trình đại số biết cách giảỉ, với cách đặt: t= sinu(x); t= cosu(x); t= sinu(x)+ cosu(x) ( Chú ý đk ẩn phụ) Hoặc đưa ẩn phụ vào để chuyển phương trình lượng giác đơn giản hơn( ẩn phụ biểu thức đại số ẩn x như: t= 2x  x , t=  ) Ví dụ Giải phương trình : 3(sinx +cosx)+ 2sin2x+ 3= (2b) Giải Phương trình ( 2b) tương đương với: 3( sinx + cosx )+ sinx cosx + = Đặt sinx + cosx = t ( t  (2b/ ) t 1 )  sinx.cosx = Phương trình ( 2b/ ) trở thành: t  1 3t + 2t - 2+3 =  2t +3t+ =   (t / m) t    2  +) Với t= -1  sinx + cosx = -1  sin( x + ) = -   x    k 2   = sin(- )    sin(x + ) =  4  x    k 2 +)Với t = -  sin( x + 1  sinx + cosx = -  2  )=4 2 (k z) sin( x +  ) =4   x   arcsin(  )  k 2  2   x  3  arcsin(  )  k 2  2 Vậy phương trình có nghiệm là:  x=- +k2  , x=  +k2  , x=   arcsin(- )+k2  , x= 3 +arcsin(- ) 2 2 (k  z ) Ví dụ Giải phương trình : sin2x+ 2tanx= ( 3b) Giải: ĐK: cosx  Đặt tanx= t  sin2x= 2t Phương trình (3b) trở thành: 1 t2 2t + 2t=  2t3- 3t2+ 4t- 3=  t= 1 t +) Với t=  tanx=  x    k Vậy phương trình có nghiệm là: x= (k  z )   k (k  z ) Ví dụ 3: Giải phương trình: 3cosx+ 4sinx+ 6 cos x  sin x  (4b) Giải Đặt: 3cosx+ 4sinx+1= t  3cosx+ 4sinx= t- 1( t  o) Phương trình (4b) trở thành: t- 1+   t - t+ 6= 6t t t   t -7t+ 6=   t  +) Với t=  4sinx+ 3cosx+ 1=  4sinx+ 3cosx=  4 cos x  sin x   sin  cos x  cos  sin x  (sin   , cos   ) 5 5  sin(x+  ) =  x      k 2  x= -     k 2 (k  z ) +)Vớit=1  3cosx+4sinx=0  cos x  sin x   sin( x   )  (sin   , cos   )  x    k  x    k (k  z ) 5 Vậy phương trình có nghiệm là: Ví dụ4: x=-     k 2 , x=-   k (k  z ) Giải phương trình: sin3x - sin2xcosx + 11sinxcos2x - cos3x =0 Giải:  +) Nếu cosx =  x= +k  (4b) (k  z) Phương trình trở thành :  = vô lý Vậy cosx  Chia vế phương trình ( 4b) cho cos3x  phương trình (4b) trở thành: tan3x- 6tan2x+11tanx-6=0 (4b/) Đặt: tanx=t (4b/)  t3 - 6t2 +11t - =  ( t- 1)( t2 - 5t +6) =0  (t- 1) (t-2) ( t- 3) =  t  t   t  +)Với t=1  tanx =1  x=  +k  (k  z) +)Với t =2  tanx =  x=  + l  (l z , tan  =2) +)Với t=  tanx=  x=  +m  (m z ,tan  = 3) Vậy nghiệm phương trình là: x=  +k  , x=  +l  , x=  +m  ( k, l, m  z ; tan  =2 ;tan  =3)   6 Ví dụ5 Giải phương trình: sin(2x+ )  cos( x  )  Giải Đặt: x-   t  2x    2t    sin( 2t  )  cos t   cos t  cot    cos t  t   k  1 cos t  t     k   +) t=  +) t= +) t=-  k  x      k 2  x      k  x     k 2  x  2  k  k 2  x       k 2 (k z )  k 2  x    k 2 Vậy nghiệm phương trình là: x 2    k , x   k 2 , x   k 2 (k  z ) Ví dụ6 (HSGT-2009) Giải phương trình: sin(3x    )  sin x.sin( x  ) 4 Giải Đặt: t  x   Phương trình cho trở thành:  sin( 3t   )  sin( 2t  ) sin t   sin 3t   cos 2t sin t sin t   sin t  sin t     sin t cos t  sin t   sin 2t   t  k  x Vậy nghiệm phương trình là:  k  x    k (k  z ) (*) Một số tập tương tự: Bài 1: Giải phương trình sau: (HVQHQT- 2000) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2 ( Đại học dự bị khối B- 2004) 4(sin3x + cos3x) = cosx + 3sinx (ĐHGTVT - 2001) sin4x + sin4( x+   ) + sin4(x - ) = 4 (ĐHQGNH - 2000) 2sinx + cotx = 2sin2x + 2sin3x + cos3x = 3sinx  cos3( x+ ) = cos3x 4cos3x +3 sin2x = cosx x x 3 x x x x  x 2 x sin cos(  ) + sin cos =sin cos +sin2(  )cos 2 2 2 2 2 Bài 2: Cho phương trình: cos6x + sin6x = msin2x a) Giải phương trình m=1 b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 3: Cho phương trình : (2sinx-1)( 2cos2x +2 sinx + m) =3 - 4cos2x a) Giải phương trình m=1 b) Tìm tất giá trị m để phương trình có nghiệm thoả mãn:  x   Bài 4: Cho phương trình m(sinx+ cosx) +1+ 1 (tanx +cotx+ + ) =0 sin x cos x a) Giải phương trình m= b) Xác định m nguyên để phương trình có nghiệm khoảng (0;  ) 3.Phương pháp3: Giải phương trình lượng giác đưa phương trình tích Rất nhiều phương trình lượng giác cần biến đổi lượng giác để nhóm thừa số chung đưa phương trình tích, hướng đề chủ yếu đề thi đại học năm gần Phương pháp không phức tạp tính toán, thủ thuật biến đổi đòi hỏi phải vận dụng linh hoạt công thức lượng giác để tạo biến thức chung Một số kỹ nhóm thừa số chung đơn giản hiệu quả: 10 cos2x = -sin2x =( 1- sinx)(1+ sinx) +) +) sin2 x = 1- cos2x =( 1- cosx)(1+ cosx) +) cos2x = cos2x - sin2x =(cosx-sinx)(cosx+sinx) +) 1+ sin2x =1+2sinxcosx=( sinx+cosx)2 +) 1- sin2x = 1- sinxcosx =(sinx-cosx)2 Ví dụ 1: (Đại học khối D- 2008) Giải phương trình : 2sinx( + cos2x)+sin2x = 1+2cosx (3a) Giải Phương trình (3a) tương đương với: 2sinx( 1+ 2cos2x - 1) + 2sinxcosx =1 +2cosx  4sinxcos x + 2sinxcosx =1+ cosx  sinxcosx ( 1+ 2cosx) = + 2cosx  (1 + cosx) (2 sinxcosx - 1) = 2  x   k 2    cos x   2 cos x   2  k 2 (k  z)      x    2 sin x cos x    sin x   x    k  Vậy nghiệm phương trình là: x= 2 2 +k2  , x=- +k2  , 3 Ví dụ 2: (ĐHkB-2002 )  x= +k  ( k  z) Giải phương trình: sin 3x - cos24x = sin25x - cos26x Giải (3b) Phương trình (3b) tương đương với: sin23x + cos2 6x = sin25x + cos24x   cos x  cos12 x  cos 10 x  cos x + = + 2 2  cos12x - cos6x = cos8x - cos10x  - 2sin9x.sin3x = 2sin9x.sinx  2sin9x ( sinx+ sin3x ) =0 11   x  k  9 x  k    sin x   x  3x  k 2   x  k  (k z)      sin x   sin 3x  x    3x  k 2    x  k   k k Vậy nghiệm phương trình là: x = , x= (k  z) Ví dụ 3: (Đại học khối A- 2003 ) Giải phương trình cotx -1 = cos x +sin2x - sin2x  tan x (3c) Giải Điều kiện xác định: tan x   cos x  sin x   (*) Với điều kiện (*) phương trình (3c) tương đương với: cos x  sin x cos x -1= + sin2x - 2sinxcosx sin x  tan x cos x(cos x  sin x)(cos x  sin x) - sinx(cosx- sinx) cos x  sin x  cos x  sin x sin x  cos x  sin x = cosx ( cosx - sinx) -sinx (cosx -sinx) sin x =  (cosx - sinx) ( -sinxcosx + sin x) = cos x  sin x    1  sin x cos x  sin x  +) cosx -sinx =  tanx =  x= +) - sinxcosx +sin2x =  -  + k  (k  z) sin2x + sin2x =  - sin2x + (1 - cos2x) =  sin2x + cos2x = (vô nghiệm) Vậy nghiệm phương trình là: x= Ví dụ 4: (ĐHQG HN-99)  + k (k z) Giải phương trình cos x + sin6x = 2( cos8x + sin8x) (3d) 12 Giải Phương trình (3d) tương đương với: 2cos8x + 2sin8x - cos6x -sin6x = 6  cos x ( cos x - 1) - sin x ( 1- 2sin x) = 6  cos x cos2x - sin x cos2x = 6 2  cos2x ( cos x - sin x ) = 2  cos2x ( cos x - sin x )( 1- sin x.cos x) =0 2 2  cos 2x ( - sin x.cos x) =  cos 2x (1  cos2x =  2x = sin22x) =    +k   x= + k ( k  z) Vậy phương trình có nghiệm là: x= Ví dụ5 (Đại học khối A- 2011)   + k (k  z) Giải phương trình:  sin x  cos x  sin x sin x  cot x (3e) Giải ĐK: x  k  ( k  z) Phương trình (3e) tương đương với: sin2x( 1+ sin2x+ cos2x ) = sinxsin2x  sinx ( 2cosx + 2sinxcosx ) = 2 sinxcosx     cos x   x   k  x   k (m, k  z )       x    2m sin( x   )  cos x  sin x    Vậy phương trình có nghiệm là: x =   k , x =   2m (m, k  z ) Ví dụ (Đại học khối B- 2011) Giải phương trình: sin2xcosx +sinxcosx = cos2x+ sinx+ cosx Giải: sin2xcosx +sinxcosx = cos2x+ sinx+ cosx  2sinxcos x- sinx+ sinxcosx= cos2x+ cosx  sinx(2cos x-1)+ cosx(sinx-1)- cos2x=0  cos2x(sinx-1)+ cosx(sinx-1)=  (cos2x+ cosx)(sinx-1) = 13  2  x   k  cos x   cos x 3   sin x   x    k 2  Ví dụ7 (HSGT-2010)  x Vậy nghiệm phương trình là:  k 2 , x   k 2 (k  z ) Giải phương trình: cos2x+ cos3x- sinx- cos4x= sin6x (3f) Giải (3f)  (cos2x-cos4x)- sinx+ (cos3x-2sin3x.cos3x)  (2sinxsin3x- sinx)- (2sin3xcos3x- cos3x)=  (2sin3x- 1)(sinx- co3x) =  sin x    cos 3x  cos(   x)     x  x   x   x  2 18 5 2  k 18    k    k  (k  z )  k Vậy phương trình có nghiệm là: x=  18 k 2 5 2 k , x= , 18 x=  k  , x=-   k (k z) (*) Một số tập tương tự: Giải phương trình sau: Đại học khối A-2010) ( Đại học khối D- 2011) (1  sin x  cos x) sin( x   tan x  = cosx sin x  cos x  sin x  tan x  =0 3.(Đại học khối D-2004) (2cosx - 1) (2 sinx+ cosx) =sin2x - sinx 4.(Đại học khối B - 2005) 1+ sinx + cosx + sin2x + cos2x = (Đại học khối D - 2010) sin2x - cos2x + sinx - cosx - = (Đại học khối A- 2007) (1 + sin2x) cosx + ( 1+ cos2x) sinx=1+sin2x (Đại học khối B-2010) (sin2x + cos2x) cosx + cos2x -sinx = 14 Phương pháp : Phương pháp đánh giá Xét phương trình: f(x)= g(x) (c)  f ( x)  A  g ( x)  A Trong f(x)  A; g(x)  A , suy (c)   +)Chú ý số bất đẳng thức bản: -1  sinx   sinnx  sin2x -1  cosx   cosnx  cos2x Ví dụ (n  2) Giải phương trình sau: cos2x + cos 3x -2=0 (4a) Giải Phương trình (4a) tương đương với: cos2x + cos Do: cos2x  1; cos 3x =2 3x 3x   cos2x + cos  4  x  k cos x  3x   =   3x  cos2x + cos   k 8 cos   x   x=k8  (k  z) x=k8  (k z) Vậy nghiệm phương trình là: Ví dụ Giải phương trình sau: sinx.cos4x = Giải sinx.cos4x =  sin 5x  sin 3x  Do: -1  sin5x  1, -1  - sin3x  nên sin5x-sin3x  Phuwowng trình cho tương đương với:  k 2  x    sin x   10   x   t 2  sin 3x  1  x     k 2  Vậy phương trình có nghiệm là: x = Ví dụ   t 2 (k z) Giải phương trình : cos2012x + sin2012 x = 15 Giải Ta có: sin2x ( 1- sin2010x)  cos2x (1 - cos2010x )  ( -1  sinx  1) ( -1  cosx  1) Nên sin2x  sin2012x cos2x  cos2012x Do : sin2012x + cos2012x  sin2x + cos2x =1 Dấu “=” ảy :  sin x   2010 2010 x 1  sin sin x(1  sin x)      cos x(1  cos 2010 x)   cos x   2010 x 1  cos Vậy nghiệm phương trình : x =k sin x   cos x   x = k (k z)   (k  z) Qua ví dụ 3, ta có toán tổng quát: Giải phương trình : sinnx + cosnx = ( n  2, n z) Ví dụ Giải phương trình : cos5x + sin5x + cos2x + sin2x = + Giải Ta có: cos2x + sin2x = sin( 2x +  ) (4a) cos2x( 1- cos3x )  (vì -1  cosx  1) sin2x ( -cos3x )  ( -  sinx  1) Nên : cos5x + sin5x  cos2x + sin2 x = Phương trình (4a) d n tới hệ: cos x  cos x(1  cos x)   cos x  sin x   sin x  sin x (  sin x )       cos x  sin x  cox   cos x  sin x  cos x  sin x   5 Hệ phương trình vô nghiệm, Phương trình cho vô nghiệm Ví dụ Giải phương trình: cos3x +  cos 3x =2 (1+sin22x) (4b) Giải: 16 Ta có: 2(1+ sin22x)   x (  sin22x  1) 1.cos3x+  cos 3x  (12  12 )(cos 3x   cos 3x) =  x (áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpki ) Phương trình (4b) d n tới hệ sau: sin x  2(1  sin 2 x)    cos 3x   cos 3x cos 3x   cos 3x    xk sin x       cos x    x  l 2   (k,l  z)  x=2n  (n  z) Vậy nghiệm phương trình là: Ví dụ 6: (ĐH Y Thái Bình) sin2x + x= 2n  ( n  z) Giải phương trình: sin x (cos3x.sin3x + sin3x.cos3x) = sinx.sin23x sin x Giải: Đk: sin4x   x  k  , k z Ta có: cos3x.sin3x + sin3x.cos3x = sin4x Khi phương trình cho trở thành: sin2x + 1 sin23x = sinx.sin23x  (sinx- sin23x)2 + ( sin23x - sin43x) = 4  ( sinx - Do (sinx - 1 sin23x)2 + sin23x.cos23x = (4c) sin23x)2  Và sin23x.cos23x  17 Nên phương trình (4c) d n tới hệ sau:  sin x  sin x    2  sin x cos x  k   sin x  sin x  x      x  m  sin x  sin x    x  t    k   x    cos x         x   t 2 ( k , t , m  z )   sin x     5   x   t 2      kết hợp điều kiện suy phương trình có nghiệm là:  x= +k2  , x = 5 +k2   (k  z) Vậy nghiệm phương trình là: x= +k2  , x = 5 +k2  (k z) (*) Bài tập tương tự: Giải phương trình sau: 1) sin3x - cos10x =2 2) 3) 4) cos8x + sin10x = sinnx +cosnx = (n  2, n z) sinnx + cosmx =1 (m,n  2, m,n  z) 5) (cos2x - sin4x)2 = + 2sin3x 3 (ĐHAN -97) 6) sin x + cos x = 2- sin x 7) sinx +  sin x + sinx  sin x = Kiểm nghiệm Để kiểm tra hiệu đề tài tiến hành kiểm tra hai đối tượng có chất lượng tương đương lớp 11M 11N Trong lớp 11N chưa rèn luyện kỹ phương pháp này, sau cho kiểm tra 45 phút với câu hỏi 18 ĐỀ KIỂM TRA(45 phút) Giải phương trình lượng giác sau: (2đ) 5sinx - = 3(1- sinx) tan2x (2đ) (2đ) sin x  cos x  sin x  tan x  0 x x  cos  sin 2 (2đ) cos3x+ sin3x = (2đ) 2cos(2x- 3 ) = 3sin(x+  ) + 5 Kết thu sau: Điểm [5; 8) Điểm < Lớp Điểm  Sĩ số Số lượng % Số lượng % Số lượng % 11M 39 23,1% 20 51,3% 10 25,6% 11N 47 28 59,6% 17 36,2% 4,2% PHẦN III: K T L ẬN VÀ ĐỀ X ẤT Trong trình dạy học, thể loại kiến thức, giáo viên biết tìm sở lý thuyết, biết phát huy sáng tạo hướng d n học sinh vận dụng cách hợp lý vào việc giải tập tương ứng tạo điều kiện để học sinh củng cố hiểu sâu lý thuyết với việc thực hành giải toán cách hiệu hơn, tạo hứng thú, phát huy tính chủ động sáng tạo việc học học sinh Qua đề tài thu số học : -Phải cho học sinh tiếp xúc với nhiều toán với cách giải khác 19 - Rèn luyện cho học sinh phân tích toán để tìm lời giải tối ưu - Rèn luyện cho học sinh cách trình bày cách chặt chẽ , cô đọng Trên số kinh nghiệm mà rút áp dụng trình dạy học nh m ngày giúp ích nhiều học tập môn toán học sinh Tuy nhiên nhiều vấn đề cần hoàn thiện, mong tiếp thu ý kiến đóng góp đồng nghiệp để bổ sung vào đề tài nh m hoàn thiện đề tài tốt Tôi xin chân thành cảm ơn XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Nguyễn Tuấn Anh ăm 20 Tôi in cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Tác giả Lê Thị Duyên 20 [...]... với việc thực hành giải toán một cách hiệu quả hơn, tạo được sự hứng thú, phát huy được tính chủ động và sự sáng tạo trong việc học của học sinh Qua đề tài này tôi thu được một số bài học : -Phải cho học sinh tiếp xúc với nhiều bài toán với những cách giải khác nhau 19 - Rèn luyện cho học sinh phân tích bài toán để tìm lời giải tối ưu nhất - Rèn luyện cho học sinh cách trình bày một cách chặt chẽ ,...  8 Sĩ số Số lượng % Số lượng % Số lượng % 11M 39 9 23,1% 20 51,3% 10 25,6% 11N 47 28 59,6% 17 36,2% 2 4,2% PHẦN III: K T L ẬN VÀ ĐỀ X ẤT Trong quá trình dạy học, đối với mỗi thể loại kiến thức, nếu giáo viên biết tìm ra những cơ sở lý thuyết, biết phát huy và sáng tạo cái mới và hướng d n học sinh vận dụng một cách hợp lý vào việc giải các bài tập tương ứng thì sẽ tạo được điều kiện để học sinh củng... sinx=1+sin2x 7 (Đại học khối B-2010) (sin2x + cos2x) cosx + 2 cos2x -sinx = 0 14 4 Phương pháp 4 : Phương pháp đánh giá Xét phương trình: f(x)= g(x) (c)  f ( x)  A  g ( x)  A Trong đó f(x)  A; g(x)  A , suy ra (c)   +)Chú ý một số bất đẳng thức cơ bản: -1  sinx  1  sinnx  sin2x -1  cosx  1  cosnx  cos2x Ví dụ 1 (n  2) Giải phương trình sau: cos2x + cos 3x -2=0 4 (4a) Giải Phương trình (4a)... Vậy nghiệm của phương trình là: Ví dụ 2 Giải phương trình sau: sinx.cos4x = 1 Giải sinx.cos4x = 1  sin 5x  sin 3x  2 Do: -1  sin5x  1, -1  - sin3x  1 nên sin5x-sin3x  2 Phuwowng trình đã cho tương đương với:  k 2  x    sin 5 x  1  10 5   x   t 2  2 sin 3x  1  x     k 2  6 3 Vậy phương trình có nghiệm là: x = Ví dụ 3  2  t 2 (k z) Giải phương trình : cos2012x... 3 4 Kiểm nghiệm Để kiểm tra hiệu quả của đề tài tôi đã tiến hành kiểm tra trên hai đối tượng có chất lượng tương đương là lớp 11M và 11N Trong đó lớp 11N chưa được rèn luyện kỹ về các phương pháp này, sau đó cho kiểm tra 45 phút với câu hỏi như nhau 18 ĐỀ KIỂM TRA(45 phút) Giải các phương trình lượng giác sau: 1 (2đ) 5sinx - 2 = 3(1- sinx) tan2x 2 (2đ) 3 (2đ) sin 2 x  2 cos x  sin x  1 tan x  3... (*) Một số bài tập tương tự: Giải các phương trình sau: 1 Đại học khối A-2010) 2 ( Đại học khối D- 2011) (1  sin x  cos x) sin( x  1  tan x  4 = 1 cosx 2 sin 2 x  2 cos x  sin x  1 tan x  3 =0 3.(Đại học khối D-2004) (2cosx - 1) (2 sinx+ cosx) =sin2x - sinx 4.(Đại học khối B - 2005) 1+ sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 5 (Đại học khối D - 2010) sin2x - cos2x + 3 sinx - cosx - 1 = 0 6 (Đại học. .. cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x  sin 2 x  2  5 5 2 Hệ phương trình vô nghiệm, Phương trình đã cho vô nghiệm Ví dụ 5 Giải phương trình: cos3x + 2  cos 2 3x =2 (1+sin22x) (4b) Giải: 16 Ta có: 2(1+ sin22x)  2  x ( vì 0  sin22x  1) 1.cos3x+ 1 2  cos 2 3x  (12  12 )(cos 2 3x  2  cos 2 3x) = 2  x (áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpki ) Phương trình (4b) d n tới hệ sau: sin 2 x  0 2(1  sin 2... cos 3 x  1   x  l 2   (k,l  z)  x=2n  (n  z) 3 Vậy nghiệm của phương trình là: Ví dụ 6: (ĐH Y Thái Bình) sin2x + x= 2n  ( n  z) Giải phương trình: sin 2 3 x (cos3x.sin3x + sin3x.cos3x) = sinx.sin23x 3 sin 4 x Giải: Đk: sin4x  0  x  k  , k z 4 Ta có: cos3x.sin3x + sin3x.cos3x = 3 sin4x 4 Khi đó phương trình đã cho trở thành: sin2x + 1 1 1 sin23x = sinx.sin23x  (sinx- sin23x)2 + (... sin x   sin 3x 2  x    3x  k 2    x  k  2  k k Vậy các nghiệm của phương trình là: x = , x= (k  z) 9 2 Ví dụ 3: (Đại học khối A- 2003 ) Giải phương trình cotx -1 = cos 2 x 1 +sin2x - sin2x 1  tan x 2 (3c) Giải Điều kiện xác định: tan x  1  cos x  0 sin x  0  (*) Với điều kiện (*) phương trình (3c) tương đương với: cos 2 x  sin 2 x cos x 1 -1= + sin2x - 2sinxcosx sin x... (k  z) 2 Qua ví dụ 3, ta có bài toán tổng quát: Giải phương trình : sinnx + cosnx = 1 ( n  2, n z) Ví dụ 4 Giải phương trình : cos5x + sin5x + cos2x + sin2x = 1 + 2 Giải Ta có: cos2x + sin2x = 2 sin( 2x +  ) 4 (4a) 2 cos2x( 1- cos3x )  0 (vì -1  cosx  1) sin2x ( 1 -cos3x )  0 ( vì - 1  sinx  1) Nên : cos5x + sin5x  cos2x + sin2 x = 1 Phương trình (4a) d n tới hệ: cos x  0 cos 2 x(1 

Ngày đăng: 06/06/2016, 11:45

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan