Thông tin tài liệu
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC" PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ Phương trình lượng giác dạng toán thường xuất đề thi đại học thi học sinh giỏi Đa số học sinh giải dạng phương trình lượng giác bản, nhiên học sinh chưa thực giải tốt gặp phương trình lượng giác đề thi Việc cung cấp cho học sinh số phương pháp giải phương trình lượng giác việc làm cần thiết Chính chọn đề tài “ Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số dạng phương trình lượng giác” PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1.Cơ sở lý luận vấn đề a) Phƣơng trình lƣợng giác bản: +) sinx= m Với m x k 2 x k 2 (k z ) sin =m (có thể lấy arcsinm) +) cosx= m x k 2 (k z ) Với m 1 cos =m (có thể lấy arccosm) +) tanx= m x= k , với tan =m ( lấy =arctanm) (k z ) +) cotx= m x= k , với cot = m ( lấy arccotm) (k z ) b) Một số dạng phƣơng trình lƣợng giác đơn giản +) Phương trình bậc bậc hai f(x) ( f(x) biểu thức lượng giác đó) Đặt ẩn phụ: t= f(x) +)Phương trình bậc sinx cosx: asinx+ bcosx= c (a2+b2 0) Biến đổi vế trái dạng: Csin(x+ ) Ccos(x+ ) +) Phương trình bậc hai sinx cosx asin2x+ bsinxcosx+ ccos2x= ( a2+ b2+ c2 0) Chia hai vế cho cos2x( với cosx 0), chia hai vế cho sin2x( với sinx 0) +) Phương trình dạng: asin2x+bsinxcosx+ ccos2x= d (a2+b2+c2 ) Viết: d= d(sin2x+ cos2x) đưa dạng phương trình bậc hai sinx cosx +) Phương trình dạng: a(sinx+ cosx)+ bsinxcosx+ c= Đặt: t= sinx+ cosx= sin x cos x sin( x t2 1 ) cos(x (đk: ) t 2) phương trình bậc hai ẩn t +) Phương trình dạng: a(sinx- cosx)+ bsinxcosx+ c= Đặt: t= sinx- cosx= sin( x ) cos(x ) (đk: t ) 1 t2 sin x cos x phương trình bậc hai ẩn t Phương pháp giải phương trình lượng giác thông qua sơ đồ sau Phương pháp giải phương trình lượng giác Phương pháp giải phương trình lượng giác đưa phương trình t ch iến đổi tổng th nh t ch iến đổi t ch th nh tổng Phương pháp giải phương trình lượng giác Đại số hóa ng cách đặt ẩn phụ Phương trình ậc , ậc h số lượng giác Phương trình ậc sin v c s Phương pháp giải phương trình h ng u ực Phương trình ậc sin v c s Phương pháp giải phương trình đưa phương trình lượng giác iết cách giải Phương trình đối ứng đ vơ sin , cosx Phương trình lượng giác ản Thực trạng vấn đề Khi gặp i t án giải lượng giác phức tạp, học sinh lúng túng tr ng cách giải quyết.Tuy nhiên hi nắ quy luật ột số dạng t án hó hăn giải Giải pháp tổ chức thực Để thực đề t i n y, t i phân th nh phương pháp Mỗi phương pháp t i đưa ột số v dụ v i tập áp dụng, v dụ n y chủ yếu tr ng đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi nă gần v ột số i tập tương tự Sau l ột số phương pháp giải phương trình lượng giác 1.Phƣơng pháp1: Sử dụng biến đổi lượng giác đưa phương trình lượng giác biết cách giải.Rất nhiều phương trình lượng giác cần sử dụng công thức lượng giác công thức hạ bậc, góc nhân đ i, công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng biến đổi đưa phương trình lượng giác biết cách giải Ví dụ 1.(Đại học khối D - 2007) Giải phương trình x x (sin +cos )2 + cosx =2 (1a) Giải: Phương trình (1a) tương đương với : cos2 x x sin 2 1+ sinx + +2sin cos x x cosx sinx + cosx + =2 cosx x k 2 x k 2 x k 2 x k 2 6 = cos(x- ) = (k z) Vậy nghiệm phương trình : x= +k2 , x= - +k2 (k z) Ví dụ Giải phƣơng trình : sin2xcosx + cos3x =2- cos2xsinx (3a) Giải: Phương trình (3a) tương đương với : (sin3x +sinx ) + cos3x sin3x + 2 cos( cos3x= x )= 1 = 2- sin3x 3x = (sin3x + cos3x k2 x = Vậy phương trình có nghiệm là: x= - sinx) =1 k 2 (k z) 18 k 2 18 (k z) Ví dụ (Đại học khối A - 2005) Giải phương trình: cos23xcos2x - cos2x = (4a) Giải Phương trình (4a) tương đương với : (1 + cos6x) cos2x - (1 + cos2x) = cos2x + cos6x cos2x - 1- cos2x = cos6x cos2x -1= (cos4x + cos8x )- 1= cos8x+ cos4x- 2= 2cos 4x + cos4x - = cos x cos x cos x +) cos4x = 4x = k2 x = k Vậy phương trình có nghiệm là: x= (k z) k (k z) Ví dụ4 (Đại học dự bị khối B- 2003) Giải phương trình: x (2 ) cos x sin ( ) 1 cos x (5a) Giải Đk: cosx (*) Phương trình (5a) tương đương với: (2- )cosx - [1- cos(x- )] = 2cosx- (2- (2- cosx - 1- sinx = )cosx )cosx - 1+ cos(x- ) = 2cosx - - 1+ sinx = cosx cosx cosx + sinx = cosx - tanx = x= + k ( k z ) Kết hợp với điều kiện (*) Vậy phương trình có nghiệm là: x= +(2k’+ 1) ( k’ z) Ví dụ (Dự bị khối A- 2002 ).Giải phương trình cos( 2x+ ) + cos( 2x- )+ 4sinx = 2+ 4 (1- sinx) (6a) Giải: Phương trình (6a) tương đương với cos2x.cos + sinx + sinx - cos2x + ( - 2 sin2x - (4 + )sinx 2) -2- 2= =0 sinx + = (*) x k 2 sin x (k z) sin x x k 2 sin x Vậy phương trình có nghiệ Ví dụ 6:(HSG-2011) l = k 2 , x= 5 k 2 (k z) Giải phương trình (1+ sinx) (1- 2sinx)+ 2(1+ 2sinx) cosx= (7a) Giải Phương trình(7a) tương đương với: 1- sinx-2sin2x+ 2cosx+ 2sin2x= cos2x+ 2sin2x= sinx2- 2cosx Đặt: sin cos x sin x 5 cos , sin x cos x 5 sin cos2x+ cos sin2x= sin sin2x- cos cosx sin( x ) cos( x) sin( x ) sin( x 2 x x k 2 2 x x k 2 ) x k 2 x 2 k 2 3 Vậy phương trình có nghiệm là: x=- k 2 x= (k z) 2 k 2 3 (k z) *Một số tập tƣơng tự Giải phƣơng trình sau : 1.(Đại học khối B- 2004) sinx- = 3( - sinx ) tan2x 2.( Đại học khối B- 2003 ) cotx - tanx + sin2x = (Đại học khối A - 2009) (1 sin x) cos x = (1 sin x)(1 sin x) 4.(Đại học khối D- 2009) cos5x sin x - sin3x cos2x -sinx= 5.(Đại học khối A - 2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2 ) phương trình : sinx + cos x sin x ) sin x = cos2x +3 6.(Đại học khối D - 2005) cos4x +sin4x +cos(xx 4sin2 - cos2x = + cos 2( x- 3 ) 8.(Đại học khối B- 2009) sinx + cosx.sin2x + tanx= cotx+ cos x sin x ) sin(3x- ) - = 4 cos3x= ( cos4x + sin3x) 5( Phƣơng pháp2: Phƣơng pháp đặt ẩn phụ Một số phương trình lượng giác đưa ẩn phụ vào để chuyển phương trình đại số biết cách giảỉ, với cách đặt: t= sinu(x); t= cosu(x); t= sinu(x)+ cosu(x) ( Chú ý đk ẩn phụ) Hoặc đưa ẩn phụ vào để chuyển phương trình lượng giác đơn giản hơn( ẩn phụ biểu thức đại số ẩn x như: t= 2x , t= x ) Ví dụ Giải phương trình : 3(sinx +cosx)+ 2sin2x+ 3= (2b) Giải Phương trình ( 2b) tương đương với: (2b/ ) 3( sinx + cosx )+ sinx cosx + = Đặt sinx + cosx = t ( t ) sinx.cosx = t 1 Phương trình ( 2b/ ) trở thành: 2 3t + 2t - 2+3 = 2t +3t+ = +) Với t= -1 sinx + cosx = -1 t 1 (t / m) t sin( x+ )=-1 x k 2 = sin(- ) sin(x + ) = 4 x k 2 +)Với t = - sin( x+ 2 sinx + cosx = - )=4 2 sin( (k z) x+ ) =4 x arcsin( ) k 2 2 x 3 arcsin( ) k 2 2 Vậy phương trình có nghiệm là: x=- +k2 , x= +k2 , x= arcsin(- )+k2 , x= 3 +arcsin(- ) 2 2 (k z) Ví dụ Giải phương trình : sin2x+ 2tanx= ( 3b) Giải: ĐK: cosx Đặt tanx= t sin2x= 2t 1 t2 2t 1 t2 Phương trình (3b) trở thành: + 2t= 2t3- 3t2+ 4t- 3= t= +) Với t= tanx= x k (k z) Vậy phương trình có nghiệm là: x= k (k z) Ví dụ 3: Giải phương trình: 3cosx+ 4sinx+ 6 cos x sin x (4b) Giải Đặt: 3cosx+ 4sinx+1= t 3cosx+ 4sinx= t- 1( t o) Phương trình (4b) trở thành: t- 1+ t2 -7t+ 6= 6 t t2- t+ 6= 6t t t +) Với t= 4sinx+ 3cosx+ 1= 4sinx+ 3cosx= cos x sin x sin cos x cos sin x 5 sin(x+ ) = x k 2 +)Vớit=1 3cosx+4sinx=0 x= - 5 (sin , cos ) k 2 (k z) cos x sin x sin( x ) 5 (sin 5 , cos ) x k x k (k z) Vậy phương trình có nghiệm là: Ví dụ4: x=- k 2 , x=- k (k z) Giải phương trình: sin3x - sin2xcosx + 11sinxcos2x - cos3x =0 (4b) Giải: +) Nếu cosx = x= +k (k z) Phương trình trở thành : = vô lý Vậy cosx Chia vế phương trình ( 4b) cho cos3x phương trình (4b) trở thành: tan3x- 6tan2x+11tanx-6=0 (4b/) Đặt: tanx=t (4b/) t3 - 6t2 +11t - = ( t- 1)( t2 - 5t +6) =0 t t t (t- 1) (t-2) ( t- 3) = +)Với t=1 tanx =1 x= +k (k z) +)Với t =2 tanx = x= + l (l z , tan =2) +)Với t= tanx= x= +m (m z ,tan = 3) Vậy nghiệm phương trình là: x= +k , x= +l , x= +m ( k, l, m z ; tan =2 ;tan =3) Ví dụ5 Giải phương trình: sin(2x+ ) cos(x ) 1 Giải Đặt: x- t 2x 2t 10 sin( 2t ) cos t cos t cot cos t t k 1 cos t t k +) t= +) t= +) t=- k x k 2 x k x k 2 x 2 k k 2 x k 2 k 2 x (k z) k 2 Vậy nghiệm phương trình là: x 2 k , x k 2 , x k 2 (k z ) Ví dụ6 (HSGT-2009) Giải phương trình: sin(3 x ) sin x.sin( x ) Giải Đặt: t x Phương trình cho trở thành: sin(3t ) sin( 2t ) sin t sin 3t cos 2t sin t sin t sin t sin t sin t cos t sin t sin 2t t k x Vậy nghiệm phương trình là: k x k (k z ) 11 (*) Một số tập tƣơng tự: Bài 1: Giải phƣơng trình sau: (HVQHQT- 2000) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2 ( Đại học dự bị khối B- 2004) 4(sin3x + cos3x) = cosx + 3sinx (ĐHGTVT - 2001) sin4x + sin4( x+ ) + sin4(x - ) = 4 (ĐHQGNH - 2000) 2sinx + cotx = 2sin2x + 2sin3x + cos3x = 3sinx cos3( x+ ) = cos3x 4cos3x +3 sin2x x 3 x sin cos( ) 2 2 = cosx + x sin 2 x cos x x =sin cos 2 +sin2( x 2 )cos x Bài 2: Cho phương trình: cos6x + sin6x = msin2x a) Giải phương trình m=1 b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 3: Cho phương trình : (2sinx-1)( 2cos2x +2 sinx + m) =3 - 4cos2x a) Giải phương trình m=1 b) Tìm tất giá trị m để phương trình có nghiệm thoả mãn: 0 x Bài 4: Cho phương trình m(sinx+ cosx) +1+ (tanx a) Giải phương trình m= +cotx+ 1 + ) sin x cos x =0 b) Xác định m nguyên để phương trình có nghiệm khoảng (0; ) 12 3.Phƣơng pháp3: Giải phƣơng trình lƣợng giác đƣa phƣơng trình tích Rất nhiều phương trình lượng giác cần biến đổi lượng giác để nhóm thừa số chung đưa phương trình tích, hướng đề chủ yếu đề thi đại học năm gần Phương pháp không phức tạp tính toán, thủ thuật biến đổi đòi hỏi phải vận dụng linh hoạt công thức lượng giác để tạo biến thức chung Một số kỹ nhóm thừa số chung đơn giản hiệu quả: +) cos2x = -sin2x =( 1- sinx)(1+ sinx) +) sin2 x = 1- cos2x =( 1- cosx)(1+ cosx) +) cos2x = cos2x - sin2x =(cosx-sinx)(cosx+sinx) +) 1+ sin2x =1+2sinxcosx=( sinx+cosx)2 +) 1- sin2x = 1- sinxcosx =(sinx-cosx)2 Ví dụ 1: (Đại học khối D- 2008) Giải phương trình : 2sinx( + cos2x)+sin2x = 1+2cosx (3a) Giải Phương trình (3a) tương đương với: 2sinx( 1+ 2cos2x - 1) + 2sinxcosx =1 +2cosx 4sinxcos2x + 2sinxcosx =1+ cosx sinxcosx ( 1+ 2cosx) = + 2cosx (1 + cosx) (2 sinxcosx - 1) = 2 x k 2 cos x 2 cos x 2 k 2 x 2 sin x cos x sin x x k (k z) Vậy nghiệm phương trình là: x= 2 +k2 , x=- 2 +k2 , x= +k ( k z) Ví dụ 2: (ĐHkB-2002 ) Giải phương trình: sin23x - cos24x = sin25x - cos26x (3b) 13 Giải Phương trình (3b) tương đương với: sin23x + cos2 6x = sin25x + cos24x cos x + cos12 x = cos10 x + cos12x - cos6x = cos8x - cos10x - 2sin9x.sin3x = 2sin9x.sinx cos x 2sin9x ( sinx+ sin3x ) =0 sin x sin x sin 3x x k 9 x k x 3x k 2 x k (k z) x 3x k 2 x k Vậy nghiệm phương trình là: x= k , x= k (k z) Ví dụ 3: (Đại học khối A- 2003 ) Giải phương trình cotx -1 = cos x tan x +sin2x - sin2x (3c) Giải Điều kiện xác định: tan x cos x sin x (*) Với điều kiện (*) phương trình (3c) tương đương với: cos x sin x 1= cos x sin x sin x cos x sin x sin x cos2 x sin x tan x = + sin2x - 2sinxcosx cos x(cos x sin x)(cos x sin x) cos x sin x - sinx(cosx- sinx) = cosx ( cosx - sinx) -sinx (cosx -sinx) 14 (cosx - sinx) ( -sinxcosx + sin2x) = cos x sin x 1 sin x cos x sin x +) cosx -sinx = tanx = x= +) - sinxcosx +sin2x = 2 + k (k z) sin2x + sin2x = - sin2x + (1 - cos2x) = sin2x + cos2x = (vô nghiệm) + k Vậy nghiệm phương trình là: x= (k z) Ví dụ 4: (ĐHQG HN-99) Giải phương trình cos6x + sin6x = 2( cos8x + sin8x) (3d) Giải Phương trình (3d) tương đương với: 2cos8x + 2sin8x - cos6x -sin6x = cos6x ( cos2x - 1) - sin6x ( 1- 2sin2x) = cos6x cos2x - sin6x cos2x = cos2x ( cos6x - sin6x ) = cos2x ( cos2x - sin2x )( 1- sin2x.cos2x) =0 cos22x ( - sin2x.cos2x) = cos22x (1 cos2x = 2x = sin22x) =0 +k x= + k ( k z) Vậy phương trình có nghiệm là: Ví dụ5 (Đại học khối A- 2011) x= + k (k z) Giải phương trình: sin x cos x sin x sin x cot x (3e) Giải 15 ĐK: x k ( k z) Phương trình (3e) tương đương với: sin2x( 1+ sin2x+ cos2x ) = sinx sinxsin2x ( 2cosx + 2sinxcosx ) = 2 sinxcosx cos x x k x k (m, k z) x 2m sin( x ) cos x sin x Vậy phương trình có nghiệm là: x = k , x= 2m (m, k z ) Ví dụ (Đại học khối B- 2011) Giải phương trình: sin2xcosx +sinxcosx = cos2x+ sinx+ cosx Giải: sin2xcosx +sinxcosx = cos2x+ sinx+ cosx 2sinxcos2x- sinx+ sinxcosx= cos2x+ cosx sinx(2cos2x-1)+ cosx(sinx-1)- cos2x=0 cos2x(sinx-1)+ cosx(sinx-1)= (cos2x+ cosx)(sinx-1) = 2 x k cos x cos x 3 sin x x k 2 Vậy nghiệm phương trình là: x k 2 , x k 2 (k z ) Ví dụ7 (HSGT-2010) Giải phương trình: cos2x+ cos3x- sinx- cos4x= sin6x (3f) Giải (3f) (cos2x-cos4x)- sinx+ (cos3x-2sin3x.cos3x) (2sinxsin3x- sinx)- (2sin3xcos3x- cos3x)= 16 (2sin3x- 1)(sinx- co3x) = sin x cos 3x cos( x) x x x x 2 18 5 2 k 18 k k (k z) k Vậy phương trình có nghiệm là: x= 18 k 2 , x= 5 2 k 18 , x= k , x=- k (k z) (*) Một số tập tƣơng tự: Giải phương trình sau: Đại học hối A-2010) ( Đại học khối D- 2011) (1 sin x cos x) sin( x tan x sin x cos x sin x tan x = cosx =0 3.(Đại học khối D-2004) (2cosx - 1) (2 sinx+ cosx) =sin2x - sinx 4.(Đại học khối B - 2005) 1+ sinx + cosx + sin2x + cos2x = (Đại học hối D - 2010) sin2x - cos2x + sinx - cosx - = (Đại học khối A- 2007) (1 + sin2x) cosx + ( 1+ cos2x) sinx=1+sin2x (Đại học khối B-2010) (sin2x + cos2x) cosx + cos2x -sinx = Phƣơng pháp : Phương pháp đánh giá Xét phương trình: f(x)= g(x) (c) f ( x) A g ( x) A Trong f(x) A; g(x) A , suy (c) +)Chú ý số bất đẳng thức bản: -1 sinx sinnx sin2x -1 cosx cosnx cos2x (n 2) 17 Ví dụ Giải phương trình sau: cos2x + cos 3x 2=0 (4a) Giải Phương trình (4a) tương đương với: cos2x + cos Do: cos2x 1; cos cos2x + 3x cos =2 3x =2 3x cos2x + cos 3x x k cos x k 8 3x cos x x=k8 (k z) Vậy nghiệm phương trình là: x=k8 (k z) Ví dụ Giải phương trình sau: sinx.cos4x = Giải sinx.cos4x = sin x sin x Do: -1 sin5x 1, -1 - sin3x nên sin5x-sin3x Phuwowng trình cho tương đương với: k 2 x sin x 10 x t 2 sin 3x 1 x k 2 Vậy phương trình có nghiệm là: x = Ví dụ t 2 (k z) Giải phương trình : cos2012x + sin2012 x = Giải Ta có: sin2x ( 1- sin2010x) ( -1 sinx 1) 18 cos2x (1 - cos2010x ) Nên sin2x sin2012x ( -1 cosx 1) cos2x cos2012x Do : sin2012x + cos2012x sin2x + cos2x =1 Dấu “=” ảy : sin x 2010 2010 x 1 sin sin x(1 sin x) sin x (k z) x = k 2010 cos x cos x(1 cos x) cos x 2010 x 1 cos Vậy nghiệm phương trình : x = k (k z) Qua ví dụ 3, ta có toán tổng quát: Giải phương trình : Ví dụ sinnx + cosnx = ( n 2, n z) Giải phương trình : cos5x + sin5x + cos2x + sin2x = + (4a) Giải Ta có: cos2x + sin2x = sin( 2x + ) cos2x( 1- cos3x ) (vì -1 cosx 1) sin2x ( -cos3x ) ( - sinx 1) Nên : cos5x + sin5x cos2x + sin2 x = Phương trình (4a) d n tới hệ: cos x cos x ( cos x ) cos5 x sin x sin x sin x(1 sin x) cos x sin x cox cos x sin x cos x sin x Hệ phương trình vô nghiệm, Phương trình cho vô nghiệm Ví dụ Giải phương trình: 19 cos2 3x cos3x + =2 (1+sin22x) (4b) Giải: Ta có: 2(1+ sin22x) 1.cos3x+ x cos2 3x ( sin22x 1) (12 12 )(cos 3x cos2 3x) =2 x (áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpki ) Phương trình (4b) d n tới hệ sau: sin x 2(1 sin 2 x) cos3x cos2 3x cos3x cos2 3x xk sin x cos x 2 xl (k,l z) x=2n (n z) Vậy nghiệm phương trình là: x= 2n ( n z) Ví dụ 6: (ĐH Y Thái Bình) Giải phương trình: sin2x + sin x sin x (cos3x.sin3x + sin3x.cos3x) = sinx.sin23x Giải: Đk: sin4x x k , kz Ta có: cos3x.sin3x + sin3x.cos3x = sin4x Khi phương trình cho trở thành: sin2x + sin23x ( sinx - Do (sinx - = sinx.sin23x (sinx- sin23x)2 + sin23x)2 + sin23x)2 sin23x.cos23x =0 ( sin23x - sin43x) = (4c) Và sin23x.cos23x 20 Nên phương trình (4c) d n tới hệ sau: sin x sin x 2 sin x cos x k sin x sin x x x m sin x sin x x t k x cos x x t 2 ( k , t , m z ) sin x 5 x t 2 kết hợp điều kiện suy phương trình có nghiệm là: x= +k2 , x = 5 +k2 (k z) Vậy nghiệm phương trình là: x= +k2 , x = (*) Bài tập tƣơng tự: 5 +k2 (k z) Giải phương trình sau: 1) sin3x - cos10x =2 2) cos8x + sin10x = 3) sinnx +cosnx = (n 2, n z) 4) sinnx + cosmx =1 (m,n 2, m,n z) 5) (cos2x - sin4x)2 = + 2sin3x 6) sin3x + cos3x = 2- sin4x 7) sinx + sin x + sinx sin x (ĐHAN -97) =3 Kiểm nghiệm Để kiểm tra hiệu đề tài tiến hành kiểm tra hai đối tượng có chất lượng tương đương lớp 11M 11N Trong lớp 11N chưa rèn21 luyện kỹ phương pháp này, sau cho kiểm tra 45 phút với câu hỏi ĐỀ KIỂM TRA(45 phút) Giải phương trình lượng giác sau: (2đ) 5sinx - = 3(1- sinx) tan2x (2đ) sin x cos x sin x tan x 0 1 x x cos sin (2đ) 2 (2đ) cos3x+ sin3x = (2đ) 2cos(2x- 3 ) = 3sin(x+ ) + Kết thu sau: Điểm < Lớp Sĩ số Điểm [5; 8) Điểm Số lượng % Số lượng % Số lượng % 11M 39 23,1% 20 51,3% 10 25,6% 11N 47 28 59,6% 17 36,2% 4,2% 22 PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Trong trình dạy học, ỗi thể l ại iến thức, giá viên iết tì sở lý thuyết, iết phát huy v sáng tạ ới v hướng d n học sinh vận dụng ột cách hợp lý v việc giải i tập tương ứng tạ điều iện để học sinh củng cố v hiểu sâu lý thuyết với việc thực h nh giải t án ột cách hiệu hơn, tạ hứng thú, phát huy t nh chủ động v sáng tạ tr ng việc học học sinh Qua đề tài thu số học : -Phải cho học sinh tiếp xúc với nhiều toán với cách giải khác - Rèn luyện cho học sinh phân tích toán để tìm lời giải tối ưu - Rèn luyện cho học sinh cách trình bày cách chặt chẽ , cô đọng Trên số kinh nghiệm mà rút áp dụng trình dạy học nh m ngày giúp ích nhiều học tập môn toán học sinh Tuy nhiên nhiều vấn đề cần hoàn thiện, mong tiếp thu ý kiến đóng góp đồng nghiệp để bổ sung vào đề tài nh m hoàn thiện đề tài tốt Tôi xin chân thành cảm ơn 23 [...]... giải t án ột cách hiệu quả hơn, tạ được sự hứng thú, phát huy được t nh chủ động v sự sáng tạ tr ng việc học của học sinh Qua đề tài này tôi thu được một số bài học : -Phải cho học sinh tiếp xúc với nhiều bài toán với những cách giải khác nhau - Rèn luyện cho học sinh phân tích bài toán để tìm lời giải tối ưu nhất - Rèn luyện cho học sinh cách trình bày một cách chặt chẽ , cô đọng Trên đây là một số. .. 2 2 )cos x 2 Bài 2: Cho phương trình: cos6x + sin6x = msin2x a) Giải phương trình khi m=1 b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 3: Cho phương trình : (2sinx-1)( 2cos2x +2 sinx + m) =3 - 4cos2x a) Giải phương trình khi m=1 b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng 2 nghiệm thoả mãn: 0 x Bài 4: Cho phương trình m(sinx+ cosx) +1+ 1 (tanx 2 a) Giải phương trình khi m= +cotx+ 1 1... 1 + ) sin x cos x =0 1 2 b) Xác định m nguyên để phương trình có nghiệm trong khoảng (0; ) 2 12 3.Phƣơng pháp3: Giải phƣơng trình lƣợng giác đƣa về phƣơng trình tích Rất nhiều phương trình lượng giác chỉ cần biến đổi lượng giác cơ bản để nhóm thừa số chung đưa về phương trình tích, đây là hướng ra đề chủ yếu trong các đề thi đại học mấy năm gần đây Phương pháp này không phức tạp về tính toán, về thủ... Sĩ số Điểm [5; 8) Điểm 8 Số lượng % Số lượng % Số lượng % 11M 39 9 23,1% 20 51,3% 10 25,6% 11N 47 28 59,6% 17 36,2% 2 4,2% 22 PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Trong quá trình dạy học, đối với ỗi thể l ại iến thức, nếu giá viên iết tì ra những cơ sở lý thuyết, iết phát huy v sáng tạ cái ới v hướng d n học sinh vận dụng ột cách hợp lý v việc giải các i tập tương ứng thì sẽ tạ được điều iện để học sinh. .. cos2x (n 2) 17 Ví dụ 1 Giải phương trình sau: cos2x + cos 3x 4 2=0 (4a) Giải Phương trình (4a) tương đương với: cos2x + cos Do: cos2x 1; cos cos2x + 3x cos 4 =2 3x 4 =2 3x 4 1 cos2x + cos 3x 4 x k cos 2 x 1 k 8 3x cos 4 1 x 3 2 x=k8 (k z) Vậy nghiệm của phương trình là: x=k8 (k z) Ví dụ 2 Giải phương trình sau: sinx.cos4x = 1 Giải sinx.cos4x = 1 sin... 1 cos 2 x sin 2 x 2 cos 2 x sin 2 x 2 Hệ phương trình vô nghiệm, Phương trình đã cho vô nghiệm Ví dụ 5 Giải phương trình: 19 2 cos2 3x cos3x + =2 (1+sin22x) (4b) Giải: Ta có: 2(1+ sin22x) 2 1.cos3x+ 1 x 2 cos2 3x ( vì 0 sin22x 1) (12 12 )(cos 2 3x 2 cos2 3x) =2 x (áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpki ) Phương trình (4b) d n tới hệ sau: sin 2 x 0 2(1 sin 2 2... Vậy nghiệm của phương trình là : x = k (k z) 2 Qua ví dụ 3, ta có bài toán tổng quát: Giải phương trình : Ví dụ 4 sinnx + cosnx = 1 ( n 2, n z) Giải phương trình : cos5x + sin5x + cos2x + sin2x = 1 + 2 (4a) Giải Ta có: cos2x + sin2x = 2 sin( 2x + ) 4 2 cos2x( 1- cos3x ) 0 (vì -1 cosx 1) sin2x ( 1 -cos3x ) 0 ( vì - 1 sinx 1) Nên : cos5x + sin5x cos2x + sin2 x = 1 Phương trình. .. 2 k Vậy phương trình có nghiệm là: x= 18 k 2 3 , x= 5 2 k 18 3 , x= 8 k 2 , x=- 4 k (k z) (*) Một số bài tập tƣơng tự: Giải các phương trình sau: 1 Đại học hối A-2010) 2 ( Đại học khối D- 2011) (1 sin x cos x) sin( x 1 tan x 4 sin 2 x 2 cos x sin x 1 tan x 3 = 1 2 cosx =0 3.(Đại học khối D-2004) (2cosx - 1) (2 sinx+ cosx) =sin2x - sinx 4.(Đại học khối B -... =3 4 Kiểm nghiệm Để kiểm tra hiệu quả của đề tài tôi đã tiến hành kiểm tra trên hai đối tượng có chất lượng tương đương là lớp 11M và 11N Trong đó lớp 11N chưa được rèn2 1 luyện kỹ về các phương pháp này, sau đó cho kiểm tra 45 phút với câu hỏi như nhau ĐỀ KIỂM TRA(45 phút) Giải các phương trình lượng giác sau: 1 (2đ) 5sinx - 2 = 3(1- sinx) tan2x 2 (2đ) sin 2 x 2 cos x sin x 1 tan x 3 0 1 1 2... các nghiệm của phương trình là: x 2 k , x k 2 , x k 2 (k z ) 3 2 6 Ví dụ6 (HSGT-2009) Giải phương trình: sin(3 x 4 ) sin 2 x.sin( x 4 ) Giải Đặt: t x 4 Phương trình đã cho trở thành: sin(3t ) sin( 2t ) sin t sin 3t cos 2t sin t 2 sin t 0 sin 3 t sin t 0 2 sin t cos t 0 sin t 1 sin 2t 0 t k 2 x 4 Vậy các nghiệm ... Phương trình lượng giác dạng toán thường xuất đề thi đại học thi học sinh giỏi Đa số học sinh giải dạng phương trình lượng giác bản, nhiên học sinh chưa thực giải tốt gặp phương trình lượng giác. .. Việc cung cấp cho học sinh số phương pháp giải phương trình lượng giác việc làm cần thiết Chính chọn đề tài “ Rèn luyện cho học sinh kỹ giải số dạng phương trình lượng giác PHẦN II: GIẢI QUYẾT... tổng Phương pháp giải phương trình lượng giác Đại số hóa ng cách đặt ẩn phụ Phương trình ậc , ậc h số lượng giác Phương trình ậc sin v c s Phương pháp giải phương trình h ng u ực Phương trình
Ngày đăng: 02/01/2017, 19:21
Xem thêm: Sáng kiến kinh nghiệm SKKN rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số dạng phương trình lượng giác , Sáng kiến kinh nghiệm SKKN rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số dạng phương trình lượng giác