skkn cách tiếp cận bài toán tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

SKKN: Tích phân đổi biến số MỤC LỤC Trang 1.Đặt vấn đề ( Bối cảnh và lý do chọn đề tài ) 2 2.Giải quyết vấn đề ( Nội dung sáng kiến kinh nghiệm ) 3 2.1 Cơ sở lý luận của vấn đề 3 2.2 Thực trạng của vấn đề 3 2.3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề 4 2.3.1. Kiến thức cơ bản học sinh cần nắm 4 2.3.2. Tiếp cận nhứng bài toán cơ bản 7 a) TÍCH PHÂN DẠNG ( ) 2 1 x n x ax b dx+ ∫ 7 b) TÍCH PHÂN DẠNG ( ) 1 b n k k a x ax b dx − + ∫ hoặc ( ) 2 1 b n k k a mx ax b dx − + ∫ 11 c) TÍCH PHÂN DẠNG ( ) ( ) b a ku' x dx u x ∫ 15 d) TÍCH PHÂN DẠNG ( ) b a f x dx x ln ∫ 17 e) TÍCH PHÂN DẠNG ( ) ( ) b u x a e .u' x dx ∫ 19 f) TÍCH PHÂN DẠNG b n m a sin xcos xdx ∫ 21 2.4 Hiệu quả của SKKN 23 3. Kết luận 24 Tài liệu tham khảo 25 Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 1 SKKN: Tích phân đổi biến số . CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Toán học là môn khoa học cơ bản phục vụ cho nhiều nghành nghề và học tốt môn toán luôn là một trong những mục tiêu đặt ra của học sinh. Nhất là trong các kỳ thi thì kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông hằng năm luôn là mục tiêu của nhiều học sinh và cả phụ huynh. Vì vậy việc vượt qua được kỳ thi này trở thành một vấn đề quan trọng. Trong đề thi tốt nghiệp hằng năm luôn có bài toán tính tích phân. Đây là bài toán được coi là khó đối với học sinh nhất là học sinh trung bình – yếu. Để làm được bài toán này, học sinh cần nắm định nghĩa và các tính chất nguyên hàm, thuộc các công thức nguyên hàm các hàm số sơ cấp và các phương pháp tính nguyên hàm. Để tính được bài toán tích phân học sinh không những phải học thuộc các kiến thức trên mà còn phải rèn luyện kỷ năng giải toán thường xuyên nữa. Nhằm giảm bớt sự khó khăn trong quá trình tính toán, và sự khó khăn khi gặp bài toán tích phân trong các đề thi tốt nghiệp hằng năm, tôi đưa ra cách tiếp cận bài toán tích phân một cách phù hợp với trình độ của học sinh trung bình yếu đó là “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ” Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 2 SKKN: Tích phân đổi biến số Mục đích rõ ràng của đề tài này là nhằm giúp học sinh giải tốt bài toán tích phân nói riêng và làm tốt bài thi tốt nghiệp THPT nói chung, xa hơn nữa là làm tăng tỷ lệ bộ môn toán của trường trong kỳ thi tốt nghiệp hằng năm. 2. NỘI DUNG ĐỀ TÀI 2.1. Cơ sở lý luận của đề tài Hiện thực xung quanh có nhiều cái mà con người chưa biết. Nhiệm vụ của cuộc sống và hoạt động thực tiễn luôn đòi hỏi con người phải hiểu biết cái chưa biết đó ngày một sâu sắc, đúng đắn và chính xác hơn, phải vạch ra những cái bản chất và những quy luật tác động của chúng. Quá trình nhận thức đó gọi là tư duy. Nhưng để tư duy được thì cần phải nắm được những kiến thức cơ bản, những kiến thưc nền tảng của vấn đề thì khi đó mới nói đến tuy duy hay sáng tạo. Cơ sở lý luận của đề tài “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ” là từ những kiến thức cơ bản nhất của vấn đề nhằm giúp học sinh dần dần tiếp cận với các vấn đề cao hơn trong một mạch kiến thức. Cụ thể hóa của vấn đề về mặt lý luận là giúp hoc sinh độc lập trong khi giải quyết vấn đề mà cụ thể vấn đề đây là bài toán tích phân trong các kỳ thi mà đặc biệt là các dạng mà đề tài này đã nghiên cứu và đưa ra trong sáng kiến kinh nghiệm dạy học tại trường phổ thông. 2.2. Thực trạng của đề tài 2.2.1 . Tình hình thực tế của học sinh trường: - Phần lớn học sinh của trường ở đại bàn các xã lân cận, đi lại khó khăn. Điểm tuyển sinh vào lớp 10 không cao, năng lực học tập chủ yếu là loại trung bình, thậm chí một số học sinh khả năng tính toán rất hạn chế - Học sinh thường ít chịu tìm tòi, khám phá và không thuộc bài (lười học) Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 3 SKKN: Tích phân đổi biến số 2.2.2. Thực trạng của đề tài “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ” - Đây là đề tài đầu tiên nghiên cứu về phương pháp đổi biến số trong bài tóan tích phân tại trường THPT Nguyễn Khuyến - Đề tài này hoàn thành sẽ có ứng dụng rất khả thi cho học sinh, giáo viên trong tổ toán của trường nhất là trong các kỳ thi. - Do đây là chương đòi hỏi học sinh phải có kiến thức cơ bản nhiều, thuôc bài và vận dụng được lý thuyết nên học sinh thường không làm bài được, cụ thể kết quả kiểm tra chương tích phân trong năm học 2010 – 2011 của lớp 12A4 như sau: Điểm 0 đến 3 3.5 đến 4.5 5 đến 6.5 7 đến 8 Trên 8 Số lượng 15 8 5 7 3 - Phân tích kết quả trên: số học sinh dưới trung bình chiếm 60.5% , số học sinh trên trung bình chiếm tỉ lệ 39.5% nhưng số học sinh đạt điểm trên 8 là khá ít mặc dù đề kiểm tra ra đảm bảo theo chuẩn kiến thức. 2.2.3. Khó khăn của đề tài: - Về tâm lý: khi gặp bài toán tích phân học sinh thường ngại suy nghĩ và cho rằng đây là bài toán khó nên thường bỏ luôn không làm - Về kiến thức: + Học sinh không thuộc bảng nguyên hàm các hàm số sơ cấp, công thức tính tích phân, các tính chất của nguyên hàm và tích phân + Khả năng nhận dạng dạng nguyên hàm hay tích phân còn thấp + Khả năng tính toán còn yếu - Nghiên cứu ứng dụng cho học sinh với tầm kiến thức trung bình yếu nên về mặt lý luận cũng gặp khó khăn. - Khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh còn kém nên việc triển khai đề tài có phần chậm. Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 4 SKKN: Tích phân đổi biến số 2.2.4. Thuận lợi: - Trong khi thực hiện đề tài được sự hỗ trợ của bạn đồng nghiệp trong trường, trong tổ chuyên môn. - Đa số học sinh có phần hứng thú với cách tiếp cận mạch kiến thức mới. - Học sinh chăm chỉ tích cực luyện tập kỹ năng giải toán tích phân 2.3 . Các biện pháp tiến hành để giải quyết vấn đề 2.3.1. Kiến thức cơ bản học sinh cần nắm * Nguyên hàm Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nữa khoảng của ¡ Định nghĩa : Cho hàm số f(x) xác định trên K . Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F '(x) = f(x) với mọi x ∈ K . Định lý 1: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K . Định lý 2 : Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số. Là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K * Tính chất của nguyên hàm Tính chất 1:    ÷   = ∫ ( )d ' ( )f x x f x và = + ∫ '( )d ( ) .f x x f x C Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 5 ( ) ( ) f x dx F x C , C= + ∈ ∫ ¡ SKKN: Tích phân đổi biến số Ví dụ : ( ) = + = ∫ cos d ' (s in )' cosx x x C x hay (cos )' d ( sin )d cos .x x x x x C= − = + ∫ ∫ Tính chất2: ( )d ( )dkf x x k f x x = ∫ ∫ k: hằng số khác 0 Tính chất 3: [ ] ± = ± ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) d ( )d ( )d .f x g x x f x x g x x Bảng nguyên hàm các hàm số sơ cấp = ∫ 0dx C = + ∫ d ln x x a a x C a (a > 0, a ≠ 1) = + ∫ dx x C = + ∫ cos d sinx x x C α α α + = + + ∫ 1 1 d 1 x x x C (α ≠ 1) = − + ∫ sin d cosx x x C = + ∫ 1 d lnx x C x = + ∫ 2 1 d tan cos x x C x = + ∫ d x x e x e C = − + ∫ 2 1 d cot sin x x C x TÍCH PHÂN Định nghĩa tích phân Cho f(x) là hàm số liên tục trên [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b] Hiệu số F(b) – F(a) đươc gọi là tích phân từ a đến b của f(x). ( ) ( ) ( ) ( ) = = − ∫ b b a a f x dx F x F b F a Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 6 SKKN: Tớch phõn i bin s TNH CHT CA TCH PHN I) Tớnh cht : Gi s f(x), g(x) liờn tc trờn K; a,b K 1) ( ) a a f x dx 0= 2) ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx= 3) ( ) ( ) b b a a kf x dx k f x dx= 4) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx = 5) ( ) ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx c a;b= + 6) ( ) [ ] ( ) b a f x 0, x a;b f x dx 0 7) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) b b a a f x g x , x a;b f x dx g x dx 8) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) b a m f x M, x a;b m b a f x dx M b a 9) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) t a t bieỏn thieõn treõn ủoaùn a;b G t f x dx laứ 1 nguyeõn haứm cuỷa f t vaứ G a 0 = = Phng phỏp i bin s nh lớ 1: Cho hm s f(x) liờn tc trờn [a; b]. Gi s hm s x = (t) cú o hm liờn tc trờn on [ ; ] sao cho ( ) = a, ( ) = b v a (t) b vi t [ ; ]. Khi ú: [ ] b a f x dx f t t dt( ) ( ) ( ) = Ngi vit: Chõu Th Phng Thựy Trang 7 SKKN: Tích phân đổi biến số Định lí 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên [a; b]. Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên [a; b] và α ≤ u(x) ≤ β với mọi x ∈ [a; b] sao cho f(x) = g[u(x)]u ′ (x), g(u) liên tục trên [ α ; β ] thì: u b b a u a f x dx g u du ( ) ( ) ( ) ( ) = ∫ ∫ 2.3.2. Tiếp cận nhứng bài toán cơ bản a) TÍCH PHÂN DẠNG ( ) 2 1 x n x ax b dx+ ∫ * Nhận xét Ta thấy hàm số dưới dấu tích phân là ( ) n y ax b= + , đối với hàm số này không có nguyên hàm trực tiếp, do đó muốn giải được thì ta phải đưa về đa thức mới lấy nguyên hàm được. Nhưng đưa về đa thức cũng là vấn đề, nếu n là 2 hoặc 3 thì ta áp dụng hằng đẳng thức ( ) 2 2 2 2a b a ab b± = ± + Hay ( ) 3 3 2 2 3 3 3a b a a b ab b± = ± + ± Ví dụ: Tính tích phân ( ) 1 2 0 2 1x dx+ ∫ Giải: ( ) ( ) 1 1 1 3 2 2 2 0 0 0 4 13 2 1 4 4 1 2 3 3 x x dx x x dx x x   + = + + = + + =  ÷  ÷   ∫ ∫ Hoặc tính tích phân ( ) 1 3 0 2 1x dx− ∫ Giải: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 2 4 3 2 0 0 0 2 1 8 12 6 1 2 4 3 10x dx x x x dx x x x x− = − + − = − + − = ∫ ∫ Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 8 SKKN: Tích phân đổi biến số Nhưng xem ra cách này cũng không khả quan lắm vì đa số học sinh không nhớ được hằng đẳng thức ( ) 3 3 2 2 3 3 3a b a a b ab b± = ± + ± . Hơn nữa nếu n là số nguyên âm hay hữu tỷ thì cách này không giải được. Để giải quyết dạng bài tập này tôi đưa ra cách giải khả thi như sau: * Phương pháp giải ( ) 2 1 x n x ax b dx+ ∫ + Bước 1: Đặt dt t ax b dt adx dx a = + ⇒ = ⇔ = + Bước 2: Đổi cận: 1 1 2 2 x x t ax b; x x t ax b= ⇒ = + = ⇒ = + + Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t + Bước 4: Tính tích phân theo t *Nhận xét: Như vậy cách giải này tránh được việc phải nhớ hằng đẳng thức. Chỉ cần thực hiện những thao tác cơ bản như: tính vi phân hàm bậc nhất (việc này rất dễ dàng). Công việc đổi cận cũng không có gì khó khăn, đây chỉ là việc tính giá trị của hàm số bậc nhất mà thôi. * Các ví dụ minh họa: Tính các tích phân sau: 1) ( ) 1 4 0 2 1x dx+ ∫ 2) ( ) 2 4 3 1 3 2x dx− ∫ Giải: 1) ( ) 1 4 0 2 1x dx+ ∫ . Đặt 2 1 2 2 dt t x dt dx dx= + ⇒ = ⇔ = Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 9 SKKN: Tích phân đổi biến số . Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 3 . Do đó ta có: ( ) 1 3 4 4 0 1 2 1 2 dt x dx t+ = ∫ ∫ 3 5 1 242 121 10 10 5 = = = t 2) ( ) 2 4 3 1 3 2x dx− ∫ . Đặt 3 2 3 dt t x dt dx dx= − ⇒ = ⇔ = . Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1; x = 12 ⇒ t = 4 . Do đó ta có: ( ) 2 4 4 4 3 3 1 1 3 2 3 dt x dx t− = ∫ ∫ 4 7 3 3 1 2 2 1 7 7 − = = t * Phân tích ví dụ Thật vậy đây là cách giải có nhiều ưu điểm hơn các cách giải khác( đã trình bày ở trên). Nhận xét rằng ( ) 1 d ax b dx a + = nên ta đưa ra các công thức dạng tổng quát để học sinh có thể áp dụng trực tiếp. Ta có bảng sau ( ) ( ) α α α + + = + + + ∫ 1 1 a d a 1 x b x x b C (α ≠ 1) ( ) ( ) + = + + ∫ 1 cos d sinax b x ax b C a ( ) ( ) = + + + ∫ 1 1 d l n a a x x b C a x b ( ) ( ) + = − + + ∫ 1 sin d cosax b x ax b C a + + = + ∫ 1 d ax b ax b e x e C a ( ) ( ) = + + + ∫ 2 1 1 d tan cos x x ax b C a ax b + + = + ∫ d ln mx n mx n a a x C m a (a > 0, a ≠ 1) ( ) ( ) = − + + + ∫ 2 1 1 d cot sin x ax b C a ax b Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 10 [...]... 27 SKKN: Tích phân đổi biến số Tóm lại, việc nghiên cứu đề tài: “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ” thành công sẽ giúp học sinh trường học tập tốt hơn và thi đạt hiệu quả cao hơn Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 28 SKKN: Tích phân đổi biến số TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Sách Giáo khoa Đại số và Giải tích 12 2 Sách bài tập Đại số và Giải tích 12 3 Tích Phân – Trần Phương. .. sin 2x ÷ = 2 2 4 0 0 Như vậy ngoài cách đổi biến số thông thường ta còn có một cách khác để giải quyết bài tóan tích phân bằng phương pháp đổi biến số như trên * Phương pháp giải + Bước 1: Đặt x = f ( t ) ⇒ dx = f ' ( t ) dt + Bước 2: Đổi cận: x = α ⇒ α = f ( t ) ; x = β ⇒ β = f ( t ) hay + Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t + Bước 4: Tính tích phân theo t Những dạng thường gặp:... là loại tích phân có phương pháp đổi biến giải ngược so với các cách đổi biến đã trình bày ở trên Cụ thể ta xét ví dụ: 1 Tính tích phân : ∫ 1 − x2 dx 0 Giải: + Đặt : x = sint ⇒ dx = costdt + Đổi cận : x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = + 1 ∫ 1 − x2 dx = 0 π 2 + ∫ π 2 ∫ π 2 1 − sin2 t costdt 0 1 − sin 2 t costdt = 0 Người viết: Châu Thị Phương Thùy π 2 ∫ cost costdt 0 Trang 23 SKKN: Tích phân đổi biến số π 2... c) TÍCH PHÂN DẠNG ( ) dx ku' x ∫ u ( x) a * Nhận xét Đây là dạng đổi biến mà hàm số trên tử là đạo hàm của hàm số dưới mẫu hoặc hàm số trên tử là hệ số nhân với đạo hàm của hàm số dưới mẫu * Phương pháp giải Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 15 SKKN: Tích phân đổi biến số + Bước 1: Đặt t = u ( x ) ⇒ dt = u' ( x ) dx + Bước 2: Đổi cận: x = a ⇒ t = u ( a ) ; x = b ⇒ t = u ( b) + Bước 3: Chuyển tích. .. thức hạ bậc * Phương pháp giải + Bước 1: Đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx hay t = cosx ⇒ dt = − sinxdx + Bước 2: Đổi cận: x = a ⇒ t = sina; x = b ⇒ t = sinb hay x = a ⇒ t = cosa; x = b ⇒ t = cosb + Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t + Bước 4: Tính tích phân theo t * Ví dụ minh họa Tính các tích phân sau: Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 21 SKKN: Tích phân đổi biến số π 2 π 2 1) sin... b ( ) n b ( ) n b) TÍCH PHÂN DẠNG ∫ xk−1 axk + b dx hoặc ∫ mx2k−1 axk + b dx a a * Nhận xét Đối với dạng bài tập này, lại nảy sinh vấn đề nếu k và n là số nhỏ mà cụ thể là k = 2, n = 2 thì ta làm bằng cách tính tích phân trực tiếp Cụ thể ta xét ví dụ sau: 1 ( ) 2 2 Tính tích phân: ∫ x 2x + b dx ta giải như sau: 0 Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 11 SKKN: Tích phân đổi biến số 1 ∫ x ( 2x 2 0 )... Phương pháp giải u( x ) u( x ) + Bước 1: Đặt t = u ( x ) ⇒ dt = u' ( x ) dx hay t = e ⇒ dt = u' ( x ) e dx + Bước 2: Đổi cận: x = a ⇒ t = u ( a ) ; x = b ⇒ t = u ( b) hay ( ) ua x =a⇒t =e ( ) ub ; x = b⇒ t =e + Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t + Bước 4: Tính tích phân theo t * Ví dụ minh họa Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 19 SKKN: Tích phân đổi biến số Tính các tích phân: ... Thị Phương Thùy Trang 26 SKKN: Tích phân đổi biến số + Chưa nghiên cứu kĩ từng dạng bài toán tính tích phân nên chưa định hướng cách giải - Giải xong chưa kiểm tra lại lời giải để kiểm tra kiến thức vận dụng Vì vậy, giáo viên cần rèn tính chính xác, cẩn thận trong giải toán Hướng dẫn học sinh kiểm tra kết quả bằng cách dùng máy tính bỏ túi * Với giáo viên: - Cần tạo cho các em có thói quen thuộc bài. .. thực hiện được cách giải như trên , do đó ta có phương pháp tổng quát cho bài toán dạng này như sau: * Phương pháp giải + Bước 1: Đặt t = axk + b⇒ dt = kaxk−1dx ⇔ dt = xk−1dx ka k k + Bước 2: Đổi cận: x = x1 ⇒ t = ax 1 + b; x = x2 ⇒ t = ax 2 + b + Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t + Bước 4: Tính tích phân theo t b ( ) n **** Chú ý đối với dạng: ∫ mx2k−1 axk + b dx cách giải cũng... viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 17 SKKN: Tích phân đổi biến số π 4 π 4 12) 1 + sin 2xdx 2 ∫ 0 HD: 1 + sin 2xdx = ∫ cos x 0 cos x 2 π 4 1 ∫ cos 0 π 4 2 x sin 2x dx = I1 + I 2 2 0 cos x dx + ∫ I1 : tính trực tiếp I2 : Đặt t = cos2 x ⇒ dt = − sin 2xdx b d) TÍCH PHÂN DẠNG ∫ ( f ln x x a ) dx * Nhận xét Dấu hiệu nhận biết của dạng này là hàm số dưới dấu tích phân có chứa ln x và 1 Ta có phương pháp giải như . quả của SKKN 23 3. Kết luận 24 Tài liệu tham khảo 25 Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 1 SKKN: Tích phân đổi biến số . CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ 1 thuộc bài (lười học) Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 3 SKKN: Tích phân đổi biến số 2.2.2. Thực trạng của đề tài “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ” -. học sinh trung bình yếu đó là “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ” Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 2 SKKN: Tích phân đổi biến số Mục đích rõ ràng của đề tài