cách tiếp cận bài toán tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Để tính được bài toán tích phân học sinh không những phải học thuộc cáckiến thức trên mà còn phải rèn luyện kỷ năng giải toán thường xuyên nữa.. Nhằm giảm bớt sự khó khăn trong quá trình

MỤC LỤC Trang 1.Đặt vấn đề ( Bối cảnh và lý do chọn đề tài ) 2 2.Giải quyết vấn đề ( Nội dung sáng kiến kinh nghiệm ) 3

2.3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề 4

2.3.1 Kiến thức cơ bản học sinh cần nắm 4

a) TÍCH PHÂN DẠNG 2 

1

x

n x

CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN

BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

1 ĐẶT VẤN ĐỀ

Toán học là môn khoa học cơ bản phục vụ cho nhiều nghành nghề và học tốtmôn toán luôn là một trong những mục tiêu đặt ra của học sinh Nhất là trong các kỳthi thì kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông hằng năm luôn là mục tiêu của nhiềuhọc sinh và cả phụ huynh Vì vậy việc vượt qua được kỳ thi này trở thành một vấn

đề quan trọng Trong đề thi tốt nghiệp hằng năm luôn có bài toán tính tích phân.

Đây là bài toán được coi là khó đối với học sinh nhất là học sinh trung bình – yếu

Để làm được bài toán này, học sinh cần nắm định nghĩa và các tính chấtnguyên hàm, thuộc các công thức nguyên hàm các hàm số sơ cấp và các phươngpháp tính nguyên hàm

Để tính được bài toán tích phân học sinh không những phải học thuộc cáckiến thức trên mà còn phải rèn luyện kỷ năng giải toán thường xuyên nữa

Nhằm giảm bớt sự khó khăn trong quá trình tính toán, và sự khó khăn khi gặpbài toán tích phân trong các đề thi tốt nghiệp hằng năm, tôi đưa ra cách tiếp cận bàitoán tích phân một cách phù hợp với trình độ của học sinh trung bình yếu đó là

“CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ”

Mục đớch rừ ràng của đề tài này là nhằm giỳp học sinh giải tốt bài toỏn tớchphõn núi riờng và làm tốt bài thi tốt nghiệp THPT núi chung, xa hơn nữa là làm tăng

tỷ lệ bộ mụn toỏn của trường trong kỳ thi tốt nghiệp hằng năm

2 NỘI DUNG ĐỀ TÀI

2.1 Cơ sở lý luận của đề tài

Hiện thực xung quanh có nhiều cái mà con ngời cha biết Nhiệm vụ của cuộcsống và hoạt động thực tiễn luôn đòi hỏi con ngời phải hiểu biết cái cha biết đó ngàymột sâu sắc, đúng đắn và chính xác hơn, phải vạch ra những cái bản chất và nhữngquy luật tác động của chúng Quá trình nhận thức đó gọi là t duy

Nhưng để tư duy được thỡ cần phải nắm được những kiến thức cơ bản, nhữngkiến thưc nền tảng của vấn đề thỡ khi đú mới núi đến tuy duy hay sỏng tạo

Cơ sở lý luận của đề tài “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ” là từ những kiến thức cơ bản

nhất của vấn đề nhằm giỳp học sinh dần dần tiếp cận với cỏc vấn đề cao hơn trongmột mạch kiến thức

Cụ thể húa của vấn đề về mặt lý luận là giỳp hoc sinh độc lập trong khi giảiquyết vấn đề mà cụ thể vấn đề đõy là bài toỏn tớch phõn trong cỏc kỳ thi mà đặc biệt

là cỏc dạng mà đề tài này đó nghiờn cứu và đưa ra trong sỏng kiến kinh nghiệm dạyhọc tại trường phổ thụng

2.2 Thực trạng của đề tài

2.2.1 Tỡnh hỡnh thực tế của học sinh trường:

- Phần lớn học sinh của trường ở đại bàn cỏc xó lõn cận, đi lại khúkhăn Điểm tuyển sinh vào lớp 10 khụng cao, năng lực học tập chủ yếu là loại trungbỡnh, thậm chớ một số học sinh khả năng tớnh toỏn rất hạn chế

- Học sinh thường ớt chịu tỡm tũi, khỏm phỏ và khụng thuộc bài (lườihọc)

2.2.2 Thực trạng của đề tài “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ”

- Đây là đề tài đầu tiên nghiên cứu về phương pháp đổi biến số trongbài tóan tích phân tại trường THPT Nguyễn Khuyến

- Đề tài này hoàn thành sẽ có ứng dụng rất khả thi cho học sinh, giáoviên trong tổ toán của trường nhất là trong các kỳ thi

- Do đây là chương đòi hỏi học sinh phải có kiến thức cơ bản nhiều, thuôcbài và vận dụng được lý thuyết nên học sinh thường không làm bài được, cụ thể kết quảkiểm tra chương tích phân trong năm học 2010 – 2011 của lớp 12A4 như sau:

Điểm 0 đến 3 3.5 đến 4.5 5 đến 6.5 7 đến 8 Trên 8

- Phân tích kết quả trên: số học sinh dưới trung bình chiếm 60.5% , sốhọc sinh trên trung bình chiếm tỉ lệ 39.5% nhưng số học sinh đạt điểm trên 8 là khá

ít mặc dù đề kiểm tra ra đảm bảo theo chuẩn kiến thức

2.2.3 Khó khăn của đề tài:

- Về tâm lý: khi gặp bài toán tích phân học sinh thường ngại suy nghĩ

và cho rằng đây là bài toán khó nên thường bỏ luôn không làm

- Trong khi thực hiện đề tài được sự hỗ trợ của bạn đồng nghiệp trongtrường, trong tổ chuyờn mụn.

- Đa số học sinh cú phần hứng thỳ với cỏch tiếp cận mạch kiến thứcmới

- Học sinh chăm chỉ tớch cực luyện tập kỹ năng giải toỏn tớch phõn

2.3 Cỏc biện phỏp tiến hành để giải quyết vấn đề

2.3.1 Kiến thức cơ bản học sinh cần nắm

Định lý 2 : Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi

nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Là họ tất cả cỏc nguyờn hàm của f(x) trờn K

Vớ dụ :  cos dx x' (sinx C) ' cosx

hay(cos ) ' dx x ( sin )d x x cosxC

   

f x dx F x C,C   

 

1

d cot sin x x x C

TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN

I) Tính chất : Giả sử f(x), g(x) liên tục trên K; a,b  K

m f x M, x a;b   m b a f x dx M b a 

9)

t a

t biến thiên trên đoạn a;b  G t f x dx là 1 nguyên hàm của f t và G a 0

Phương pháp đổi biến số

Định lí 1: Cho hàm số f(x) liên tục trên [a; b] Giả sử hàm số x = (t) cĩ đạo hàm liên tục trên đoạn [; ] sao cho () = a, () = b và a  (t) b với t  [;

Định lí 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên [a; b] Nếu hàm số u = u(x) cĩ đạo hàm liên

tục trên [a; b] và   u(x)   với mọi x  [a; b] sao cho f(x) = g[u(x)]u(x), g(u) liên tục trên [; ] thì:

u b b

a b 2 a2 2ab b 2Hay a b 3 a3 3a b2 3ab2 b3

* Phương pháp giải 2 

1

x

n x

+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t

+ Bước 4: Tính tích phân theo t

*Nhận xét:

Như vậy cách giải này tránh được việc phải nhớ hằng đẳng thức Chỉ cầnthực hiện những thao tác cơ bản như: tính vi phân hàm bậc nhất (việc này rất dễdàng) Công việc đổi cận cũng không có gì khó khăn, đây chỉ là việc tính giá trị củahàm số bậc nhất mà thôi

* Các ví dụ minh họa:

Tính các tích phân sau:

1) 1 40

1

242 121

3 3

  nên ta đưa ra các công thức dạng tổng

quát để học sinh có thể áp dụng trực tiếp Ta có bảng sau

3)

2

2 0

22

12

ln ln

Đối với dạng bài tập này, lại nảy sinh vấn đề nếu k và n là số nhỏ mà cụ thể

là k = 2, n = 2 thì ta làm bằng cách tính tích phân trực tiếp Cụ thể ta xét ví dụ sau:

Tính tích phân: 1  2 2

02

Tuy nhiên nếu k và n lớn hơn thì ta cũng khó thực hiện được cách giải nhưtrên , do đó ta có phương pháp tổng quát cho bài toán dạng này như sau:

+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t

+ Bước 4: Tính tích phân theo t

 cách giải cũng tương tự nhưng

khi đổi biến nhớ suy ra x k theo t

3

32

22

23

dt t



4)

 

4 3 0

1



Rõ ràng dấu căn đóng vai trò như lũy thừa (thực ra thì căn là lũy thừa với số

mũ hữu tỷ mà thôi) ta giải ví dụ này như sau:

***** Như vậy khi day học sinh ta cần chú ý cho học sinh rằng dấu hiệu nhận biết của dạng này là số mũ của x trong dấu căn hay lũy thừa hơn số mũ của x bên ngoài 1 đơn vị hay kém hơn k – 1 đơn vị.

1 2 0

x dx



7)2 3 1

x dx

x 



9) 1

0 2 1

x dx

+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t

+ Bước 4: Tính tích phân theo t

* Ví dụ minh họa

1)

1

2 0

1)

1 2 0

2 2 0

x x

dx x

sin

1 3

x dx cosx





 HD: Đặt t  1 3cosx dt 3sinxdx

12) 4 20

1 sin2xdxcos x

ln



* Nhận xét Dấu hiệu nhận biết của dạng này là hàm số dưới dấu tích phân có

chứa lnx và 1

x Ta có phương pháp giải như sau:

* Phương pháp giải+ Bước 1: Đặt t lnx dt dx

x

+ Bước 2: Đổi cận: x a  t lna; x b   t lnb

+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t

+ Bước 4: Tính tích phân theo t

1 ln

e

x dx x



 HD: Đặt t 1 ln x

3)1

sin(ln )

e

x dx x

 HD: Đặt t lnx

4) 2ln 11

e e x

dx x



 HD: Đặt t 2 lnx 1

5)

2 2

1 lnln

e

e

x dx

+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t

+ Bước 4: Tính tích phân theo t

* Ví dụ minh họa

Tính các tích phân:

1) 21

x

Giải

7) 2 2 0

+ Bước 1: Đặt t sinx  dt cosxdx hay t cosx  dt  sinxdx

+ Bước 2: Đổi cận: x a  t sina; x b   t sinb hay

+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t

+ Bước 4: Tính tích phân theo t

* Ví dụ minh họa

Tính các tích phân sau:

1) 2 3 3 0

1 x dx

Giải: + Đặt : x sint  dx costdt

2 2 2

* Phương pháp giải

+ Bước 1: Đặt xf t   dxf ' t dt 

+ Bước 2: Đổi cận: x   f t ; x     f t  hay

+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t

+ Bước 4: Tính tích phân theo t

Những dạng thường gặp:

+ Gặp biểu thức a2  x2 Đặt : xa sint hay xa cost

+ Gặp biểu thức a2 x2 Đặt : xa tant hay xa cott

01

dx x



Giải:

tan t dx

dx tan t

2 1

2 3

dx4x 12x 10

HD: đặt 2x 3 tant

2.4 Hiệu quả của SKKN

Với tinh thần thực hiện theo sáng kiến kinh nghiệm trên trong năm qua đạt được những kết quả như sau:

Với học sinh, cụ thể là lớp phụ trách 12A4 năm học 2010 - 2011

Tỷ lệ chung cuối năm

Với tổ chuyên môn:

Với cách phân dạng và nêu phương pháp, rút kinh nghiệm và chỉ rõ nội dungtrọng tâm như trên, các giáo viên trong tổ đã thực hiện và đạt kết quả khả quan trongcác kỳ thi, góp phần nâng cao chất lượng tổ bộ môn của trường

2.5 Nguyên nhân thành công:

- Được sự hỗ trợ nhiệt tình của tổ trưởng chuyên môn và các góp ý chânthành của các giáo viên trong tổ

- Được sự chỉ đạo sâu sát của ban giám hiệu, đặc biệt là phó hiệu trưởngchuyên môn

- Được sự hưởng ứng của học sinh khi tiếp cận phương pháp giảng dạy mới,các em cảm thấy hứng thú và hình thành ý thức học tốt hơn

2.6 Tồn tại:

- Do thời gian nghiên cứu ngắn nên chưa mở rộng phạm vi nghiên cứu đốivới tất cả các đối tượng học sinh (kể cà học sinh khá giỏi)

- Chưa đưa được các bài toán đòi hỏi sự thông hiểu cao hơn từ học sinh

- Một bộ phận học sinh có tư tưởng học để đối phó với giáo viên nên kết quảkhông cao

+ Chưa đọc kĩ đề bài, không biết bắt đầu từ đâu, khi gặp khó khănkhông biết làm thế nào để tìm lời giải Vì vậy giáo viên nên hướng dẫn học sinh đọc

và phân tích kĩ các dạng bài tập thường gặp

+ Chưa nghiên cứu kĩ từng dạng bài toán tính tích phân nên chưa địnhhướng cách giải

- Giải xong chưa kiểm tra lại lời giải để kiểm tra kiến thức vận dụng Vì vậy,giáo viên cần rèn tính chính xác, cẩn thận trong giải toán Hướng dẫn học sinh kiểmtra kết quả bằng cách dùng máy tính bỏ túi

* Với giáo viên:

- Cần tạo cho các em có thói quen thuộc bài và làm bài đầy đủ khi đến lớp

- Hình thành khả năng nhận dạng bài toán từ đó vận dụng lý thuyết đã họcđưa ra lời giải phù hợp

- Chú ý rèn khả năng thực hành, cần lựa chọn một hệ thống bài tập đa dạng,đầy đủ, đừng đơn điệu lặp lại làm học sinh nhàm chán và nảy sinh tính lười suynghĩ, ỷ lại sẽ không phát huy tính tích cực, không hình thành khả năng tự giác họctập ở các em, sẽ hiếm có học sinh giỏi, năng động và linh hoạt, cũng không giải bàitoán qua loa, đại khái

- Việc học của các em, giáo viên bộ môn cần phải giám sát, theo dõi chặt chẽnhư vai trò giáo viên chủ nhiệm Nếu không quan tâm sâu sắc thì hiệu quả khôngcao

2 Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm và khả năng ứng dụng:

Trong những nằm gần đây, việc học sinh trung bình yếu giải được bài toántích phân là một vấn đề Tuy nhiên nếu thực hiện đúng theo đề tài nghiên cứu nàythì công việc có phần nhẹ nhàng hơn Đề tài này đưa ra thành công hy vọng giúp các

em học sinh trung bình yếu của trường có thể làm được bài toán tính tích phân trongcác đề thi tốt nghiệp Kích thích tính tò mò, khả năng ham thích học tập bộ môn, dầnhình thành khả năng tự giác học tốt môn toán, để học tốt các môn khác Hình thành

óc thẩm mỹ, linh hoạt, nhạy bén, tích cực trong tư duy, trong học tập cũng như mọihoạt động khác Hạn chế học sinh bỏ học, phần nhiều không học được sinh ra lườibiếng

Tóm lại, việc nghiên cứu đề tài: “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ” thành công sẽ giúp học

sinh trường học tập tốt hơn và thi đạt hiệu quả cao hơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách Giáo khoa Đại số và Giải tích 12

2 Sách bài tập Đại số và Giải tích 12

3 Tích Phân – Trần Phương

4 Tích Phân – Phạm Kim Chung

5 Tích Phân – Phan Huy Khải