cách tiếp cận bài toán tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

SKKN: Tích phân đổi biến số MỤC LỤC Trang 1.Đặt vấn đề ( Bối cảnh và lý do chọn đề tài ) 2 2.Giải quyết vấn đề ( Nội dung sáng kiến kinh nghiệm ) 3 2.1 Cơ sở lý luận của vấn đề 3 2.2 Thực trạng của vấn đề 3 2.3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề 4 2.3.1. Kiến thức cơ bản học sinh cần nắm 4 2.3.2. Tiếp cận nhứng bài toán cơ bản 7 a) TÍCH PHÂN DẠNG ( ) 2 1 x n x ax b dx+ ∫ 7 b) TÍCH PHÂN DẠNG ( ) 1 b n k k a x ax b dx − + ∫ hoặc ( ) 2 1 b n k k a mx ax b dx − + ∫ 11 c) TÍCH PHÂN DẠNG ( ) ( ) b a ku' x dx u x ∫ 15 d) TÍCH PHÂN DẠNG ( ) b a f x dx x ln ∫ 17 e) TÍCH PHÂN DẠNG ( ) ( ) b u x a e .u' x dx ∫ 19 f) TÍCH PHÂN DẠNG b n m a sin xcos xdx ∫ 21 2.4 Hiệu quả của SKKN 23 3. Kết luận 24 Tài liệu tham khảo 25 Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 1 SKKN: Tích phân đổi biến số . CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Toán học là môn khoa học cơ bản phục vụ cho nhiều nghành nghề và học tốt môn toán luôn là một trong những mục tiêu đặt ra của học sinh. Nhất là trong các kỳ thi thì kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông hằng năm luôn là mục tiêu của nhiều học sinh và cả phụ huynh. Vì vậy việc vượt qua được kỳ thi này trở thành một vấn đề quan trọng. Trong đề thi tốt nghiệp hằng năm luôn có bài toán tính tích phân. Đây là bài toán được coi là khó đối với học sinh nhất là học sinh trung bình – yếu. Để làm được bài toán này, học sinh cần nắm định nghĩa và các tính chất nguyên hàm, thuộc các công thức nguyên hàm các hàm số sơ cấp và các phương pháp tính nguyên hàm. Để tính được bài toán tích phân học sinh không những phải học thuộc các kiến thức trên mà còn phải rèn luyện kỷ năng giải toán thường xuyên nữa. Nhằm giảm bớt sự khó khăn trong quá trình tính toán, và sự khó khăn khi gặp bài toán tích phân trong các đề thi tốt nghiệp hằng năm, tôi đưa ra cách tiếp cận bài toán tích phân một cách phù hợp với trình độ của học sinh trung bình yếu đó là “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ” Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 2 SKKN: Tớch phõn i bin s Mc ớch rừ rng ca ti ny l nhm giỳp hc sinh gii tt bi toỏn tớch phõn núi riờng v lm tt bi thi tt nghip THPT núi chung, xa hn na l lm tng t l b mụn toỏn ca trng trong k thi tt nghip hng nm. 2. NI DUNG TI 2.1. C s lý lun ca ti Hiện thực xung quanh có nhiều cái mà con ngời cha biết. Nhiệm vụ của cuộc sống và hoạt động thực tiễn luôn đòi hỏi con ngời phải hiểu biết cái cha biết đó ngày một sâu sắc, đúng đắn và chính xác hơn, phải vạch ra những cái bản chất và những quy luật tác động của chúng. Quá trình nhận thức đó gọi là t duy. Nhng t duy c thỡ cn phi nm c nhng kin thc c bn, nhng kin thc nn tng ca vn thỡ khi ú mi núi n tuy duy hay sỏng to. C s lý lun ca ti CCH TIP CN BI TON TNH TCH PHN BNG PHNG PHP I BIN S l t nhng kin thc c bn nht ca vn nhm giỳp hc sinh dn dn tip cn vi cỏc vn cao hn trong mt mch kin thc. C th húa ca vn v mt lý lun l giỳp hoc sinh c lp trong khi gii quyt vn m c th vn õy l bi toỏn tớch phõn trong cỏc k thi m c bit l cỏc dng m ti ny ó nghiờn cu v a ra trong sỏng kin kinh nghim dy hc ti trng ph thụng. 2.2. Thc trng ca ti 2.2.1 . Tỡnh hỡnh thc t ca hc sinh trng: - Phn ln hc sinh ca trng i bn cỏc xó lõn cn, i li khú khn. im tuyn sinh vo lp 10 khụng cao, nng lc hc tp ch yu l loi trung bỡnh, thm chớ mt s hc sinh kh nng tớnh toỏn rt hn ch - Hc sinh thng ớt chu tỡm tũi, khỏm phỏ v khụng thuc bi (li hc) 2.2.2. Thc trng ca ti CCH TIP CN BI TON TNH TCH PHN BNG PHNG PHP I BIN S Ngi vit: Chõu Th Phng Thựy Trang 3 SKKN: Tích phân đổi biến số - Đây là đề tài đầu tiên nghiên cứu về phương pháp đổi biến số trong bài tóan tích phân tại trường THPT Nguyễn Khuyến - Đề tài này hoàn thành sẽ có ứng dụng rất khả thi cho học sinh, giáo viên trong tổ toán của trường nhất là trong các kỳ thi. - Do đây là chương đòi hỏi học sinh phải có kiến thức cơ bản nhiều, thuôc bài và vận dụng được lý thuyết nên học sinh thường không làm bài được, cụ thể kết quả kiểm tra chương tích phân trong năm học 2010 – 2011 của lớp 12A4 như sau: Điểm 0 đến 3 3.5 đến 4.5 5 đến 6.5 7 đến 8 Trên 8 Số lượng 15 8 5 7 3 - Phân tích kết quả trên: số học sinh dưới trung bình chiếm 60.5% , số học sinh trên trung bình chiếm tỉ lệ 39.5% nhưng số học sinh đạt điểm trên 8 là khá ít mặc dù đề kiểm tra ra đảm bảo theo chuẩn kiến thức. 2.2.3. Khó khăn của đề tài: - Về tâm lý: khi gặp bài toán tích phân học sinh thường ngại suy nghĩ và cho rằng đây là bài toán khó nên thường bỏ luôn không làm - Về kiến thức: + Học sinh không thuộc bảng nguyên hàm các hàm số sơ cấp, công thức tính tích phân, các tính chất của nguyên hàm và tích phân + Khả năng nhận dạng dạng nguyên hàm hay tích phân còn thấp + Khả năng tính toán còn yếu - Nghiên cứu ứng dụng cho học sinh với tầm kiến thức trung bình yếu nên về mặt lý luận cũng gặp khó khăn. - Khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh còn kém nên việc triển khai đề tài có phần chậm. 2.2.4. Thuận lợi: Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 4 SKKN: Tớch phõn i bin s - Trong khi thc hin ti c s h tr ca bn ng nghip trong trng, trong t chuyờn mụn. - a s hc sinh cú phn hng thỳ vi cỏch tip cn mch kin thc mi. - Hc sinh chm ch tớch cc luyn tp k nng gii toỏn tớch phõn 2.3 . Cỏc bin phỏp tin hnh gii quyt vn 2.3.1. Kin thc c bn hc sinh cn nm * Nguyờn hm Kớ hiu K l khong, on hoc na khong ca Ă nh ngha : Cho hàm số f(x) xác định trên K . Hàm số F(x) đợc gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F '(x) = f(x) với mọi x K . nh lý 1: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K . nh lý 2 : Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số. L h tt c cỏc nguyờn hm ca f(x) trờn K * Tớnh cht ca nguyờn hm Tớnh cht 1: ữ = ( )d ' ( )f x x f x v = + '( )d ( ) .f x x f x C Vớ d : ( ) = + = cos d ' (s in )' cosx x x C x hay (cos )' d ( sin )d cos .x x x x x C= = + Ngi vit: Chõu Th Phng Thựy Trang 5 ( ) ( ) f x dx F x C, C= + Ă SKKN: Tớch phõn i bin s Tớnh cht2: ( )d ( )dkf x x k f x x = k: hng s khỏc 0 Tớnh cht 3: [ ] = ( ) ( ) d ( )d ( )d .f x g x x f x x g x x Bng nguyờn hm cỏc hm s s cp = 0dx C = + d ln x x a a x C a (a > 0, a 1) = + dx x C = + cos d sinx x x C + = + + 1 1 d 1 x x x C ( 1) = + sin d cosx x x C = + 1 d lnx x C x = + 2 1 d tan cos x x C x = + d x x e x e C = + 2 1 d cot sin x x C x TCH PHN nh ngha tớch phõn Cho f(x) l hm s liờn tc trờn [a; b]. Gi s F(x) l mt nguyờn hm ca f(x) trờn [a; b] Hiu s F(b) F(a) c gi l tớch phõn t a n b ca f(x). ( ) ( ) ( ) ( ) = = b b a a f x dx F x F b F a TNH CHT CA TCH PHN I) Tớnh chaỏt : Giaỷ sửỷ f(x), g(x) lieõn tuùc treõn K; a,b K Ngi vit: Chõu Th Phng Thựy Trang 6 SKKN: Tớch phõn i bin s 1) ( ) a a f x dx 0= 2) ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx= 3) ( ) ( ) b b a a kf x dx k f x dx= 4) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx = 5) ( ) ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx c a;b= + 6) ( ) [ ] ( ) b a f x 0, x a;b f x dx 0 7) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) b b a a f x g x , x a;b f x dx g x dx 8) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) b a m f x M, x a;b m b a f x dx M b a 9) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) t a t bieỏn thieõn treõn ủoaùn a;b G t f x dx laứ 1 nguyeõn haứm cuỷa f t vaứ G a 0 = = Phng phỏp i bin s nh lớ 1: Cho hm s f(x) liờn tc trờn [a; b]. Gi s hm s x = (t) cú o hm liờn tc trờn on [ ; ] sao cho ( ) = a, ( ) = b v a (t) b vi t [ ; ]. Khi ú: [ ] b a f x dx f t t dt( ) ( ) ( ) = nh lớ 2: Cho hm s f(x) liờn tc trờn [a; b]. Nu hm s u = u(x) cú o hm liờn tc trờn [a; b] v u(x) vi mi x [a; b] sao cho f(x) = g[u(x)]u (x), g(u) liờn tc trờn [ ; ] thỡ: Ngi vit: Chõu Th Phng Thựy Trang 7 SKKN: Tích phân đổi biến số u b b a u a f x dx g u du ( ) ( ) ( ) ( ) = ∫ ∫ 2.3.2. Tiếp cận nhứng bài toán cơ bản a) TÍCH PHÂN DẠNG ( ) 2 1 x n x ax b dx+ ∫ * Nhận xét Ta thấy hàm số dưới dấu tích phân là ( ) n y ax b= + , đối với hàm số này không có nguyên hàm trực tiếp, do đó muốn giải được thì ta phải đưa về đa thức mới lấy nguyên hàm được. Nhưng đưa về đa thức cũng là vấn đề, nếu n là 2 hoặc 3 thì ta áp dụng hằng đẳng thức ( ) 2 2 2 2a b a ab b± = ± + Hay ( ) 3 3 2 2 3 3 3a b a a b ab b± = ± + ± Ví dụ: Tính tích phân ( ) 1 2 0 2 1x dx+ ∫ Giải: ( ) ( ) 1 1 1 3 2 2 2 0 0 0 4 13 2 1 4 4 1 2 3 3 x x dx x x dx x x   + = + + = + + =  ÷  ÷   ∫ ∫ Hoặc tính tích phân ( ) 1 3 0 2 1x dx− ∫ Giải: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 2 4 3 2 0 0 0 2 1 8 12 6 1 2 4 3 10x dx x x x dx x x x x− = − + − = − + − = ∫ ∫ Nhưng xem ra cách này cũng không khả quan lắm vì đa số học sinh không nhớ được hằng đẳng thức ( ) 3 3 2 2 3 3 3a b a a b ab b± = ± + ± . Hơn nữa nếu n là số nguyên âm hay hữu tỷ thì cách này không giải được. Để giải quyết dạng bài tập này tôi đưa ra cách giải khả thi như sau: Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 8 SKKN: Tích phân đổi biến số * Phương pháp giải ( ) 2 1 x n x ax b dx+ ∫ + Bước 1: Đặt dt t ax b dt adx dx a = + ⇒ = ⇔ = + Bước 2: Đổi cận: 1 1 2 2 x x t ax b; x x t ax b= ⇒ = + = ⇒ = + + Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t + Bước 4: Tính tích phân theo t *Nhận xét: Như vậy cách giải này tránh được việc phải nhớ hằng đẳng thức. Chỉ cần thực hiện những thao tác cơ bản như: tính vi phân hàm bậc nhất (việc này rất dễ dàng). Công việc đổi cận cũng không có gì khó khăn, đây chỉ là việc tính giá trị của hàm số bậc nhất mà thôi. * Các ví dụ minh họa: Tính các tích phân sau: 1) ( ) 1 4 0 2 1x dx+ ∫ 2) ( ) 2 4 3 1 3 2x dx− ∫ Giải: 1) ( ) 1 4 0 2 1x dx+ ∫ . Đặt 2 1 2 2 dt t x dt dx dx= + ⇒ = ⇔ = . Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 3 . Do đó ta có: ( ) 1 3 4 4 0 1 2 1 2 dt x dx t+ = ∫ ∫ 3 5 1 242 121 10 10 5 = = = t Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 9 SKKN: Tích phân đổi biến số 2) ( ) 2 4 3 1 3 2x dx− ∫ . Đặt 3 2 3 dt t x dt dx dx= − ⇒ = ⇔ = . Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1; x = 12 ⇒ t = 4 . Do đó ta có: ( ) 2 4 4 4 3 3 1 1 3 2 3 dt x dx t− = ∫ ∫ 4 7 3 3 1 2 2 1 7 7 − = = t * Phân tích ví dụ Thật vậy đây là cách giải có nhiều ưu điểm hơn các cách giải khác( đã trình bày ở trên). Nhận xét rằng ( ) 1 d ax b dx a + = nên ta đưa ra các công thức dạng tổng quát để học sinh có thể áp dụng trực tiếp. Ta có bảng sau ( ) ( ) α α α + + = + + + ∫ 1 1 a d a 1 x b x x b C (α ≠ −1) ( ) ( ) + = + + ∫ 1 cos d sinax b x ax b C a ( ) ( ) = + + + ∫ 1 1 d ln a a x x b C a x b ( ) ( ) + = − + + ∫ 1 sin d cosax b x ax b C a + + = + ∫ 1 d ax b ax b e x e C a ( ) ( ) = + + + ∫ 2 1 1 d tan cos x x ax b C a ax b + + = + ∫ d ln mx n mx n a a x C m a (a > 0, a ≠ 1) ( ) ( ) = − + + + ∫ 2 1 1 d cot sin x ax b C a ax b * Bài toán áp dụng 1) ( ) 1 2 0 2 1x dx − + ∫ 2) 1 0 3 1 dx x + ∫ Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 10 [...]... SKKN: Tích phân đổi biến số Tóm lại, việc nghiên cứu đề tài: “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ” thành công sẽ giúp học sinh trường học tập tốt hơn và thi đạt hiệu quả cao hơn Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 28 SKKN: Tích phân đổi biến số TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Sách Giáo khoa Đại số và Giải tích 12 2 Sách bài tập Đại số và Giải tích 12 3 Tích Phân – Trần Phương 4 Tích. .. sin 2x ÷ = 2 2 4 0 0 Như vậy ngoài cách đổi biến số thông thường ta còn có một cách khác để giải quyết bài tóan tích phân bằng phương pháp đổi biến số như trên * Phương pháp giải + Bước 1: Đặt x = f ( t ) ⇒ dx = f ' ( t ) dt + Bước 2: Đổi cận: x = α ⇒ α = f ( t ) ; x = β ⇒ β = f ( t ) hay + Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t + Bước 4: Tính tích phân theo t Những dạng thường gặp:... SKKN: Tích phân đổi biến số Tuy nhiên nếu k và n lớn hơn thì ta cũng khó thực hiện được cách giải như trên , do đó ta có phương pháp tổng quát cho bài toán dạng này như sau: * Phương pháp giải + Bước 1: Đặt t = axk + b⇒ dt = kaxk−1dx ⇔ dt = xk−1dx ka k k + Bước 2: Đổi cận: x = x1 ⇒ t = ax 1 + b; x = x2 ⇒ t = ax 2 + b + Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t + Bước 4: Tính tích phân theo... là loại tích phân có phương pháp đổi biến giải ngược so với các cách đổi biến đã trình bày ở trên Cụ thể ta xét ví dụ: 1 Tính tích phân : ∫ 1 − x2 dx 0 Giải: + Đặt : x = sint ⇒ dx = costdt + Đổi cận : x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = + 1 ∫ 1 − x2 dx = 0 π 2 + ∫ π 2 ∫ π 2 1 − sin2 t costdt 0 1 − sin 2 t costdt = 0 Người viết: Châu Thị Phương Thùy π 2 ∫ cost costdt 0 Trang 23 SKKN: Tích phân đổi biến số π 2... c) TÍCH PHÂN DẠNG ( ) dx ku' x ∫ u ( x) a * Nhận xét Đây là dạng đổi biến mà hàm số trên tử là đạo hàm của hàm số dưới mẫu hoặc hàm số trên tử là hệ số nhân với đạo hàm của hàm số dưới mẫu * Phương pháp giải + Bước 1: Đặt t = u ( x ) ⇒ dt = u' ( x ) dx + Bước 2: Đổi cận: x = a ⇒ t = u ( a ) ; x = b ⇒ t = u ( b) Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 15 SKKN: Tích phân đổi biến số + Bước 3: Chuyển tích. .. thức hạ bậc * Phương pháp giải + Bước 1: Đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx hay t = cosx ⇒ dt = − sinxdx + Bước 2: Đổi cận: x = a ⇒ t = sina; x = b ⇒ t = sinb hay x = a ⇒ t = cosa; x = b ⇒ t = cosb + Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t + Bước 4: Tính tích phân theo t * Ví dụ minh họa Tính các tích phân sau: Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 21 SKKN: Tích phân đổi biến số π 2 π 2 2) ∫... Phương pháp giải u( x ) u( x ) + Bước 1: Đặt t = u ( x ) ⇒ dt = u' ( x ) dx hay t = e ⇒ dt = u' ( x ) e dx + Bước 2: Đổi cận: x = a ⇒ t = u ( a ) ; x = b ⇒ t = u ( b) hay ( ) ua x =a⇒t =e ( ) ub ; x = b⇒ t =e + Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t + Bước 4: Tính tích phân theo t Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 19 SKKN: Tích phân đổi biến số * Ví dụ minh họa Tính các tích phân: ... Thị Phương Thùy Trang 26 SKKN: Tích phân đổi biến số + Chưa nghiên cứu kĩ từng dạng bài toán tính tích phân nên chưa định hướng cách giải - Giải xong chưa kiểm tra lại lời giải để kiểm tra kiến thức vận dụng Vì vậy, giáo viên cần rèn tính chính xác, cẩn thận trong giải toán Hướng dẫn học sinh kiểm tra kết quả bằng cách dùng máy tính bỏ túi * Với giáo viên: - Cần tạo cho các em có thói quen thuộc bài. .. tích phân có chứa ln x và 1 Ta có phương pháp giải như sau: x * Phương pháp giải + Bước 1: Đặt t = ln x ⇒ dt = dx x + Bước 2: Đổi cận: x = a ⇒ t = lna; x = b ⇒ t = lnb + Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t + Bước 4: Tính tích phân theo t * Ví dụ minh họa e Tính tích phân: 1 + 2 ln x dx x 1 ∫ Giải + Bước 1: Đặt t = ln x ⇒ dt = dx x + Bước 2: Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 0; x = e ⇒ t = 1 e... Thị Phương Thùy Trang 12 SKKN: Tích phân đổi biến số + Bước 2: Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 2; x = 1 ⇒ t = 3 3 ( ) 3 + Bước 3: ∫ x3 x3 + 2 x2dx = 2 3 + Bước 4: ∫( 2 3 ∫ ( t − 2) t 2 3 dt 3 3 3 dt 1 1  t5 t 4  4 3 t−2 t = t − 2t dt =  − ÷ = 3 3∫ 3 5 2 ÷ 2  2 ) ( 3 ) * Phân tích ví dụ Qua ví dụ cho thấy, khi gặp bài toán dạng này (dạng hàm số dưới dấu tích phân có hai phần mà phần trong dấu ngoặc số mũ . khảo 25 Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 1 SKKN: Tích phân đổi biến số . CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Toán học là môn khoa học cơ bản. 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t + Bước 4: Tính tích phân theo t Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 19 SKKN: Tích phân đổi biến số * Ví dụ minh họa Tính các tích phân: 1). hợp với trình độ của học sinh trung bình yếu đó là “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ” Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 2 SKKN: Tớch phõn i bin s Mc ớch