SKKN phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua giải bài toán tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THƠNG QUA GIẢI BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Người thực hiện: Hà Ngọc Long Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Tốn THANH HỐ NĂM 2021 MỤC LỤC Nội dung 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 2.3 2.3 2.4 3.1 3.2 Trang Mở đầu Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu -1 Phương pháp nghiên cứu -2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm -2 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm -2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề Phương thức 1: Bổ sung số kiến thức tích phân phần số kĩ thuật giải dạng tốn tính tích phân phương pháp tích phân phần Phương thức 2: Sử dụng phương pháp tích phân phần để giải tốn tính tích phân mà biểu thức tích phân có 11 chứa đạo hàm bậc hàm số Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, 16 với thân, đồng nghiệp nhà trường Kết luận, kiến nghị -17 Kết luận 17 Kiến nghị 17 Tài liệu tham khảo 19 Danh mục đề tài SKKN -20 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Với xu đổi phương pháp giáo dục giáo dục, trình dạy học để thu hiệu cao đòi hỏi người thầy phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa phương pháp phù hợp với kiến thức đối tượng học sinh cần truyền thụ Như luật giáo dục Việt Nam có viết: “Phương pháp giáo dục phổ thông cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” Trong thời gian giảng dạy, nghiên cứu tìm tịi phương pháp phù hợp với dạy đối tượng học sinh để truyền thụ kiến thức, kỹ giải toán cho học sinh cách tốt Ngày đổi giáo dục toán học Việt Nam đặc biệt quan tâm đến phát triển lực học sinh Các lực then chốt như: Năng lực giải vấn đề cách sáng tạo, lực tính tốn, lực tư suy luận, lực ngơn ngữ, lực kết nối tốn học với thực tiễn Việc nghiên cứu phương pháp tích phân phần để giải tốn tính tích phân có nhiều khả góp phần hình thành phát triển lực nói đặc biệt lực giải vấn đề sáng tạo Để có lực cần phải có tri thức Tri thức tốn học nói chung, tri thức tích phân phần đóng vai trị điều kiện thúc đẩy hoạt động nhằm phát triển lực người học Chính lí nói trên, tơi chọn đề tài: “Phát triển lực giải vấn đề sáng tạo cho học sinh thơng qua giải tốn tính tích phân phương pháp tích phân phần” 1.2 Mục đích nghiên cứu Việc nghiên cứu đề tài với mục tiêu sau: Bổ sung số kĩ thuật để giải số dạng tốn tích phân phần nhằm làm phong phú thêm vai trị phương pháp tích phân phần Đề tài đặc biệt quan tâm việc phát triển mở rộng tốn chương trình phổ thơng nhằm góp phần phát triển cho học sinh lực giải vấn đề sáng tạo 1.3 Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu vai trò phương pháp tích phân phần việc giải dạng tốn tính tích phân trường phổ thơng Nghiên cứu phương thức mở rộng phát triển tốn chương trình trung học phổ thơng 1.4 Phương pháp nghiên cứu a, Nghiên cứu tài liệu, nghiên cứu sở lí luận phương pháp tích phân phần chương trình tốn học phổ thơng b, Điều tra - Thực dạy kết kiểm tra - Đàm thoại: + Trao đổi với đồng nghiệp để có kinh nghiệm phương pháp dạy phù hợp + Trao đổi với em học sinh cách học NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong học tập sống, học sinh gặp tình có vấn đề cần giải Việc nhận tình có vấn đề giải tình cách thành cơng lực giải vấn đề sáng tạo Năng lực giải vấn đề sáng tạo khả học sinh nhận mâu thuẫn nhận thức vấn đề học tập vấn đề sống tìm phương pháp để giải mâu thuẫn, vượt qua khó khăn trở ngại, từ học sinh tiếp thu kiến thức, kĩ giải vấn đề thực tiễn Sách giáo khoa nhiều tài liệu trình bày kiến thức phương pháp tích phân phần ứng dụng tích phân phần Tuy nhiên với thời lượng chương trình cịn nên chưa đề cập sâu kiến thức hệ thống tập áp dụng phương pháp tích phân phần Trong khuôn khổ đề tài này, bổ sung thêm số kiến thức tích phân phần đồng thời chọn lọc số toán mà trước tác giả giải cách khác, hướng dẫn học sinh giải phương pháp tích phân phần Như học sinh khơng giải theo cách giải cũ mà ln tìm tịi cách giải Qua phát triển lực giải vấn đề sáng tạo phát triển lực học tập thân 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong chương trình tốn học lớp 12, nội dung tích phân đánh giá nội dung khó Mặc dù số tiết phân phối chương trình thấy dạng tốn tính tích phân gặp nhiều đề thi đặc biệt với dạng đề thi trắc nghiệm Khi gặp toán tích phân, học sinh thường khó khăn để nhận dạng tích phân, từ khơng biết cách lựa chọn phương pháp giải 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề Để khắc phục hạn chế nêu, đề tài hệ thống kiến thức tích phân phần, nêu dạng tốn tính tích phân phương pháp tích phân phần đồng thời chọn lọc ví dụ, tập áp dụng phù hợp với đối tượng học sinh mà phụ trách Thơng qua phát triển lực giải vấn đề sáng tạo cho học sinh việc học tốn trường phổ thơng 2.3.1 Phương thức 1: Bổ sung số kiến thức tích phân phần số kĩ thuật giải dạng toán tính tích phân phương pháp tích phân phần 2.3.1.1 Vai trò việc thực phương thức Việc thực phương thức đề nhằm vào mục đích sau: - Mở rộng tiềm huy động kiến thức giải tốn tính tích phân - Nhằm nhìn nhận cách tổng quan dạng tốn tính tích phân 2.3.1.2 Nội dung cụ thể: Trong chương trình tốn học lớp 12, phương pháp tích phân phần dạng toán quan trọng góp phần giải tốn tích phân Vậy tích phân phần gì? Theo cách hiểu đơn giản tích phân phần q trình tìm tích phân tích hàm dựa tích phân đạo hàm nguyên hàm chúng Nó thường sử dụng để biến đổi nguyên hàm tích hàm thành nguyên hàm mà đáp án tìm thấy dễ dàng Quy tắc suy cách sau: Theo quy tắc đạo hàm tích hàm số: (uv)′ = u′v + uv′ [1] Lấy tích phân vế với cận a , cận b ta được: b b b ∫ (uv)′dx = ∫ u′vdx + ∫ uv′dx a a a b b b a a a b ⇔ ( u.v ) a = ∫ vdu + ∫ udv ⇔ ∫ udv = ( u.v ) a − ∫ vdu b b a Từ để tính tích phân phần, người ta thường áp dụng theo công thức sau: Nếu u ( x); v( x) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [ a; b ] thì: b b ∫ u ( x).v′( x)dx = ( u( x).v( x) ) a − ∫ v( x).u′( x)dx b a a b b Viết gọn là: ∫ udv = ( u.v ) a − ∫ vdu b a a Đối với dạng tập tích phân phần, ta cần quan tâm thứ tự đặt u Trước hết cần đặt u dv cho tính du tìm v dễ dàng Các bước để tính tích phân phần sau: b Bước Biến đổi tích phân cho dạng I = ∫ f ( x).g ( x)dx a du = f ′( x)dx  v = G ( x ) u = f ( x) Bước Đặt  suy dv = g ( x)dx b b Bước Khi đó: I = ∫ f ( x).g ( x)dx = ( f ( x).G ( x ) ) a − ∫ G ( x) f ′( x)dx b a a Chú ý thứ tự ưu tiên chọn u là: Lôgarit → Đa thức → Lượng giác → Mũ Các dạng toán sử dụng phương pháp tích phân phần là: Dạng tốn Gặp tích phân có dạng sau: b * ∫ f ( x)dx hàm số f ( x) có chứa e g ( x) , đồng thời ta tách sau: a b ∫ a u = h( x) f ( x)dx = ∫ h( x).g ′( x).e g ( x ) dx tiếp tục ta đặt  g (x) a dv = g ′( x).e dx b b mx + n Đặc biệt tích phân có dạng: ∫ P( x).e dx với P ( x) hàm số đa thức ta đặt a u = P( x )  mx + n dv = e dx  b * ∫ f ( x).sin g ( x)dx đồng thời ta tách sau: a b ∫ a u = h( x ) f ( x).sin g ( x) dx = ∫ h( x).g ′( x).sin g ( x)dx tiếp tục ta đặt  a dv = g ′( x).sin g ( x) dx b b Đặc biệt tích phân có dạng: ∫ P( x).sin( mx + n) dx với P ( x) hàm số đa thức a u = P ( x ) ta đặt  dv = sin(mx + n)dx b * ∫ f ( x).cos g ( x)dx đồng thời ta tách sau: a b ∫ a b u = h( x ) f ( x).cos g ( x)dx = ∫ h( x).g ′( x).cos g ( x)dx tiếp tục đặt  a dv = g ′( x).cos g ( x)dx b Đặc biệt tích phân có dạng: ∫ P( x).cos(mx + n)dx với P ( x) hàm số đa thức a u = P ( x) ta đặt  dv = cos(mx + n)dx u = ln f ( x) Dạng tốn Gặp tích phân có dạng ∫ P( x).ln f ( x)dx ta đặt  a dv = P ( x)dx Dạng toán Gặp tích phân có dạng: b b * ∫ f ( x)dx hàm số f ( x) có chứa tích e h ( x ) sin g ( x) , đồng thời ta tách a b sau: b ∫ f ( x)dx = ∫ e a h( x) a u = e h ( x ) g ′( x).sin g ( x)dx ta đặt  ′ dv = g ( x ).sin g ( x ) dx  b Còn tách được: b ∫ f ( x)dx = ∫ h′( x).e a h( x) sin g ( x)dx ta tiếp tục đặt a u = sin g ( x)  h( x) ′ dv = h ( x ) e dx  b * ∫ f ( x)dx hàm số f ( x) có chứa tích e h( x) cos g ( x) , đồng thời ta tách a b sau: b ∫ f ( x)dx = ∫ e a a h( x) u = e h ( x ) g ′( x).cos g ( x)dx ta đặt  dv = g ′( x).cos g ( x)dx b Còn tách được: ∫ a b f ( x)dx = ∫ h′( x ).e h ( x ) cos g ( x )dx ta tiếp tục đặt a u = cos g ( x)  h( x) dv = h′( x ).e dx Sau số ví dụ minh họa lấy từ nguồn tài liệu, đề thi thử tốt nghiệp THPT năm 2021 ví dụ thân tự làm, tự nghiên cứu a.e6 + b Ví dụ Cho biết I = ∫ (2 x − 1)e dx = ; với a, b, c ∈ Z Tính giá trị biểu thức c 3x S = a + b + c [5] Phân tích: Ta nhận thấy hàm số dấu tích phân có dạng tích hàm số đa thức hàm số mũ Vì với tích phân ta áp dụng phương pháp tích phân phần Lời giải: du = 2dx u = x −  ⇒ Đặt   3x 3x dv = e dx v = e  2 3x 1 3x 3x Khi đó: I = ∫ (2 x − 1)e dx = (2 x − 1) e − ∫ e dx = e + − e 30 3 3x 7e6 + =e + − e + = 9 a.e6 + b ⇒ a = 7; b = 5; c = Vậy S = a + b + c = 21 Theo giả thiết I = c π Ví dụ Cho biết I = ∫ ( x + 1)sin xdx = aπ + b ; với a, b số hữu tỉ Tính giá trị biểu thức S = a + b [5] Phân tích: Ta nhận thấy hàm số dấu tích phân có dạng tích hàm số đa thức hàm số sin Vì với tích phân ta áp dụng phương pháp tích phân phần Lời giải: du = xdx u = x +  ⇒ Đặt  dv = sin xdx v = − cos x  π π π Khi đó: I = ∫ ( x + 1)sin xdx = − ( x + 1)cos x 04 + ∫ x cos xdx = + J 2 0 π Đến ta thấy tích phân J = ∫ x cos xdx có dạng tích hàm số đa thức hàm số cosin Chính tiếp tục áp dụng phương pháp tích phân phần du = dx u = x  ⇒ Đặt  dv = cos xdx v = sin x  π π π π π 1 Khi đó: J = x sin x 04 − ∫ sin xdx = + cos x 04 = − 8 20 Suy I = π 1 +J = + 1 Theo giả thiết I = aπ + b suy a = ; b = Vậy S = a + b = 8 π Ví dụ Cho biết I = ∫ e x +1.cos xdx = a.e + b.e ; với a, b, c số nguyên Tính c π +1 giá trị biểu thức S = a + b + c [5] Phân tích: Ta nhận thấy hàm số dấu tích phân có dạng tích hàm số mũ hàm số cosin Vì với tích phân ta áp dụng phương pháp tích phân phần Lời giải: u = e x +1 du = 2e x +1dx ⇒ Đặt  dv = cos xdx  v = sin x π π π Khi đó: I = ∫ e x +1.cos xdx = e2 x +1.sin x −2 ∫ e x +1 sin xdx = eπ +1 − 2.J 0 π Với tích phân J = ∫ e x +1 sin xdx có dạng tích hàm số mũ hàm số sin Chính tiếp tục áp dụng phương pháp tích phân phần u = e x +1 du = 2e x +1dx ⇒ Đặt  dv = sin xdx v = − cos x Khi đó: J = −e x +1 π π cos x +2 ∫ e x +1.cos xdx = e + 2.I Suy I = e π +1 π +1 − 2.J = e Theo giả thiết I = eπ +1 − 2e − 2.(e + I ) ⇔ I = a.eπ +1 + b.e suy a = 1; b = −2; c = Vậy S = a + b + c = c − x2 p )dx = a + b ln , với a, b số hữu tỉ; p, q Ví dụ Cho biết ∫ x ln( 4+ x q số nguyên tố p < q Tính S = 2ab + pq (Trích đề thi khảo sát chất lượng lớp 12 Sở GD ĐT Thanh Hóa ngày 25/4/2021, mã đề 105, câu 44) Phân tích: Ta nhận thấy hàm số dấu tích phân có dạng tích hàm số đa thức hàm số lơgarit áp dụng phương pháp tích phân phần Lời giải: − x2  ( )′  −16 x + x du = dx = dx 4− x   4− x 16 − x  u = ln 4+ x ⇒ Đặt  + x dv = x dx   x4  v = − Chú ý: Với khơng tính v = x4 x4 v = −4 mà khéo léo chọn 4 − x2 −16 x x4  − x2  x4 ) dx = − ( − 4) dx = ( − 4)ln Khi đó: ∫ x ln(  + x2 ÷ ∫ 4 + x2 16 − x 4  0 15 15 = − ln − ∫ xdx = −2 − ln 5 − x2 p 15 ) dx = a + b ln Theo giả thiết ∫ x ln( a = −2; b = − ; p = 3; q = 4+ x q 15 ) + 3.5 = 30 Điểm nhấn lời giải này, cho sáng tạo tính v thơng thường Vậy S = 2ab + pq = 2.(−2).(− x4 x4 dv = x ⇒ v = , với giáo viên hướng dẫn học sinh chọn v = − 4 giúp việc tính tích phân sau trở nên đơn giản nhiều Với tương tự sau giúp học sinh tự phân tích tìm hướng giải 3 − x3 )dx = a + b ln c , với a, b số hữu tỉ; c số Ví dụ Cho biết ∫ x ln( + x3 nguyên tố Tính S = a + b + c [5] Phân tích: Ta nhận thấy hàm số dấu tích phân có dạng tích hàm số đa thức hàm số lơgarit áp dụng phương pháp tích phân phần Lời giải: − x3  ( )′  −18 x 3 + x du = dx = dx 3− x   − x − x u = ln  + x3 ⇒  Đặt  + x3 dv = x dx   x6 x6 −  v = − = x6 x6 Chú ý: Với khơng tính v = mà khéo léo chọn v = − 6 − x3 x −  − x  x − −18 x x ln( ) dx = −∫ dx = ( )ln  Khi đó: ∫ ÷ + x − x + x  0 1 = − ln − ∫ 3x dx = −1 + ln 3 − x3 ) dx = a + b ln c a = − 1; b = ;c=2 Theo giả thiết ∫ x ln( + x3 Vậy S = a + b + c = −1 + +2= 3 ln( x + 1) dx = a ln p + b ln q , với a, b số hữu tỉ; p, q x số nguyên tố p < q Tính S = ab + pq [4] Ví dụ Cho biết I = ∫ Phân tích: Ta nhận thấy hàm số dấu tích phân có dạng tích hàm số đa thức hàm lơga áp dụng phương pháp tích phân phần Lời giải: 2x  dx u = ln( x + 1) du =   x +1 ⇒ Đặt  dx dv =  v = − x3  2x2 2 dx 1 ( x + − x )dx + = ln − ln + ∫ = Khi đó: I = − ln ( x + 1) ∫ 2 x( x + 1) 2x x ( x + 1) 1 x = ln − ln + ∫ ( − ) dx = 2ln − ln x +1 x ln( x + 1) dx = a ln p + b ln q a = 2; b = − ; p = 2; q = Theo giả thiết I = ∫ x 35 Vậy S = ab + pq = 2.(− ) + 2.5 = π ln(sin x + cos x) π dx = + b ln c , với a ∈ Z b, c số sin x a π Ví dụ Cho biết I = ∫ nguyên tố Tính S = a + b + c (Trích đề thi đánh giá chất lượng lớp 12 năm học 2020 – 2021 trường Đại học Hồng Đức, mã đề 168, câu 48) Phân tích: Ta nhận thấy hàm số dấu tích phân có dạng tích hàm số lơgarit hàm số nên ta áp dụng phương pháp tích phân phần sin x Lời giải: cos x − sin x  dx u = ln(sin x + cos x) du =   sin x + cos x ⇒ Đặt  dx dv =  v = − cot x − = − cos x + sin x sin x  sin x π π π cos x + sin x cos x − sin x dx = sin x sin x + cos x π Khi đó: I = (− cot x − 1)ln(sin x + cos x) + ∫ π π cos x − sin x π = 2ln + ∫ dx = 2ln + (ln sin x − x) π2 = − + 3ln sin x π 4 π ln(sin x + cos x) π dx = + b ln c Suy ra: a = −4; b = 3, c = sin x a π Theo giả thiết I = ∫ Vậy S = a + b + c = Nhận xét: Điểm nhấn lời giải này, tơi cho sáng tạo tính v thông dx ⇒ v = − cot x , với giáo viên hướng dẫn học sinh chọn sin x v = − cot x − giúp việc tính tích phân sau trở nên đơn giản nhiều BÀI TẬP LUYỆN TẬP thường dv = a.e + b Bài Cho biết I1 = ∫ (3x + 1)e dx = ; với a, b, c ∈ Z Tính giá trị biểu thức c 2x S = a + b2 + c2 Kết quả: S = a + b + c = 42 10 π Bài Cho biết I = ∫ ( x − 1)cos3 xdx = aπ + b ; với a, b số hữu tỉ Tính giá trị biểu thức S = a + b Kết quả: S = a + b = − 43 108 π Bài Cho biết I = ∫ e x +1.sin xdx = a.e π +1 c + b.e ; với a, b số nguyên Tính giá trị biểu thức S = abc Kết quả: S = abc = 10 2 Bài Cho biết I = ∫ ln(9 − x )dx = a + b ln + c ln ; với a, b, c số nguyên Tính giá trị biểu thức P = a + b + c Kết quả: P = a + b + c = 13 2.3.2 Phương thức 2: Sử dụng phương pháp tích phân phần để giải tốn tính tích phân mà biểu thức tích phân có chứa đạo hàm bậc hàm số 2.3.2.1 Vai trò việc thực phương thức - Thực phương thức giúp học sinh biết cách giải vấn đề phát triển cách giải vấn đề cách sáng tạo - Thực phương thức nhằm giúp học sinh phát tìm tịi cách giải nhờ sử dụng phương pháp tích phân phần Biết khai thác sử dụng giả thiết tốn, đưa tích phân hàm số chưa biết tích phân biết Từ góp phần phát triển lực giải vấn đề sáng tạo dạy - học - Tăng cường sở định hướng cách huy động đắn kiến thức cho việc lập luận giải dạng tốn tính tích phân 2.3.2.2 Nội dung cụ thể: Trong phương thức việc sử dụng kiến thức phương thức 1, kết hợp với việc sử dụng tính chất sau nguyên hàm: ∫ f ′( x)dx = f ( x) + C hay mở rộng như: ∫ f ′( x).e f (x) dx = e f ( x ) + C Sau số ví dụ minh họa lấy từ nguồn tài liệu, đề thi thử tốt nghiệp THPT năm 2021 ví dụ thân tự làm, tự nghiên cứu 11 f ( x) Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm R thỏa mãn ∫ xf ′( x).e dx = 12 f (2) = ln Tính I = ∫ e f ( x ) dx [5] f (x) Phân tích: Hàm số dấu tích phân có dạng tích xf ′( x).e , mặt khác đề f ( x) yêu cầu tính I = ∫ e dx Chính có hướng giải đặt u = x dv = f ′( x).e f ( x) dx Khi v = e f ( x ) Lời giải: u = x  du = dx ⇒ Đặt   f ( x) f (x) ′ dv = f ( x ) e dx v = e   2 f ( x) f ( x) f ( x) Khi đó: ∫ xf ′( x).e dx = x.e − ∫ e dx = 2e f (2) − I 0 ⇔ 12 = − I ⇔ I = −8 Vậy I = −8 π Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục [0; ] thỏa mãn π ∫ f ′( x).cos π xdx = f (0) = Tính I = ∫ f ( x ).sin xdx [3] Phân tích: Hàm số dấu tích phân có xuất dạng tích: f ′( x).cos x Đồng thời dễ dàng tính vi phân cos x để đưa sin 2x tìm nguyên hàm f ′( x) f ( x) Từ có lời giải sau Lời giải: u = cos x du = −2cos x.sin xdx = − sin xdx ⇒ Đặt  dv = f ′( x)dx v = f ( x ) Khi đó: π ∫ f ′( x).cos π π 2 xdx = cos x f ( x) + ∫ f ( x)sin xdx = − f (0) + I ⇔ = −4 + I ⇔ I = 12 Vậy I = 12 Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm R thỏa mãn 1 0 ∫ ( x + 1) f ′( x)dx = 10 ; f (1) − f (0) = Tính I = ∫ f ( x)dx [2] 12 Phân tích: Hàm số dấu tích phân có xuất dạng tích: ( x + 1) f ′( x) Đồng thời dễ dàng tính vi phân x + tìm nguyên hàm f ′( x) f ( x) Từ có lời giải sau Lời giải: u = x + du = dx ⇒ Đặt  dv = f ′( x) dx v = f ( x ) 1 0 Khi đó: ∫ ( x + 1) f ′( x)dx = ( x + 1) f ( x) − ∫ f ( x)dx = f (1) − f (0) − ∫ f ( x)dx ⇔ 10 = − I ⇔ I = −8 Vậy I = −8 Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm R thỏa mãn ∫ xf ′(2 x − 4)dx = 10 ; f (2) = Tính I = ∫ f (2 x)dx [5] −2 Phân tích: Hàm số dấu tích phân có xuất dạng tích: xf ′(2 x − 4) Đồng thời dễ dàng tính vi phân x tìm nguyên hàm f ′(2 x − 4) f (2 x − 4) Lời giải: du = dx u = x  ⇒ Đặt  dv = f ′(2 x − 4)dx v = f (2 x − 4)  13 13 x Khi đó: ∫ xf ′(2 x − 4)dx = f (2 x − 4) − ∫ f (2 x − 4)dx = f (2) − ∫ f (2 x − 4)dx 20 20 2 0 3 13 ⇔ 10 = − ∫ f (2 x − 4)dx ⇔ ∫ f (2 x − 4)dx = −14 20 Đặt 2t = x − Ta lấy vi phân vế: 2dt = 2dx ⇒ dx = dt Đổi cận: x t −2 Khi đó: −2 ∫ f (2 x − 4)dx = ∫ f (2t )dt = ∫ −2 f (2 x)dx Vậy I = ∫ f (2 x )dx = −14 −2 13 Nhận xét: Nhận thấy I = ∫ f (2 x)dx hàm số có chứa 2x nên cho tương ứng với −2 x − Chính sử dụng phương pháp đổi biến số đặt 2t = x − Ngồi lời giải cịn sử dụng tính chất tích phân: b b a a ∫ f (u )du = ∫ f (v)dv Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm R thỏa mãn: f ( x + 3x + 1) = x + 2, ∀x ∈ R Tính I = ∫ xf ′( x)dx [2] Phân tích: Nhận thấy tích phân I có chứa dạng tích x biểu thức f ′( x) Lời giải: u = x du = dx ⇒ Đặt  dv = f ′( x) dx v = f ( x ) 5 1 Khi đó: I = ∫ xf ′( x)dx = xf ( x) − ∫ f ( x)dx = f (5) − f (1) − ∫ f ( x)dx (*) Đến cần tính f (1) f (5) Từ giả thiết f ( x + 3x + 1) = x + 2, ∀x ∈ R Ta có: + Thay x = ta f (1) = + Thay x = ta f (5) = 5 Thay vào (*) ta I = 23 − ∫ f ( x )dx 5 1 Xét tích phân J = ∫ f ( x )dx = ∫ f (t )dt Ta tìm cách đưa f ( x) theo f ( x + 3x + 1) Đặt t = x + 3x + Ta lấy vi phân vế: dt = (3x + 3)dx Đổi cận: + Thay t = ta x + 3x + = ⇔ x + 3x = ⇔ x = + Thay t = ta x + 3x + = ⇔ x + 3x − = ⇔ x = 1 0 2 Khi đó: J = ∫ f (t )dt = ∫ f ( x + 3x + 1)(3 x + 3)dx = ∫ (3 x + 2)(3 x + 3)dx = Vậy I = 23 − ∫ f ( x)dx = 23 − 59 59 33 = 4 Nhận xét: Bài cần sử dụng kết hợp phương pháp tích phân phần với phương pháp đổi biến số Sử dụng giả thiết f ( x + 3x + 1) = x + 2, ∀x ∈ R để tính 14 ∫ f ( x)dx f (1) , f (5) tính Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm R thỏa mãn: f ( x + x + 1) = x + 1, ∀x ∈ R Tính I = ∫ ( x + 1) f ′( x)dx [5] Phân tích: Nhận thấy tích phân I có chứa dạng tích x + biểu thức f ′( x) Lời giải: u = x + du = dx ⇒ Đặt  dv = f ′( x) dx v = f ( x ) 3 1 Khi đó: I = ( x + 1) f ( x) − ∫ f ( x)dx = f (3) − f (1) − ∫ f ( x )dx (*) Từ giả thiết f ( x + x + 1) = x + 1, ∀x ∈ R Ta có: + Thay x = ta f (1) = + Thay x = ta f (3) = 3 Thay vào (*) ta có: I = 10 − ∫ f ( x)dx 3 1 Xét tích phân J = ∫ f ( x )dx = ∫ f (t )dt Đặt t = x + x + Ta lấy vi phân vế: dt = (3x + 1)dx Đổi cận: + Thay t = ta x + x + = ⇔ x + x = ⇔ x = + Thay t = ta x + x + = ⇔ x + x − = ⇔ x = Khi đó: J = ∫ f (t )dt = ∫ f ( x + x + 1)(3x + 1)dx = ∫ (2 x + 1)(3x + 1)dx = 0 1 3 Vậy I = 10 − ∫ f ( x)dx = 10 − 11 = 2 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài Cho hàm số f ( x) liên tục đoạn [ 1;e] , biết e ∫ f ( x) dx = 8, f (e) = Tính x e J1 = ∫ f ′( x).ln xdx e Kết quả: J1 = ∫ f ′( x ).ln xdx = −7 15 Bài Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục R thỏa mãn π π f ( x) + f ( − x) = sin x.cos x, với x ∈ R f (0) = Tính J = x f ′( x)dx ∫0 π Kết quả: J = ∫ x f ′( x)dx = − Bài Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục R thỏa mãn f (0) = f (1) = Biết J = ∫ e x [ f ( x) + f ′( x)]dx = ae + b Tính giá trị biểu thức S = a 2021 + b 2021 Kết quả: S = a 2021 + b 2021 = Bài Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục R thỏa mãn π ∫ f ( x)sin xdx = 4; f (0) = Tính π J = ∫ f ′( x).cos xdx π Kết quả: J = ∫ f ′( x).cos xdx = Bài Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục R thỏa mãn ∫ x f ( x)dx = 4; f (2) = Tính J = ∫ x f ′( )dx x Kết quả: J = ∫ x f ′( )dx = 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường * Bản thân: Khi nghiên cứu tích phân phần, ngồi kiến thức lâu biết phương pháp tích phân phần, thân bổ sung thêm kiến thức tích phân phần Qua thấy vai trị phương pháp tích phân phần chương trình tốn phổ thơng Đặc biệt dựa vào phương pháp tích phân phần để giải số toán mà lâu tác giả sử dụng cách giải khác Từ giúp thân có thêm kinh nghiệm việc giải vấn đề sáng tạo tính tích phân giải tốn phổ thông 16 * Học sinh: Thông qua đề tài học sinh phần bỏ bớt tính thụ động giải toán Một toán đặt có nhiều cách giải khác Học sinh phải ln tìm tịi, sáng tạo để tìm cách giải hay Vận dụng kiến thức tích phân phần để giải tốn giúp học sinh có cách nhìn nhận sâu sắc phương pháp tích phân phần, thấy vai trị phương pháp tích phân phần Qua phát triển lực giải vấn đề sáng tạo học tích phân học tập mơn tốn Học sinh học tập có nhiều tiến thu kết khả quan Điểm tổng kết mơn tốn lớp 12 năm học 2020-2021 mà thân phụ trách: Lớp Sĩ số Giỏi SL % 23 60,5 11 28,2 Khá Trung bình SL % SL % 12 31,6 7,9 14 35,9 14 35,9 Yếu SL % 0 0 Kém SL % 0 0 12A4 38 12A9 39 * Đồng nghiệp: Trong buổi sinh hoạt tổ chuyên môn, thân trao đổi với thầy cô tổ chuyên môn thầy cô đánh giá cao Qua thầy dần triển khai dạy học sinh lớp phụ trách KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: Bạn đọc tìm thấy nhiều mệnh đề, tốn chương trình tốn học phổ thơng cịn dạng mở, việc tìm tịi phát để tổng qt hố tốn, mệnh đề bổ ích cho việc tự bồi dưỡng lực giải vấn đề sáng tạo, lực quan tâm đổi giáo dục toán học Đối với giáo viên cần tâm huyết với nghề nghiệp, lấy tiến học sinh làm mục đích chính; ln trau dồi kiến thức, phương pháp; ln tìm tịi nghiên cứu chương trình, đối tượng học sinh cụ thể để đưa phương pháp truyền thụ kiến thức phù hợp đạt kết cao giảng dạy Bản thân phải thấy cố gắng quan tâm tới tiến em, khích lệ tuyên dương kịp thời để làm đòn bẩy giúp em tiến Đối với học sinh cần học tập thật nghiêm túc, tự giác học tập, nghiên cứu chủ động tiếp cận kiến thức cách khoa học Cần phát huy tính sáng tạo, tìm tịi cách giải Từ phát triển lực giải vấn đề sáng tạo đồng thời dần nâng cao kết học tập thân 3.2 Kiến nghị: 17 Đây sáng kiến không mang tính tuyệt đối việc dạy cho học sinh giải tốn tính tích phân phương pháp tích phân phần Tuy nhiên trình giảng dạy, nghiên cứu nổ lực thân với giúp đỡ đồng nghiệp đúc kết số phương thức làm phong phú vai trị tích phân phần Đồng thời phát triển lực giải vấn đề sáng tạo học sinh học toán Hy vọng tài liệu giúp ích cho giáo viên học sinh Với khả ngơn ngữ thân cịn có phần hạn chế nên khơng thể tránh khỏi thiếu sót; mong hội đồng khoa học đồng nghiệp giúp đỡ, góp ý để đề tài ngày hồn thiện hơn, có ứng dụng rộng rãi dạy học XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 15 tháng năm 2021 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết SKKN Hà Ngọc Long 18 [1] [2] [3] [4] [5] Tài liệu tham khảo Bộ Giáo dục Đào tạo, Giải tích 12, NXB Giáo dục Việt Nam Đặng Việt Đơng Các dạng tích phân hàm ẩn điển hình Đề thi thử tốt nghiệp THPT số trường năm học 2020 - 2021 Trần Sĩ Tùng Tuyển tập 200 tập tích phân hay khó Tự làm, tự nghiên cứu 19 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP SỞ GD & ĐT XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Hà Ngọc Long Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Trường THPT Vĩnh Lộc TT Tên đề tài SKKN Cách tìm hiểu khai thác định lý Phát triển lực phát giải vấn đề cho học sinh thông qua giải số tốn ứng dụng tích vơ hướng Cấp đánh giá xếp loại Kết đánh giá xếp loại Năm học đánh giá xếp loại Sở GD & ĐT C 2012 - 2013 Sở GD & ĐT C 2017 - 2018 20 ... hoạt động nhằm phát triển lực người học Chính lí nói trên, tơi chọn đề tài: ? ?Phát triển lực giải vấn đề sáng tạo cho học sinh thông qua giải tốn tính tích phân phương pháp tích phân phần? ?? 1.2 Mục... học sinh giải phương pháp tích phân phần Như học sinh không giải theo cách giải cũ mà ln tìm tịi cách giải Qua phát triển lực giải vấn đề sáng tạo phát triển lực học tập thân 2.2 Thực trạng vấn. .. nhận tình có vấn đề giải tình cách thành cơng lực giải vấn đề sáng tạo Năng lực giải vấn đề sáng tạo khả học sinh nhận mâu thuẫn nhận thức vấn đề học tập vấn đề sống tìm phương pháp để giải mâu thuẫn,