Sáng kiến kinh nghiệm về cách tiếp cận bài toán tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số giúp các thầy cô có thêm tư liệu giảng dạy các em học sinh giảm bớt sự khó khăn trong quá trình tính toán và sự khó khăn khi gặp bài toán tích phân trong các đề thi tốt nghiệp phù hợp với trình độ trung bình yếu.
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: CÁCH TIẾP CẬN BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ĐẶT VẤN ĐỀ Tốn học mơn khoa học phục vụ cho nhiều nghành nghề học tốt mơn tốn ln mục tiêu đặt học sinh Nhất kỳ thi kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thơng năm mục tiêu nhiều học sinh phụ huynh Vì việc vượt qua kỳ thi trở thành vấn đề quan trọng Trong đề thi tốt nghiệp năm ln có tốn tính tích phân Đây tốn coi khó học sinh học sinh trung bình – yếu Để làm tốn này, học sinh cần nắm định nghĩa tính chất nguyên hàm, thuộc công thức nguyên hàm hàm số sơ cấp phương pháp tính nguyên hàm Để tính tốn tích phân học sinh khơng phải học thuộc kiến thức mà phải rèn luyện kỷ giải toán thường xuyên Nhằm giảm bớt khó khăn q trình tính tốn, khó khăn gặp tốn tích phân đề thi tốt nghiệp năm, đưa cách tiếp cận tốn tích phân cách phù hợp với trình độ học sinh trung bình yếu “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ” Mục đích rõ ràng đề tài nhằm giúp học sinh giải tốt tốn tích phân nói riêng làm tốt thi tốt nghiệp THPT nói chung, xa làm tăng tỷ lệ mơn tốn trường kỳ thi tốt nghiệp năm NỘI DUNG ĐỀ TÀI 2.1 Cơ sở lý luận ti Hiện thực xung quanh có nhiều mà ngêi cha biÕt NhiƯm vơ cđa cc sèng vµ hoạt động thực tiễn đòi hỏi người phải hiểu biết chưa biết ngày sâu sắc, đắn xác hơn, phải vạch chất quy luật tác động chúng Quá trình nhận thức gọi tư Nhưng để tư cần phải nắm kiến thức bản, kiến thưc tảng vấn đề nói đến hay sáng tạo Cơ sở lý luận đề tài “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ” từ kiến thức vấn đề nhằm giúp học sinh tiếp cận với vấn đề cao mạch kiến thức Cụ thể hóa vấn đề mặt lý luận giúp hoc sinh độc lập giải vấn đề mà cụ thể vấn đề tốn tích phân kỳ thi mà đặc biệt dạng mà đề tài nghiên cứu đưa sáng kiến kinh nghiệm dạy học trường phổ thông 2.2 Thực trạng đề tài 2.2.1 Tình hình thực tế học sinh trường: - Phần lớn học sinh trường đại bàn xã lân cận, lại khó khăn Điểm tuyển sinh vào lớp 10 không cao, lực học tập chủ yếu loại trung bình, chí số học sinh khả tính tốn hạn chế - Học sinh thường chịu tìm tịi, khám phá khơng thuộc (lười học) 2.2.2 Thực trạng đề tài “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ” - Đây đề tài nghiên cứu phương pháp đổi biến số tóan tích phân trường THPT Nguyễn Khuyến - Đề tài hồn thành có ứng dụng khả thi cho học sinh, giáo viên tổ toán trường kỳ thi - Do chương địi hỏi học sinh phải có kiến thức nhiều, thuôc vận dụng lý thuyết nên học sinh thường không làm được, cụ thể kết kiểm tra chương tích phân năm học 2010 – 2011 lớp 12A4 sau: Điểm đến 3.5 đến 4.5 đến 6.5 đến Trên Số lượng 15 - Phân tích kết trên: số học sinh trung bình chiếm 60.5% , số học sinh trung bình chiếm tỉ lệ 39.5% số học sinh đạt điểm đề kiểm tra đảm bảo theo chuẩn kiến thức 2.2.3 Khó khăn đề tài: - Về tâm lý: gặp tốn tích phân học sinh thường ngại suy nghĩ cho tốn khó nên thường bỏ không làm - Về kiến thức: + Học sinh không thuộc bảng nguyên hàm hàm số sơ cấp, cơng thức tính tích phân, tính chất ngun hàm tích phân + Khả nhận dạng dạng ngun hàm hay tích phân cịn thấp + Khả tính tốn cịn yếu - Nghiên cứu ứng dụng cho học sinh với tầm kiến thức trung bình yếu nên mặt lý luận gặp khó khăn - Khả tiếp thu kiến thức học sinh nên việc triển khai đề tài có phần chậm 2.2.4 Thuận lợi: - Trong thực đề tài hỗ trợ bạn đồng nghiệp trường, tổ chun mơn - Đa số học sinh có phần hứng thú với cách tiếp cận mạch kiến thức - Học sinh chăm tích cực luyện tập kỹ giải tốn tích phân 2.3 Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề 2.3.1 Kiến thức học sinh cần nắm * Nguyên hàm Kí hiệu K khoảng, đoạn khoảng Định ngha: Cho hàm số f(x) xác định K Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm sè f(x) trªn K nÕu F '(x) = f(x) víi mäi x K Định lý 1: NÕu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K với số C, hàm số G(x) = F(x) + C nguyên hàm f(x) K nh lý : Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K nguyên hàm f(x) K có dạng F(x) + C, víi C lµ mét h»ng sè f x dx F x C , C Là họ tất nguyên hàm f(x) K * Tính chất nguyên hàm Tính chất 1: Ví dụ : f ( x)dx ' f ( x) f '( x)dx f ( x) C cos xdx ' (sin x C ) ' cos x hay (cos x ) ' dx ( sin x )dx cos x C Tính chất2: kf ( x)dx k f ( x)dx Tính chất 3: f ( x ) g( x) dx f ( x )dx g( x )dx k: số khác Bảng nguyên hàm hàm số sơ cấp 0dx C dx x 1 C ( 1) 1 x x sin xdx cos x C 1 dx ln x C x e dx e ax C (a > 0, a 1) ln a cos xdx sin x C dx x C x a x dx cos2 x dx tanx C sin2 x dx cot x C C TÍCH PHÂN Định nghĩa tích phân Cho f(x) hàm số liên tục [a; b] Giả sử F(x) nguyên hàm f(x) [a; b] Hiệu số F(b) – F(a) đươc gọi tích phân từ a đến b f(x) b f ( x)dx F ( x) b a F (b ) F ( a ) a TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN I) Tính chất : Giả sử f(x), g(x) liên tục K; a,b K a 1) f x dx a b 2) a b 3) a f x dx f x dx b b kf x dx k f x dx a a b 4) b a b 5) b f x g x dx f x dx g x dx a c a b f x dx f x dx f x dx c a; b a a c b 6) f x 0, x a; b f x dx a b b 7) f x g x , x a; b f x dx g x dx a a b 8) m f x M, x a; b m b a f x dx M b a a t 9) t biến thiên đoạn a; b G t f x dx laø nguyên hàm f t G a a Phương pháp đổi biến số Định lí 1: Cho hàm số f(x) liên tục [a; b] Giả sử hàm số x = (t) có đạo hàm liên tục đoạn [; ] cho () = a, () = b a (t) b với t [; ] b f ( x )dx f (t) (t )dt Khi đó: a Định lí 2: Cho hàm số f(x) liên tục [a; b] Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục [a; b] u(x) với x [a; b] cho f(x) = g[u(x)]u(x), g(u) liên tục [; ] thì: b u( b ) f ( x )dx a g(u)du u( a) 2.3.2 Tiếp cận nhứng toán x2 a) TÍCH PHÂN DẠNG x1 * Nhận xét n ax b dx n Ta thấy hàm số dấu tích phân y ax b , hàm số nguyên hàm trực tiếp, muốn giải ta phải đưa đa thức lấy nguyên hàm Nhưng đưa đa thức vấn đề, n ta áp dụng đẳng thức a b a 2ab b Hay a b a 3a 2b 3ab b Ví dụ: Tính tích phân 2x 1 dx Giải: 2x 1 dx 0 4x 13 4x 4x dx 2x x 0 Hoặc tính tích phân 2x 1 dx Giải: 2x dx 8x 12x 6x dx 2x 4x 3x x 10 Nhưng xem cách khơng khả quan đa số học sinh không nhớ đẳng thức a b a 3a 2b 3ab b Hơn n số ngun âm hay hữu tỷ cách khơng giải Để giải dạng tập đưa cách giải khả thi sau: x2 * Phương pháp giải n ax b dx x1 + Bước 1: Đặt t ax b dt adx dt dx a + Bước 2: Đổi cận: x x1 t ax1 b; x x t ax b + Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t + Bước 4: Tính tích phân theo t *Nhận xét: Như cách giải tránh việc phải nhớ đẳng thức Chỉ cần thực thao tác như: tính vi phân hàm bậc (việc dễ dàng) Cơng việc đổi cận khơng có khó khăn, việc tính giá trị hàm số bậc mà thơi * Các ví dụ minh họa: Tính tích phân sau: 1) 2x dx 2) 3x dx Giải: 1) 2x 1 dx Đặt t 2x 1 dt 2dx dt2 dx Đổi cận: x = t = 1; x = t = Do ta có: 2) 3x 3 dt t5 242 121 2x dx t 10 10 4 dx Đặt t 3x dt dx dt3 dx Đổi cận: x = t = 1; x = 12 t = Do ta có: 4 t dt 3x dx t 23 * Phân tích ví dụ Thật cách giải có nhiều ưu điểm cách giải khác( trình a bày trên) Nhận xét d ax b dx nên ta đưa công thức dạng tổng quát để học sinh áp dụng trực tiếp Ta có bảng sau ax b dx ax b 1 C ( 1) 1 1 dx ln ax b C a ax b eax bdx a mx n cos ax b dx a sin ax b C sin ax b dx a cos ax b C 1 ax b e C a cos2 ax b dx a tanx ax b C 1 sin2 ax b dx a cot ax b C amx n dx C (a > 0, a 1) m ln a * Bài toán áp dụng 1) 2x 2 dx 2) 0 ln 3) 2x e dx 4) 32x dx 0 5) cos 2x dx 2 2x 1 2 6) s in 2x Hướng dẫn giải 1) dx 3x 1 dx 2x 1 dx 2 Ví dụ 1: Tính tích phân: x 1dx x Rõ ràng dấu đóng vai trị lũy thừa (thực lũy thừa với số mũ hữu tỷ mà thôi) ta giải ví dụ sau: + Bước 1: Đặt t x t x 2tdt 2xdx tdt xdx + Bước 2: Đổi cận: x t 1; x t 2 + Bước 3: x x 1dx t.tdt t dt 1 2 t3 1 + Bước 4: t dt 31 Ví dụ 2: Tính tích phân: x x 1dx + Bước 1: Đặt t x t x 2tdt 2xdx tdt xdx t2 x2 x2 t2 + Bước 2: Đổi cận: x t 1; x t 2 + Bước 3: x x 1.xdx 2 t 1 t.tdt t t dt 2 t5 t3 + Bước 4: t t dt 1 ***** Như day học sinh ta cần ý cho học sinh dấu hiệu nhận biết dạng số mũ x dấu hay lũy thừa số mũ x bên đơn vị hay k – đơn vị * Bài tập áp dụng: 1 1) x x dx 2) x x 3dx 0 1 3) x x dx 4) x x 1dx 0 5) x3 7) 6) x x dx dx 1 x x3 1 9) x2 x3 10) x x 1dx 3 11) x dx x dx 2x 1 x2 8) dx 12) x 1dx x x dx 0 Hướng dẫn giải: Đặt t b c) TÍCH PHÂN DẠNG dx ku' x u x a * Nhận xét Đây dạng đổi biến mà hàm số tử đạo hàm hàm số mẫu hàm số tử hệ số nhân với đạo hàm hàm số mẫu * Phương pháp giải + Bước 1: Đặt t u x dt u' x dx + Bước 2: Đổi cận: x a t u a ; x b t u b + Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t + Bước 4: Tính tích phân theo t * Ví dụ minh họa 1) 2x 0 x 2x dx 2) x 4x dx 4x Giải: 1) x 2x dx 2x + Bước 1: Đặt t x 2x dt 2x dx + Bước 2: Đổi cận: x t 3; x t 6 2x dt 0 x 2x dx 3 t + Bước 3: 6 dt ln t ln 3 t + Bước 4: 2) x 4x dx 4x + Bước 1: Đặt t x 4x dt 2x dx + Bước 2: Đổi cận: x t 5; x t 4x + Bước 3: dx x 4x 10 + Bước 4: 10 2dt t 10 2dt ln t ln t **** Đối với dạng tập dạy cần ý cho học sinh ta thử tính đạo hàm hàm số mẫu so sánh với hàm số tử * Bài tập áp dụng: 1) x 2 2) x x 1 dx 2x HD: Đặt t x 2x dt 2x dx 2x dx 3x HD: Đặt t x 3x dt 2x 3 dx 2x 3) x 1 2x dx HD: 1 x 1 dx 1 x 1 2x dx 4x Đặt t x 4x dt 2x dx 4x 4) 4x x 1x dx HD: x 1x dx x 4x dx 3x Đặt t x 3x dt 2x 3 dx 5) 3x 4x 1 x 2x dx 4x x 6) x 2 dx HD: Đặt t x 2x dt 3x 4x dx HD: 1 4x x x 2 dx 1 4x 8x 0 x 4x dx Đặt t x 4x dt 4x 8x dx 7) x 2x dx x 3 HD: Đặt t x x dt 2x 1 dx 10) cot gxdx HD: cot xdx cos x dx sin x Đặt t sin x dt cos xdx sin x dx 3cosx 11) HD: Đặt t 3cosx dt 3 sin xdx 12) sin 2x dx cos x HD: sin 2x sin 2x dx dx dx I1 I 2 2 cos x cos x cos x 0 I1 : tính trực tiếp I2 : Đặt t cos x dt sin 2xdx b d) TÍCH PHÂN DẠNG f ln x x a dx * Nhận xét Dấu hiệu nhận biết dạng hàm số dấu tích phân có chứa ln x Ta có phương pháp giải sau: x * Phương pháp giải + Bước 1: Đặt t ln x dt dx x + Bước 2: Đổi cận: x a t ln a; x b t ln b + Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t + Bước 4: Tính tích phân theo t * Ví dụ minh họa e Tính tích phân: ln x dx x Giải + Bước 1: Đặt t ln x dt dx x + Bước 2: Đổi cận: x t 0; x e t e 1 ln x + Bước 3: dx 1 2t dt x 1 1 2t dt t t + Bước 4: * Bài tập áp dụng: e 1) e 2) 1 ln x ln x dx HD: Đặt t ln x x ln x dx x HD: Đặt t ln x e sin(ln x) dx x 3) HD: Đặt t ln x e e 2ln x 1 dx x 4) HD: Đặt t ln x e2 ln x 5) dx x ln x e HD: Đặt t ln x e 6) ln x 1 x dx HD: Đặt t ln x b u x e) TÍCH PHÂN DẠNG e u' x dx a * Phương pháp giải u x u x + Bước 1: Đặt t u x dt u' x dx hay t e dt u ' x e dx + Bước 2: Đổi cận: x a t u a ; x b t u b hay x a t e u a ; x b t e ub + Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t + Bước 4: Tính tích phân theo t * Ví dụ minh họa Tính tích phân: 1 1) e x xdx Giải 2) e x 1xdx 1) e x xdx + Bước 1: Đặt t x dt 2xdx dt xdx + Bước 2: Đổi cận: x t 0; x t hay 1 e + Bước 3: x2 xdx e t 0 dt t + Bước 4: e e 2 dt t e 1 * Bài tập áp dụng: 2 1) e 2x 1xdx HD: Đặt t x 1 2) e x 2x 1 x 1 dx HD: Đặt t x x 1 3) e x dx x HD: Đặt t x 4) e sinx cos xdx HD: Đặt t sin x 5) e tanx tan x dx HD: Đặt t tan x 2 HD: Đặt t sin x HD: Đặt t cos x 6) e sin x sin 2xdx 7) ecos xsin2xdx 8) esin x cosxdx HD: Đặt t sin x 9) e cosx sin xdx HD: Đặt t cos x 10) e x 2 HD: Đặt t x xdx b f) TÍCH PHÂN DẠNG sin n x cos m xdx a * Nhận xét * Nếu n, m N lẻ đặt t = sinx t = cosx * Nếu n, m N có số chẵn, lẻ đặt t = HSLG có số mũ chẵn (khơng có xem mũ chẵn) * Nếu n, m N chẵn áp dụng cơng thức hạ bậc * Phương pháp giải + Bước 1: Đặt t s inx dt cos xdx hay t cos x dt s inxdx + Bước 2: Đổi cận: x a t s ina; x b t s inb hay x a t cos a; x b t cos b + Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t + Bước 4: Tính tích phân theo t * Ví dụ minh họa Tính tích phân sau: 1) sin xcos xdx Giải: 2) sin xcos xdx 1) sin xcos xdx + Bước 1: Đặt t s inx dt cos xdx t 1 + Bước 2: Đổi cận: x t 0; x + Bước 3: sin xcos xdx t 1 t dt 3 0 1 t4 t6 + Bước 4: t 1 t dt t t dt 12 0 3 2) sin xcos xdx + Bước 1: Đặt t cos x dt s inxdx + Bước 2: Đổi cận: x t 1; x + Bước 3: sin t xcos xdx 1 t t dt 1 t t dt 2 1 1 t t5 + Bước 4: 1 t t dt t t dt 15 0 2 * Bài tập áp dụng: 1) sin xcos xdx HD: Đặt t = sinx 2) tan xdx HD: Đặt t = cosx 3) cos3 x sin xdx HD: Đặt t = sinx 4) cos5 xdx HD: Đặt t = sinx 5) sin 2x (1 sin x )3dx HD: Đặt t sin x 6) sin HD: Đặt t = sinx x cos xdx g) TÍCH PHÂN DẠNG a x 2dx Đây loại tích phân có phương pháp đổi biến giải ngược so với cách đổi biến trình bày Cụ thể ta xét ví dụ: Tính tích phân : x 2dx Giải: + Đặt : x sin t dx cos tdt + Đổi cận : x t 0; x t + x 2dx sin t cos tdt + sin t cos tdt cos t cos tdt 2 1 cos tdt x sin 2x 2 0 Như ngồi cách đổi biến số thơng thường ta cịn có cách khác để giải tóan tích phân phương pháp đổi biến số * Phương pháp giải + Bước 1: Đặt x f t dx f ' t dt + Bước 2: Đổi cận: x f t ; x f t hay + Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t + Bước 4: Tính tích phân theo t Những dạng thường gặp: + Gặp biểu thức a x Đặt : x a sin t hay x a cos t + Gặp biểu thức a x Đặt : x a tan t hay x a cot t + Gặp biểu thức x a Đặt : x a hay x cos t Ví dụ: Tính tích phân dx 1 x Giải: + Bước 1: Đặt : x tan t dx dt tan t dt cos t + Bước 2: Đổi cận : x tan t t x tan t t dx + Bước 3: x + Bước 4: 1 tan t dx tan t 1 tan t dx Bài tập tương tự: tan t dx a s int 1) dx 1x HD: đặt x tan t 3 2) 1 dx 9x HD: đặt x tan t 3 3) 3 dx 4x HD: đặt x tan t 3 4) 1 dx 4x 12x 10 HD: đặt 2x tan t 2.4 Hiệu SKKN Với tinh thần thực theo sáng kiến kinh nghiệm năm qua đạt kết sau: Với học sinh, cụ thể lớp phụ trách 12A4 năm học 2010 - 2011 Tỷ lệ chung cuối năm Tổng số Giỏi Tỷ lệ Khá Tỷ lệ Trung Bình Tỷ lệ 38 24,5% 21 50,1% 10 24,5% Năm học 2011 – 2012: kết kiểm tra chương tích phân ( kiểm tra 2) sau: Điểm đến 3.5 đến 4.5 đến 6.5 đến Trên 12A4 23 12A8 2 20 Với tổ chuyên môn: Với cách phân dạng nêu phương pháp, rút kinh nghiệm rõ nội dung trọng tâm trên, giáo viên tổ thực đạt kết khả quan kỳ thi, góp phần nâng cao chất lượng tổ mơn trường 2.5 Nguyên nhân thành công: - Được hỗ trợ nhiệt tình tổ trưởng chun mơn góp ý chân thành giáo viên tổ - Được đạo sâu sát ban giám hiệu, đặc biệt phó hiệu trưởng chun mơn - Được hưởng ứng học sinh tiếp cận phương pháp giảng dạy mới, em cảm thấy hứng thú hình thành ý thức học tốt 2.6 Tồn tại: - Do thời gian nghiên cứu ngắn nên chưa mở rộng phạm vi nghiên cứu tất đối tượng học sinh (kể cà học sinh giỏi) - Chưa đưa toán địi hỏi thơng hiểu cao từ học sinh - Một phận học sinh có tư tưởng học để đối phó với giáo viên nên kết khơng cao KẾT LUẬN 1.Bài học kinh nghiệm: * Với học sinh: - Học sinh chưa chăm học, kiến thức chưa nắm vững tất nhiên, với học sinh học kĩ chưa làm tập, làm sai, em có sai sót sau: + Chưa đọc kĩ đề bài, đâu, gặp khó khăn khơng biết làm để tìm lời giải Vì giáo viên nên hướng dẫn học sinh đọc phân tích kĩ dạng tập thường gặp + Chưa nghiên cứu kĩ dạng toán tính tích phân nên chưa định hướng cách giải - Giải xong chưa kiểm tra lại lời giải để kiểm tra kiến thức vận dụng Vì vậy, giáo viên cần rèn tính xác, cẩn thận giải tốn Hướng dẫn học sinh kiểm tra kết cách dùng máy tính bỏ túi * Với giáo viên: - Cần tạo cho em có thói quen thuộc làm đầy đủ đến lớp - Hình thành khả nhận dạng tốn từ vận dụng lý thuyết học đưa lời giải phù hợp - Chú ý rèn khả thực hành, cần lựa chọn hệ thống tập đa dạng, đầy đủ, đừng đơn điệu lặp lại làm học sinh nhàm chán nảy sinh tính lười suy nghĩ, ỷ lại khơng phát huy tính tích cực, khơng hình thành khả tự giác học tập em, có học sinh giỏi, động linh hoạt, khơng giải tốn qua loa, đại khái - Việc học em, giáo viên môn cần phải giám sát, theo dõi chặt chẽ vai trò giáo viên chủ nhiệm Nếu khơng quan tâm sâu sắc hiệu không cao Ý nghĩa sáng kiến kinh nghiệm khả ứng dụng: Trong nằm gần đây, việc học sinh trung bình yếu giải tốn tích phân vấn đề Tuy nhiên thực theo đề tài nghiên cứu cơng việc có phần nhẹ nhàng Đề tài đưa thành công hy vọng giúp em học sinh trung bình yếu trường làm tốn tính tích phân đề thi tốt nghiệp Kích thích tính tị mị, khả ham thích học tập mơn, dần hình thành khả tự giác học tốt mơn tốn, để học tốt mơn khác Hình thành óc thẩm mỹ, linh hoạt, nhạy bén, tích cực tư duy, học tập hoạt động khác Hạn chế học sinh bỏ học, phần nhiều không học sinh lười biếng Tóm lại, việc nghiên cứu đề tài: “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ” thành công giúp học sinh trường học tập tốt thi đạt hiệu cao ... (lười học) 2.2.2 Thực trạng đề tài “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ” - Đây đề tài nghiên cứu phương pháp đổi biến số tóan tích phân trường THPT Nguyễn Khuyến -... thi tốt nghiệp năm, đưa cách tiếp cận tốn tích phân cách phù hợp với trình độ học sinh trung bình yếu “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ” Mục đích rõ ràng đề tài... đến hay sáng tạo Cơ sở lý luận đề tài “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ” từ kiến thức vấn đề nhằm giúp học sinh tiếp cận với vấn đề cao mạch kiến thức Cụ thể