Tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Tích phân Trần Só Tùng Trang 92 Vấn đề 2: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Phương pháp đổi biến số để tính tích phân xác đònh có hai dạng cơ bản (ngoài ra còn dạng 3) dựa trên đònh lý sau: Đònh lý: a. Nếu f(x)dxF(x)Cvàu(x)=+=j ò là hàm số có đạo hàm trong [a ; b] thì: (b) (b) (a) (a) f(u)duF(u) j j j j = ò b. Nếu hàm số f(x) xác đònh và liên tục trên đoạn [a ; b], hàm số x = j(t) xác đònh và (i) Tồn tại đạo hàm j’(t) liên tục trên đoạn [a; b] (ii) j ( a ) = a và j(b) = b. (iii) Khi t biến đổi từ a đến b thì x biến thiên trong đoạn [a ; b] Khi đó: b a f(x)dxf[(t)]'(t)dt. b a =jj òò Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tính tsch phân b a If(x)dx.= ò Giải: Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Chọn x = j(t), trong đó j(t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp. Bước 2: Lấy vi phân dx = j’(t)dt Bước 3: Tính các cận a và b tương ứng theo a và b Bước 4: Biểu thò f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt Bước 5: Khi đó: Ig(t)dt. b a = ò Lưu ý: Chúng ta cần nhớ lại các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là: Dấu hiệu Cách chọn 22 ax- xasintvới/2t/2 xacostvới0t é=-p££p ê =££p ë 22 xa- a xvớit[;]\{0} sint22 a xvớit[0;]\{} cost2 é pp =Ỵ- ê ê p ê =Ỵp ê ë 22 ax+ xatgtvới/2t/2 xacotgtvới0t é=-p<<p ê =<<p ë Trần Só Tùng Tích phân Trang 93 Dấu hiệu Cách chọn axax hoặc axax +- -+ x = acos2t (xa)(bx)-- 2 xa(ba)sint=+- Ví dụ 1: (ĐHTCKT_97) Tính tích phân : = - ò 2 2 2 0 2 x Idx. 1x Giải: Đặt x = sint, khi đó: dx = costdt Đổi cận: với x= 0 Þ t = 0; 2 xt. 24 p =Þ= Ta có: 2222 22 xdxsint.costdtsint.costdtsintcostdt1 (1cos2t)dt. costcost2 1x1sint ====- -- Khi đó: /4 /4 0 0 1111 I(1cos2t)dttsin2t. 22284 p p p ỉư =-=-=- ç÷ èø ò Ví dụ 2: Tính tích phân : 2/3 2 2 dx I xx1 = - ò Giải: Đặt 2 1cost x,khiđó:dxdt sint sint ==- Đổi cận: với x= 1 Þ t = p/2; 2 xt. 3 3 p =Þ= Khi đó: /2/2 2 /2 /3 /3/3 2 1 costdt sint dtt 1 6 1 sint1 sint pp p p pp - p === - òò Chú ý: Cũng có thể sử dụng phép đổi: 2/3 2 2 2 dx I 1 x1 x = - ò . Từ đó sử dụng phép đổi biến 1 t, x = ta sẽ nhận được: 3/2 2 1/2 dt I. 1t = - ò Rồi tiếp tục sử dụng phép đổi biến t = sinu, ta được /3 /3 /6 /3 Iduu. 6 p p p p p === ò Đó chính là lời giải có thể bổ sung (để phù hợp với hạn chế chương trình của Bộ Tích phân Trần Só Tùng Trang 94 GD&ĐT) hầu hết các tài liệu tham khảo trước đây. Ví dụ 3: Tính tích phân : 0 a ax Idx,(a0) ax + => - ò Giải: Đặt xa.cos2t,khiđó:dx2a.sin2tdt.==- Đổi cận: với xat 2 p =-Þ= ; x0t 4 p =Þ= Ta có: axaa.cos2t dx(2a.sin2tdt)cotgt(2a.sin2tdt) axaa.cos2t ++ =-=- -- 2 4a.cost.dt2a(1cos2t)dt.=-=-+ Khi đó: /2 /2 /4 /4 1 I2a(1cos2t)dt2atsin2ta1 24 p p p p p ỉưỉư =-+=--=- ç÷ç÷ èøèø ò . Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 tính tích phân b a If(x)dx.= ò Giải: Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Chọn x = j(t), trong đó j(t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp, rồi xác đònh x = y(x) (nếu có thể). Bước 2: Xác đònh vi phân dx = j’(t)dt Bước 3: Tính các cận a và b tương ứng theo a và b Bước 4: Biểu thò f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt Bước 5: Khi đó: Ig(t)dt. b a = ò Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là: Dấu hiệu Cách chọn Hàm có mẫu số t là mẫu số Hàm f(x,(x))j t(x)=j Hàm a.sinxb.cosx f(x) c.sinxd.cosxe + = ++ xx ttg(vớicos0) 22 =¹ Hàm 1 f(x) (xa)(xb) = ++ · Với x + a > 0 & x + b > 0, đặt: txaxb=+++ · Với x + a < 0 & x + b < 0, đặt: txaxb=--+-- Trần Só Tùng Tích phân Trang 95 Ví dụ 4: Tính tích phân : /3 2 /6 cosdx I sinx5sinx6 p p = -+ ò Giải: Đặt x = sint, khi đó: dt = cosxdx Đổi cận: với 1 xt 62 p =Þ= ; 3 xt 32 p =Þ= Ta có: 22 cosdxdtdt (t2)(t3)sinx5sinx6t5t6 == ---+-+ AB[(AB)t2A3B]dt dt t3t2(t2)(t3) +-- ỉư =+= ç÷ ---- èø Từ đó: AB0A1 2A3B1B1 +== ìì Û íí --==- ỵỵ Suy ra: 2 cosxdx11 dt. t3t2sinx5sinx6 ỉư =- ç÷ ---+ èø Khi đó: 3/2 3/2 1/2 1/2 11t33(63) Idtlnln t3t2t2 5(43) -- ỉư =-== ç÷ --- èø - ò Ví dụ 5: Tính tích phân : 7 3 3 2 0 xdx I 1x = + ò Giải: Đặt 3 232 tx1tx1,=+Þ=+ khi đó: 2 2 3tdt 3tdt2xdxdx. 2x =Þ= Đổi cận: với x = 0 Þ t = 1; x7t2.=Þ= Ta có: 332 34 3 2 xdxx.3tdt 3t(t1)dt3(tt)dt. 2xt 1x ==-=- + Khi đó: 2 2 52 4 1 1 tt141 I3(tt)dt3. 5210 ỉư =-=-= ç÷ èø ò Bài toán 3: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 3 tính tích phân b a If(x)dx.= ò Giải: Dựa vào việc đánh giá cận của tích phân và tính chất của hàm số dưới dấu tích phân ta có thể lựa chọn phép đặt ẩn phụ, thông thường: · Với a a If(x)dx0 - == ò có thể lựa chọn việc đặt x = –t · Với /2 0 If(x)dx p = ò có thể lựa chọn việc đặt tx. 2 p =- Tích phân Trần Só Tùng Trang 96 · Với 0 If(x)dx p = ò có thể lựa chọn việc đặt t = p – x · Với 2 0 If(x)dx p = ò có thể lựa chọn việc đặt t = 2p – x · Với b a If(x)dx= ò có thể lựa chọn việc đặt x = a + b + t Ghi chú: Xem vấn đề 6 Ví dụ 6: Tính tích phân : 1 2004 1 Ixsinxdx - = ò Giải: Viết lại I về dưới dạng: 01 20042004 10 Ixsinxdxxsinxdx. - =+ òò (1) Xét tích phân 0 2004 1 Jxsinxdx. - = ò Đặt xtdxdt=-Þ=- khi đó: 2 2 3tdt 3tdt2xdxdx. 2x =Þ= Đổi cận: x = –1 Þ t = 1; x = 0 Þ t = 0 Khi đó: 01 20042004 10 I(t)sin(t)dtxsinxdx.=---=- òò Thay (2) vào (1) ta được I = 0. (2) Ví dụ 7: (ĐHGT Tp.HCM_99) Tính tích phân : /2 4 44 0 cosx Idx. cosxsinx p = + ò Giải: Đặt txdxdt 2 p =-Þ=- Đổi cận: với x = 0 Þ t = 2 p ; xt0. 2 p =Þ= Khi đó: 4 0/2/2 44 4444 44 /200 cos(t)(dt) sintdtsinx 2 Idx. costsintcosxsinx cos(t)sin(t) 22 pp p p -- === pp ++ -+- òòò Do đó: /2/2 44 44 00 cosxsinx 2IdxdxI. 24 cosxsinx pp +pp ===Þ= + òò Trần Só Tùng Tích phân Trang 97 BÀI TẬP Bài 6. Tính các tích phân sau: a/ 1 536 0 x(1x)dx;- ò b/ 1 42 0 xdx xx1++ ò c/ 3 52 0 x1xdx;- ò d/ 3 2 2 0 sinx.cosx dx 1cosx p + ò ĐS: a/ 1 ; 168 b/ 3 18 p c/ 848 ; 105 d/ 11 ln2. 22 - Bài 7. Tính các tích phân sau: a/ 6 2 0 cosx.dx ; 65sinxsinx p -+ ò b/ 2 0 cosx dx; 7cos2x p + ò c/ 1 x 1 cosx.dx ; e1 - + ò d/ 2 0 x.sinx.cosxdx p ò ĐS: a/ 10 ln; 9 b/ 2 ; 12 p c/ sin1; d/ ; 3 p Tích phân Trần Só Tùng Trang 98 Vấn đề 3: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Công thức: b b b a aa udvuvvdu=- òò Bài toán1: Sử dụng công thức tích phân từng phần xác đònh b a If(x)dx.= ò PHƯƠNG PHÁP GIẢI Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng: bb 12 aa If(x)dxf(x).f(x)dx.== òò Bước 2: Đặt: 1 22 uf(x) du dvf(x)dxv = ì ì Þ íí = ỵ ỵ Bước 3: Khi đó: b b a a Iuvvdu.=- ò Chúng ta cần nhớ lại các dạng cơ bản: Dạng 1: IP(x)sinxdx(hoặcP(x)cosxdx)=aa òò với P là một đa thức thuộc R[x] và * R khi đó đặt u = P(x). Dạng 2: axax Iecos(bx)(hoặcesin(bx))= òò với a,b0¹ khi đó đặt u = cos(bx) hoặc u = sin(bx)). Dạng 3: xx IP(x)edx(hoặcIP(x)edx) aa == òò với P là một đa thức thuộc R[x] và * R khi đó ta đặt u = P(x). Dạng 4: Ix.lnxdx,vớiR\{1} a =- ò khi đó đặt u = lnx. Ví dụ 1: Tính tích phân: /2 2 0 I(x1)sinxdx. p =+ ò Giải: Đặt: 2 du2xdx u(x1) vcosx dvsinxdx ì = =+ì Û íí =- = ỵ ỵ Khi đó: /2/2 /2 2 0 00 I(x1)cosx2xcosxdx12xcosxdx pp p =-++=+ òò (1) Xét tích phân /2 0 Jxcosxdx. p = ò Trần Só Tùng Tích phân Trang 99 Đặt: uxdudx dvcosxdxvsinx == ìì Û íí == ỵỵ Khi đó: /2 /2/2 00 0 Jxsinxsinxdxcosx1 22 p pp pp =-=+=- ò (2) Thay (2) vào (1) ta được: I1211. 2 p ỉư =+-=p- ç÷ èø Ví dụ 2: (Đề 37). Tính tích phân: 2x2 0 Iesinxdx. p = ò Giải: Biến đổi I về dạng: 2x22x 00 1 Iesinxdxe(1cos2x)dx 2 pp ==- òò (1) · Xét tích phân: 2 2x2x 1 0 0 1e1 Iedxe 222 p p p ===- ò (2) · Xét tích phân: 2x 2 0 Iecos2xdx p = ò Đặt: 2x 2x du2sin2xdx ucos2x 1 ve dvedx 2 =- ì = ì ï Û íí = = ỵ ï ỵ Khi đó: 2 2x2x2x 2 0 00 1e1 Iecos2xesin2xdxesin2xdx 222 p pp p =+=-+ òò (3) · Xét tích phân: 2x 2,1 0 Iesin2xdx p = ò Đặt: 2x 2x du2cos2xdx usin2x 1 ve dvedx 2 = ì = ì ï Û íí = = ỵ ï ỵ Khi đó: 2 2x2x 2,12 0 0 I 1 Iesinecos2xdxI. 2 p p =-=- ò 1442443 (4) Thay (4) vào (3), ta được: 22 222 e1e1 III. 2244 pp =--Û=- (5) Thay (2), (5) vào (1), ta được: 22 2 1e1e11 I[()](e1). 222448 pp p =---=- Ví dụ 3: (ĐHHH Tp.HCM_2000) Tính tích phân: 2 2 1 ln(1x) Idx. x + = ò Tích phân Trần Só Tùng Trang 100 Giải: Đặt: 2 1 uln(1x) dudx 1x dx 1 dv v x x ì =+ = ì ï ïï + Û íí = ïï = ỵ ï ỵ Khi đó: 2 22 1 11 11111 Iln(x1)dxln3ln2dx xx(x1)2x1x ỉư =-++=-+++ ç÷ ++èø òò 2 1 13 ln3ln2(ln|x|ln(x1))ln33ln2. 22 =-++-+=-+ BÀI TẬP Bài 8. Tính các tích phân sau: a/ x 2 0 e.sin3xdx; p ò b/ 1 2x 0 (x1)edx;+ ò c/ e 2 1 (x.lnx)dx; ò d/ 1 2 0 xln(x1)dx+ ò e/ 2 0 cosx.ln(1cosx)dx; p + ò f/ e 1 2 e lnx dx. (x1)+ ò ĐS: a/ x 32e ; 13 - b/ 2 5e1 ; 4 - c/ 3 7e1 27 - d/ 1 ln2; 2 - e/ 1; 2 p - f/ 2e . e1+ Trần Só Tùng Tích phân Trang 101 Vấn đề 4: TÍNH TÍCH PHÂN CÁC HÀM CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI Bài toán: Tính tích phân: b a If(x,m)dx.= ò PHƯƠNG PHÁP GIẢI Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Xét dấu biểu thức f(x, m) trên [a, b] Từ đó phân được đoạn [a, b] thành các đoạn nhỏ, giả sử: 112k [a,b][a,c][c,c] .[c,b].=ÈÈÈ mà trên mỗi đoạn f(x, m) có một dấu. Bước 2: Khi đó: 12 1k cc b acc If(x,m)dxf(x,m)dx .f(x,m)dx.=+++ òòò Ví dụ 1: Tính tích phân: 4 2 1 Ix3x2dx - =-+ ò Giải: Ta đi xét dấu hàm số 2 f(x)x3x2=-+ trên [–1, 4], ta được: x –1 1 2 4 f(x) + 0 – 0 + Khi đó: 124 222 112 I(x3x2)dx(x3x2)dx(x3x2)dx - =-+--++-+ òòò 124 323232 112 13131319 xx2xxx2xxx2x. 3232322 - ỉưỉưỉư =-+--++-+= ç÷ç÷ç÷ èøèøèø Chú ý: Với các bài toán chứa tham số cần chỉ ra được các trường hợp riêng biệt của tham số để khéo léo chia được khoảng cho tích phân, ta xét hai dạng thường gặp trong phạm vi phổ thông sau: Dạng 1: Với tích phân: b a Ixdx.=-a ò PHƯƠNG PHÁP GIẢI Khi đó với x[a,b]Ỵ cần xét các trường hợp: Trường hợp 1: Nếu a ³ b thì: b b 2 a a x1 I(x)dxx(ab)(ab2) 22 ỉư =a-=a-=-+-a ç÷ èø ò Trường hợp 2: Nếu a < a < b thì: [...]... Bài 12 Tính các tích phân sau: a/ 1 ò0 | x - m | dx; b/ 2 ò1 | x 2 - (a + 1)x + a | dx ì1 ï 2 - m, m £ 0 ï ĐS: a/ í ïm 2 - m + 1 , 0 < m £ 1 ï 2 ỵ Trang 103 ì 3a - 5 ,a ³ 2 ï 6 ï ï (a - 1)3 3a - 5 b/ í ,1< a < 2 6 ï 3 ï 5 - 3a , a£1 ï ỵ 6 Tích phân Trần Só Tùng Vấn đề 5: CÁCH TÍNH: b b òa max[f(x), g(x)]dx, òa min[f(x), g(x)]dx Phương pháp: · Ta tìm max[f(x), g(x)], min[f(x), g(x) bằng cách xét hiệu:.. .Tích phân Trần Só Tùng b x2 I = ò (a - x)dx + ò (x - a)dx = (ax - ) 2 a a a a a b x2 + ( - ax) 2 a 1 = a 2 + (a + b)a + (a2 + b 2 ) 2 Trường hợp 3: Nếu a £ a thì: b b x2 1 I = ò (x - a )dx = ( - ax) = (a - b)(2a - a - b) 2 2 a a b Dạng 2: Với tích phân: I = ò x 2 - ax + b dx a PHƯƠNG PHÁP GIẢI Khi đó với x Ỵ [a, b] cần xét các trường hợp: b... a)dx + ò x.(x - a)dx = - ò (x 2 - ax)dx + ò (x 2 - ax)dx 0 a a 1 ỉ x 3 ax 2 ư ỉ x 3 ax 2 ư a3 a 1 = -ç ÷ +ç ÷ = - + 2 ø0 è 3 2 øa 3 2 3 è 3 BÀI TẬP Bài 9 Tính các tích phân sau: a/ d/ g/ ò 5 -3 4 ò 3 x ò0 | 2 - 4 | dx; 1 Bài 10 Tính các tích phân sau: p 2 p 2 p ò c/ ò 0 | sin x | dx; 1 - sin 2xdx; ĐS: a/ 2; -1 (| 2x - 1 | -(x |2 )dx; 1 ò-1 4 - | x | dx; h/ 3 3 2 2 2 f/ ; 3 2 3 ln ; 7 4 1 g/ 4 + ; ln... đây là điều các em học sinh cần lưu tâm 1 Ví dụ 2: (ĐHYD TP.HCM_96) Tính tích phân: I = ò x x - a dx (a > 0) 0 Giải: Ta đi xét các trường hợp sau: Trường hợp 1: Nếu a ³ 1 1 1 1 ỉ x 3 ax 2 ư a 1 Khi đó: I = - ò x.(x - a)dx = - ò (x - ax)dx = - ç ÷ = - 2 ø0 2 3 è 3 0 0 2 Trường hợp 2: Nếu 0 < a < 1 Trang 102 Trần Só Tùng Tích phân a 1 a 1 0 0 Khi đó: I = - ò x.(x - a)dx + ò x.(x - a)dx = - ò (x 2 -... [c; b] thì max[f(x),g(x)] = g(x) b c b òa max[f(x),g(x)dx = òa [f(x),g(x)]dx + òc max[f(x), g(x)]dx c b = ò f(x).dx + ò g(x).dx a c · Từ đó: · Cách tìm min[f(x), g(x)] thực hiện tương tự 2 Ví dụ: Tính tích phân: I = ò max[f(x), g(x)]dx, trong đó f(x) = x 2 và g(x) = 3x - 2 0 Giải: Xét hiệu: f(x) - g(x) = x - 3x + 2 trên đoạn [0 ; 2] : 2 x 0 0 + f(x) – g(x) 1 2 0 – Do đó: – Với x Ỵ [0; 1] thì max[f(x);... g(x)] = 3x - 2 1 2 0 1 Ta có: I = ò max[f(x); g(x)]dx + ò max[f(x); g(x)]dx 1 2 x3 ỉ3 ư = ò x dx + ò (3x - 2)dx = + ç x 2 - 2x ÷ 0 1 3 0 è2 ø1 1 3 17 = +6-4- +2 = 3 2 6 1 2 2 BÀI TẬP Bài 13 Tính các tích phân sau: 2 a/ ò0 c/ max(x; x 2 )dx; 2 ò0 min(x; x ĐS: a/ 55 ; b/ 6 3 )dx; b/ d/ 4 ; 3 c/ 2 ò1 min(1; x p 2 0 ò 2 )dx; (sin x, cos x)dx 7 ; 4 Trang 104 d/ 2 - 2 ... phân: I = ò x 2 - ax + b dx a PHƯƠNG PHÁP GIẢI Khi đó với x Ỵ [a, b] cần xét các trường hợp: b Nếu D = a 2 - 4b £ 0 thì: I = ò (x 2 + ax + b)dx Trường hợp 1: a 2 Nếu D > 0 thì x + ax + b = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 < x 2 Trường hợp 2: · b Nếu x1 < x 2 £ a hoặc b £ x1 < x 2 thì: I = ò (x 2 + ax + b)dx a · b Nếu x1 £ a < b £ x 2 thì: I = ò (x 2 + ax + b)dx a · x2 b Nếu x1 £ a < x 2 < b thì: I = - ò (x . Tích phân Trần Só Tùng Trang 92 Vấn đề 2: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Phương pháp đổi biến số để tính tích phân xác đònh. dụng phương pháp đổi biến số dạng 3 tính tích phân b a If(x)dx.= ò Giải: Dựa vào việc đánh giá cận của tích phân và tính chất của hàm số dưới dấu tích phân