Xác định nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

Tích phân Trần Só Tùng Trang 14 Vấn đề 4: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính các tích phân bất đònh. Phương pháp đổi biến số để xác đònh nguyên hàm có hai dạng dựa trên đònh lý sau: Đònh lý: a/ Nếu f(x)dxF(x)Cvàu(x)=+=j ò là hàm số có đạo hàm thì f(u)duF(u)C=+ ò . b/ Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt x = j(t) trong đó j(t) cùng với đạo hàm của nó (j’(t) là những hàm số liên tục, ta sẽ được: f(x)dxf[(t)].'(t)dt.=jj òò Từ đó ta trình bày hai bài toán về phương pháp đổi biến như sau: Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tích tích phân bất đònh If(x)dx.= ò PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước: + Bước 1: Chọn x = j(t), trong đó j(t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp. + Bước 2: Lấy vi phân dx = j’(t)dt + Bước 3: Biểu thò f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt + Bước 4: Khi đó Ig(t)dt.= ò Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là: Dấu hiệu Cách chọn 22 ax- xasintvớit 22 xxcostvới0t pp é =-££ ê ê =££p ê ë 22 xa- a xvớit;\{0} sint22 a xvớit[0;]\{} cost2 é pp éù =Ỵ- ê êú ëû ê p ê =Ỵp ê ë 22 ax+ xatgtvớit 22 xacotgtvới0t pp é =-<< ê ê =<<p ê ë axax hoặc axax +- -+ x = acos2t (xa)(bx)-- x = a + (b – a)sin 2 t Ví dụ 1: Tính tích phân bất đònh: 2 dx I. (1x) = - ò Giải: Đặt xsint;t 22 pp =-<< Trần Só Tùng Tích phân Trang 15 Suy ra: 32 23 dxcostdtdt dxcostdt&d(tgt) costcost (1x) ==== - Khi đó: 2 x Id(tdt)tgtCC. 1x ==+=+ - ò Chú ý: Trong ví dụ trên sở dó ta có: 233 2 x (1x)costvàtgt 1x -== - là bởi: 2 22 costcost tcost0 22 cost1sint1x ì = pp ï -<<Þ>Þ í =-=- ï ỵ Ví dụ 2: Tính tích phân bất đònh: 2 2 xdx I x1 = - ò Giải: Vì điều kiện x1> , ta xét hai trường hợp : · Với x > 1 Đặt: 1 x;0t sin2t4 p =<< Suy ra: 2 2cos2tdt dx sin2t = ú 2222 333 2 xdx2dt2(costsint)dt sin2t8sintcost x1 + =-=- - 22 222 1111 (cotgt.tgt.)dt 4sintcostsintcost 11121 (cotgt.tdt.) 4sintcosttgtcost 1d(tgt) [cotgt.d(cotgt)tgt.d(tgt)2]. 4tgt =-++ =-++ =--++ Khi đó: 1d(tgt) I[cotgt.d(cotgt)tgt.d(tgt)2] 4tgt =--++ òòò 2222 22 11111 (cotgttgt2lntgt)C(cotgttgt)lntgtC 42282 11 xx1lnxx1C. 22 =--+++=--+ =----+ · Với x < –1 Đề nghò bạn đọc tự làm Chú ý: Trong ví dụ trên sở dó ta có: 2222 cotgttgt4xx1vàtgtxx1-=-=-- là bởi: 442 22 22222 costsint4cos2t41sin2t41 cotgttgt1 cost.sintsin2tsin2tsin2tsin2t -- -====- tgt = - ===- 22 2 sint2sint1cos2t1cos2t cost2sint.costsin2tsin2t sin2t = -- 2 11 1 sin2t sin2t Tích phân Trần Só Tùng Trang 16 Ví dụ 3: Tính tích phân bất đònh: 23 dx I (1x) = + ò Giải: Đặt: xtgt;t 22 pp =-<< . Suy ra: 3 22 23 dtdxcostdt dx&costdt. costcost (1x) === + Khi đó: 2 x IcostdtsintCC 1x ==+=+ + ò Chú ý: 1. Trong ví dụ trên sở dó ta có: 22 1x costvàsint 1x1x == ++ là bởi: 2 2 costcost tcost0 x 22 sinttgt.cost 1x ì = pp ï -<<Þ>Þ í == ï + ỵ 2. Phương pháp trên được áp dụng để giải bài toán tổng quát: 222k1 dx I,vớikZ. (ax) + =Ỵ + ò Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 tích tích phân If(x)dx.= ò PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước: + Bước 1: Chọn t = y(x), trong đó y(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp + Bước 2: Xác đònh vi phân =ydt'(x)dx. + Bước 3: Biểu thò f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt + Bước 4: Khi đó Ig(t)dt.= ò Dấu hiệu Cách chọn Hàm số mẫu có t là mẫu số Hàm số f(x,(x)j t(x)=j Hàm a.sinxb.cosx f(x) c.sinxd.cosxe + = ++ xx ttg(vớicos0) 22 =¹ Hàm 1 f(x) (xa)(xb) = ++ · Với x + a > 0 & x + b > 0, đặt: txaxb=+++ · Với x + a < 0 & x + b < 0, đặt: txaxb=-+-- Trần Só Tùng Tích phân Trang 17 Ví dụ 4: Tính tích phân bất đònh: 328 Ix(23x)dx.=- ò Giải: Đặt: 2 t23x=- . Suy ra: dt6xdx= 328228898 2t2t11 x(23x)dxx(23x)xdx.t.dt(t2t)dt. 33618 -- ỉư -=-==-=- ç÷ èø Khi đó: 98109109 111211 I(t2t)dtttCttC 181810918081 ỉư =-=-+=-+ ç÷ èø ò Ví dụ 5: Tính tích phân bất đònh: 2 xdx I 1x = - ò Giải: Đặt: 2 t1xx1t=-Þ=- Suy ra: 222 42 xdx(1t)(2tdt) dx2tdt&2(t2t1)dt t 1x -- =-==-+ - Khi đó: 425342 122 I2(t2t1)dt2tttC(3t10t15)tC 5315 ỉư =-+=--++=--++ ç÷ èø ò 22 22 [3(1x)10(1x)15]1xC(3x4x8)1xC 1515 =----+-+=-++-+ Ví dụ 6: Tính tích phân bất đònh: 522 3 Ix(12x)dx.=- ò Giải: Đặt: 3 3 22 1t t12xx 2 - =-Þ= . Suy ra: 2 3 2xdxttdt, 2 =- 3 5222222274 33 1t33 x(12x)dxx(12x)xdx.ttdt(tt)dt. 248 - ỉư -=-=-=- ç÷ èø Khi đó: 7485632 33113 I(tt)dtttC(5t8t)tC 8885320 ỉư =-=-+=-+ ç÷ èø ò 22222 3 3 [5(12x)8(12x)](12x)C 320 =----+ 4222 3 3 (20x4x3)(12x)C. 320 =---+ Ví dụ 7: Tính tích phân bất đònh: 3 Isinxcosxdx.= ò Giải: Đặt: 2 tcosxtcosx=Þ= dt = sinxdx, Tích phân Trần Só Tùng Trang 18 322 462 sinxcosxdxsinxcosxsinxdx(1cosx)cosxsinxdx (1t).t.(2tdt)2(tt)dt. ==- =-=- Khi đó: 627362 112 I2(tt)dt2ttC(3t7t)tC 7321 ỉư =-=-+=-+ ç÷ èø ò 3 2 (cosx7cosx)cosxC. 21 =-+ Ví dụ 8: Tính tích phân bất đònh: 3 2 cosx.sinxdx I 1sinx = + ò Giải: Đặt: 22 t1xx1tat1sinx=-Þ=-=+ Suy ra: dt2sinxcosxdx,= 32 22 cosx.sinxdxsinx.cosx.sinxdx(t1)dt11 1dt. 1sinx1sinx2t2t - ỉư ===- ç÷ ++ èø Khi đó: 22 111 I1dtf12(tlntC[1sinxln(1sinx)]C 2t2 ỉư =-=-+=+-++ ç÷ èø ò Ví dụ 9: Tính tích phân bất đònh: 2 8 cosxdx I. sinx = ò Giải: Đặt: t = cotgx Suy ra: 2 1 dtdx, sinx =- 22 2222 862422 222 cosxdxcosxdx1dxdx cotgxcotgx.(1cotgx) sinxsinxsinxsinxsinxsinx t.(1t)dt. ===+ =+ Khi đó: 22642753 121 It.(1t)dt(t2tt)dttttC 753 ỉư =+=++=+++ ç÷ èø òò 753 1 (15cotgx42cotgx35cotgx)C. 105 =+++ Ví dụ 10: Tính tích phân bất đònh: xx/2 dx I ee = - ò Giải: Đặt: x/2 te - = Suy ra: x/2 x/2 1dx dtedx2dt, 2e =-Û-= x/2 xx/2xx/2x/2x/2 dxdxedx2tdt1 2(1)dt eee(1e)e(1e)1tt1 - -- - ====+ ----- Trần Só Tùng Tích phân Trang 19 Khi đó: x/2x/2 1 I21dt2(elne1)C. t1 -- ỉư =+=+++ ç÷ - èø ò Chú ý: Bài toán trên đã dùng tới kinh nghiệm để lựa chọn cho phép đổi biến x/2 te, - = tuy nhiên với cách đặt x/2 te= chúng ta cũng có thể thực hiện được bài toán. Ví dụ 11: Tính tích phân bất đònh: x dx I 1e = + ò . Giải: Cách 1: Đặt: x2x t1et1e=+Û=+ Suy ra: x 222 x 2tdtdx2tdt2tdt 2tdtedxdx&. t1t(t1)t1 1e =Û=== --- + Khi đó: x 2 x dtt11e1 I2lnClnC t1t1 1e1 -+- ==+=+ -+ ++ ò Cách 2: Đặt: x/2 te - = Suy ra: x/2 x/2 1dx dtedx2dt, 2e - =Û-= xxxx/2x2 dxdxdx2dt 1ee(e1)ee1t1 -- - === ++++ Khi đó: 2x/2x 2 dt I22lntt1C2lnee1C t1 -- =-=-+++=-+++ + ò Ví dụ 12: Tính tích phân bất đònh: 2 dx I,vớia0. xa =¹ + ò . Giải: Đặt: 2 txxa=++ Suy ra: 2 222 xxaxdxdt dt1dxdx t xaxaxa ++ ỉư =+=Û= ç÷ +++ èø Khi đó: 2 dt IlntClnxxaC. t ==+=+++ ò Ví dụ 13: Tính tích phân bất đònh: dx I (x1)(x2) = ++ ò . Giải: Ta xét hai trường hợp: · Với x10 x1 x20 +> ì Û>- í +> ỵ Đặt: tx1x2=+++ Tích phân Trần Só Tùng Trang 20 Suy ra: 11(x1x2)dxdx2dt dtdx t 2x12x22(x1)(x2)(x1)(x2) +++ ỉư =+=Û= ç÷ ++++++ èø Khi đó: dt I22lntC2lnx1x2C t ==+=++++ ò · Với x10 x2 x20 +< ì Û<- í +< ỵ Đặt: t(x1)(x2)=-++-+ Suy ra: [(x1)(x2)]dx 11 dtdx 2(x1)2(x2)2(x1)(x2) -++-+ éù =--= êú -+-+++ ëû dx2dt t (x1)(x2) Û=- ++ Khi đó: dt I22lntC2ln(x1)(x2)C t =-=-+=--++-++ ò BÀI TẬP Bài 12. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a/ 29 f(x)x(x1);=- b/ 4 10 x f(x); x4 = - c/ 2 3 xx f(x); (x2) - = - d/ 2 4 x1 f(x); x1 - = + ĐS: a/ 121110 121 (x1)(x1)(x10)C. 121110 -+-+-+ b/ 5 5 1x2 lnC. 20x2 - + + c/ 2 2x5 lnx2C; (x2) - --+ - d/ 2 2 1xx21 lnC. 22xx21 -+ + ++ Bài 13. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a/ 2 2x f(x); xx1 = +- b/ 223 1 f(x)(a0) (xa) => + ; c/ 32 1 f(x). xx = - ĐS: a/ 323 22 x(x1)C; 33 --+ b/ 222 x C; axa + + c/ 3 66 x 6xlnx1C. 2 ỉư ++-+ ç÷ èø Bài 14. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a/ 5 3 cosx f(x); sinx = b/ 1 f(x) cosx = ; c/ 3 sinxcosx f(x) sinxcosx + = - ; d/ 3 cosx f(x); sinx = e/ 4 1 f(x). sinx = ĐS: a/ 2148 333 333 sinxsinxsinxC; 2144 +-+ Trần Só Tùng Tích phân Trang 21 b/ x lntgC; 24 p ỉư ++ ç÷ èø c/ 3 3 1sin2xC; 2 -+ d/ 2 1 lnsinxsinxC; 2 -+ e/ 3 1 cotgxcotgxC. 3 --+ Bài 15. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a/ 2x 1 f(x); 1e = + b/ x x1 f(x); x(1xe) + = + c/ xx xx 2.3 f(x); 94 = - d/ 1 f(x); xlnx.ln(lnx) = ĐS: a/ x2x ln(ee1)C; -- -+++ b/ x x xe lnC; 1xe + + c/ xx xx 132 ,lnC; 2(ln3ln2)32 - + -+ d/ lnln(lnx)C.+ . 4: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính các tích phân bất đònh. Phương pháp. hai bài toán về phương pháp đổi biến như sau: Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tích tích phân bất đònh If(x)dx.= ò PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta