Xác định nguyên hàm bằng phương pháp tích phân từng phần

Tích phân Trần Só Tùng Trang 22 Vấn đề 5: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Công thức tính tích phân từng phần: udvuvvdu.=- òò Bài toán 1: Sử dụng công thức tích phân từng phần xác đònh If(x)dx.= ò PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng: 12 If(x)dxf(x).f(x)dx.== òò + Bước 2: Đặt: 1 2 uf(x) du dvf(x)dxv = ì ì Þ íí = ỵ ỵ + Bước 3: Khi đó: Iuvvdu.=- ò Ví dụ 1: Tích tích phân bất đònh: 2 2 xln(xx1) I x1 ++ = + ò . Giải: Viết lại I dưới dạng: 2 2 x Iln(xx1)dx. x1 =++ + ò Đặt : 2 2 22 2 2 1x uln(xx1) dx x1 du x xx1x1 dv x1 vx1 + ì ì ï =++ + ï ï == Þ íí +++ = ïï + ỵ ï =+ ỵ Khi đó: 2222 Ix1ln(xx1)dxx1ln(xx1)xC.=+++-=+++-+ ò Ví dụ 2: Tích tích phân bất đònh: Icos(lnx)dx.= ò Giải: Đặt : 1 ucos(lnx) dusin(lnx)dx x dvdx vx - ì = = ì ï Þ íí = ỵ ï = ỵ Khi đó: Ixcos(lnx)sin(lnx)dx.=+ ò (1) Xét Jsin(lnx)dx.= ò Đặt: 1 usin(lnx) ducos(lnx)dx x dvdx vx. ì = = ì ï Þ íí = ỵ ï = ỵ Khi đó: Jx.sin(lnx)cos(lnx)dxx.sin(lnx)I=-=- ò (2) Trần Só Tùng Tích phân Trang 23 Thay (2) vào (1), ta được: x Ix.cos(lnx)x.sin(lnx)II[cos(lnx)sin(lnx)]C. 2 =+-Û=++ Chú ý: Nếu bài toán yêu cầu tính giá trò của một cặp tích phân: 12 Isin(lnx)dxvàIcos(lnx)dx== òò ta nên lựa chọn cách trình bày sau: · Sử dụng tích phân từng phần cho I 1 , như sau: Đặt : 1 usin(lnx) ducos(lnx)dx x dvdx vx ì = = ì ï Þ íí = ỵ ï = ỵ Khi đó: 12 Ix.sin(lnx)cos(lnx)dxx.sin(lnx)I.(3)=-=- ò · Sử dụng tích phân từng phần cho I 2 , như sau: Đặt : 1 ucos(lnx) dusin(lnx)dx x dvdx vx ì = =- ì ï Þ íí = ỵ ï = ỵ Khi đó: 21 Ix.cos(lnx)sin(lnx)dxx.cos(lnx)I.(4)=-=+ ò · Từ hệ tạo bởi (3) và (4) ta nhận được: 12 xx I[sin(lnx)cos(lnx)]C.I[sin(lnx)cos(lnx)] C. 22 =-+=++ Ví dụ 3: Tích tích phân bất đònh: 2 ln(cosx) Idx. cosx = ò Giải: Đặt : 2 uln(cosx) sinx dudx cosx dx dv vtgx cosx = ì ì =- ïï Þ íí = ïï = ỵ ỵ Khi đó: 2 2 1 Iln(cosx).tgxtgxdxln(cosx).tgx1dx cosx ỉư =+=+- ç÷ èø òò ln(cosx).tgxtgxxC.=+-+ Bài toán 2: Tính IP(x)sinxdx(hoặcP(x)cosxdx)=aa òò với P là một đa thức thuộc * R[X]vàR. PHƯƠNG PHÁP CHUNG Tích phân Trần Só Tùng Trang 24 Ta lựa chọn một trong hai cách sau: · Cách 1: (Sử dụng tích phân từng phần). Ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Đặt : duP'(x)dx uP(x) . 1 dvsinxdx vcosx = ì = ì ï Þ íí =a =-a ỵ ï + Bước 2: Khi đó: 11 IP(x)cosP'(x).cosx.dx.=-a+a aa ò + Bước 3: Tiếp tục thủ tục trên ta sẽ “khử” được đa thức. · Cách 1: (Sử dụng phương pháp hệ số bất đònh). Ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Ta có: IP(x)cosxdxA(x)sinxB(x)cosxC.(1)=a=a+a+ ò trong đó A(x) và B(x) là các đa thức cùng bậc với P(x). + Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được: P(x).cosx[A'(x)B(x)].sin[A(x)B'(x)].cosx (2)a=+a++ Sử dụng phương pháp hệ số bất đònh ta xác đònh được các đa thức A(x) và B(x) + Bước 3: Kết luận. Nhận xét: Nếu bậc của đa thức P(x) lớn hơn hoặc bằng 3 ta thấy ngay cách 1 tỏ ra quá cồng kềnh, vì khi đó ta cần thực hiện thủ tục lấy tích phân từng phần nhiều hơn ba lần. Do đó ta đi tới nhận đònh chung sau: – Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn hoặc bằng 2, ta lựa chọn cách 1. – Nếu bậc của P(x) lớn hơn 2, ta lựa chọn cách 2. Ví dụ 4: Tính : 2 Ix.sinxdx= ò (ĐHL_1999) Giải: Biến đổi I về dạng cơ bản: 2 1cos2x1111 Ixdxxdxxcos2xdxxxcos2xdx(1) 22242 - ỉư ==-=- ç÷ èø òòòò Xét Jxcos2xdx.= ò Đặt : 2 dx dudx ux x1 dvcos2xdx 1 vsin2x 2 ì == ï = ì ï + Þ íí = ỵ ï = ï ỵ Khi đó: x1x1 Jsin2xsin2xdxsin2xcos2xC. 2224 =-=++ ò (2) Thay (2) vào (1) ta được: 2 1x1 Ixsin2xcos2xC. 448 =+++ Ví dụ 5: Tính : 32 I(xx2x3)sinxdx.=-+- ò Trần Só Tùng Tích phân Trang 25 Giải: Ta có: 32 I(xx2x3)sinxdx=-+- ò 3232 11112222 (axbxcxd)cosx(axbxcxd)sinxC(1)=++++++++ Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được: 3232 2121212 32 1212121 (xx2x3)sinx[ax(3ab)x(2bc)xcd].cosx [ax(3ab)x(2bc)xcd].sinx(2) -+-=++++++- -----+- Đồng nhất đẳng thức, ta được: 22 1221 1221 1221 a0a1 3ab03ab1 (I)và(II) 2bc02bc2 cd0cd3 =-= ìì ïï +=-=- ïï íí +=-= ïï ïï +=-+=- ỵỵ Giải (I) và (II), ta được: 11112222 a1,b1,c4,d1,a0,b3,c2,d4.=-======-=- Khi đó: 322 I(xx4x1)cosx(3x2x4)sinxC.=-++++-++ Bài toán 3: Tính ( ) axax Iecos(bx)dxhoặcesin(bx)vớia,b0.=¹ òò PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta lựa chọn một trong hai cách sau: · Cách 1: (Sử dụng tích phân từng phần). Ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Đặt : ax ax dubsin(bx)dx ucos(bx) . 1 ve dvedx a =- ì = ì ï Þ íí = = ỵ ï ỵ Khi đó: axax 1b Iecos(bx)esin(bx)dx.(1) aa =+ ò + Bước 2: Xét ax Jesin(bx)dx.= ò Đặt ax ax dubcosx(bx)dx usin(bx) 1 ve dvedx a = ì = ì ï Þ íí = = ỵ ï ỵ Khi đó: axaxax 1b1b Jesin(bx)ecos(bx)dxesin(bx)I.(2) aaaa =-=- ò + Bước 3: Thay (2) vào (1), ta được: ãax 1b1b Iecos(bx)[esin(bx)I] aaaa =+- ax 22 [a.cos(bx)b.sin(bx)e IC. ab + Û=+ + · Cách 2: (Sử dụng phương pháp hằng số bất đònh). Ta thực hiện theo các bước : + Bước 1: Ta có: axax Iecos(bx)dx[Acos(bx)B.sin(bx)]eC.(3)==++ ò trong đó A, B là các hằng số. Tích phân Trần Só Tùng Trang 26 + Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (3), ta được: axaxax ax e.cos(bx)b[Asin(bx)Bcos(bx)]ea[Acos(bx)Bsin(bx)]e [(AaBb).cos(bx)BaAb)sin(bx)]e. =-+++ =++- Đồng nhất đẳng thức, ta được: 22 22 a A AaBb1 ab BaAb0b B ab ì = ï += ì ï + Þ íí -= ỵ ï = ï + ỵ + Bước 3: Vậy: ax 22 [a.cos(bx)b.sin(bx)]e IC. ab + =+ + Chú ý: 1. Nếu bài toán yêu cầu tính giá trò của một cặp tích phân: axax 12 Iecos(bx)dxvàIesin(bx)dx.== òò ta nên lựa chọn cách trình bày sau: · Sử dụng tích phân từng phần cho I 1 , như sau: Đặt: ax ax dubsin(bx)dx ucos(bx) 1 ve dvedx a =- ì = ì ï Þ íí = = ỵ ï ỵ Khi đó: axaxax 12 1b1b Iecos(bx)esin(bx)dxecos(bx)I.(3) aaaa =+=+ ò · Sử dụng tích phân từng phần cho I 1 , như sau: Đặt: ax ax dubcos(bx)dx usin(bx) 1 ve dvedx a = ì = ì ï Þ íí = = ỵ ï ỵ Khi đó: axaxax 21 1b1b Iesin(bx)ecos(bx)dxesin(bx)I.(4) aaaa =-=- ò · Từ hệ tạo bởi (3) và (4) ta nhận được: axax 12 2222 [a.cos(bx)b.sin(bx)]e[a.sin(bx)b.cos(bx)]e IC.IC. abab +- =+=+ ++ 2. Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các tích phân: ax2ax2 12 Jesin(bx)dxvàJecos(bx)dx.== òò Ví dụ 6: Tính tích phân bất đònh: x2 Ie.cosxdx.= ò Giải: Cách 1: Viết lại I dưới dạng: xxxxx 111 Ie.(1cos2x)dx(edxe.cos2xdx)(ee.cos2xdx)(1) 222 =+=+=+ òòòò · Xét x Je.cos2xdx.= ò Trần Só Tùng Tích phân Trang 27 Đặt: xx ucos2xdu2sin2xdx dvedxve ==- ìì Þ íí == ỵỵ Khi đó: xx Jecos2x2esin2xdx(2)=+ ò · Xét: x Kesin2xdx.= ò Đặt: xx usin2xdu2cos2xdx dvedxve == ìì Þ íí == ỵỵ Khi đó: xxx Kesin2x2ecos2xdxesin2x2J(3)=-=- ò Thay (3) vào (2), ta được: xxx 1 Jecos2x2(esin2x2J)J(cos2x2sin2x)eC(4) 5 =+-Û=++ Thay (4) vào (1), ta được: xxx 111 I[e(cos2x2sin2x)e]C(5cos2x2sin2x)eC 2510 =+++=+++ Cách 2: xx 1 Ie.(1cos2x)dx(ab.cos2xc.sin2x)eC.(5) 2 =+=+++ ò Lấy đạo hàm hai vế của (5), ta được: xxx x 1 e(1cos2x)(b.sin2x2c.cos2x)e(ab.cos2xc.sin2x)e 2 [a(2xb)cos2x(c2b)sin2x]e.(6) +=-++++ =+++- Đồng nhất đẳng thức, ta được: 2a1a1/2 2(2cb)1b1/10. 2(c2b)0c1/5 == ìì ïï +=Þ= íí ïï -== ỵỵ Vậy: x 1 I(5cos2x2sin2x)eC. 10 =+++ Bài toán 4: Tính x IP(x)edx a = ò với P là một đa thức thuộc R[X] và * R. PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta lựa chọn một trong hai cách sau: · Cách 1: (Sử dụng tích phân từng phần). Ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Đặt : ax x duP'(x)dx uP(x) . 1 ve dvedx a = ì = ì ï Þ íí = = ỵ ï + Bước 2: Khi đó: xx 11 IP(x)eP'(x).e.dx. aa =- aa ò + Bước 3: Tiếp tục thủ tục trên ta sẽ “khử” được đa thức. · Cách 2: (Sử dụng phương pháp hệ số bất đònh). Ta thực hiện theo các bước : Tích phân Trần Só Tùng Trang 28 + Bước 1: Ta có: xx IP(x).e.dxA(x)eC.(1) aa ==+ ò trong đó A(x) là đa thức cùng bậc với P(x) + Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được: xx P(x).e[A'(x)A(x)].e(2) aa =+a Sử dụng phương pháp hệ số bất đònh ta xác đònh được A(x). + Bước 3: Kết luận Nhận xét: Nếu bậc của đa thức P(x) lớn hơn hoặc bằng 3 ta thấy ngay cách 1 tỏ ra quá cồng kềnh, vì khi đó ta cần thực hiện thủ tục lấy tích phân từng phần nhiều hơn ba lần. Do đó ta đi tới nhận đònh chung sau: · Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn hoặc bằng 2, ta lựa chọn cách 1. · Nếu bậc của P(x) lớn hơn 2, ta lựa chọn cách 2. Ví dụ 7: Tính : 3x Ixedx.= ò Giải: Đặt: 3x 3x dudx ux 1 ve dvedx 3 = ì = ì ï Þ íí = = ỵ ï ỵ . Khi đó: 3x3x3x3x 1111 Ixee.dxxeeC. 3339 =-=-+ ò Ví dụ 8: Tính : 322x I(2x5x2x4)edx=+-+ ò Giải: Ta có: 322x322x I(2x5x2x4)edx(axbxcxd)eC.(1)=+-+=++++ ò Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được: 322x322x (2x5x2x4)e[2ax(3a2b)x(2b2c)xc2d]e(2)+-+=++++++ Đồng nhất đẳng thức ta được: 2a2a1 3a2b5b1 2b2c2c2 c2d4d3 == ìì ïï +== ïï Û íí +=-=- ïï ïï +== ỵỵ Khi đó: 322x I(xx2x3)eC.=+-++ Bài toán 5: Tính Ix.lnxdx,vớiR\{1}. a =- ò Đặt : 1 1 dudx ulnx x 1 dvxdx vx 1 a a+ ì = ï = ì ï Þ íí = ỵ ï = ï a+ ỵ Khi đó: 111 2 xxxx IlnxdxlnxC. 111(1) a+aa+a+ =-=-+ a+a+a+ a+ ò Trần Só Tùng Tích phân Trang 29 Ví dụ 9: Tính 2 Ixln2xdx.= ò Đặt : 2 3 dx du uln2x x 1 dvxdx vx 3 ì = ï = ì ï Þ íí = ỵ ï = ï ỵ . Khi đó: 333 2 xxx Iln2xxdxln2xC. 339 ==-+ ò BÀI TẬP Bài 16. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a/ f(x)lnx;= b/ 22x f(x)(x1)e=+ ; c/ 2 f(x)xsinx;= d/ x f(x)esinx;= e/ f(x)x.cosx;= f/ x2 f(x)e(1tgxtgx).=++ ĐS: a/ xlnxxC-+ b/ 22x 1 (2xx3)eC; 4 -++ c/ 2 (2x)cosx2sinxC;-++ d/ x 1 e(sinxcosx)C; 2 -+ e/ 2x(x6)sinx6(x2)cosxC;-+-+ f/ x etgxC.+ Bài 17. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a/ x f(x)e;= b/ 2 lnx f(x); x ỉư = ç÷ èø c/ 22 f(x)(x1)cosx;=+ d/ 2x f(x)e.cos3x; - = e/ f(x)sin(lnx);= f/ 2 f(x)xK,(K0);=+¹ ĐS: a/ x 2(x1)eC;-+ b/ 2 lnx 2lnx2xC; x --+ c/ 32 (x1)(x1)sin2x(x1)cos2xsin2x C; 6448 +++ ++-+ d/ 2x e (3sin3x2cos3x)C; 13 - -+ e/ [ ] x sin(lnx)cos(lnxC; 2 ++ f/ 22 xK xKlnxxKC. 22 +++++ Bài 18. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a/ 3 f(x)xlnx= (HVQY_1999) b/ 2 f(x)(x2)sin2x=+ (ĐHPĐ_2000) c/ f(x)xsinx= (ĐHMĐC_1998) ĐS: a/ 44 11 xlnxxC; 416 -+ b/ 2 1x1 (x2)cos2xsin2xcos2xC; 224 -++++ c/ 3 2xcosx6xsinx12xcosx12sinxC.-++-+ Tích phân Trần Só Tùng Trang 30 Vấn đề 6: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG NGUYÊN HÀM PHỤ Ý tưởng chủ đạo của phương pháp xác đònh nguyên hàm của f(x) bằng kỹ thuật dùng hàm phụ là tìm kiếm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x)g(x)± dễ xác đònh hơn so với hàm số f(x), từ đó suy ra nguyên hàm F(x) của hàm số f(x). Ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Tìm kiếm hàm số g(x). + Bước 2: Xác đònh các nguyên hàm của các hàm số f(x)g(x),± tức là: 1 2 F(x)G(x)A(x)C (I) F(x)G(x)B(x)C +=+ ì í -=+ ỵ + Bước 3: Từ hệ (I), ta nhận được: 1 F(x)[A(x)B(x)]C 2 =++ là họ nguyên hàm của hàm số f(x). Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm hàm số: sinx f(x). sinxcosx = - Giải: Chọn hàm số phụ: cosx g(x) sinxcosx = - Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x). Ta có: sinxcosx f(x)g(x) sinxcosx + += + 1 2 sinxcosxd(sinxcosx) F(x)G(x)dxlnsinxcosxC. sinxcosxsinxcosx sinxcosx f(x)g(x)1F(x)G(x)dxxC. sinxcosx +- Þ+===-+ -- - -==Þ-==+ - òò ò Ta được: 1 2 F(x)G(x)lnsinxcosxC 1 F(x)(lnsinxcosxx)C. 2 F(x)G(x)xC ì +=-+ ï Þ=-++ í -=+ ï ỵ Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm hàm số: 4 44 cosx f(x) sinxcosx = + Giải: Chọn hàm số phụ: 4 44 sinx g(x) sinxcosx = + Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x). Ta có: 44 1 44 sinxcsx f(x)g(x)1F(x)G(x)dxxC sinxcosx + +==Þ+==+ + ò 4422 4422222 2 cosxsinxcosxsinxcos2x f(x)g(x) 1 sinxcosx(cosxsinx)2cosx.sinx 1sin2x 2 -- -=== ++- - Trần Só Tùng Tích phân Trang 31 2 2 2cos2xd(sin2x)1sin2x2 F(x)G(x)dxlnC 2sin2x sin2x2 22sin2x2 - Þ-==-=-+ - - + òò Ta được: 1 2 F(x)G(x)xC 112sin2x F(x)xlnC. 12sin2x 2 222sin2x F(x)G(x)lnC 222sin2x +=+ ì ỉư + ï Þ=++ ç÷ í + - -=+ èø ï - ỵ Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm hàm số: 2 f(x)2sinx.sin2x.= Giải: Chọn hàm số phụ: 2 g(x)2cosx.sin2x.= Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x). Ta có: 22 1 22 2 f(x)g(x)2(sinxcosx).sin2x2sin2xF(x)G(x)2sin2xdxcos2xC f(x)g(x)2(sinxcosx).sin2x2cos2x.sin2xsin4x 1 F(x)G(x)sin4xdxcos4xC 4 +=+=Þ+==-+ -=-=-=- Þ-=-=+ ò ò Ta được: 1 2 F(x)G(x)cos2xC 11 F(x)cos2xcos4xC. 1 24 F(x)G(x)cos4xC 4 +=-+ ì ï ỉư Þ=-++ í ç÷ -=++ èø ï ỵ Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm hàm số: x xx e f(x). ee - = - Giải: Chọn hàm số phụ: x xx e g(x). ee - - = - Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x). Ta có: xx xx xxxx xx 1 xxxx xx 2 xx ee f(x)g(x) ee eed(ee) F(x)G(x)dxlneeC eeee ee f(x)g(x)1F(x)G(x)dxxC. ee - - -- - -- - - + += - +- Þ+===-+ -- - -==Þ-==+ - òò ò Ta được: xx 1 xx 2 F(x)G(x)lneeC 1 F(x)(lneex)C. 2 F(x)G(x)xC - - ì +=-+ ï Þ=-++ í -=+ ï ỵ BÀI TẬP Bài 19. Tìm nguyên hàm của các hàm số: a/ sinx f(x); sinxcosx = + b/ 2 f(x)sinx.cos2x.= c/ x xx e f(x) ee - = + ĐS: a/ 1 (xlnsinxcosxC; 2 -++ b/ 11 (sin2xsin4xx)C; 44 --+ c/ xx 1 (xlnee)C. 2 - +++ . Tích phân Trần Só Tùng Trang 22 Vấn đề 5: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Công thức tính tích phân từng phần: udvuvvdu.=-. 2xcosx6xsinx12xcosx12sinxC.-++-+ Tích phân Trần Só Tùng Trang 30 Vấn đề 6: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG NGUYÊN HÀM PHỤ Ý tưởng chủ đạo của phương pháp xác đònh nguyên hàm