T 7 ôn tập toán lớp 10

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN KIM THÀNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Bài 1: (2,0 điểm)  x2 x  x1   Cho P  :  x x  x  x 1  x  a/ Rút gọn biểu thức P b/ Tìm x để P = c/ So sánh P2 với 2P Bài (2,0 điểm) 1/ Giải phương trình: x  x  1  1 x x 2/ Trên mặt phẳng tọa độ, cho điểm M(2; 1), N(3; – 4), P(5; 3) trung điểm cạnh AB, BC CA tam giác ABC a/ Viết phương trình đường thẳng AB; BC b/ Xác định vị trí điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành Bài (2,0 điểm) 1/ Giải phương trình nghiệm nguyên: x  xy  2014 x  2015 y  2016 0 2/ Tìm số tự nhiên có chữ số, biết rằng: Tổng số với chữ số 2023 Bài (3,0 điểm) Cho đường tròn (O;R) cố định, đường kính AB Lấy điểm I nằm tia đối BA, kẻ tiếp tuyến IC (C tiếp điểm) Gọi M điểm cố định thuộc nửa đường trịn đường kính AB khơng chứa điểm C (M khác A;B) Gọi N giao điểm thứ IM với (O); H hình chiếu C AB; K hình chiếu O IM, E giao điểm CH OK a/ Chứng minh: IC2 =IA.IB b/ Chứng minh: IH.IO=IM.IN c/ Khi I di động tia đối BA, tìm quỹ tích điểm E Bài (1,0 điểm) Cho số nguyên a, b thỏa mãn a  b  2(ab  a  b) Chứng minh a; b số phương liên tiếp Hết - PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mơn thi: Tốn - Lớp Thời gian làm bài:120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài (2,0đ): Ý Đáp án   x  x : x  P    (với x 0 ; x≠1)   x  x  x   x 1    x2 x x  x x    x1 x  x  x 1 Điểm   a/   x  x 1   b/    x  x  x 1  2  x  x  x 1 Vậy P  x  x 1 Ta có: P  (với x 0 ; x≠1) x  x 1 2 P    x  x  7  x  x  0 x  x 1   x   x  0    x  0 (vì x 0 nên 0,25đ 0,25đ x   0) 0,5đ  x 4 Vậy với x =4 P = 0, 5đ Ta có: P  ( Với x 0 ; x ≠ 1) x  x 1 c/ Do x 0 ; x≠1 nên x  x    P  0 x  x 1 Ta lại có x  x 0 (vì x 0 ; x≠1)  x  x  1  1  P  2 x  x 1 x  x 1 Ta có P2 – 2P = P(P – 2)  (vì 0< P 2 ) => P2  2P Vậy P2  2P 0,25đ 0,25đ Bài (2,0đ): Ý Đáp án Điểm   x  x 0   x 1  1  0     x   x  x 0   ĐK: 0,25đ TH1:  x  VT0 nên PT vô nghiệm 0,25đ 1 1  x  1  x  TH2: x 1 PT: x  x    x x x x 1/   x   1 x   x   x   x – x    x 0 x  x  x  x     0  x  x  1  x( x  1)  0  x    x  x  1  0  0,25đ x  x  1 1  x  x    x 1  (vì x  1) 1   Vậy S     0,25đ + Viết phương trình đường thẳng MP y  x – 0,25đ + Đường thẳng BC song song với MP nên phương trình có dạng 2-a/ y  x  b Vì N thuộc đường thẳng BC tìm b = – Vậy phương trình đường thẳng BC y  x – 2-b/ + Tương tự ta có ptđt AB y  x – 0,25đ   y  x – + Giải hệ  y 7 x   0,25đ ta suy tọa độ đỉnh B(0; – 6) Sử dụng công thức tọa độ trung điểm, với P trung điểm AC nên P trung điểm BD, tìm tọa độ điểm D(10;12) Vậy D(10;12) 0,25đ Bài (2,0đ): Ý Đáp án Giải phương trình nghiệm nguyên: x  xy  2014 x  2015 y  2016 0  x  xy  x  2015 x  2015 y  2015 1  x  x  y  1  2015  x  y  1 1 1/ 2/ Điểm 0,25đ   x  y  1  x  2015  1 0,25đ  x  y    x  y  1   x; y   2016;  2016      x  2015 1  x  2015    x; y   2014;  2016  0,25đ Vậy  x; y   2016;  2016   x; y   2014;  2016  Tìm số tự nhiên có chữ số, biết rằng: Tổng số với chữ số 2023 Gọi số cần tìm abcd ĐK: a; b; c; d  N ;1 a 9;0 b; c; d 9 Theo ta có: abcd  a  b  c  d 2023 (1) Vì abcd  a  b  c  d 2023 nên abcd  3000 a 9 nên a=1; TH1: a=1 Thay vào (1) ta được: 1bcd   b  c  d 2023  bcd  b  c  d 1022 (2)  bcd 1022  (b  c  d )  1022      995 nên b=9 Thay vào (2) ta được: 9cd   c  d 1022  cd  c  d 113 (3)  cd 113   c  d   113     95 nên c=9 Thay vào (3) ta được: 9d   d 113  d  d 14  d 7 Suy số cần cần tìm là: 1997 TH2: a=2 Thay vào (1) ta được: 2bcd   b  c  d 2023  bcd  b  c  d 21 (4)  bcd 21  (b  c  d )  21      21  100 nên b=0 Thay vào (4) ta được: 0cd   c  d 21  cd  c  d 21 (5)  cd 21   c  d   21     21 nên c=0;1;2 + Nếu c=0 Thay vào (5) ta được: 0d   d 21  d  d 21  d 10,5  (loại) + Nếu c=1 Thay vào (5) ta được: 1d   d 21  d  d 10  d 5 Suy số cần cần tìm là: 2015 + Nếu c=2 Thay vào (5) ta được: 2d   d 21  d  d   (loại) Vậy có số tmycbt là: 1997 2015 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Bài (3,0đ): Ý Đáp án Điểm C O A H M B I N K 0,25đ E a/ b/ Chứng minh: IC2 =IA.IB 2 2 Chỉ ra: IC IO  OC IO  OA  IO  OA  IO  OA IA.IB  đpcm Chứng minh: IH.IO=IM.IN Chỉ ra: OCI vuông C, đường cao CH nên IC IH IO (1) 2 Chỉ ra: IM IN  IK  KM   IK  KN  IK  KM IK   OA2  OK   IK  OK   OA2 IO  OA2  IO  OA   IO  OA  IA.IB IC (2) c/ Từ (1) (2) suy ra: IH.IO=IM.IN  đpcm Khi I di động tia đối BA, tìm quỹ tích điểm E + Chỉ ra: OHE đồng dạng với OKI suy OK.OE=OH.OI (3) + OCI vuông C, đường cao CH nên OH.OI=OC2= OM2 (4) + Từ (3); (4) suy ra: OK.OE=OM2 Chỉ OKM đồng dạng với OME   Nên OME OKM 900 suy ra: ME  OM Vì (O); AB ; M cố định nên đường thẳng qua M vng góc với OM cố định tức đường thẳng ME cố định Nên quỹ tích điểm E nằm đường thẳng qua M vng góc với OM Giới hạn quỹ tích: Phần đường thẳng ME nằm giới hạn đường tiếp tuyến đường tròn (O) A B 0,75 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Bài (1,0đ): Cho số nguyên a, b thỏa mãn a  b2  2(ab  a  b) Chứng minh a; b số phương liên tiếp (1đ SX) Ý Đáp án Điểm Cho số nguyên a,b thỏa mãn a  b  2(ab  a  b)  a  b   2ab  2a  2b 4a   a  b  1 4a Suy a 0  a  b 1 4a số phương suy a số phương Nên đặt a = x2 (x số nguyên) Khi đó: x 0,25đ 0,25đ  b  1 4 x  x  b  2 x  b  x 1 Ta thấy x (x+1) (x-1) x số nguyên liên tiếp Suy ra: x2 (x+1)2 (x-1)2 x2 số phương liên tiếp Vậy a b hai số phương liên tiếp Ghi chú: Các cách giải khác, cho điểm tối đa 0,25đ 0,25đ