Phòng giáo dục đào tạo huyện Kim Thành Đề thi chän häc sinh giái hun Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Bài 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức P = x x1 x 1 : x x x x a) Tìm x để P xác định, rút gọn P b) Tính giá trị P x = 2 c) Tìm giá trị x thỏa mãn đẳng thức P x 6 x x Bài 2: (2,0 điểm) Giải phương trình a) x 3x x x x 2x b) x x x 5 x Bài 3: (2,0 điểm) a) Chứng minh a, b, c ba số thỏa mãn a + b + c = 2015 1 1 ba số a, b, c phải có số 2015 a b c 2015 2 b) Cho x y thỏa mãn x x 2015 y y 2015 2015 Tính x + y Bài 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường trịn tâm O đường kính BC Gọi D trung điểm AB, E trọng tâm tam giác ACD, G giao điểm CD AO Chứng minh: a) EG // AB c) SDAC + SBDO = b) OE CD SABC Bài 5: (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc nhọn(AB < AC) Từ trung điểm D cạnh BC, kẻ đường vng góc với đường phân giác góc A cắt AB AC M N Chứng minh: BM = CN HẾT -(Đề thi gồm có 01 trang) Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn thi: Tốn - Lớp Bài 1: (2 điểm) Ý/Phần a) 0,75 điểm Đáp án x1 x 1 P x , ĐKXĐ: x 0, x 1 : x x x x x 1 x : = x x 0,5 điểm x x x 1 = : x x x 1 x 1 x c) 0,75 điểm 1 3 = 31 = 3 x 1 = x 1 ĐKXĐ, x = = Với x = 2 Nên P = 0,25 x1 x x x x x = : = x x 1 x x x b) Điểm 0,25 x 1 0,25 x 3 x 3 0,25 1 0,25 ĐK: x P x =6 x 1 x x 1 x 2 x 3 x x+2 Do x x =6 = +1=6 3 3 x 3 x x 0,25 x 0 x > 0; Nên để (*) xảy Kết luận x x x x x 0 (*) 0,25 x 0 , x 0 x 0 x = (TM ĐKXĐ) 0,25 Bài 2: (2 điểm) Ý/Phần a) Đáp án Điểm a, x 3x x x x x (1) x 3x 0 x 2 ĐK: x 0 x 2x 0 (1) + = + x a 0 Đặt: x b 0 điểm x c 0 a.b + c = b + a.c (1) a(b - c) - (b - c) = a 1 (a - 1)(b - c) = b c Với a = x 1 x - = x = (thoả mãn Với b = c vô nghiệm x x x - = x + 0x = 0,25 0,25 0,25 đk) Vậy phương trình (1) có nghiệm x = b) x x x 5 x Đặt điểm 0,25 x2 y Khi đó, ta có: (với y 3 ) y 5 y x x 5 y y 5 y x 0 y x Từ tìm nghiệm phương trình là: x 4 0,25 0,5 0,25 Bài 3: (2 điểm) Ý/Phần a) Đáp án Điểm 1 1 1 1 ( )( ) 0 a b c a b c a b c a b c a b a b 0 ab c(a b c ) 1 ( a b)( ) 0 ab c (a b c ) ( a b)( ab ac bc c ) 0 ( a b)(b c)(c a ) 0 a b 0 b c 0 c a 0 +) Nếu a + b = suy c = 2015 +) Nếu b + c = suy a = 2015 +) Nếu a + c = suy b = 2015 Chứng tỏ số a, b, c phải có số b) x2 2015 y y 2015 2015 (hai nhaân tử v.trái phải khác 0) x Nên x x 2015 điểm 2015 y y2 2015 Tương tự y y 2015 = y 2015 y 0,5 x 2015 x Cộng vế theo vế, ta có x + y + y 2015 + x 2015 = 2(x + y) = nên x + y = y 2015 + x 2015 x y 0,5 Bài 4: (3 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm A a) M E D điểm N G B C O Vẽ hình xác 0,25 Chứng minh EG //AB: Kẻ đường trung tuyến CM, DN ADC chúng cắt E Hai trung tuyến AO CD cắt G, nên G trọng tâm 0,25 ABC Xét MCD, ta có: CE CG CM CD EG // DM hay EG // AB 0,5 Chứng minh OE CD : OD AB (Đường kính qua trung điểm D dây AB) Mà EG // AB nên EG OD (1) 0,5 ABC cân A OG BC, mà BC // DN nên OG DN (2) điểm Từ (1) (2) suy G trực tâm ODE, OE DG hay OE CD 0,5 b) c) điểm Chứng minh: SDAC + SBDO = SABC: 1 1 1 S ODC OC OA BC OA OA.BC 2 2 OA.BC S ABC 2 4 S ODC OA.BC Vậy SABC = SODC hay SODC = 0,5 SABC Ta có SDAC + SBDO = SABC – SODC = SABC – SABC = SABC 0,5 Bài 5: (1 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm A P N B M K D C Vẽ hình xác Chứng minh: BM = CN điểm Gọi K giao điểm MN đường phân giác góc A Từ B kẻ đường thẳng song song với MN cắt AC P AMN tam giác cân A (AK vừa đường cao vừa đường phân giác) AM = AN (1) BP//MN nên BP AK.Tương tự ABP cân A AB = AP (2) BM = AM – AB ; PN = AN – AP (3) Từ (1),(2),(3) suy BM = PN (4) Trong BCP, D trung điểm BC, DN// BP N trung điểm CP hay NP = NC (5) Từ (4),(5) BM = CN Lưu ý: Các cách giải khác cho điểm tối đa 0,25 0,5 0,25