Phòng giáo dục đào tạo huyện Kim Thành Đề thi chän häc sinh giái hun Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Bài 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức: P x a Rút gọn P x x x2 x x ( x 1)( x x ) b Tính P x 3 2 c Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên Bài 2: (2,0 điểm) a.Giải phương trình x x x x x 0 b Cho hàm số: y x 2m ; với m tham số Tính theo m tọa độ giao điểm A; B đồ thị hàm số với trục Ox; Oy H hình chiếu O AB Xác định giá trị m để OH Bài 3: (2,0 điểm) a Tìm số nguyên x; y thỏa mãn: y xy 3x 0 b Tìm số tự nhiên n để: A n2012 n2002 số nguyên tố Bài4: (3,0 điểm) a.(1 điểm) Cho tam giác ABC Từ trung điểm D cạnh BC, kẻ đường vuông góc với đường phân giác góc A cắt AB AC M N.Chứng minh: BM = CN: b (2 điểm) Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường trịn tâm O đường kính BC Gọi D trung điểm AB, E trọng tâm tam giác ACD, G giao điểm CD AO Chứng minh: a) EG // AB b) OE CD c) SDAC + SBDO = SABC Bài5: (1,0 điểm) x 1 2x 1 Cho x 1; y , chứng minh: 3 ( x 1) y y x x y -HẾT ( Đề thi gồm có trang) Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh……………………………… ; Số báo danh……………… PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: Toán- Lớp Câu Nội dung cần đạt Ý P a x x2 x ( x 1) x ( x 2) x ( x 1)( x 2) x( x 2) 2( x 1) x x x x x x x ( x 1)( x 2) x ( x 1)( x 2) x x 2x x x x ( x 1)( x 2) ( x 1) x ( x 1)( x 2) x ( x 1)( x 2) ( x 1) x 3 2 b c P Điểm 0,25 0,25 0.5 0.25 x 2 ( 1) ( x 1) 1 1 2 1 ( x 1) 1 ĐK: x 0; x 1 : P 0.25 0.25 ( x 1) x 1 2 1 ( x 1) x1 x1 Học sinh lập luận để tìm x 4 x 9 ĐK: x 0 Nhận thấy: x 0 nghiệm phương 2,0 0.25 0.25 trình, chia hai vế cho x ta có: x x x x x 0 x Đặt a x x 4 0 ( x ) ( x ) 0.25 0 x x x x 4 t t x x t , x x x 0.25 thay vào ta có: t 3 (t 4) t 0 t t 0 (t 3)(t 2) 0 t 0.25 Đối chiếu ĐK t 3 b x 3 x x 0 ( x 2)( x 1) 0 x x 4 x 1 Tìm tọa độ giao điểm A đồ thị hàm số với trục Ox: A 2,0 2m 1;0 Giao điểm B đồ thị hàm số với trục Oy: B 0; 2m 1 0,5 Ta có: AOB vng O có OH đường cao nên: m 0 1 1 Hay m x A2 yB2 (2m 1) OH OA2 OB 2 2 y xy x 0 x xy y x x ( x y ) ( x 1)( x 2) 0,5 0,25 (*) VT (*) số phương; VP (*) tích số nguyên a liên tiếp nên phải có số 0.25 x 0 x y 1 x 0 x y 2 0,25 Vậy có cặp số nguyên ( x; y) ( 1;1) ( x; y) ( 2; 2) 0,25 2.0 Xét n 0 A = khơng phải ngun tố; n 1 A = nguyên 0.25 tố Xét n > 1: A = n2012 – n2 + n2002 – n + n2 + n + = n2((n3)670 – 1) + n.((n3)667 – 1) + (n2 + n + 1) b Mà (n3)670 – 1) chia hết cho n3 -1, suy (n3)670 – 1) chia hết cho n2 +n+1 0,25 667 Tương tự: (n ) – chia hết cho n + n + Vậy A chia hết cho n2 + n + 1>1 nên A hợp số Số tự nhiên cần tìm n = 0.25 0,25 A P N B M K D C Chứng minh: BM = CN Gọi K giao điểm MN đường phân giác góc A Từ B kẻ đường thẳng song song với MN cắt AC P AMN tam giác cân A (AK vừa đường cao vừa đường phân giác) AM = AN (1) BP//MN nên BP AK.Tương tự ABP cân A AB = AP (2) BM = AM – AB ; PN = AN – AP (3) Từ (1),(2),(3) suy BM = PN (4) Trong BCP, D trung điểm BC, DN// BP N trung điểm CP hay NP = NC (5) Từ (4),(5) BM = CN 0,25 3.0 0,25 0,25 0,25 A M E D N G B O C a) Chứng minh EG //AB: Kẻ đường trung tuyến CM, DN ADC chúng cắt E Hai trung tuyến AO CD cắt G, nên G trọng tâm ABC Xét MCD, ta có: CE CG CM CD EG // DM hay EG // AB b) Chứng minh OE CD : OD AB (Đường kính qua trung điểm D dây AB) Mà EG // AB nên EG OD (1) ABC cân A OG BC, mà BC // DN nên OG DN (2) Từ (1) (2) suy G trực tâm ODE, OE DG hay OE CD c) Chứng minh: SDAC + SBDO = 0,25 0,25 0,25 0,5 SABC: 0,25 1 1 1 S ODC OC OA BC OA OA.BC 2 2 OA.BC S ` ABC 4 S ODC OA.BC , Vậy SABC = SODC hay SODC = SABC 0,25 Ta có SDAC + SBDO = SABC – SODC = SABC – x 1; y x 0; y 0,25 SABC = SABC x 1 0; 0; ( x 1) y y 0,25 Áp dụng BĐT Côsi cho số dương: 1 3 1.1 2 3 ( x 1) ( x 1) ( x 1) x (1) x 1 x 1 x 3( x 1) 2 3 1.1 y y y y 1 3 3 1.1 y y y y (2) (3) 1.0 0,5 Từ (1); (2); (3): x 1 1 3( x 1) 6 3 ( x 1) y y x y y x 1 1 x 3x 2x x 3( ) 3 ( x 1) y y x y x y 0,25 Học sinh làm cách khác với yêu cầu đề chấm điểm tối đa