PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT Năm học 2018- 2019 Mơn thi:Tốn - Lớp Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2,0 điểm) x2 x x1 : Cho biểu thức: P x x x x 1 x a Rút gọn biểu thức P b Tìm giá trị P x 11 c So sánh: P2 2P (Với x 0, x 1) Bài 2: (2,0 điểm) a) Giải phương trình: x x 4 x 3x 2 x b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét hai đường thẳng (d1): y = 3x – m – (d2) : y = 2x + m - Chứng minh m thay đổi, giao điểm (d 1) (d2) nằm đường thẳng cố định Bài 3: ( điểm) a) Tìm số nguyên a cho a số nguyên tố b) Đặt a 3 3 2 Chứng minh M = 64 3a (a 3) số phương Bài 4: (… điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với đường cao AD, BE, CF cắt H a Chứng minh rằng: S AEF Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC ; S cos A ABC 2 b Chứng minh : S DEF cos A cos B cos C S ABC c.Chứng minh rằng: HA HB HC BC AC AB Bài 5: (… điểm) Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên hai lần số đo diện tích ba lần số đo chu vi HẾT -(Đề thi gồm có 01 trang) Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: Toán - Lớp Bài 1: ( điểm) Ý/Phần a) Đáp án Điểm ĐKXĐ Với x 0, x x x x x x 1 x P : ( x 1)( x x 1) 0.75 x x 1 2 ( x 1)( x x 1) x x x 2) ( 1) x 11 2 (3 3 b) 2) ( 1) =2(TM ĐKXĐ) (3 Thay x =2 vào P ta có P Vậy x = P 0.25 2 2(3 2) 1 2(3 2) 0.25 0.25 Vì x x >0 nên P >0 Với x x x 0 nên x x c) 1 P 2 x x 1 x x 1 Do < P 2 nên P.(P – 2) 0 P2 2P Vậy P2 2P suy ra: 0.25 0.25 Bài 2: ( điểm) Ý/Phần a) Đáp án Điểm x x 4 x x 2 x ( ĐKXĐ x ) x x 4 x x 2 x 0.25 2x 0.25 x x x x 2 x x 0 x 3 1 2x 0 2 x x 4 x x x 1 (tmđk) x 2 x Vậy phương trình có nghiệm x = 0.25 0.25 Tìm (d1) cắt (d2) M(2m ; 5m-1) với m Suy quan hệ : ym = b) xm - với m 0.75 Vậy m thay đổi, giao điểm M (d 1) (d2) nằm đường thẳng cố định (d) : y = x - 0.25 Bài 3: ( điểm) Ý/ Phần a) Đáp án Điểm 4 2 2 Ta có : a = (a 4a 4) 4a a -2a+2 a +2a+2 0.25 Vì a Z a -2a+2 Z ;a +2a+2 Z Có a +2a+2= a+1 1 a 0.25 0.25 Và a -2a+2= a-1 1 1 a nên a số nguyên tố a +2a+2=1 a - 2a+2=1 Nếu a +2a+2=1 a thử lại thấy thoả mãn Nếu a -2a+2=1 a 1 thử lại thấy thoả mãn Vậy a số nguyên tố a=1 a= -1 b) Từ 0.25 a ( )3 a3 = 3a +4 a3 - 3a = Mặt khác từ a3 = 3a +4 a(a2 - ) = a2 - = : a (vì a3 = 3a +4 nên a ≠0 ) a 3 3 2 Thay vào rút gọn ta có M = 64 3a (a 3) 0.25 0.25 = a3 - 3a = Vậy M số phương 0.5 Bài 4: ( điểm) Ý/Phần a) Đáp án Điểm A E F H C B D AE Tam giác ABE vuông E nên cosA = AB AF Tam giác ACF vuông F nên cosA = AC Suy AE AF AEF ABC (c.g c ) = AB AC S AEF AE cos A S ABC AB S cos B, CDE cos C S ABC 0.5 0.5 * Từ AEF ABC suy b) S BDF Tương tự câu a, S ABC 0.25 Từ suy S DEF S ABC S AEF S BDF SCDE 1 cos A cos B cos C S ABC S ABC 2 Suy S DEF cos A cos B cos C S ABC c) HC CE HC.HB S HA.HC CE.HB 0.5 S HBC Từ AFC HEC AC CF AC AB CF AB S ABC HB.HA S HAC HAB Tương tự: AC.BC S ; AB.BC S Do đó: ABC ABC 0.25 HC.HB HB.HA HA.HC S HBC S HCA S HAB 1 + + = S ABC AC AB AC.BC AB.BC Ta chứng minh được: (x + y + z)2 3(xy + yz + zx) (*) Áp dụng (*) ta có: HA HB HC HA.HB HB.HC HC.HA 3 3.1 3 BC AC AB BC.BA CA.CB AB.AC HA HB HC Suy BC AC AB 0.5 Bài : (1 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm Gọi a, b, c cạnh huyền cạnh góc vng vng Khi đó: a, b, c N a 5; b, c 0.5 Ta có hệ phương trình: a b c bc 3( a b c) (1): (2): (1) ( 2) a2 = b2 + c2 = (b + c)2 – 2bc = (b + c)2 – 6(a + b + c) a2 + 6a + = (b + c)2 – 6(b + c) + (a + 3)2 = (b + c – 3)2 a+3=b+c–3 a=b+c–6 bc = 3(b + c – + b + c) = 3(2b + 2c – 6) (b – 6)(c – 6) = 18 Nên ta có trường hợp sau: b – = c – = 18 b = 7; c = 24 a = 25 b – = c – = b = 8; c = 15 a = 17 b – = c – = b = 9; c = 12 a = 15 0.5