PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH MIỆN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Câu 1: (2 điểm) 1) Cho biểu thức: P a 3a a 1 a a 3a a 1 a a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn P với a > 2) Tìm số tự nhiên a, b, c, d, e biết : 11(abcd + ab + ad + cd + 1) = 15( bcd + b + d) Câu 2: (2 điểm) a) Tìm số hữu tỷ a b cho x = nghiệm phương trình: x3 + ax2 + bx + = (1) b) Gọi x1, x2, x3 nghiệm phương trình (1) ứng với a , b vừa tìm đặt Sn = x1n x2n x3n Chứng minh Sn N với số tự nhiên n ? Câu 3: (2 điểm) a) Giải phương trình: x 3x 3x x2 3x b) Cho điểm A(1; 4); B(3; 1) Xác định đường thẳng y = ax cho A B nằm phía đường thẳng cách đường thẳng Câu 4: (3 điểm): Cho (O; R) (O’; R’) cắt A B Trên tia đối của tia AB lấy điểm C Kẻ tiếp tuyến CD, CE với (O), D E tiếp điểm E nằm (O’) Đường thẳng AD, AE cắt (O’) M N ( M N khác A) Tia DE cắt MN I Chứng minh rằng: a Tứ giác BEIN nội tiếp b MIB đồng dạng với AEB c O’I MN Câu 5: ( điểm) Cho x, y, z số dương thỏa mãn điều kiện: x2y2z2 = 1 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x ( y z ) y z x z x y HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Đáp án Biểu điểm 0,25 đ Câu a) ĐK: a ≤ - 2; a ≥ b) với a > => P a 3a a 1 a = a 3a a 1 a a 3a a 1 a a 3a a 1 a 0,25 đ a 1 a a 1 a 1.1 = a 1 a a a a 1 a a 1 a a 1 = a 1 a a 1 a a 1 a 1 a = a 1 a 0,25 đ a a 0,25 đ a) 11(abcd + ab + ad + cd + 1) = 15( bcd + b + d) abcd ab ad cd cd =a+ bcd b d bcd b d 1 a a 1 b b = a + bcd b d = cd 1 c cd d d 15 1 1 1 1 1 1 1 11 1 11 11 2 2 2 Lại cú: 4 1 3 0,25 đ a = 1; b = 2; c = 1; d = 0,25 đ Ta có 1.2 1đ 2đ a) Vì x = nghiệm phương trình: x3 + ax2 + bx + = a b 0 ( 4a + b + 17) ) + ( 9a + 2b + 39 ) = 0a + 2b + 39a + 2b + 39 ) = ) = 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ a b 3 b) Vì a = - 5, b = (1) x3 - 5x2 + 3x + = (x - 1)(x2 - 4x - 1) = x 1 x 2 n 0,25 đ n = 5 5 Sn Đặt Un n n 0,25 đ = Sn - với n N 0,25 đ Un + = n 2 2 n 2 = 2 2 2 n 1 2 5 n 1 n n 0,25 đ 2 2 2 2 Un + = 4Un + + Un với n N Vì với U0 = ; U1 = S0 = 3; S1 = Un N+ n N Sn nhận giá trị nguyên n N a) Từ (1) suy ra: x 3x 3x x x 0,25 đ 0,25 đ 20 x 12 x 12 x x 36 x 12 x x 12 x x x 22 x 24 x 9a + 2b + 39 ) = 0 (x 0) 24 9a + 2b + 39 ) = x x 22 0 x x2 Đặt x y (*) ta có: x 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ y2 - 8y + 16 = suy y = thay vào (*) ta x2 - 4x + = x = 1; x = 0,25 đ b) Gọi đường thẳng cần tìm d y Gọi AH, BK khoảng cách từ A B đến đường thẳng d Đường thẳng qua A song song với Ox Cắt d điểm M M( ; 4) a Đường thẳng qua B song song với Ox -2 Cắt d điểm N N( ; 1) a B 0,25 đ x -1 -2 Vì AH = BK AM = BN H N O -1 0,25 đ M K d A 0,25 đ 5 - = - = a = hàm số có dạng y = x a a a 4 0,25 đ C A D M 1 E O' O I B N Vẽ hình 0,25 đ a Ta có tứ giác ABNM nội tiếp BNM BAD ) Mà BAD (Cùng chắn BD BED BNM Tứ giác BEIN nội tiếp BED b Ta có A1 M (1) (Cùng chắn BN ) EIM BIM BIE BNE ENI NEI BNI NEI BED DEA AEB (2) Từ (1) (2) AEB MIB c Chứng minh CDB CDA (g g) Chứng minh tương tự có CE EB (4) CA EA 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ BD CD (3) DA CA 0,25 đ Mà CD = CE (tính chất tiếp tuyến) EB BD (5) EA DA 0,25 đ EB IB (6) EA MI Mà ABD IEN (Cựng = AED ) ; IEN IBN ABD IBN , mà INB DAB BD IB DBA IBN (7) ) DA IN Ta lại có AEB MIB nên Từ (5), (6), (7) ) IM = IN OI MN 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 1 1 Đặt a = ; b = ; c = abc = 2 = y x y z x z x2 + y2 = c(a + b); y2 + z2 = a( b + c); z2 + x2 = b( c + a) a2 b2 c2 E b c c a a b a b c chứng minh b c c a a b 0.25 đ 0.25 đ Nhân vế với a + b + c > 0, ta a a b c b a b c c a b c a b c bc ca a b 2 2 a b c a b c abc b c c a a b 2 3 E ≥ E = a = b = c = 2 0.25 đ 0.25 đ