T 3 ôn tập toán lớp 10

Phòng giáo dục đào tạo huyện Kim Thành Đề thi chän häc sinh giái hun Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Bài 1: (2,0 điểm)  x2 x  x1    : x x  x  x  1  x   1.Cho biểu thức A =  a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh  A 2 Cho biểu thức: thức 2+x 2-x  với –2 < x < x  Tính giá trị biểu 2+x 2-x x+2 x-2 Bài 2: (2,0 điểm) Giải phương trình: x  x 6 x   30 Cho hai đường thẳng (d1): y = ( m – ) x – m2 – 2m (Với m tham số) (d2): y = ( m – ) x – m2 – m + cắt G a) Xác định toạ độ điểm G b) Chứng tỏ điểm G thuộc đường thẳng cố định m thay đổi Bài 3: (2,0 điểm) a/ Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh p2 –  24 b/ Tìm số tự nhiên n cho A n  n  số phương c/ Tìm số ngun x; y thỏa mãn: y  xy  3x  0 Bài4: (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường thẳng d cố định nằm ngồi đường trịn, M di động đường thẳng d, kẻ tiếp tuyến MA MB với đường tròn (O,R), OM cắt AB I a Chứng minh tích OI.OM khơng đổi b Tìm vị trí M để  MAB c Chứng minh M di động d AB ln qua điểm cố định Bài5: (1,0 điểm) Cho số thực dương x; y; z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh x y z    x  yz y  zx z  xy …………………HẾT.………………… (Đề thi gồm có 02 trang) Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………… ;Số báo danh:………………… PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn thi: Tốn – Lớp Câu ý Đáp án hướng dẫn chấm Điểm 0,25đ a/ với x 0, x 1 Ta có A =  x2 x  x  x2 x x  x x       : x1 x  x  x 1  x x  x  x 1  x   x  x 1  b/   x  x  x 1   2  x  x  x 1 với x 0, x 1 ta ln có A > Lại có: x  x 1 1  0,25đ 0,25đ 0,25đ 2 hay A  x  x 1 0,25đ Vậy  A 2 0,25đ Áp dụng tính chất: Nếu a c a-b c-d    ; từ giả thiết b d a+b c+d 2+x 2-x 2-x 21  suy  2+x 2-x 2+x 1 0,25 Từ giả thiết –2 < x < suy 2-x - x   1 2+x 0   32   2+x + x  1  2-x   x2  17  12 x Đk: x   0,25 x  x 6 x   30  (x – 8x + 16) + (x + - x  + 9) = 0.5đ  ( x – 4)2 + ( x  - 3)2 =   x  0  x 4   x   0 0.5đ Vậy x = a/ Hoành độ điểm G nghiệm phương trình: 0.5đ (m-1)x - m2 - 2m = (m - 2)x - m2 - m +  x=m+1 Tung độ điểm G là: y = (m-1) (m+1) - m2 - 2m  y = -2m – Toạ độ điểm G (m + ; -2m - 1) b/ Có y = -2m - = -2(m + 1) + 0.5đ Mà x = m +  y = -2x + Toạ độ điểm G thoả mãn phương trình đường thẳng y = -2x + cố định Chứng tỏ G thuộc đường thẳng y = -2x + cố định m thay đổi a/ Ta có p2 – = (p – 1)(p + 1) 0,25 Vì p số nguyên tố lớn nên p lẻ p – p + hai số chẵn liên tiếp , suy (p – 1)(p + 1)  (1) Xét ba số tự nhiên liên tiếp p – 1; p; p + ta có (p – 1) p(p + 1)  0,25 Mà p số nguyên tố lớn nên p không chia hết cho 3, số nguyên tố suy (p – 1)(p + 1)  (2) Từ (1) (2) kết hợp với (3, 8)=1 3.8 = 24 suy p2 –  24 (đpcm) 0,25 b/ A n  n  số phương nên A có dạng A n  n  k (k  N * )  4n  4n  24 4k  (2k )  (2n  1) 23 0.25 2k  2n  23  (2k  2n  1)(2k  2n  1) 23    2k  2n  1 (Vì 23 số nguyên tố 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1) 2k  2n  23    2k  2n  1  k 6   n 5 0.5 Vậy với n = A số phương c/ y  xy  x  0  x  xy  y x  3x   ( x  y ) ( x  1)( x  2) (*) 0,25đ VT (*) số phương; VP (*) tích số nguyên liên tiếp nên phải có số  x  0    x  0  x   y 1  x   y 2  Vậy có cặp số nguyên ( x; y) ( 1;1) ( x; y ) ( 2; 2) 4 0,25đ A 0,25đ O I 0,25đ K B 0,25đ (d) M H Vẽ hình đến câu a a) Vì MA, MB hai tiếp tuyến đường trịn (O,R)  OB  MB ; OA  MA 0,5đ 0,25đ Chứng minh OAM OBM từ suy MA = MB Lại có OA=OB suy OM đường trung trực đoạn thẳng AB 0,5đ  OM  AB   OMB vng B có BI đường cao  OB2 = OI.OM 0,25đ  OI.OM = R2 không đổi 0,25đ b)  AMB cân M (chứng minh trên) 0,25đ Để  AMB góc AMB = 600  góc BMO = 300 0,25đ   OBM vng B có OB = 0,5 OM  OM = 2.OB = 2R Kết luận c/ Kẻ OH  d, H  d  H cố định, OH cắt AB K Chứng minh OIK OHM đồng dạng  OH.OK = OI OM = R2 không đổi Mà O, H cố định nên OH không đổi  OK không đổi, K  OH cố định  K cố định Ta có x + yz = x(x + y + z) + yz = (x + y)(z + x) Tương tự ta có y + zx = (x + y)(y + z); z + xy = (y + z)(z + x) 0.25đ Do đó: x y z x( y  z )  y( z  x)  z ( x  y)    x  yz y  zx z  xy ( x  y )( y  z )( z  x) 2 ( x  y )( y  z )( z  x )  xyz   ( x  y )( y  z )( z  x ) 2xyz 0,25đ =  (x  y)(y  z)(z  x) 2   ( áp dụng BĐT Cơsi cho hai số dương ta có: (x  y)(y  z)(z  x) 2 xy.2 yz.2 zx 8xyz )) Đẳng thức xảy  x y z  …………………HẾT.………………… 0,25đ 0,25đ