Phòng giáo dục đào tạo huyện Kim Thành Đề thi chän häc sinh giái hun Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Bài 1: (2,0 điểm) x2 x x1 : x x x x 1 x 1.Cho biểu thức A = a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh A 2 Cho biểu thức: thức 2+x 2-x với –2 < x < x Tính giá trị biểu 2+x 2-x x+2 x-2 Bài 2: (2,0 điểm) Giải phương trình: x x 6 x 30 Cho hai đường thẳng (d1): y = ( m – ) x – m2 – 2m (Với m tham số) (d2): y = ( m – ) x – m2 – m + cắt G a) Xác định toạ độ điểm G b) Chứng tỏ điểm G thuộc đường thẳng cố định m thay đổi Bài 3: (2,0 điểm) a/ Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh p2 – 24 b/ Tìm số tự nhiên n cho A n n số phương c/ Tìm số ngun x; y thỏa mãn: y xy 3x 0 Bài4: (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường thẳng d cố định nằm ngồi đường trịn, M di động đường thẳng d, kẻ tiếp tuyến MA MB với đường tròn (O,R), OM cắt AB I a Chứng minh tích OI.OM khơng đổi b Tìm vị trí M để MAB c Chứng minh M di động d AB ln qua điểm cố định Bài5: (1,0 điểm) Cho số thực dương x; y; z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh x y z x yz y zx z xy …………………HẾT.………………… (Đề thi gồm có 02 trang) Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………… ;Số báo danh:………………… PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn thi: Tốn – Lớp Câu ý Đáp án hướng dẫn chấm Điểm 0,25đ a/ với x 0, x 1 Ta có A = x2 x x x2 x x x x : x1 x x x 1 x x x x 1 x x x 1 b/ x x x 1 2 x x x 1 với x 0, x 1 ta ln có A > Lại có: x x 1 1 0,25đ 0,25đ 0,25đ 2 hay A x x 1 0,25đ Vậy A 2 0,25đ Áp dụng tính chất: Nếu a c a-b c-d ; từ giả thiết b d a+b c+d 2+x 2-x 2-x 21 suy 2+x 2-x 2+x 1 0,25 Từ giả thiết –2 < x < suy 2-x - x 1 2+x 0 32 2+x + x 1 2-x x2 17 12 x Đk: x 0,25 x x 6 x 30 (x – 8x + 16) + (x + - x + 9) = 0.5đ ( x – 4)2 + ( x - 3)2 = x 0 x 4 x 0 0.5đ Vậy x = a/ Hoành độ điểm G nghiệm phương trình: 0.5đ (m-1)x - m2 - 2m = (m - 2)x - m2 - m + x=m+1 Tung độ điểm G là: y = (m-1) (m+1) - m2 - 2m y = -2m – Toạ độ điểm G (m + ; -2m - 1) b/ Có y = -2m - = -2(m + 1) + 0.5đ Mà x = m + y = -2x + Toạ độ điểm G thoả mãn phương trình đường thẳng y = -2x + cố định Chứng tỏ G thuộc đường thẳng y = -2x + cố định m thay đổi a/ Ta có p2 – = (p – 1)(p + 1) 0,25 Vì p số nguyên tố lớn nên p lẻ p – p + hai số chẵn liên tiếp , suy (p – 1)(p + 1) (1) Xét ba số tự nhiên liên tiếp p – 1; p; p + ta có (p – 1) p(p + 1) 0,25 Mà p số nguyên tố lớn nên p không chia hết cho 3, số nguyên tố suy (p – 1)(p + 1) (2) Từ (1) (2) kết hợp với (3, 8)=1 3.8 = 24 suy p2 – 24 (đpcm) 0,25 b/ A n n số phương nên A có dạng A n n k (k N * ) 4n 4n 24 4k (2k ) (2n 1) 23 0.25 2k 2n 23 (2k 2n 1)(2k 2n 1) 23 2k 2n 1 (Vì 23 số nguyên tố 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1) 2k 2n 23 2k 2n 1 k 6 n 5 0.5 Vậy với n = A số phương c/ y xy x 0 x xy y x 3x ( x y ) ( x 1)( x 2) (*) 0,25đ VT (*) số phương; VP (*) tích số nguyên liên tiếp nên phải có số x 0 x 0 x y 1 x y 2 Vậy có cặp số nguyên ( x; y) ( 1;1) ( x; y ) ( 2; 2) 4 0,25đ A 0,25đ O I 0,25đ K B 0,25đ (d) M H Vẽ hình đến câu a a) Vì MA, MB hai tiếp tuyến đường trịn (O,R) OB MB ; OA MA 0,5đ 0,25đ Chứng minh OAM OBM từ suy MA = MB Lại có OA=OB suy OM đường trung trực đoạn thẳng AB 0,5đ OM AB OMB vng B có BI đường cao OB2 = OI.OM 0,25đ OI.OM = R2 không đổi 0,25đ b) AMB cân M (chứng minh trên) 0,25đ Để AMB góc AMB = 600 góc BMO = 300 0,25đ OBM vng B có OB = 0,5 OM OM = 2.OB = 2R Kết luận c/ Kẻ OH d, H d H cố định, OH cắt AB K Chứng minh OIK OHM đồng dạng OH.OK = OI OM = R2 không đổi Mà O, H cố định nên OH không đổi OK không đổi, K OH cố định K cố định Ta có x + yz = x(x + y + z) + yz = (x + y)(z + x) Tương tự ta có y + zx = (x + y)(y + z); z + xy = (y + z)(z + x) 0.25đ Do đó: x y z x( y z ) y( z x) z ( x y) x yz y zx z xy ( x y )( y z )( z x) 2 ( x y )( y z )( z x ) xyz ( x y )( y z )( z x ) 2xyz 0,25đ = (x y)(y z)(z x) 2 ( áp dụng BĐT Cơsi cho hai số dương ta có: (x y)(y z)(z x) 2 xy.2 yz.2 zx 8xyz )) Đẳng thức xảy x y z …………………HẾT.………………… 0,25đ 0,25đ