Bài giảng Đại số tuyến tính Chương 1 Ma trận Định thức

Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương I MA TRẬN - ĐỊNH THỨC §1 : MA TRẬN Định nghĩa ví dụ 27 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Definition 1.1 Ma trận cấp (cở) m × n bảng hình chữ nhật gồm m hàng, n cột có m.n phần tử Nếu kí hiệu phần tử aij phần tử hàng i, cột j ma trận A biểu diễn   a a12 · · · a1n  11     a21 a22 · · · a2n   A = (aij )mn =        am1 am2 · · · amn aij phần tử thuộc trường K Nếu m = n, nghĩa A = (aik )nn = (aik )n , A gọi ma trận vuông cấp n 28 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Definition 1.1 Ma trận cấp (cở) m × n bảng hình chữ nhật gồm m hàng, n cột có m.n phần tử Nếu kí hiệu phần tử aij phần tử hàng i, cột j ma trận A biểu diễn   a11 a12 · · · a1n      a21 a22 · · · a2n   A = (aij )mn =        am1 am2 · · · amn aij phần tử thuộc trường K Nếu m = n, nghĩa A = (aik )nn = (aik )n , A gọi ma trận vuông cấp n Chú ý: + Từ sau ta dùng kí hiệu K để tập số thực, số phức 28 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân hay tập đa thức + Tập ma trận cấp m × n xác định K thường kí hiệu Mmn (K) 29 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân hay tập đa thức + Tập ma trận cấp m × n xác định K thường kí hiệu Mmn (K) Example 1.1 a) A = ma trận cấp × 1; b) A = −1 x ma trận hàng × 4;     1         c) A = 2 0 ma trận cấp × 2;d) A = 0 ma trận cột     1 × 3;   e) A =  cos x sin x sin x sin x là ma trận vng cấp 29 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân   0     f) A = 0 0 ma trận vuông cấp (ma trận đơn vị cấp 3)   0 30 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân   0     f) A = 0 0 ma trận vuông cấp (ma trận đơn vị cấp 3)   0 Definition 1.2 (Ma trận chéo - Ma trận đơn vị- Ma trận tam giác) 30 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân   0     f) A = 0 0 ma trận vuông cấp (ma trận đơn vị cấp 3)   0 Definition 1.2 (Ma trận chéo - Ma trận đơn vị- Ma trận tam giác) 1) Đối với ma trận vuông A = (aik )n , phần tử có hai số a11 , a22 , , an nằm đường chéo hình vng mà ta gọi đường chéo ma trận A Đường chéo cịn lại hình vng gọi đường chéo phụ A 30 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân   0     f) A = 0 0 ma trận vuông cấp (ma trận đơn vị cấp 3)   0 Definition 1.2 (Ma trận chéo - Ma trận đơn vị- Ma trận tam giác) 1) Đối với ma trận vuông A = (aik )n , phần tử có hai số a11 , a22 , , an nằm đường chéo hình vng mà ta gọi đường chéo ma trận A Đường chéo cịn lại hình vng gọi đường chéo phụ A 2) Ma trận chéo cấp n ma trận vuông cấp n mà tất phần tử nằm đường chéo Như A 30 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân ma trận chéo cấp n A có dạng:  a  11   a22 A=    0 31 ··· ··· ··· ann         Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân 4.2 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 154 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân 4.2 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình trường hợp riêng hệ tổng quát nên phương pháp giải hệ phương trình tổng quát áp dụng Tuy nhiên hệ có cột tự khơng, nên trình biến đổi, thay cho ma trận mở rộng ta cần biến đổi ma trận hệ số 154 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân 2) Từ suy nghiệm (4.4) 154 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân 2) Từ suy nghiệm (4.4) Giải: 154 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân 2) Từ suy nghiệm (4.4) Giải: 1) ∗ Ma trận hệ số là: 154 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân 2) Từ suy nghiệm (4.4) Giải: 1) ∗ Ma trận hệ số là:  −1     A = 2     154 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân 2) Từ suy nghiệm (4.4) Giải: 1) ∗ Ma trận hệ số là:  −1     A = 2     ∗ Biến đổi sơ cấp hàng A 154 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân 2) Từ suy nghiệm (4.4) Giải: 1) ∗ Ma trận hệ số là:  −1     A = 2     ∗ Biến đổi sơ cấp hàng A 154 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân    −1   h2 →h2 −2h1   xoá h3 1 −1 −−−− → A −−−−−−−→ 0 1  − h3 →h3 −3h1   (h2 =h3 ) 1 1  155 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân    −1   h2 →h2 −2h1   xoá h3 1 −1 −−−− → A −−−−−−−→ 0 1  − h3 →h3 −3h1   (h2 =h3 ) 1 1  Ma trận sau có dạng bậc thang hàng với hạng Do hệ có vô số nghiệm, phụ thuộc vào hai tham số thực Từ ma trận sau ta viết hệ (tương đương với hệ cho) giải ta 155 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân    −1   h2 →h2 −2h1   xoá h3 1 −1 −−−− → A −−−−−−−→ 0 1  − h3 →h3 −3h1   (h2 =h3 ) 1 1  Ma trận sau có dạng bậc thang hàng với hạng Do hệ có vơ số nghiệm, phụ thuộc vào hai tham số thực Từ ma trận sau ta viết hệ (tương đương với hệ cho) giải ta   x + 2y + z − t = 0, x + 2y = −z + t, ⇔   y + z + 3t = y = −z − 3t 155 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân     α + 7β x = α + 7β       −α − 3β  y = −α − 3β   , (α, β ∈ R) hay C0 =  ⇔  ; α, β ∈ R     α z= α       β t= β 156 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân     α + 7β x = α + 7β       −α − 3β  y = −α − 3β   , (α, β ∈ R) hay C0 =  ⇔  ; α, β ∈ R     α z= α       β t= β     1   2) Dễ thấy C =   nghiệm riêng (4.4) Từ ta có 1   nghiệm tổng quát (4.4) 156 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân     α + 7β x = α + 7β       −α − 3β  y = −α − 3β   , (α, β ∈ R) hay C0 =  ⇔  ; α, β ∈ R     α z= α       β t= β     1   2) Dễ thấy C =   nghiệm riêng (4.4) Từ ta có 1   nghiệm tổng quát (4.4) 156 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân  + α + 7β    1 − α − 3β    X = C + C0 =   ; α, β ∈ R  1 + α   + β 157 ... (Ma trận chéo - Ma trận đơn v? ?- Ma trận tam giác) 30 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân   0     f) A = 0 0 ma trận vuông cấp (ma trận đơn vị cấp 3)   0 Definition 1. 2... phụ A 30 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân   0     f) A = 0 0 ma trận vuông cấp (ma trận đơn vị cấp 3)   0 Definition 1. 2 (Ma trận chéo - Ma trận đơn v? ?- Ma trận tam... (K) 29 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân hay tập đa thức + Tập ma trận cấp m × n xác định K thường kí hiệu Mmn (K) Example 1. 1 a) A = ma trận cấp × 1; b) A = ? ?1 x ma trận hàng