Bài giảng Đại số tuyến tính Chương 2 Không gian vectơ

Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương II KHÔNG GIAN VECTƠ 158 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương II KHƠNG GIAN VECTƠ Trong mơn hình học giải tích (sơ cấp) trường phổ thơng trung học, bạn đọc làm quen với vectơ tự phép toán chúng Tập hợp vectơ tự không gian với phép cộng vectơ nhân số thực với vectơ có nhiều tính chất, có tính chất bản: (1) (x + y) + z = x + (y + z); (2) x + = + x = x; (3) x + (−x = (−x) + x = 0; (4) x + y = y + x; (5) λ(x + y) = λx + λy; (6) (λ + µ)x = λx + µx; (7) (λµ)x = λ(µx); (8) 1x = x, với ba vectơ tự x, y, z tuỳ ý; cặp số thực λ, µ 158 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương II KHƠNG GIAN VECTƠ Trong mơn hình học giải tích (sơ cấp) trường phổ thơng trung học, bạn đọc làm quen với vectơ tự phép toán chúng Tập hợp vectơ tự không gian với phép cộng vectơ nhân số thực với vectơ có nhiều tính chất, có tính chất bản: (1) (x + y) + z = x + (y + z); (2) x + = + x = x; (3) x + (−x = (−x) + x = 0; (4) x + y = y + x; (5) λ(x + y) = λx + λy; (6) (λ + µ)x = λx + µx; (7) (λµ)x = λ(µx); (8) 1x = x, với ba vectơ tự x, y, z tuỳ ý; cặp số thực λ, µ 158 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Nhắc lại tập hợp ma trận cấp m × n trường K, Mm,n (K) (K trường số thực hay trường số phức) với phép cộng ma trận nhân số K với ma trận có tính chất tương tự Sự giống tập hợp vectơ tự không gian tập Mm,n (K) nhiều mơ hình khác thường gặp tốn học dẫn đến việc tổng quát hoá thành khái niệm không gian vectơ mà nghiên cứu chương 159 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân §1 : KHÁI NIỆM VỀ KHƠNG GIAN VECTƠ 160 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân §1 : KHÁI NIỆM VỀ KHÔNG GIAN VECTƠ Định nghĩa khơng gian vectơ 160 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân §1 : KHÁI NIỆM VỀ KHƠNG GIAN VECTƠ Định nghĩa khơng gian vectơ Cho V tập hợp khác rỗng mà phần tử gọi ”vectơ” kí hiệu a, b, c, , u, v, x, y, z, t, K trường số (thực hay phức) mà số từ K gọi ”vơ hướng” kí hiệu λ, µ, γ Giả sử cho hai phép toán: 160 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân §1 : KHÁI NIỆM VỀ KHƠNG GIAN VECTƠ Định nghĩa không gian vectơ Cho V tập hợp khác rỗng mà phần tử gọi ”vectơ” kí hiệu a, b, c, , u, v, x, y, z, t, K trường số (thực hay phức) mà số từ K cịn gọi ”vơ hướng” kí hiệu λ, µ, γ Giả sử cho hai phép toán: - Phép cộng hai vectơ V ×V →V (x, y) →x+y 160 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân §1 : KHÁI NIỆM VỀ KHƠNG GIAN VECTƠ Định nghĩa không gian vectơ Cho V tập hợp khác rỗng mà phần tử gọi ”vectơ” kí hiệu a, b, c, , u, v, x, y, z, t, K trường số (thực hay phức) mà số từ K cịn gọi ”vơ hướng” kí hiệu λ, µ, γ Giả sử cho hai phép toán: - Phép cộng hai vectơ V ×V →V (x, y) →x+y 160 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân - Phép nhân vơ hướng với vectơ VK×V →V (λ, x) → λx Ta bảo V với hai phép tốn lập thành khơng gian vectơ K, hay K - không gian vectơ, tiên đề sau thoả mãn: 161 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Quá trình từ hệ {u1 , u2 , , un } đến {w1 , w2 , , wn } gọi q trình trực chuẩn hố Gram-Smidth Ta bảo hệ trực chuẩn {w1 , w2 , , wn } nhận từ hệ {u1 , u2 , , un } thuật toán trực chuẩn hoá Gram-Smidth 277 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Quá trình từ hệ {u1 , u2 , , un } đến {w1 , w2 , , wn } gọi trình trực chuẩn hoá Gram-Smidth Ta bảo hệ trực chuẩn {w1 , w2 , , wn } nhận từ hệ {u1 , u2 , , un } thuật toán trực chuẩn hoá Gram-Smidth Đặc biệt từ sở tuỳ ý không gian Euclide hữu hạn chiều, thu sở trực chuẩn nhờ thuật tốn trực chuẩn hố Gram-Smidth 277 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Quá trình từ hệ {u1 , u2 , , un } đến {w1 , w2 , , wn } gọi q trình trực chuẩn hố Gram-Smidth Ta bảo hệ trực chuẩn {w1 , w2 , , wn } nhận từ hệ {u1 , u2 , , un } thuật toán trực chuẩn hoá Gram-Smidth Đặc biệt từ sở tuỳ ý không gian Euclide hữu hạn chiều, thu sở trực chuẩn nhờ thuật toán trực chuẩn hoá Gram-Smidth Example 5.1 Xét khơng gian Euclide tắc E3 , trực chuẩn hố hệ độc lập tuyến tính {u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 1)} 277 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Quá trình từ hệ {u1 , u2 , , un } đến {w1 , w2 , , wn } gọi q trình trực chuẩn hố Gram-Smidth Ta bảo hệ trực chuẩn {w1 , w2 , , wn } nhận từ hệ {u1 , u2 , , un } thuật toán trực chuẩn hoá Gram-Smidth Đặc biệt từ sở tuỳ ý không gian Euclide hữu hạn chiều, thu sở trực chuẩn nhờ thuật toán trực chuẩn hố Gram-Smidth Example 5.1 Xét khơng gian Euclide tắc E3 , trực chuẩn hố hệ độc lập tuyến tính {u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 1)} Giải: 277 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Quá trình từ hệ {u1 , u2 , , un } đến {w1 , w2 , , wn } gọi q trình trực chuẩn hố Gram-Smidth Ta bảo hệ trực chuẩn {w1 , w2 , , wn } nhận từ hệ {u1 , u2 , , un } thuật toán trực chuẩn hoá Gram-Smidth Đặc biệt từ sở tuỳ ý không gian Euclide hữu hạn chiều, thu sở trực chuẩn nhờ thuật toán trực chuẩn hoá Gram-Smidth Example 5.1 Xét khơng gian Euclide tắc E3 , trực chuẩn hố hệ độc lập tuyến tính {u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 1)} Giải: ∗ Đặt v1 = u1 = (1, 1, 0); w1 = v |v1 | = 277 √1 (1, 1, 0) = √1 , √1 , 2 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Quá trình từ hệ {u1 , u2 , , un } đến {w1 , w2 , , wn } gọi trình trực chuẩn hoá Gram-Smidth Ta bảo hệ trực chuẩn {w1 , w2 , , wn } nhận từ hệ {u1 , u2 , , un } thuật toán trực chuẩn hoá Gram-Smidth Đặc biệt từ sở tuỳ ý không gian Euclide hữu hạn chiều, thu sở trực chuẩn nhờ thuật toán trực chuẩn hố Gram-Smidth Example 5.1 Xét khơng gian Euclide tắc E3 , trực chuẩn hố hệ độc lập tuyến tính {u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 1)} Giải: ∗ Đặt v1 = u1 = (1, 1, 0); w1 = v |v1 | = 277 √1 (1, 1, 0) = √1 , √1 , 2 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân ∗ Đặt: v2 = u2 −(u2 w1 )w1 = (0, 1, 1)− √ 2 w2 = v2 = √ |v2 | 1 − , ,1 2 1 √ , √ ,0 2 = = 1 − , ,1 2 1 −√ , √ , √ 6 Ta nhận hệ trực chuẩn w1 = 1 √ , √ ,0 2 , w2 = 278 1 −√ , √ , √ 6 ; Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân ∗ Đặt: v2 = u2 −(u2 w1 )w1 = (0, 1, 1)− √ 2 w2 = v2 = √ |v2 | 1 − , ,1 2 1 √ , √ ,0 2 = = 1 − , ,1 2 1 −√ , √ , √ 6 Ta nhận hệ trực chuẩn w1 = 1 √ , √ ,0 2 , w2 = 1 −√ , √ , √ 6 Example 5.2 Xét khơng gian Euclide tắc E3 Hãy trực chuẩn hoá sở {u1 = (1, 1, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (0, 0, 1)} 278 ; Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân ∗ Đặt: v2 = u2 −(u2 w1 )w1 = (0, 1, 1)− √ 2 w2 = v2 = √ |v2 | 1 − , ,1 2 1 √ , √ ,0 2 = = 1 − , ,1 2 1 −√ , √ , √ 6 Ta nhận hệ trực chuẩn w1 = 1 √ , √ ,0 2 , w2 = 1 −√ , √ , √ 6 Example 5.2 Xét khơng gian Euclide tắc E3 Hãy trực chuẩn hoá sở {u1 = (1, 1, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (0, 0, 1)} Giải: 278 ; Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân ∗ Đặt: v2 = u2 −(u2 w1 )w1 = (0, 1, 1)− √ 2 w2 = v2 = √ |v2 | 1 − , ,1 2 1 √ , √ ,0 2 = = 1 − , ,1 2 1 −√ , √ , √ 6 Ta nhận hệ trực chuẩn w1 = 1 √ , √ ,0 2 , w2 = 1 −√ , √ , √ 6 Example 5.2 Xét khơng gian Euclide tắc E3 Hãy trực chuẩn hoá sở {u1 = (1, 1, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (0, 0, 1)} Giải: 278 ; Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân ∗ Đặt 1 v1 = √ (1, 1, 1) = v1 = u1 = (1, 1, 1), w1 = |v1 | 279 1 √ ,√ ,√ 3 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân ∗ Đặt 1 v1 = √ (1, 1, 1) = v1 = u1 = (1, 1, 1), w1 = |v1 | 1 √ ,√ ,√ 3 ∗ Đặt v2 = u2 − (u2 w1 )w1 = (0, 1, 1) − √ 3 w2 = = √ |v2 | 1 √ ,√ ,√ 3 1 − , , 3 279 = = 1 − , , 3 1 −√ , √ , √ 6 ; Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân ∗ Đặt 1 v1 = √ (1, 1, 1) = v1 = u1 = (1, 1, 1), w1 = |v1 | 1 √ ,√ ,√ 3 ∗ Đặt v2 = u2 − (u2 w1 )w1 = (0, 1, 1) − √ 3 w2 = = √ |v2 | 1 √ ,√ ,√ 3 1 − , , 3 279 = = 1 − , , 3 1 −√ , √ , √ 6 ; Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân ∗ Đặt: v3 = u3 − (u3 w1 )w1 − (u3 w2 )w2 = (0, 0, 1) − √ 1 = 0, − , ; 2 1 √ ,√ ,√ 3 √ v3 = w3 = |v3 | 1 0, − , 2 −√ = Ta nhận sở trực chuẩn: {w1 , w2 , w3 } 280 1 −√ , √ , √ 6 1 0, − √ , √ 2 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân ∗ Đặt: v3 = u3 − (u3 w1 )w1 − (u3 w2 )w2 = (0, 0, 1) − √ 1 = 0, − , ; 2 1 √ ,√ ,√ 3 √ v3 = w3 = |v3 | 1 0, − , 2 −√ = Ta nhận sở trực chuẩn: {w1 , w2 , w3 } 280 1 −√ , √ , √ 6 1 0, − √ , √ 2 ... cứu chương 159 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân §1 : KHÁI NIỆM VỀ KHÔNG GIAN VECTƠ 160 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân §1 : KHÁI NIỆM VỀ KHÔNG GIAN VECTƠ... khơng gian vectơ thực (hay phức) 1 62 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Ví dụ 163 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Ví dụ Example 2. 1 Hiển nhiên tập hợp vectơ. .. x với hệ số 165 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân K với phép cộng đa thức nhân số K với đa thức K - không gian vectơ Mỗi đa thức vectơ, vectơ không đa thức không, vectơ đối