Bài giảng Đại số tuyến tính Chương 3 Ánh xạ tuyến tính

Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương III ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 281 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương III ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH §1 : ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 281 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương III ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH §1 : ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Khái niệm ánh xạ tuyến tính 281 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương III ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH §1 : ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Khái niệm ánh xạ tuyến tính Definition 1.1 Cho V V hai không gian vectơ K Ánh xạ f : V → V gọi ánh xạ tuyến tính f thoả mãn hai tính chất sau: (L1 ) f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ V (tính bảo tồn phép cộng); (L2 ) f (λx) = λf (x), ∀x ∈ V, ∀λ ∈ K (tính bảo tồn phép nhân với vơ hướng) 281 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương III ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH §1 : ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Khái niệm ánh xạ tuyến tính Definition 1.1 Cho V V hai không gian vectơ K Ánh xạ f : V → V gọi ánh xạ tuyến tính f thoả mãn hai tính chất sau: (L1 ) f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ V (tính bảo tồn phép cộng); (L2 ) f (λx) = λf (x), ∀x ∈ V, ∀λ ∈ K (tính bảo tồn phép nhân với vơ hướng) 281 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Một ánh xạ tuyến tính từ V đến cịn gọi phép biến đổi tuyến tính hay phép biến đổi tuyến tính hay tốn tử tuyến tính V 282 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Một ánh xạ tuyến tính từ V đến cịn gọi phép biến đổi tuyến tính hay phép biến đổi tuyến tính hay tốn tử tuyến tính V Nhận xét: Cho f : V → V ánh xạ, V V hai K không gian vectơ Từ định nghĩa ánh xạ tuyến tính, dễ dàng thấy: 282 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Một ánh xạ tuyến tính từ V đến cịn gọi phép biến đổi tuyến tính hay phép biến đổi tuyến tính hay tốn tử tuyến tính V Nhận xét: Cho f : V → V ánh xạ, V V hai K không gian vectơ Từ định nghĩa ánh xạ tuyến tính, dễ dàng thấy: (1) f ánh xạ tuyến tính ⇔ f (λx + µy) = λf (x) + µf (y); ∀x, y ∈ V, λ, µ ∈ K n n ⇔f λ i xi i=1 λi (xi ); ∀x1 , x2 , , xn ∈ V, λ1 , λ2 , , λn ∈ = i=1 K 282 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Một ánh xạ tuyến tính từ V đến cịn gọi phép biến đổi tuyến tính hay phép biến đổi tuyến tính hay tốn tử tuyến tính V Nhận xét: Cho f : V → V ánh xạ, V V hai K không gian vectơ Từ định nghĩa ánh xạ tuyến tính, dễ dàng thấy: (1) f ánh xạ tuyến tính ⇔ f (λx + µy) = λf (x) + µf (y); ∀x, y ∈ V, λ, µ ∈ K n n ⇔f λ i xi i=1 λi (xi ); ∀x1 , x2 , , xn ∈ V, λ1 , λ2 , , λn ∈ = i=1 K (2) Nếu f ánh xạ tuyến tính thì: f (0V ) = 0V , f (−x) = −f (x); ∀x ∈ V 282 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân sau đây: 282 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Vậy A khơng chéo hố       Example 7.2 Cho ma trận A = 0 3 Ma trận A chéo hố   0 khơng? Nếu được, tìm ma trận C làm chéo hố A? Giải: ∗ Lập đa thức đặc trưng A: PA (λ) = det(A−λI3 ) = 1−λ 2−λ 0 3λ = (1−λ)(2−λ)(3−λ) Suy A có giá trị riêng phân biệt λ = 1, λ = 2, λ = Do A chéo hố 341 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Vậy A không chéo hoá       Example 7.2 Cho ma trận A = 0 3 Ma trận A chéo hoá   0 khơng? Nếu được, tìm ma trận C làm chéo hoá A? Giải: ∗ Lập đa thức đặc trưng A: PA (λ) = det(A−λI3 ) = 1−λ 2−λ 0 3λ = (1−λ)(2−λ)(3−λ) Suy A có giá trị riêng phân biệt λ = 1, λ = 2, λ = Do A chéo hố 341 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân ∗ Với λ = 1, giải hệ phương trình riêng    2x + 3x3 = 0,   x2 + 3x3 = 0,     2x3 = 0, ta tìm sở khơng gian riêng E(1) β1 = {u1 (1, 0, 0)} 342 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân ∗ Với λ = 1, giải hệ phương trình riêng    2x + 3x3 = 0,   x2 + 3x3 = 0,     2x3 = 0, ta tìm sở không gian riêng E(1) β1 = {u1 (1, 0, 0)} ∗ Hoàn toàn tương tự, λ = λ = ta có sở khơng gian riêng tương ứng β2 = {u2 = (2, 1, 0)} β3 = {u3 = (9, 6, 2)} 342 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân ∗ Với λ = 1, giải hệ phương trình riêng    2x + 3x3 = 0,   x2 + 3x3 = 0,     2x3 = 0, ta tìm sở không gian riêng E(1) β1 = {u1 (1, 0, 0)} ∗ Hoàn toàn tương tự, λ = λ = ta có sở khơng gian riêng tương ứng β2 = {u2 = (2, 1, 0)} β3 = {u3 = (9, 6, 2)} 342 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân ∗ Lập ma trận C mà cột vectơ u1 , u2 , u3 :       C = 0    0 C ma trận làm chéo hố A Dạng chéo A là:   0     C −1 AC = 0 0   0 343 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân ∗ Lập ma trận C mà cột vectơ u1 , u2 , u3 :       C = 0    0 C ma trận làm chéo hố A Dạng chéo A là:   0     C −1 AC = 0 0   0 Example 7.3 Cho toán tử tuyến tính f : R3 → R3 xác định f (x1 , x2 , x3 ) = (3x1 − 2x2 , −2x1 + 3x2 , 5x3 ) 343 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Tốn tử tuyến tính f chéo hố khơng? Nếu chéo hố được, tìm sở R3 mà sở f có dạng chéo 344 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Tốn tử tuyến tính f chéo hố khơng? Nếu chéo hố được, tìm sở R3 mà sở f có dạng chéo Giải: Ma trận tốn tử tuyến tính f sở tắc ζ(3) là:   −2     A = −2 0   0 344 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Tốn tử tuyến tính f chéo hố khơng? Nếu chéo hố được, tìm sở R3 mà sở f có dạng chéo Giải: Ma trận tốn tử tuyến tính f là:  −2   A = −2  0 sở tắc ζ(3)    0  ∗ Đa thức đặc trưng f P (λ) = 3−λ −2 −2 3−λ 0 5−λ = (1 − λ)(λ − 5)2 Từ ta suy f có hai giá trị riêng λ = (đơn) λ = (kép) 344 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Toán tử tuyến tính f chéo hố khơng? Nếu chéo hố được, tìm sở R3 mà sở f có dạng chéo Giải: Ma trận tốn tử tuyến tính f là:  −2   A = −2  0 sở tắc ζ(3)    0  ∗ Đa thức đặc trưng f P (λ) = 3−λ −2 −2 3−λ 0 5−λ = (1 − λ)(λ − 5)2 Từ ta suy f có hai giá trị riêng λ = (đơn) λ = (kép) 344 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân ∗ Với λ = 1, sở không gian riêng E(1) β1 = {u1 = (1, 1, 0)}, dimE(1) = ∗ Với λ = 5, sở không gian riêng E(5) β2 = {u2 = (−1, 1, 0), u3 = (0, 0, 1)}, dimE(5) = Vậy f chéo hoá Khi β = {u1 , (1, 1, 0), u2 = (−1, 1, 0), u3 = (0, 0, 1)} sở R3 mà ma trận f β ma trận chéo   0     B = 0    0 345 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân ∗ Với λ = 1, sở không gian riêng E(1) β1 = {u1 = (1, 1, 0)}, dimE(1) = ∗ Với λ = 5, sở không gian riêng E(5) β2 = {u2 = (−1, 1, 0), u3 = (0, 0, 1)}, dimE(5) = Vậy f chéo hoá Khi β = {u1 , (1, 1, 0), u2 = (−1, 1, 0), u3 = (0, 0, 1)} sở R3 mà ma trận f β ma trận chéo   0     B = 0    0 345 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân   −1     Chú ý rằng, ma trận C = 1 0 ma trận làm chéo hóa   0 ma trận A, đồng thời ma trận đổi sở từ sở tắc R3 sang sở β nói 346 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân   −1     Chú ý rằng, ma trận C = 1 0 ma trận làm chéo hóa   0 ma trận A, đồng thời ma trận đổi sở từ sở tắc R3 sang sở β nói 346 ... TÍNH §1 : ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Khái niệm ánh xạ tuyến tính 281 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương III ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH §1 : ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Khái niệm ánh xạ tuyến tính Definition.. .Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương III ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH §1 : ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 281 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương III ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH... 2 83 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Do gf ánh xạ tuyến tính 284 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Do gf ánh xạ tuyến tính Property 1.2 Qua ánh xạ tuyến tính,