Mời các bạn cùng tham khảo bài giảng Đại số lớp 8 chương 3 Phương trình bậc nhất một ẩn sau đây để hệ thống kiến thức Toán học của mình. Nội dung bài giảng có chứa các bài học gồm phần tóm tắt lý thuyết, các bài tập và dạng toán, bài tập về nhà để giúp các em tiếp thu bài học một cách hiệu quả. Hi vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích dành cho quý thầy cô và các em học sinh trong quá trình học tập và giảng dạy của mình.
Chương Phương trình bậc ẩn §1 Mở đầu phương trình Tóm tắt lý thuyết 1.1 Khái niệm phương trình ẩn Phương trình ẩn x phương trình có dạng A(x) = B(x), A(x) B(x) biểu thức biến x 1.2 Các khái niệm khác liên quan Giá trị x◦ gọi nghiệm phương trình A(x) = B(x) đẳng thức A(x◦ ) = B(x◦ ) Giải phương trình tìm tất nghiệm phương trình Tập nghiệm phương trình tập hợp tất nghiệm phương trình Hai phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm ! 11 Hai phương trình vơ nghiệm tương đương Bài tập dạng toán | Dạng 74 Xét xem số cho trước có nghiệm phương trình hay khơng? Để xem số thực x◦ có nghiệm phương trình A(x) = B(x) hay khơng, ta thay x◦ vào phương trình để kiểm tra: Nếu A(x◦ ) = B(x◦ ) đúng, ta nói x◦ nghiệm phương trình cho Nếu A(x◦ ) 6= B(x◦ ), ta nói x◦ khơng nghiệm phương trình cho 196 Chương Phương trình bậc ẩn 197 ccc BÀI TẬP MẪU ccc b Ví dụ Hãy xét xem x = có nghiệm phương trình sau hay không? a) x2 + x + = x + 2; ĐS: có b) 3(x2 + 1) − = 3x + ĐS: có L Lời giải Thay x = vào phương trình ta 12 + + = + ⇔ = (đúng) nên x = nghiệm phương trình cho Thay x = vào phương trình ta 3(12 + 1) − = · + ⇔ = (đúng) nên x = nghiệm phương trình cho b Ví dụ Hãy xét xem x = có nghiệm phương trình sau hay không? a) x2 − x + = −x + 3; ĐS: không b) 5x − + 2(x − 1) = 10 ĐS: không L Lời giải Thay x = vào phương trình ta 22 − + = −2 + ⇔ = (không đúng) nên x = không nghiệm phương trình cho Thay x = vào phương trình ta · − + 2(2 − 1) = 10 ⇔ = 10 (không đúng) nên x = không nghiệm phương trình cho b Ví dụ Trong giá trị y = −1; y = 2; y = 0; y = giá trị nghiệm phương trình (y − 2)2 = y + ĐS: y = 0; y = L Lời giải Ta lập bảng sau y −1 (y − 2)2 9 y+4 Vậy y = y = hai nghiệm phương trình cho b Ví dụ Trong giá trị z = −1; z = −2; z = giá trị nghiệm phương trình (z + 2)(z − 1) = z + 2z ĐS: z = −2 L Lời giải Ta lập bảng sau Tài liệu Toán của: Mở đầu phương trình 198 z −2 −1 (z + 2)(z − 1) −2 −2 z + 2z −1 Vậy z = −2 nghiệm phương trình cho b Ví dụ Cho phương trình ẩn x: x2 − 3(x + 3) + 2m = − x Tìm tất giá trị m để phương trình có nghiệm x = −3 ĐS: m = L Lời giải Vì x = −3 nghiệm phương trình (−3)2 − 3(−3 + 3) + 2m = + ⇔ m = Vậy m = phương trình cho có nghiệm x = −3 b Ví dụ Cho phương trình ẩn x: x2 − (x + 4) + 5m = 12x Tìm tất giá trị m để phương trình có nghiệm x = −1 ĐS: m = −2 L Lời giải Vì x = −1 nghiệm phương trình (−1)2 − (−1 + 4) + 5m = −12 ⇔ m = −2 Vậy m = −2 phương trình cho có nghiệm x = −1 | Dạng 75 Xét tương đương hai phương trình Thơng thường ta thực theo bước sau đây: Bước Tìm tập nghiệm S1 , S2 hai phương trình cho; Bước Nếu S1 = S2 ta kết luận hai phương trình tương đương, S1 6= S2 ta kết luận hai phương trình không tương đương ! 12 Nếu nghiệm phương trình mà khơng nghiệm phương trình hai phương trình khơng tương đương ccc BÀI TẬP MẪU ccc b Ví dụ Xét xem hai phương trình sau có tương đương khơng? Vì sao? a) x = −3 2x = −6; b) −2x = 3x − x = −1 L Lời giải Ta thấy x = −3 nghiệm phương trình 2x = −6 Do hai phương trình cho tương đương với Thay x = −1 vào phương trình ta thấy −2(−1) 6= 3(−1) − Do hai phương trình cho khơng tương đương với Giáo viên: Chương Phương trình bậc ẩn 199 b Ví dụ Xét xem hai phương trình sau có tương đương khơng? Vì sao? a) x = −4 x + = 0; b) x(x − 3) + 3x = x3 = L Lời giải Ta thấy x = −4 nghiệm phương trình x + = Do hai phương trình cho tương đương với Ta có x(x − 3) + 3x = ⇔ x2 − 3x + 3x = ⇔ x2 = ⇔ x = ±1 Suy S1 = {±1} Ta có x3 = ⇔ x = Suy S2 = {1} Vậy S1 6= S2 Do hai phương trình cho khơng tương đương với b Ví dụ Cho hai phương trình x2 − 5x + = (1) x + (x − 2)(2x + 1) = (2) Chứng minh hai phương trình có nghiệm chung x = 2 Chứng minh x = nghiệm phương trình (1) khơng nghiệm phương trình (2) Hai phương trình cho có tương đương với khơng? Tại sao? ĐS: có L Lời giải Thay x = vào phương trình (1) ta 22 − · + = ⇔ = (đúng) Suy x = nghiệm phương trình (1) Thay x = vào phương trình (2) ta + (2 − 2)(2 · + 1) = ⇔ = (đúng) Suy x = nghiệm phương trình (2) Do x = nghiệm chung hai phương trình cho Thay x = vào phương trình (1) ta 32 − · + = ⇔ = (đúng) Suy x = nghiệm phương trình (1) Thay x = vào phương trình (2) ta + (3 − 2)(2 · + 1) = ⇔ 10 = (không đúng) Suy x = không nghiệm phương trình (2) Vậy x = nghiệm phương trình (1) khơng nghiệm phương trình (2) Hai phương trình khơng tương đương với khơng tập nghiệm b Ví dụ Cho hai phương trình x2 − 6x + = (1) (x − 2)(x − 4) = (2) Chứng minh hai phương trình có nghiệm chung x = Chứng minh x = nghiệm phương trình (1) Hai phương trình cho có tương đương với hay khơng biết phương trình có hai nghiệm? ĐS: có L Lời giải Tài liệu Toán của: Mở đầu phương trình 200 Thay x = vào phương trình (1) ta 42 − · + = ⇔ = (đúng) Suy x = nghiệm phương trình (1) Thay x = vào phương trình (2) ta (4 − 2)(4 − 4) = ⇔ = (đúng) Suy x = nghiệm phương trình (2) Vậy x = nghiệm chung hai phương trình cho Thay x = vào phương trình (1) ta 22 − · + = ⇔ = (đúng) Vậy x = nghiệm phương trình (1) Thay x = vào phương trình (2) ta (2 − 2)(2 − 4) = ⇔ = (đúng) Suy x = nghiệm phương trình (2) Vì phương trình có hai nghiệm nên chúng có chung tập nghiệm S1 = S2 = {2; 4} Do hai phương trình cho tương đương với Bài tập nhà } Bài Hãy xét xem số x = −1 có nghiệm phương trình sau hay không? x3 − 2(x2 + 1) = 3(x − 2) + ã Å − 2(x2 + 1) = 6(x − 1) x + ĐS: có ĐS: khơng L Lời giải Thay x = −1 vào phương trình cho ta (−1)3 − [(−1)2 + 1] = 3(−1 − 2) + ⇔ −5 = −5 (đúng) Vậy x = −1 nghiệm phương trình cho Å ã Thay x = −1 vào phương trình cho ta −1 + − [(−1)2 + 1] = 6(−1 − 1) ⇔ −6 = −12 (không đúng) Vậy x = −1 không nghiệm phương trình cho } Bài Cho phương trình ẩn x: x(x − 4) − x2 + 3mx = 2mx2 Tìm tất giá trị m để phương trình có nghiệm x = ĐS: m = L Lời giải Vì x = nghiệm phương trình 1(1 − 4) − 12 + 3m · = 2m · 12 ⇔ m = Vậy với m = phương trình cho có nghiệm x = 1 } Bài Tìm tất giá trị m cho phương trình 2(x − 2m) + = x + nhận x = 2 11 làm nghiệm ĐS: m = 16 L Lời giải Giáo viên: Chương Phương trình bậc ẩn 201 Å ã 1 1 11 Vì x = nghiệm phương trình − 2m + = · + ⇔ m = 2 2 16 11 Vậy với m = phương trình cho có nghiệm x = 16 Å ã −1 } Bài Cho hai phương trình (1 − x) = + x (1) (2x − 1)(x + 1) = (2) Chứng minh x = nghiệm chung hai phương trình 2 Chứng minh x = −1 nghiệm phương trình (2) khơng phải nghiệm phương trình (1) Hai phương trình cho có tương đương với khơng? Vì sao? ĐS: khơng L Lời giải Å ã Å ã −1 1 1 Thay x = vào phương trình (1) ta 1− =2 + · ⇔ = (đúng) 3 Suy x = nghiệm phương trình (1) Å ãÅ ã 1 + = ⇔ = (đúng) Thay x = vào phương trình (2) ta · − 2 Suy x = nghiệm phương trình (2) Vậy x = nghiệm chung hai phương trình cho Å ã −1 Thay x = −1 vào phương trình (1) ta (1 + 1) = + · (−1) ⇔ = − 3 (không đúng) Suy x = −1 không nghiệm phương trình (1) Thay x = −1 vào phương trình (2) ta [2(−1) − 1] (−1 + 1) = ⇔ = (đúng) Suy x = −1 nghiệm phương trình (2) Vậy x = −1 nghiệm phương trình (2) khơng nghiệm phương trình (1) Hai phương trình cho khơng tương đương khơng tập nghiệm } Bài Chứng minh tập nghiệm phương trình 2(x − 3) = 3(x + 1) − (x + 9) tập số thực R L Lời giải Ta có 2(x − 3) = 3(x + 1) − (x + 9) ⇔ 2x − = 2x − Vì 2x − = 2x − với x ∈ R nên phương trình có tập nghiệm R Tài liệu Toán của: Phương trình bậc ẩn cách giải 202 §2 Phương trình bậc ẩn cách giải Tóm tắt lý thuyết 1.1 Khái niệm Phương trình dạng ax + b = 0, với a, b số cho a 6= gọi phương trình bậc ẩn 1.2 Hai quy tắc biến đổi phương trình a) Quy tắc chuyển vế: Trong phương trình, chuyển hạng tử từ vế sang vế cần đổi dấu hạng tử b) Quy tắc nhân (hoặc chia) với số khác 0: Trong phương trình, ta nhân (hoặc chia) hai vế với số khác 1.3 Cách giải phương trình bậc Từ phương trình, sử dụng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân (hoặc chia) hai vế với số khác 0, ta thu phương trình tương đương với phương trình cho Tổng quát cách giải phương trình bậc dạng ax + b = (a 6= 0): b ax + b = ⇔ ax = −b ⇔ x = − a Bài tập dạng toán | Dạng 76 Nhận dạng phương trình bậc ẩn Dựa vào định nghĩa phương trình bậc ẩn ccc BÀI TẬP MẪU ccc b Ví dụ Trong phương trình sau, phương trình phương trình bậc ẩn Hãy hệ số a b tương ứng a) x + = 0; b) x − 2x2 = 1; c) Giáo viên: + = 0; 5x Chương Phương trình bậc ẩn 203 e) − 3y = 0; d) 3y = 0; f) · x − = L Lời giải Phương trình x + = phương trình bậc ẩn với hệ số a = b = 2 Phương trình x − 2x2 = khơng phương trình bậc ẩn Phương trình + = khơng phương trình bậc ẩn 5x Phương trình 3y = phương trình bậc ẩn với hệ số a = b = Phương trình − 3y = phương trình bậc ẩn với hệ số a = −3 b = Phương trình · x − = khơng phương trình bậc ẩn b Ví dụ Hãy phương trình bậc ẩn phương trình sau Nếu có hệ số a b tương ứng − = 0; x a) x − = 0; b) x2 = + x; c) d) 2y = 0; e) − 2y = 0; f) · x + = L Lời giải Phương trình x − = phương trình bậc ẩn với hệ số a = b = −1 Phương trình x2 = + x khơng phương trình bậc ẩn Phương trình − = khơng phương trình bậc ẩn x Phương trình 2y = phương trình bậc ẩn với hệ số a = b = Phương trình − 2y = phương trình bậc ẩn với hệ số a = −2 b = Phương trình · x + = khơng phương trình bậc ẩn | Dạng 77 Tìm điều kiện tham số để phương trình phương trình bậc ẩn Phương trình ax + b = phương trình bậc ẩn x a 6= ccc BÀI TẬP MẪU ccc b Ví dụ Tìm điều kiện m để phương trình sau phương trình bậc ẩn x: a) (m − 2)x + = 0; ĐS: m 6= b) (m2 − 4)x − = 0; c) mx − 2x + = 0; ĐS: m 6= d) (m2 − 4)x2 − (m + 2)x − = m=2 L Lời giải Tài liệu Toán của: ĐS: m 6= ±2 ĐS: Phương trình bậc ẩn cách giải 204 Để phương trình cho phương trình bậc ẩn x m − 6= ⇔ m 6= 2 Để phương trình cho phương trình bậc ẩn x m2 − 6= ⇔ m 6= ±2 Ta có mx − 2x + = ⇔ (m − 2)x + = Để phương trình cho phương trình bậc ẩn x m − 6= ⇔ m 6= Để phương trình cho phương trình bậc ẩn x ® ® m −4=0 m = ±2 ⇔ ⇔ m = − (m + 2) 6= m 6= −2 b Ví dụ Tìm điều kiện m để phương trình sau phương trình bậc ẩn x: a) (m − 1)x − = 0; ĐS: m 6= b) (m2 − 1)x + = 0; c) mx − x + = 0; ĐS: m 6= d) (m2 − 1)x2 − (m − 1)x + = m = −1 ĐS: m 6= ±1 ĐS: L Lời giải Để phương trình cho phương trình bậc ẩn x m − 6= ⇔ m 6= Để phương trình cho phương trình bậc ẩn x m2 − 6= ⇔ m 6= ±1 Ta có mx − + = ⇔ (m − 1)x + = Để phương trình cho phương trình bậc ẩn x m − 6= ⇔ m 6= Để phương trình cho phương trình bậc ẩn x ® ® m −1=0 m = ±1 ⇔ ⇔ m = −1 − (m − 1) 6= m 6= | Dạng 78 Cách giải phương trình bậc ẩn Xem cách giải phương trình bậc ẩn phần Tóm tắt lý thuyết 13 ! Nếu phương trình thu gọn có dạng · x = phương trình có vơ số nghiệm hay S = R Nếu phương trình thu gọn có dạng · x = m với m 6= phương trình vơ nghiệm hay S = ∅ ccc BÀI TẬP MẪU ccc b Ví dụ Giải phương trình sau: a) 3x + = 0; ĐS: S = {−3} c) − 2x = 0; ĐS: S = {2} b) 3x − = 0; d) −2x + = 0; Giáo viên: ß ™ ĐS: S = ĐS: S = {3} Chương Phương trình bậc ẩn e) 0,5x − = 0; g) x−1= ; 3 i) 4x − = 2x + 1; 205 ĐS: S = {2} f) 3,6 − 0,6x = 0; ĐS: S = {6} ĐS: S = {2} h) − x + = x − 3; 3 ĐS: S = {4} ĐS: S = {2} 1 j) − (x + 1) + = 2x + ĐS: S = ß 15 ™ L Lời giải a) Ta có 3x + = ⇔ 3x = −9 ⇔ x = −3 Suy S = {−3} b) Ta có 3x − = ⇔ 3x = ⇔ x = ß ™ Suy S = c) Ta có − 2x = ⇔ 2x = ⇔ x = Suy S = {2} d) Ta có −2x + = ⇔ 2x = ⇔ x = Suy S = {3} e) Ta có 0,5x − = ⇔ 0,5x = ⇔ x = Suy S = {2} f) Ta có 3,6 − 0,6x = ⇔ 0,6x = 3,6 ⇔ x = Suy S = {6} x − = ⇔ x = ⇔ x = 3 3 Suy S = {2} 2 h) Ta có − x + = x − ⇔ − x − x = 3 3 −3 − ⇔ x = Suy S = {4} g) Ta có i) Ta có 4x − = 2x + ⇔ 2x = ⇔ x = Suy S = {2} 1 j) Ta có − (x+1)+1 = 2x+ ⇔ − x−2x = 1 −1+ ⇔− x=− ⇔x= ß 2™ 15 Suy S = 15 b Ví dụ Giải phương trình sau: a) 2x − = 0; ĐS: S = {2} b) 2x − = 0; ß ™ ĐS: S = c) − 2x = 0; ĐS: S = {3} d) −3x − = 0; ĐS: S = {−3} e) 0,25x − = 0; g) x+1= ; 5 i) 3x + = 2x − 3; ĐS: S = {4} ß ™ ĐS: S = − ĐS: S = {−5} f) 4,9 − 0,7x = 0; ĐS: S = {7} h) − x + = x − 1; 2 ĐS: S = {1} 1 j) − (2x + 1) + = x − 1.ĐS: S = 2 ß ™ L Lời giải a) Ta có 2x − = ⇔ 2x = ⇔ x = Suy S = {2} b) Ta có 2x − = ⇔ 2x = ⇔ x = ß ™ Suy S = Tài liệu Toán của: ... trình bậc ẩn với hệ số a = b = −1 Phương trình x2 = + x khơng phương trình bậc ẩn Phương trình − = khơng phương trình bậc ẩn x Phương trình 2y = phương trình bậc ẩn với hệ số a = b = Phương trình. .. Phương trình 2x − = phương trình bậc ẩn với hệ số a = b = −1 Phương trình −x + x2 = khơng phương trình bậc ẩn Phương trình − = khơng phương trình bậc ẩn x Phương trình 5y = phương trình bậc ẩn. .. trình + = khơng phương trình bậc ẩn 5x Phương trình 3y = phương trình bậc ẩn với hệ số a = b = Phương trình − 3y = phương trình bậc ẩn với hệ số a = −3 b = Phương trình · x − = không phương trình