Đại số tuyến tính. Chương 2: Ma trận Định thức118

Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Chương Ma trận - Định thức Ma trận Khái niệm Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Học phần: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Mai Phuong, Vuong Hệ 2.1 Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Ma trận Khái niệm Các phép tốn Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.2 Mục lục Ma trận Khái niệm Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Ma trận Ma trận Khái niệm Các phép tốn Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.3 Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Ma trận Khái niệm Một ma trận kích thước m × n bảng số hình chữ nhật gồm m hàng, n cột Ma trận Khái niệm Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.4 Hình: Hàng Hình: Cột Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Ma trận Ma trận So sánh hai ma trận Khái niệm Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Cùng kích thước Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.5 Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Ma trận Ma trận So sánh hai ma trận Khái niệm Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.5 Cùng kích thước Bằng Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Ma trận Ký hiệu Ma trận Khái niệm Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo A= a11 a21 am1 a12 a22 am2 a 1n a 2n a mn = [a ij ]mn Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.6 Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Một số ma trận đặc biệt Ma trận Khái niệm Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Hình: Ma trận hàng Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.7 Hình: Ma trận cột Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Một số ma trận đặc biệt Ma trận Khái niệm Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Hình: Ma trận khơng Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.8 Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Một số ma trận đặc biệt Ma trận Khái niệm Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Hình: Ma trận vng Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.9 Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Một số ma trận đặc biệt Ma trận Khái niệm Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Hình: Ma trận đơn vị Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.10 Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Một số ma trận đặc biệt Ma trận Khái niệm Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Hình: Ma trận đường chéo Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.11 Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Một số ma trận đặc biệt Ma trận Khái niệm Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Hình: Ma trận tam giác Hình: Ma trận tam giác Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.12 Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Một số ma trận đặc biệt Ma trận đối xứng Ma trận A= Khái niệm Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.13 −2 −2 Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Một số ma trận đặc biệt Ma trận đối xứng Ma trận Khái niệm A= Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace −2 −2 Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Định nghĩa Ma trận A vuông cấp n đối xứng Khái niệm Hệ Cramer aij = a ji Phương pháp Gauss Hệ ∀i , j = 1, , n 2.13 Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Một số ma trận đặc biệt Ma trận phản đối xứng Ma trận A= Khái niệm Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.14 −2 −2 −3 Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Một số ma trận đặc biệt Ma trận phản đối xứng Ma trận Khái niệm A= Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace −2 −2 −3 Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Định nghĩa Ma trận A cấp n phản đối xứng Khái niệm Hệ Cramer aij = −a ji Phương pháp Gauss Hệ 2.14 Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Ma trận Khái niệm Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.15 ∀i , j = 1, , n Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Các phép toán Phép chuyển vị Ma trận Khái niệm A = [1 2] ⇒ A T = Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.16 Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Các phép toán Phép chuyển vị Ma trận Khái niệm A = [1 2] ⇒ A T = Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.16 A = [a a2 a n ] ⇒ AT = Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Ma trận Phương trình tuyến tính Dạng tổng qt Khái niệm Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức a1 x + a x2 + + a n xn = b Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.83 Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa tập hợp phương trình tuyến tính ẩn x , , x n Ma trận Khái niệm Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Ví dụ Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.84 x1 − 2x = −1 −x1 + 3x = Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ x+ y= x + 1.0001 y = Ma trận Khái niệm Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ví dụ Ma trận nghịch đảo x+ y= x + 1.001 y = 2.001 Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.85 Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Hệ phương trình tuyến tính Dạng tổng qt Ma trận Khái niệm Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.86 a11 x + a 12 x2 + + a a21 x + a 22 x2 + + a am1 x1 + a m2 x2 + + a = b1 2n xn = b 1n xn mnx n = bm Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Hệ phương trình tuyến tính Số nghiệm hệ Ma trận Khái niệm Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận • Một nghiệm • Vơ nghiệm • Vơ số nghiệm Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.87 Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Ma trận Hệ phương trình tuyến tính Khái niệm Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.88 Ma trận ẩn Ma trận hệ số tự Ma trận hệ số Ma trận bổ sung Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Hệ phương trình tuyến tính a 11 x1 + a a 21 x1 + a + +a 22 x2 + + a am1 x1 + a m2 x2 + + a Ma trận Khái niệm 12 x2 = b1 2n xn = b 1n xn mn xn = bm Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Ma trận hệ số Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm A= Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ a 11 a12 a 1n a 21 a22 a 2n a m1 a m2 a mn 2.89 Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Hệ phương trình tuyến tính a 11 x1 + a a 21 x1 + a + +a 22 x2 + + a am1 x1 + a m2 x2 + + a Ma trận Khái niệm 12 x2 = b1 2n xn = b 1n xn mn xn = bm Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Ma trận ẩn, ma trận hệ số tự Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.90 X= x1 x2 xn ;b= b1 b2 bm Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Hệ phương trình tuyến tính Ma trận bổ sung Ma trận Khái niệm Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp A = [A|b] = Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo a11 a 12 a 1n b a21 a 22 a 2n b am1 a m2 a mn b n Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.91 Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Ma trận Hệ phương trình tuyến tính Dạng ma trận Khái niệm Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.92 AX = b Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Hệ phương trình tuyến tính Hệ a11 x1 + a 12 x + + a a21 x1 + a 22 x + + a a m1x1 + a m2 x2 + + a Ma trận Khái niệm Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp =0 2n xn = 1n xn mn xn Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Dạng ma trận Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss AX = Hệ 2.93 Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Ví dụ x1 − 2x = −1 −x1 + 3x = Ma trận Khái niệm Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.94 =0 Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Ví dụ x1 − 2x = −1 −x1 + 3x = Ma trận Khái niệm Các phép tốn Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo A= Hệ phương trình Khái niệm −2 −1 , −2 −1 A = −1 3 Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.94 Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Ví dụ x1 + x = 2x − 4x = Ma trận Khái niệm Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.95 Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Ví dụ x1 + x = 2x − 4x = Ma trận Khái niệm Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.95 Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Ma trận Khái niệm Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.96 1 A = −4 , A= 1 −4 Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Hệ Cramer Ma trận Định nghĩa Khái niệm Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hệ phương trình tuyến tính n phương trình, n ẩn số có ma trận hệ số không suy biến gọi hệ Cramer Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.97 Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Hệ Cramer Định lý Ma trận Khái niệm Các phép tốn Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.98 Hệ Cramer có nghiệm (x , x2 , , x n ) xác định |Ai | bởi: xi = |A| A: ma trận hệ số hệ Ai : ma trận nhận từ A cách thay cột thứ i cột hệ số tự Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Hệ Cramer Ma trận Khái niệm Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Chứng minh Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.99 Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Hệ Cramer Ví dụ Ma trận Giải hệ có ma trận bổ sung là: Khái niệm Các phép tốn Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.100 A= 1 −2 −7 Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Hệ Cramer Ví dụ Ma trận Giải hệ có ma trận bổ sung là: Khái niệm Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.101 Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Ma trận Khái niệm Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.102 B= 1 −2 −7 16 16 Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính Ma trận Khái niệm Các phép tốn • Thay hệ phương trình hệ tương Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo đương, đơn giản • Sử dụng phép biến đổi sơ cấp hàng để đưa ma trận bổ sung dạng hình thang Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.103 Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Ví dụ Giải hệ x − 3x − 5x = x2 + x = Ma trận Khái niệm Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.104 Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Ví dụ Giải hệ x − 3x − 5x = x2 + x = Ma trận Khái niệm Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận bổ sung Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss −3 −5 0 1 Hệ 2.104 Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Ma trận Khái niệm Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.105 Định lí Kronecker-Capelli Cho hệ phương trình tuyến tính n ẩn số AX = b (A có n cột) Hệ có nghiệm r (A) = r (A) Hơn nữa: • r (A) = r (A) = n: nghiệm • r (A) = r (A) < n: vơ số nghiệm • r (A) = r (A): vô nghiệm Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Ví dụ Hệ tuyến tính x1 − 2x2 + x = −6 2x − 8x = 14 −4x + 5x + 9x = Ma trận Khái niệm Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.106 Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Ví dụ Hệ tuyến tính x1 − 2x2 + x = −6 2x − 8x = 14 −4x + 5x + 9x = Ma trận Khái niệm Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.106 Ma trận bổ sung −2 −6 −8 14 −4 Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Hệ Dạng tổng quát Ma trận Khái niệm Các phép tốn Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm a11 x1 + a 12 x + + a a21 x1 + a 22 x + + a =0 2n xn = 1n xn am1 x1 + a m2 x2 + + a mnxn =0 So sánh r (A) r (A) Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.107 Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Hệ Ví dụ Tìm m để hệ sau có nghiệm khơng tầm thường giải hệ với m tìm Ma trận Khái niệm Các phép tốn Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.108 x − 2y + z = 2x − y + 3z = −x − y + mz = .. .Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Ma trận Ma trận Khái niệm Các phép toán Định thức Định thức khai triển Laplace Tính chất định thức Tính định thức biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Ma trận. .. ma trận Hình: Ma trận hàng Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình Khái niệm Hệ Cramer Phương pháp Gauss Hệ 2.7 Hình: Ma trận cột Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Một số ma trận đặc biệt Ma trận. .. ma trận khác khơng Hạng A số tự nhiên r lớn thỏa mãn: Tồn định thức cấp r ma trận A khác Mọi định thức cấp lớn r (nếu có) ma trận A Ma trận - Định thức Mai Phuong, Vuong Hạng ma trận Ví dụ Ma