Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, sinh viên đại học về môn toán cao cấp - Đại số tuyến tính - Chương 1: Ma trận.Ma trân đơn vị cấp n trên vành có đơn vị V là ma trận vuông cấp n trong đó tất cả các phần tử trên đường chéo chính bằng đơn vị, tất cả các phần tử khác bằng không. · Tính chất của...
Trường Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn ứng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Chương 1: Ma trận • Giảng viên: Ts. Đặng Văn Vinh (9/2010) www.tanbachkhoa.edu.vn NỘI DUNG -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - I. Đònh nghóa ma trận và ví dụ III. Các phép toán đối với ma trận II. Các phép biến đổi sơ cấp IV. Hạng của ma trận V. Ma trận nghòch đảo Sách tham khảo: 1/ David C. Lay. Linear algebra and its applications. 2/ Howard A. Elementary linear algebra, ninth edition !"# $%&'()&'*+% ,-!+ +/. ,-#+/0+ /0. 1234536%7 -8( ! + +/. # +/0 + /0. 95:, + + +/. +/0 + /0. T = ÷ I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ;<=*> ?*>-4%($@A3BCD> " ?*>!-4 = mnmjm iniji nj aaa aaa aaa A + + ++++ E F I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 9G+ / 0./ +H × =A ;I%*>A-/4 ?*>! /" 0J.J/J+JHJ ////+++/++ ====== aaaaaa KL! 9G/ // /+ × − + = ii i A M>3'3N*>-4*O*&PQ)&'R7% ? 4 SQT ?*>! "&P)&'R7(- ( ) nm ij aA × = I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ. UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU ?*> N3%)&':%*> R7.@ F V."W:"FC ;<=*> = . . A I. Caực khaựi nieọm cụ baỷn vaứ vớ duù -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - ;<=*>8(> +E 3,-@5X8CDY&WZ /K,-L&WY(O3@Z C"W3,-L*O K )O L [\(O* )&':%3,-L) I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- − = 0 . . /++/ B Q%*> (> 9G 0H . 0/+H. ]/^ /.+/ × − − =A Q%*> (> I. Các khái niệm và ví dụ cơ bản. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- _*>8 (> 9G 0H . 0/ . H+^ //.+ × − − =A _*>8(> − = ^ . + /./+ B I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU ["<L%*>-` )&'\!(Y[ ( ) mn ij T aA × = ;<=*>["< ( ) nm ij aA × = / a .+ H/ × −= T A / a.H +/ × − =A 9G [...]... →h2 − 2 h1 2 3 1 4 5 ÷ ÷ → → ÷ h3 →h3 −3h1 0 1 1 0 3 ÷ A= 3 2 −3 7 4 ÷ h4 →h4 + h1 0 1 0 1 1 ÷ 1 1 2 −3 1 ÷ 0 2 1 1 2 ÷ Bước Che tất cả các hàng từ hàng chứa phần tử cơ sở và những hàng trên nó Áp dụng bước 1 và 2 cho ma trận còn lại 1 0 h3 →h3 + h2 → h4 →h4 − 2 h2 0 0 1 1 1 2 1 1 1 0 3÷ ÷ 0 1 1 4÷ 0 0 0 0÷ 1 ÷ h4 →h4 + h3 0 1 1 0 3 →... 1 1 4÷ 0 0 1 1 −4 ÷ 1 1 2 Ví dụ: Xác định dòng điện I1, I2, và I3 trong mạng lưới điện dưới đây: • Áp dụng định luật Kirchhoff cho nút A, ta có: I1 = I2 + I3 nút B: I2 + I3 = I1 • Áp dụng định luật Kirchhoff cho vòng 1 và vòng 2: 7I1 +3I3 -30 = 0 11 I2 -3I3 -50 = 0 Ta có hê ̣: 1 1 1 0 7 0 3 30 ÷ ÷ 0 11 −3 50 ÷ 1 1 1 0 3 30 ÷ Ma trận của hệ thống là: 7 0 ÷ 0 11 ... ở ma trận tích: lấy hàng 2 của A nhân với cột 3 của B (coi như nhân tích vô hướng hai véctơ với nhau) Ví dụ III Các phép toán đối với ma trận - 1 − 2 2 2 1 4 A= ; B = 3 0 1 4 1 0 2 4 3 Tính AB 1 −2 2 7 c12 c13 2 1 4 ÷ = c 11 c12 c13 A ×B = c ÷ ÷× 3 0 1 ÷ c c 22 c 23 ÷ c 22 c 23 4 1 0 21 ÷ 21 2 4 3 1 c 11 =... 50 ÷ Dùng bđsc đối với hàng, đưa về ma trâ ̣n bâ ̣c thang: 0 1 1 1 0 7 10 30 ÷ ÷ 0 0 13 1 −20 ÷ 570 590 −20 , I2 = , I3 = Cuố i cùng ta có giá tri của dòng điê ̣n: I1 = ̣ 13 1 13 1 13 1 III Các phép toán đối với ma trận - Sự bằng nhau của hai ma trận Hai ma trận bằng nhau nếu: 1) cùng cở; 2) các phần tử ở những vị trí... 3 1 4 5 ÷ ÷ 3 2 −3 7 4 ÷ 1 1 2 −3 1 ÷ Bước 1 Bắt đầu từ cột khác không đầu tiên từ bên trái Chọn phần tử khác không tùy ý làm phần tử cơ sở 1 2 3 1 1 1 2 3 1 4 2 −3 7 1 2 −3 1 5÷ ÷ 4÷ 1 II Các phép biến đổi sơ cấp - Bước 2 Dùng bđsc đối với hàng, khử tất cả các phần tử còn lại của cột 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 ... G/sử lời trong tháng 1: áo 15 ngàn, quần 30 ngàn, kính 10 ngàn 15 Ghi ở dạng ma trận L1 = 30 ÷ ÷ 10 ÷ Lợi nhuận trong tháng 1 của từng cơ sở: 15 10 0 12 0 300 ÷ 8 .10 0 T1 L1 = ÷ 30 ÷ = 7.375 ÷ 12 5 10 0 250 10 ÷ G/sử lời trong tháng 2: áo 25 ngàn, quần 35 ngàn, kính 17 ngàn Lời trong 2 tháng ở dạng ma trận: 25 L2 = 35 ÷ ÷ 17 ÷ Lời trong 2 tháng... -Định nghĩa ma trận vuông Nếu số hàng và cột của ma trận A bằng nhau và bằng n, thì A được gọi là ma trận vuông cấp n 2 − 1 A= 3 2 2×2 Tập hợp các ma trận vuông cấp n trên trường số K được ký hiệu bởi M n [K] I Các khái niệm cơ bản và ví dụ -Các phần tử a 11, a22,…,ann tạo nên đường chéo chính của ma trận vuông A 2 3 3 4 −2 1 2 1 1 1 0 5÷ ÷ 3 7÷... cộng hai ma trận Cùng cở Tổng A + B: Các phần tử tương ứng cộng lại Ví dụ 1 2 4 3 − 2 6 A= ; B = 3 0 5 1 4 7 2 0 10 A+ B = 4 4 12 III Các phép toán đối với ma trận Phép nhân ma trận với một số Nhân ma trận với một số, ta lấy số đó nhân với tất cả các phần tử của ma trận Ví dụ 1 2 4 A= 3 0 5 Tính chất:... nghĩa ma trận tam giác trên Ma trận vuông A = ( aij ) n×n được gọi là ma trận tam giác trên nếu aij = 0, ∀i > j 2 1 3 A = 0 3 6 0 0 − 2 Định nghĩa ma trận tam giác dưới Ma trận vuông A = ( aij ) được gọi là ma trận tam giác dưới nếu n×n aij = 0, ∀i < j 2 0 0 A = 4 1 0 ÷ ÷ 5 7 −2 ÷ I Các khái niệm cơ bản và ví dụ Định nghĩa ma trận chéo Ma trận. .. 0 0 1. 58 6.42 8 8 8 ÷ 1 0.25 A= 0 1 ÷ 0 0.5 6 5.895 2 .10 5 2 7.5 8 ⇒ AD = 0 0 0 1. 580 6.420 8 8 8 ÷ Tương ứng với chữ: Xét ma trận 0.75 0 S = 0 1 SAD tương ứng với chữ Tính SA, SAD IV Hạng của ma trận - Định nghĩa hạng của ma trận Giả sử Amxn tương đương hàng (cột) với ma trận bậc thang E Khi đó ta gọi hạng của ma trận . nghóa ma trận và ví dụ III. Các phép toán đối với ma trận II. Các phép biến đổi sơ cấp IV. Hạng của ma trận V. Ma trận nghòch đảo Sách tham khảo: 1/ David. Trường Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn ứng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Chương 1: Ma