Đại số tuyến tính. Chương 3: Không gian vector117

Không gian vector Mai Phuong, Vuong Chương Không gian vector Khơng gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Học phần: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Mai Phuong, Vuong Hạng hệ vector 3.1 Không gian vector Mai Phuong, Vuong Mục lục Khơng gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khơng gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.2 Hạng hệ vector Không gian vector Mai Phuong, Vuong Khơng gian vector Khái niệm Ví dụ Không gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Khơng gian vector Định nghĩa Một không gian vector trường số thực R tập hợp khác rỗng V phép toán cộng, ký hiệu u + v , phép nhân vô hướng, ký hiệu αu (u , v ∈ V , α ∈ R ), thỏa mãn tiên đề sau: Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.3 Không gian vector Mai Phuong, Vuong Khơng gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở khơng gian Tọa độ Đổi sở Bài tốn đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.4 Không gian vector u +v ∈V Không gian vector Mai Phuong, Vuong Không gian vector Khái niệm Khơng gian vector Ví dụ u +v ∈V u +v = v +u Không gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.4 Không gian vector Mai Phuong, Vuong Không gian vector Khái niệm Khơng gian vector Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.4 u +v ∈V u +v = v +u (u + v ) + w = u + (v + w ) Không gian vector Mai Phuong, Vuong Không gian vector Khái niệm Không gian vector Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh u +v ∈V u +v = v +u (u + v ) + w = u + (v + w ) Có phần tử θ V thỏa mãn: u + θ = u Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.4 Không gian vector Mai Phuong, Vuong Không gian vector Khái niệm Không gian vector Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.4 u +v ∈V u +v = v +u (u + v ) + w = u + (v + w ) Có phần tử θ V thỏa mãn: u + θ = u Với u ∈ V , tồn phần tử V , ký hiệu −u , cho u + (−u) = θ Không gian vector Mai Phuong, Vuong Không gian vector Khái niệm Không gian vector αu ∈ V với α ∈ R, u ∈ V Ví dụ Không gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.5 Không gian vector Mai Phuong, Vuong Khơng gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.5 Không gian vector αu ∈ V với α ∈ R, u ∈ V α(u + v ) = αu + α v Không gian vector Mai Phuong, Vuong Không gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Khơng gian vector αu ∈ V với α ∈ R, u ∈ V α(u + v ) = αu + α v (α + β )u = αu + βu Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.5 Không gian vector Mai Phuong, Vuong Không gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Khơng gian vector Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.5 αu ∈ V với α ∈ R, u ∈ V α(u + v ) = αu + α v (α + β )u = αu + βu α(β u) = (αβ )u Không gian vector Mai Phuong, Vuong Không gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Khơng gian vector Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều 10 αu ∈ V với α ∈ R, u ∈ V α(u + v ) = αu + α v (α + β )u = αu + βu α(β u) = (αβ )u 1.u = u Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.5 Không gian vector Mai Phuong, Vuong Không gian vector 10 tiên đề Không gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Có phần tử θ V thỏa mãn: u + θ = u Với u ∈ V , tồn phần tử V, ký hiệu −u , cho u + (−u ) = θ αu ∈ V với α ∈ R, u ∈ V α (u + v ) = α u + α v (α + β )u = αu + βu α(β u) = (αβ )u 10 1.u = u Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.6 u+v ∈V u+v =v +u (u + v ) + w = u + (v + w ) Không gian vector Mai Phuong, Vuong Không gian vector Khơng gian vector Nhận xét Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở khơng gian • • • • Có thể thay trường R trường số khác Phần tử V gọi vector Tiên đề suy Các tiên đề 1, 2, 3, 4, suy (V , +) Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.7 Không gian vector Mai Phuong, Vuong Không gian vector Không gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.8 Ví dụ R2 không gian vector R Khơng gian vector Mai Phuong, Vuong Khơng gian vector Ví dụ Khơng gian vector • • V tập hợp đoạn thẳng có hướng (vector) mặt phẳng Hai vector chúng có độ dài hướng • Định nghĩa phép cộng phép nhân vơ hướng: Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh v Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính 2v Cơ sở số chiều v u Cơ sở không gian v Tọa độ v Đổi sở Bài toán đổi sở -v u+v Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.9 Không gian vector Mai Phuong, Vuong Không gian vector Khơng gian vector Chứng minh Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector u Tổ hợp tuyến tính v u w Hệ sinh u Khái niệm v v +u Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở khơng gian Tọa độ Đổi sở Bài tốn đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.10 u+v u +v+w Không gian vector Mai Phuong, Vuong Không gian vector Không gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Ví dụ Rn khơng gian vector R Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.11 Không gian vector Mai Phuong, Vuong Khơng gian vector Khơng gian vector Ví dụ Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tập hợp đa thức bậc cao với hệ số thực: P2 [x ] = {a + a1 x + a2 x | a0 , a1 , a2 ∈ R} Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.12 không gian vector R Không gian vector Mai Phuong, Vuong Toạ độ Định nghĩa Khơng gian vector Khái niệm Ví dụ Không gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ B = {e1 , e2 , , e n } sở không gian V v ∈ V Tọa độ vector v sở B số (a1 , a2 , , an ) thỏa mãn Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều v = a1e1 + a2 e2 + + a n en Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.62 Không gian vector Mai Phuong, Vuong Toạ độ Vector tọa độ Khơng gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở khơng gian Tọa độ Đổi sở Bài tốn đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.63 v = a1 e + a e2 + + an en a1 a2 = e1 e2 en an Không gian vector Mai Phuong, Vuong Không gian vector Toạ độ Vector tọa độ Khái niệm Ví dụ a1 a2 [v ]B = an Không gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.64 Không gian vector Mai Phuong, Vuong Không gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Tọa độ Ví dụ Cho sở B = {b1 , b } R b1 = (1, 0), b = (1, 2) Tìm tọa độ v = (1, 5) sở B Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.65 Tìm vector u có vector tọa độ sở B −2 Không gian vector Mai Phuong, Vuong Không gian vector Khái niệm Tọa độ Ví dụ Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.66 Không gian vector Mai Phuong, Vuong Không gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.67 CM {v1 , v2 , v } sở R3 , v1 = (1, 0, −2), v = (1, 1, −1), v = (−2, 1, 5) Tìm tọa độ u = (−3, 5, 11) sở Tìm vector v có tọa độ sở (−2, 4, 1) Không gian vector Mai Phuong, Vuong Bài tốn đổi sở Khơng gian vector Khái niệm Ví dụ Không gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ [v] B [v] S ? Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.68 Khơng gian vector Mai Phuong, Vuong Bài tốn đổi sở Khơng gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Xác định tọa độ v=(2, 5) sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.69 Không gian vector Mai Phuong, Vuong Ma trận chuyển sở Định nghĩa V KGVT n chiều, B = {b , b2 , , b n } S = {s , s2 , , s n } hai sở V Khi ta biểu diễn: Khơng gian vector Khái niệm s1 Ví dụ = a 11 b1 + a 12 b2 + + a 1n bn Không gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.70 Không gian vector Mai Phuong, Vuong Ma trận chuyển sở Định nghĩa V KGVT n chiều, B = {b , b2 , , b n } S = {s , s2 , , s n } hai sở V Khi ta biểu diễn: Khơng gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.70 s1 s2 = a 11 b1 = a 21 b1 + a 12 b2 + a 22 b2 + + + a + a 1n bn sn = a n1 b1 + a n2 b2 + + a nnbn 2n bn Không gian vector Mai Phuong, Vuong Ma trận chuyển sở Định nghĩa V KGVT n chiều, B = {b , b2 , , b n } S = {s , s2 , , s n } hai sở V Khi ta biểu diễn: Khơng gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính s1 s2 = a 11 b1 = a 21 b1 + a 12 b2 + a 22 b2 + + + a + a 1n bn sn = a n1 b1 + a n2 b2 + + a nnbn Ma trận Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ P= Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector a11 a12 a 21 a 22 a n1 a n2 a1n a 2n a nn gọi ma trận chuyển sở từ B sang S 3.70 Không gian vector Mai Phuong, Vuong Không gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.71 Ma trận chuyển sở a11 a12 P = a1n = [s ] B a21 a n1 a22 a n2 a2n a nn [s2 ] B [s n] B 2n bn Không gian vector Mai Phuong, Vuong Khơng gian vector Khái niệm Ví dụ Liên hệ hai sở Cho KGVT n chiều V B S sở V P ma trận chuyển từ sở B sang sở S Khi ta có: Khơng gian vector s1 b1 s2 b2 T = P sn bn Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.72 Không gian vector Mai Phuong, Vuong Không gian vector Công thức đổi tọa độ đổi sở Định lý Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Cho KGVT n chiều V B S sở V P ma trận chuyển từ sở B sang sở S Khi ta có: Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.73 [v ]B = P.[v ] S ∀v ∈ V Không gian vector Mai Phuong, Vuong Công thức đổi tọa độ đổi sở Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Trong R2 cho sở B = {b1 , b2 } b1 = (1, 0), b = (0, 1) S = {s , s2 } s1 = (−1, 0), s = (0, 1) Tìm ma trận chuyển từ sở B sang sở S Tìm tọa độ vector v = (2, 5) sở S (2 cách) Tìm vector u có tọa độ (1, 4) sở S Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.74 Không gian vector Mai Phuong, Vuong Không gian vector Ma trận chuyển sở Định lý Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.75 Nếu P ma trận chuyển sở từ sở B sang sở S (a) P khả nghịch (b) P −1 ma trận chuyển sở từ S sang sở B Không gian vector Mai Phuong, Vuong Ma trận chuyển sở Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Ví dụ Không gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.76 Không gian vector Mai Phuong, Vuong Khơng gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.77 Trong R2 cho hai sở B = {b1 = (1, 0), b = (0, 1)} sở S = {s1 , s2 } Ma trận chuyển sở từ B sang S P= −1 Xác định S Tìm tọa độ vector v = (2, 5) sở S Không gian vector Mai Phuong, Vuong Khơng gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Hạng hệ vector Định nghĩa Cho S = {v1 , v , , vm } ⊂ V Hạng S số tối đa vector độc lập tuyến tính hệ S Kí hiệu: r (S ) Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.78 Không gian vector Mai Phuong, Vuong Không gian vector Khái niệm Hạng hệ vector Nhận xét Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.79 • r (S ) ≤ m • r (S ) = m ⇒ hệ S • r (S ) = dim(Span(S)) Không gian vector Mai Phuong, Vuong Khơng gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở khơng gian Tọa độ Hạng hệ vector Ví dụ Tìm hạng hệ vector: v = (2, −1); v = (1, 2); v = (−7, 1); v = (4, −2) R2 2 p1 = + x ; p = 2x ; p = − x ; p = x + x P2 [x ] Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.80 Không gian vector Mai Phuong, Vuong Hạng hệ vector Không gian vector Định lý Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở khơng gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.81 Hạng hệ vector hạng ma trận tọa độ vector theo sở Không gian vector Mai Phuong, Vuong Hạng hệ vector Cách tính hạng Khơng gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Hệ S = {v1 , , v k } không gian V Chọn sở B V Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở khơng gian Tọa độ Đổi sở Bài tốn đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.82 Không gian vector Mai Phuong, Vuong Hạng hệ vector Cách tính hạng Khơng gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.82 Hệ S = {v1 , , v k } không gian V Chọn sở B V Tính tọa độ vector v i ∈ S B Không gian vector Mai Phuong, Vuong Hạng hệ vector Cách tính hạng Khơng gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Hệ S = {v1 , , v k } không gian V Chọn sở B V Tính tọa độ vector v i ∈ S B Lập ma trận A có cột (hàng) vector tọa độ Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.82 Không gian vector Mai Phuong, Vuong Hạng hệ vector Cách tính hạng Khơng gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.82 Hệ S = {v1 , , v k } không gian V Chọn sở B V Tính tọa độ vector v i ∈ S B Lập ma trận A có cột (hàng) vector tọa độ Tìm rank (A) từ suy r(S) Không gian vector Mai Phuong, Vuong Không gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Hạng hệ vector Ví dụ Hệ S gồm vector: v1 = (2, −1, 1); v = (1, −2, −4) v3 = (−7, 8, 10); v = (4, −5, −7) Tìm r (S ) Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.83 Không gian vector Mai Phuong, Vuong Hạng hệ vector Ví dụ Không gian vector Khái niệm p1 = −2 − x + x Ví dụ Khơng gian vector p2 = − 2x − 4x Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh p3 = −7 + 8x + 10x Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính p4 = − 5x − 7x Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ P [x ] Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.84 Không gian vector Mai Phuong, Vuong Không gian vector Hạng hệ vector Ví dụ Khái niệm A1 = ; A2 = −1 A3 = ; A4 = −3 Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.85 ... Không gian P đa thức hệ số thực không gian vô hạn chiều Không gian vector Mai Phuong, Vuong Không gian vector Số chiều không gian Định lý Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến. .. tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.50 Không gian vector Mai Phuong, Vuong Không gian vector Không gian hữu hạn chiều Không. .. Không gian vector Mai Phuong, Vuong Không gian vector Không gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số