Đại số tuyến tính. Chương 4: Ánh xạ tuyến tính116

Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Chương Ánh xạ tuyến tính Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu Học phần: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT Mai Phuong, Vuong 4.1 Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Mục lục Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.2 Ma trận axtt Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Cho V , W hai KGVT trường K (ví dụ trường số R) Ánh xạ f : V → W gọi ánh xạ tuyến tính nếu: f (u + v ) = f (u ) + f (v ) ∀u , v ∈ V f (kv ) = kf (v ) ∀k ∈ K , v ∈ V Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.3 Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Ánh xạ tuyến tính Ký hiệu Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.4 • V: khơng gian nguồn • W: khơng gian đích • Nếu V = W f gọi phép biến đổi tuyến tính Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Ánh xạ tuyến tính Ví dụ Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ánh xạ đồng f : V → V : f (v ) = v ∀v ∈ V Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.5 Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Ánh xạ tuyến tính Ví dụ Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.5 Ánh xạ đồng f : V → V : f (v ) = v Ánh xạ không f : V → W : f (v ) = ∀v ∈ V ∀v ∈ V Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Ánh xạ tuyến tính Ví dụ Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Ánh xạ đồng f : V → V : f (v ) = v ∀v ∈ V Ánh xạ không f : V → W : f (v ) = ∀v ∈ V Phép chiếu f : R2 → R2 : f (x , y ) = (x, 0) Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.5 Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Ánh xạ tuyến tính Ví dụ Ma trận axtt Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.6 f : R2 → R2 f (x , y ) = (x + 1, y ) khơng axtt Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Ánh xạ tuyến tính Ví dụ Ma trận axtt Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính f : R2 → R2 f (x , y ) = (x + 1, y ) không axtt f : R2 → R f (x , y ) = x + khơng axtt Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.6 Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Ánh xạ tuyến tính Ví dụ Ma trận axtt Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.6 f : R2 → R2 f (x , y ) = (x + 1, y ) khơng axtt f : R2 → R f (x , y ) = x + không axtt f : R → R f (x ) = sin x khơng axtt Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Ánh xạ tuyến tính Tính chất Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh f (0 V ) = W Ma trận axtt Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.7 Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Ánh xạ tuyến tính Tính chất Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.7 f (0 V ) = W f (a1 v1 + a v2 ) = a1 f (v1 ) + a2 f (v2 ) Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Ánh xạ tuyến tính Tính chất Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT f (0 V ) = W f (a1 v1 + a v2 ) = a1 f (v1 ) + a2 f (v2 ) f (a1 v1 + a v2 + + an ) = a1 f (v1 ) + a2 f (v2 ) + + anf (v n ) Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.7 Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Xây dựng AXTT Ví dụ Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Tìm axtt f : R2 → R3 cho: Hạt nhân ảnh Ma trận axtt f Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.8 e1 = (1, 0) → s1 = (1, 1, 2) f e2 = (0, 1) → s2 = (0, 1, 2) Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Ánh xạ tuyến tính Định lý Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Cho axtt f , g : V → W Khi đó, ánh xạ ϕ, φ : V → W xác định bởi: ϕ(x ) = (f + g)(x ) = f (x ) + g (x ) ∀x ∈ V φ(x ) = (k f )(x ) = k f (x ) ∀k ∈ R, ∀x ∈ V ánh xạ tuyến tính Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.9 Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.10 Ánh xạ tuyến tính Định lý Cho axtt f : V → W , g : W → U Khi ánh xạ h = g ◦ f axtt Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Định nghĩa Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ma trận axtt • Đơn ánh + Tuyến tính = Đơn cấu • Tồn ánh + Tuyến tính = Tồn cấu • Song ánh + Tuyến tính = Đẳng cấu Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.11 Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu Định nghĩa Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ma trận axtt • Đơn ánh + Tuyến tính = Đơn cấu • Tồn ánh + Tuyến tính = Tồn cấu • Song ánh + Tuyến tính = Đẳng cấu Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.11 Định nghĩa Hai không gian vector gọi đẳng cấu tồn đẳng cấu chúng Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Ví dụ Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu f : P [x ] → R : f (a + bx ) = (a, b ) Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.12 Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Ví dụ Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu f : P [x ] → R : f (a + bx ) = (a, b ) f : M2×2 → R4 : f Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.12 a b c d = (a, b , c , d ) Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Phương trình đặc trưng Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu A[v ]B = λ[v ]B Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.49 Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Phương trình đặc trưng Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu A[v ]B = λ[v ]B Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.49 ⇓ (A − λI )[v ] B = θ Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Đa thức đặc trưng Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh det (A − λI ) Ma trận axtt Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.50 Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Đa thức đặc trưng Nhận xét Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.51 • Bậc đa thức đặc trưng n (số chiều KGVT làm việc) • Nghiệm đa thức đặc trưng giá trị riêng phép BĐTT Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Đa thức đặc trưng Định lý Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Đa thức đặc trưng phép BĐTT f không phụ thuộc vào cách chọn sở Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.52 Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Đa thức đặc trưng Định lý Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Đa thức đặc trưng phép BĐTT f không phụ thuộc vào cách chọn sở Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.52 Nhận xét Hai ma trận đồng dạng có đa thức đặc trưng Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Khái niệm Tìm trị riêng, vector riêng phép BĐTT Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu Chọn sở E V Lập ma trận A f E Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.53 Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Khái niệm Tìm trị riêng, vector riêng phép BĐTT Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.53 Chọn sở E V Lập ma trận A f E Xác định đa thức đặc trưng det (A − λI ) Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Khái niệm Tìm trị riêng, vector riêng phép BĐTT Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Chọn sở E V Lập ma trận A f E Xác định đa thức đặc trưng det (A − λI ) Giải phương trình det (A − λI ) = Tất nghiệm λ , , λk trị riêng f Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.53 Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Khái niệm Tìm trị riêng, vector riêng phép BĐTT Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.53 Chọn sở E V Lập ma trận A f E Xác định đa thức đặc trưng det (A − λI ) Giải phương trình det (A − λI ) = Tất nghiệm λ , , λk trị riêng f Với λi , giải phương trình (A − λi I ).X = θ Nghiệm X = θ vector tọa độ theo sở E vector riêng bđtt ứng với λi Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Khái niệm Tìm trị riêng, vector riêng phép BĐTT Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT Chọn sở E V Lập ma trận A f E Xác định đa thức đặc trưng det (A − λI ) Giải phương trình det (A − λI ) = Tất nghiệm λ , , λk trị riêng f Với λi , giải phương trình (A − λi I ).X = θ Nghiệm X = θ vector tọa độ theo sở E vector riêng bđtt ứng với λi Tính vector riêng từ vector tọa độ bước 4.53 Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Trị riêng vector riêng phép BĐTT Ví dụ Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ma trận axtt f (x , y ) = (x + y , 2y ) Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.54 f : P [x ] → P2 [x ] : f (p(x )) = p(x + 1) − p(x ) Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.55 Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.56 Bài tốn chéo hóa Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Bài tốn chéo hóa Chéo hóa phép BĐTT Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ma trận axtt ⇓ Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.57 Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Bài tốn chéo hóa Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.58 • Điều kiện để chéo hóa phép BĐTT? • Cơ sở để phép BĐTT có dạng chéo? Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Điều kiện chéo hóa phép BĐTT Định lý Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Cho phép BĐTT f không gian n chiều V Điều kiện cần đủ để tồn sở B V cho ma trận f B có dạng đường chéo là: f có đủ n vector riêng độc lập tuyến tính Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.59 Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Chéo hóa ma trận Ví dụ Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.60 7 a = T 0 b 0 0 c 0 0 d T −1 Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Chéo hóa ma trận Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT • Điều kiện để A chéo hóa được? • Tìm ma trận T làm chéo hóa A? • Có ma trận T làm chéo A? Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.61 Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Chéo hóa ma trận Định lý Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.62 Điều kiện cần đủ để ma trận chéo hóa ma trận có đủ n vec tơ riêng độc lập tuyến tính Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Chéo hóa ma trận Định lý Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Điều kiện cần đủ để ma trận chéo hóa ma trận có đủ n vec tơ riêng độc lập tuyến tính Ma trận axtt Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Hệ Nếu ma trận A (cấp n) có n trị riêng phân biệt chéo hóa Chéo hóa phép BĐTT 4.62 Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Các bước chéo hóa ma trận Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.63 Giải pt det (A − λI ) = 0, tìm k nghiệm phân biệt λ , λ2 , , λk Giải hệ phương trình tuyến tính (A − λi I )x = θ để tìm vector riêng ĐLTT u1 , , un Nếu khơng đủ n vector riêng ĐLTT A khơng chéo hóa Lập ma trận T có cột u1 , , u n T ma trận làm chéo A Lập ma trận chéo D từ giá trị riêng Lưu ý thứ tự giá trị riêng phải tương ứng với cột T Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Chéo hóa ma trận Ví dụ Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ma trận axtt A= Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng 2 Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.64 Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Chéo hóa ma trận Ví dụ Khái niệm 3 A = −3 −5 −3 3 Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.65 Phương trình đặc trưng có nghiệm phân biệt: λ1 = 1; λ = −2 Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Chéo hóa ma trận Ví dụ Tìm sở để ma trận phép biến đổi tuyến tính sau P1 [x ] có dạng chéo f (ax + b) = (8a + 2b)x + (2a + 5b ) Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.66 Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Thuật tốn chéo hóa phép BĐTT Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.67 Chọn sở E, lập ma trận A f E Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Thuật tốn chéo hóa phép BĐTT Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ma trận axtt Chọn sở E, lập ma trận A f E Chéo hóa A, thu ma trận chéo D ma trận làm chéo T Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.67 Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Thuật tốn chéo hóa phép BĐTT Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.67 Chọn sở E, lập ma trận A f E Chéo hóa A, thu ma trận chéo D ma trận làm chéo T D ma trận có dạng đường chéo phép BĐTT f Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Chéo hóa phép BĐTT Ví dụ Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Ma trận axtt f : R → R2 Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT f (x , y ) = (y , −2x + 3y ) có chéo hóa khơng? Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.68 Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Cơ sở để ma trận phép BĐTT có dạng chéo Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ma trận axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng Trị riêng vector riêng phép BĐTT Trị riêng vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT 4.69 Chọn sở E Lập ma trận A f theo E Tìm vector riêng độc lập tuyến tính A Giả sử u 1, , u n Cơ sở cần tìm S = {s , , sn }, [si ]E = ui ... hóa phép BĐTT 4.5 Ánh xạ đồng f : V → V : f (v ) = v Ánh xạ không f : V → W : f (v ) = ∀v ∈ V ∀v ∈ V Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Ánh xạ tuyến tính Ví dụ Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu,... gọi phép biến đổi tuyến tính Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Ánh xạ tuyến tính Ví dụ Khái niệm Ánh xạ tuyến tính Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Hạt nhân ảnh Ma trận axtt Ánh xạ đồng f : V → V... BĐTT 4.10 Ánh xạ tuyến tính Định lý Cho axtt f : V → W , g : W → U Khi ánh xạ h = g ◦ f axtt Ánh xạ tuyến tính Mai Phuong, Vuong Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Định nghĩa Khái niệm Ánh xạ tuyến tính