ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tài liệu ơn thi cao học năm 2005 Phiên chỉnh sửa PGS TS Mỵ Vinh Quang Ngày 10 tháng 11 năm 2004 Bài : Giải Bài Tập Định Thức Tính α β γ β γ α γ α β α, β, γ nghiệm phương trình :x3 + px + q = Giải : Theo định lí Viet ta có α + β + γ = Cộng cột (1), cột (2) vào cột (3) ta có: α β γ β γ α γ α β = α β α+β+γ β γ α+β+γ γ α α+β+γ Giải phương trình 1 1 x x2 x3 27 16 64 Giải : DeThiMau.vn = α β β γ γ α =0 Khai triển định thức vế trái theo dịng đầu, ta có vế trái đa thức bậc x, kí hiệu f (x) Ta có f (2) = định thức vế trái có dịng đầu Tương tự f (3) = 0, f (4) = Vì f (x) đa thức bậc 3, có nghiệm 2, 3, nên phương trình có nghiệm 2, 3, Chứng minh a1 + b b + c c + a1 a + b b + c c + a2 a3 + b b + c c + a3 =0 Giải : Nhân cột (2) với (-1), cột (3) với cộng vào cột (1), ta có: VT = (1) = 2a1 b1 + c1 c1 + a1 2a2 b2 + c2 c2 + a2 2a3 b3 + c3 c3 + a3 a1 b + c c a2 b + c c a3 b + c c a1 b + c = a2 b + c a3 b + c a1 b (2) = a2 b a3 b c + a1 c + a2 c + a3 c1 c2 c3 Giải thích: (1) : nhân cột (1) với (-1) cộng vào cột (3) (2) : nhân cột (3) với (-1) cộng vào cột (2) Chứng minh a2 b2 c2 d2 (a + 1)2 (b + 1)2 (c + 1)2 (d + 1)2 (a + 2)2 (b + 2)2 (c + 2)2 (d + 2)2 (a + 3)2 (b + 3)2 (c + 3)2 (d + 3)2 =0 Giải : a2 (1) b2 VT = c2 d2 (a + 1)2 (b + 1)2 (c + 1)2 (d + 1)2 2a + 2b + 2c + 2d + 6a + 6b + (2) =0 6c + 6d + Giải thích: (1) : Nhân cột (1) với (-1) cộng vào cột (4), nhân cột (2) với (-1) cộng vào cột (3) (2) : Định thức có cột tỷ lệ DeThiMau.vn Tính định thức + a1 a2 a3 a1 + a2 a3 a1 a2 + a3 a1 a2 a3 an an an + an Giải : + a1 + + an a2 a3 + a1 + + an + a a3 (1) + a + + a a + a3 n VT = + a1 + an a2 a3 an an an + an + a1 + + an a2 a3 an (2) 0 = + a1 + + an = 0 Giải thích: (1): Cộng cột (2), (3), , (n) vào cột (1) (2): Nhân dòng (1) với (-1) cộng vào dòng (2), (3), , (n) Tính định thức 1 x x x x x x Giải : Với x = n−1 1 x −x 0 −x 0 −x 1 1 −x (1) (2) V T = −x = 0 −x DeThiMau.vn n−1 (−x)n−1 = (−1)n−1 (n − 1)xn−2 (n ≥ 2) x Giải thích: (1): Nhân dịng (1) với (-x) cộng vào dòng (2), (3), , (n) (2): Nhân cột (2), (3), , (n) với cộng tất vào cột (1) x Dễ thấy x = 0, đáp số tính liên tục định thức = Tính định thức Dn = 0 0 0 0 0 0 0 Giải : Khai triển định thức theo dịng đầu ta có : 0 Dn = 5Dn−1 − 0 0 0 0 Tiếp tục khai triển định thức theo cột (1) ta có cơng thức truy hồi : Dn = 5Dn−1 − 6Dn−2 (*) (n ≥ 3) Từ (*) ta có : Dn − 2Dn−1 = 3(Dn−1 − 2Dn−2 ) Do công thức với n ≥ nên ta có: Dn −2Dn−1 = 3(Dn−1 −2Dn−2 ) = 32 (Dn−2 −2Dn−3 ) = = 3n−2 (D2 −2D1 ) Tính tốn trực tiếp ta có D2 = 19, D1 = nên D2 − 2D1 = Bởi ta có: Dn − 2Dn−1 = 3n (1) Mặt khác, từ cơng thức (*) ta có: Dn − 3Dn−1 = 2(Dn−1 − 3Dn−2 ) DeThiMau.vn Tương tự ta có: Dn −3Dn−1 = 2(Dn−1 −3Dn−2 ) = 22 (Dn−2 −3Dn−3 ) = = 2n−2 (D2 −3D1 ) = 2n Vậy ta có: Dn − 3Dn−1 = 2n (2) Khử Dn−1 từ (1) (2) ta có: Dn = 3n+1 − 2n+1 (Bạn đọc so sánh cách giải với cách giải ví dụ 4) Tính định thức D= a1 x x a2 x x x x an Giải : Định thức tính phương pháp biểu diễn định thức thành tổng định thức Trước hết ta viết định thức dạng: D= a1 − x + x 0+x 0+x 0+x a2 − x + x 0+x 0+x 0+x an − x + x (1) (2) (1) (2) (1) (2) Lần lượt tách cột định thức, sau n lần tách ta có định thức D tổng 2n định thức cấp n Cột thứ i định thức cột loại (1) loại (2) cột thứ i định thức ban đầu D Chia 2n định thức thành dạng sau: Dạng 1: Bao gồm định thức có từ cột loại (2) trở lên Vì cột loại (2) nên tất định thức dạng Dạng 2: Bao gồm định thức có cột loại (2), cịn cột khác loại (1) DeThiMau.vn Giả sử cột i loại (2) Ta có định thức là: Di = a1 − x 0 a2 − x 0 x x x an − x ↑ cộti n (ak − x) x (1) = x(a1 − x) (ai−1 − x)(ai+1 − x) (an − x) = k=1 − x ((1) khai triển định thức theo cột i) Có tất n định thức dạng (ứng với i = 1, 2, , n) tổng tất định thức dạng là: 1 + + a1 − x an − x x(a1 − x) (an − x) Dạng 3: Bao gồm định thức khơng có cột loại (2), nên tất cột loại (1) Và có định thức dạng (3) là: a1 − x 0 a2 − x 0 0 = (a1 − x) (an − x) an − x Vậy D tổng tất định thức dạng bằng: x(a1 − x) (an − x) 1 + + + x a1 − x an − x Tính a1 + b a1 + b a2 + b a + b an + b a n + b a + bn a + bn an + bn Giải : DeThiMau.vn =0 Định thức tính phương pháp biểu diễn định thức thành tổng định thức với cách giải tương tự Chi tiết cách giải xin dành cho bạn đọc Ở chúng tơi đưa cách tính nửa dựa vào phương pháp biểu diễn định thức thành tích định thức Với n ≥ ta có: 1 a1 a1 + b1 a1 + b2 a1 + bn a2 + b1 a2 + b2 a2 + bn a2 b1 b2 bn a3 0 A= = an + b1 an + b3 an + bn 0 an B C Bởi vậy, ta có: n > (a1 − a2 )(b2 − a1 ) n = D = detA = det(BC) = detB.detC = 10 Tính cos(α1 − β1 ) cos(α1 − β2 ) cos(α2 − β1 ) cos(α2 − β2 ) cos(αn − β1 ) cos(αn − β2 ) cos(α1 − βn ) cos(α2 − βn ) cos(αn − βn ) Để tính định thức ta dùng phương pháp biểu diễn định thức thành tích định thức Với n ≥ ta có: cos(α1 − β1 ) cos(α1 − β2 ) cos(α1 − βn ) cos(α2 − β1 ) cos(α2 − β2 ) cos(α2 − βn ) A= cos(αn − β1 ) cos(αn − β2 ) cos(αn − βn ) cos β1 cos β2 cos βn cos α1 sin α1 cos α2 sin α2 sin β1 sin β2 sin βn = cos α3 sin α3 cos αn sin αn B 0 C Bởi ta có: D = detA = det(BC) = detB.detC = DeThiMau.vn n > sin(α2 − α1 ) sin(β2 − α1 ) n = 11 Tính định thức cấp 2n a D2n = 0 0 a 0 0 0 a 0 b a b b a b a b b (1) (2) 0 0 0 0 (n − 1) (n) (n + 1) (n + 2) b 0 0 a b 0 0 a (2n − 1) (2n) 2n×2n Giải : Xét a = b cộng vào dòng (2n) a b - Nhân dòng (2) với − cộng vào dòng (2n-1) a b - Nhân dòng (n) với − cộng vào dòng (n+1) a Ta có : - Nhân dịng (1) với − a 0 0 a D2n = 0 0 0 0 b a − b2 0 a b 0 0 b b b 0 0 a −b a 0 a 0 a 0 0 0 0 0 0 a − b2 a = (a2 −b2 )n a − b2 a Khi a = 0, tính liên tục định thức cơng thức Vậy ta có: D2n = (a2 − b2 )n DeThiMau.vn Chú ý : Khai triển định thức theo dịng (1), sau khai triển định thức cấp (2n − 1) vừa nhận theo dòng (2n − 1) Ta có cơng thức truy hồi: D2n = (a2 − b2 )D2(n−1) Do công thức với n ≥ nên : D2n = (a2 −b2 )D2(n−1) = (a2 −b2 )2 D2(n−2) = = (a2 −b2 )n−1 D2 = (a2 −b2 )n (Chi tiết cách làm xin dành cho bạn đọc) 12 Tính định thức cấp 2n D2n = a1 0 a2 b1 0 b2 0 an 0 d1 c1 d2 c2 0 0 cn bn dn Xét a1 , a2 , , an khác : c1 - Nhân dòng (1) với − cộng vào dòng (n + 1) a1 c2 - Nhân dòng (2) với − cộng vào dòng (n + 2) a2 cn - Nhân dòng (n) với − cộng vào dòng (2n) an DeThiMau.vn (1) (2) (n) (n + 1) (n + 2) (2n) Ta có : a1 0 a2 b1 0 b2 bn 0 0 an a1 d1 − b1 c1 0 a1 0 D2n = 0 a2 d2 − b2 c2 a2 0 an dn − bn cn an n = (a1 d1 − b1 c1 ) (an dn − bn cn ) = (ai di − bi ci ) i=1 Khi a1 , a2 , , an 0, tính liên tục định thức công thức Vậy ta có : n D2n = (ai di − bi ci ) i=1 Chú ý : Khai triển định thức theo dịng thứ n, sau khai triển định thức cấp 2n − vừa nhận theo dịng (2n − 1) ta có cơng thức truy hồi: D2n = (an dn − bn cn )D2(n−1) ∀n ≥ Do đó, ta có: D2n = (an dn − bn cn )D2(n−1) = (an dn − bn cn )(an−1 dn−1 − bn−1 cn−1 )D2(n−2) = = (an dn − bn cn ) (a2 d2 − b2 c2 )D1 n = (ai di − bi ci ) i=1 (Chi tiết cách xin dành cho bạn đọc) 1 Người đánh máy : Nguyễn Ngọc Quyên 10 DeThiMau.vn ... sánh cách giải với cách giải ví dụ 4) Tính định thức D= a1 x x a2 x x x x an Giải : Định thức tính phương pháp biểu diễn định thức thành tổng định thức Trước hết ta viết định thức dạng:... an + bn Giải : DeThiMau.vn =0 Định thức tính phương pháp biểu diễn định thức thành tổng định thức với cách giải tương tự Chi tiết cách giải xin dành cho bạn đọc Ở đưa cách tính nửa dựa vào... định thức, sau n lần tách ta có định thức D tổng 2n định thức cấp n Cột thứ i định thức cột loại (1) loại (2) cột thứ i định thức ban đầu D Chia 2n định thức thành dạng sau: Dạng 1: Bao gồm định