Đại số tuyến tính Bài 3: Giải bài tập định thức47283

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tài liệu ơn thi cao học năm 2005 Phiên chỉnh sửa PGS TS Mỵ Vinh Quang Ngày 10 tháng 11 năm 2004 Bài : Giải Bài Tập Định Thức Tính α β γ β γ α γ α β α, β, γ nghiệm phương trình :x3 + px + q = Giải : Theo định lí Viet ta có α + β + γ = Cộng cột (1), cột (2) vào cột (3) ta có: α β γ β γ α γ α β = α β α+β+γ β γ α+β+γ γ α α+β+γ Giải phương trình 1 1 x x2 x3 27 16 64 Giải : DeThiMau.vn = α β β γ γ α =0 Khai triển định thức vế trái theo dịng đầu, ta có vế trái đa thức bậc x, kí hiệu f (x) Ta có f (2) = định thức vế trái có dịng đầu Tương tự f (3) = 0, f (4) = Vì f (x) đa thức bậc 3, có nghiệm 2, 3, nên phương trình có nghiệm 2, 3, Chứng minh a1 + b b + c c + a1 a + b b + c c + a2 a3 + b b + c c + a3 =0 Giải : Nhân cột (2) với (-1), cột (3) với cộng vào cột (1), ta có: VT = (1) = 2a1 b1 + c1 c1 + a1 2a2 b2 + c2 c2 + a2 2a3 b3 + c3 c3 + a3 a1 b + c c a2 b + c c a3 b + c c a1 b + c = a2 b + c a3 b + c a1 b (2) = a2 b a3 b c + a1 c + a2 c + a3 c1 c2 c3 Giải thích: (1) : nhân cột (1) với (-1) cộng vào cột (3) (2) : nhân cột (3) với (-1) cộng vào cột (2) Chứng minh a2 b2 c2 d2 (a + 1)2 (b + 1)2 (c + 1)2 (d + 1)2 (a + 2)2 (b + 2)2 (c + 2)2 (d + 2)2 (a + 3)2 (b + 3)2 (c + 3)2 (d + 3)2 =0 Giải : a2 (1) b2 VT = c2 d2 (a + 1)2 (b + 1)2 (c + 1)2 (d + 1)2 2a + 2b + 2c + 2d + 6a + 6b + (2) =0 6c + 6d + Giải thích: (1) : Nhân cột (1) với (-1) cộng vào cột (4), nhân cột (2) với (-1) cộng vào cột (3) (2) : Định thức có cột tỷ lệ DeThiMau.vn Tính định thức + a1 a2 a3 a1 + a2 a3 a1 a2 + a3 a1 a2 a3 an an an + an Giải : + a1 + + an a2 a3 + a1 + + an + a a3 (1) + a + + a a + a3 n VT = + a1 + an a2 a3 an an an + an + a1 + + an a2 a3 an (2) 0 = + a1 + + an = 0 Giải thích: (1): Cộng cột (2), (3), , (n) vào cột (1) (2): Nhân dòng (1) với (-1) cộng vào dòng (2), (3), , (n) Tính định thức 1 x x x x x x Giải : Với x = n−1 1 x −x 0 −x 0 −x 1 1 −x (1) (2) V T = −x = 0 −x DeThiMau.vn n−1 (−x)n−1 = (−1)n−1 (n − 1)xn−2 (n ≥ 2) x Giải thích: (1): Nhân dịng (1) với (-x) cộng vào dòng (2), (3), , (n) (2): Nhân cột (2), (3), , (n) với cộng tất vào cột (1) x Dễ thấy x = 0, đáp số tính liên tục định thức = Tính định thức Dn = 0 0 0 0 0 0 0 Giải : Khai triển định thức theo dịng đầu ta có : 0 Dn = 5Dn−1 − 0 0 0 0 Tiếp tục khai triển định thức theo cột (1) ta có cơng thức truy hồi : Dn = 5Dn−1 − 6Dn−2 (*) (n ≥ 3) Từ (*) ta có : Dn − 2Dn−1 = 3(Dn−1 − 2Dn−2 ) Do công thức với n ≥ nên ta có: Dn −2Dn−1 = 3(Dn−1 −2Dn−2 ) = 32 (Dn−2 −2Dn−3 ) = = 3n−2 (D2 −2D1 ) Tính tốn trực tiếp ta có D2 = 19, D1 = nên D2 − 2D1 = Bởi ta có: Dn − 2Dn−1 = 3n (1) Mặt khác, từ cơng thức (*) ta có: Dn − 3Dn−1 = 2(Dn−1 − 3Dn−2 ) DeThiMau.vn Tương tự ta có: Dn −3Dn−1 = 2(Dn−1 −3Dn−2 ) = 22 (Dn−2 −3Dn−3 ) = = 2n−2 (D2 −3D1 ) = 2n Vậy ta có: Dn − 3Dn−1 = 2n (2) Khử Dn−1 từ (1) (2) ta có: Dn = 3n+1 − 2n+1 (Bạn đọc so sánh cách giải với cách giải ví dụ 4) Tính định thức D= a1 x x a2 x x x x an Giải : Định thức tính phương pháp biểu diễn định thức thành tổng định thức Trước hết ta viết định thức dạng: D= a1 − x + x 0+x 0+x 0+x a2 − x + x 0+x 0+x 0+x an − x + x (1) (2) (1) (2) (1) (2) Lần lượt tách cột định thức, sau n lần tách ta có định thức D tổng 2n định thức cấp n Cột thứ i định thức cột loại (1) loại (2) cột thứ i định thức ban đầu D Chia 2n định thức thành dạng sau: Dạng 1: Bao gồm định thức có từ cột loại (2) trở lên Vì cột loại (2) nên tất định thức dạng Dạng 2: Bao gồm định thức có cột loại (2), cịn cột khác loại (1) DeThiMau.vn Giả sử cột i loại (2) Ta có định thức là: Di = a1 − x 0 a2 − x 0 x x x an − x ↑ cộti n (ak − x) x (1) = x(a1 − x) (ai−1 − x)(ai+1 − x) (an − x) = k=1 − x ((1) khai triển định thức theo cột i) Có tất n định thức dạng (ứng với i = 1, 2, , n) tổng tất định thức dạng là: 1 + + a1 − x an − x x(a1 − x) (an − x) Dạng 3: Bao gồm định thức khơng có cột loại (2), nên tất cột loại (1) Và có định thức dạng (3) là: a1 − x 0 a2 − x 0 0 = (a1 − x) (an − x) an − x Vậy D tổng tất định thức dạng bằng: x(a1 − x) (an − x) 1 + + + x a1 − x an − x Tính a1 + b a1 + b a2 + b a + b an + b a n + b a + bn a + bn an + bn Giải : DeThiMau.vn =0 Định thức tính phương pháp biểu diễn định thức thành tổng định thức với cách giải tương tự Chi tiết cách giải xin dành cho bạn đọc Ở chúng tơi đưa cách tính nửa dựa vào phương pháp biểu diễn định thức thành tích định thức Với n ≥ ta có:      1 a1 a1 + b1 a1 + b2 a1 + bn     a2 + b1 a2 + b2 a2 + bn   a2   b1 b2 bn    a3   0   A= =            an + b1 an + b3 an + bn 0 an B C Bởi vậy, ta có: n > (a1 − a2 )(b2 − a1 ) n = D = detA = det(BC) = detB.detC = 10 Tính cos(α1 − β1 ) cos(α1 − β2 ) cos(α2 − β1 ) cos(α2 − β2 ) cos(αn − β1 ) cos(αn − β2 ) cos(α1 − βn ) cos(α2 − βn ) cos(αn − βn ) Để tính định thức ta dùng phương pháp biểu diễn định thức thành tích định thức Với n ≥ ta có:   cos(α1 − β1 ) cos(α1 − β2 ) cos(α1 − βn )  cos(α2 − β1 ) cos(α2 − β2 ) cos(α2 − βn )    A=    cos(αn − β1 ) cos(αn − β2 ) cos(αn − βn )    cos β1 cos β2 cos βn cos α1 sin α1  cos α2 sin α2   sin β1 sin β2 sin βn        =  cos α3 sin α3           cos αn sin αn B 0 C Bởi ta có: D = detA = det(BC) = detB.detC = DeThiMau.vn n > sin(α2 − α1 ) sin(β2 − α1 ) n = 11 Tính định thức cấp 2n a D2n = 0 0 a 0 0 0 a 0 b a b b a b a b b (1) (2) 0 0 0 0 (n − 1) (n) (n + 1) (n + 2) b 0 0 a b 0 0 a (2n − 1) (2n) 2n×2n Giải : Xét a = b cộng vào dòng (2n) a b - Nhân dòng (2) với − cộng vào dòng (2n-1) a b - Nhân dòng (n) với − cộng vào dòng (n+1) a Ta có : - Nhân dịng (1) với − a 0 0 a D2n = 0 0 0 0 b a − b2 0 a b 0 0 b b b 0 0 a −b a 0 a 0 a 0 0 0 0 0 0 a − b2 a = (a2 −b2 )n a − b2 a Khi a = 0, tính liên tục định thức cơng thức Vậy ta có: D2n = (a2 − b2 )n DeThiMau.vn Chú ý : Khai triển định thức theo dịng (1), sau khai triển định thức cấp (2n − 1) vừa nhận theo dòng (2n − 1) Ta có cơng thức truy hồi: D2n = (a2 − b2 )D2(n−1) Do công thức với n ≥ nên : D2n = (a2 −b2 )D2(n−1) = (a2 −b2 )2 D2(n−2) = = (a2 −b2 )n−1 D2 = (a2 −b2 )n (Chi tiết cách làm xin dành cho bạn đọc) 12 Tính định thức cấp 2n D2n = a1 0 a2 b1 0 b2 0 an 0 d1 c1 d2 c2 0 0 cn bn dn Xét a1 , a2 , , an khác : c1 - Nhân dòng (1) với − cộng vào dòng (n + 1) a1 c2 - Nhân dòng (2) với − cộng vào dòng (n + 2) a2 cn - Nhân dòng (n) với − cộng vào dòng (2n) an DeThiMau.vn (1) (2) (n) (n + 1) (n + 2) (2n) Ta có : a1 0 a2 b1 0 b2 bn 0 0 an a1 d1 − b1 c1 0 a1 0 D2n = 0 a2 d2 − b2 c2 a2 0 an dn − bn cn an n = (a1 d1 − b1 c1 ) (an dn − bn cn ) = (ai di − bi ci ) i=1 Khi a1 , a2 , , an 0, tính liên tục định thức công thức Vậy ta có : n D2n = (ai di − bi ci ) i=1 Chú ý : Khai triển định thức theo dịng thứ n, sau khai triển định thức cấp 2n − vừa nhận theo dịng (2n − 1) ta có cơng thức truy hồi: D2n = (an dn − bn cn )D2(n−1) ∀n ≥ Do đó, ta có: D2n = (an dn − bn cn )D2(n−1) = (an dn − bn cn )(an−1 dn−1 − bn−1 cn−1 )D2(n−2) = = (an dn − bn cn ) (a2 d2 − b2 c2 )D1 n = (ai di − bi ci ) i=1 (Chi tiết cách xin dành cho bạn đọc) 1 Người đánh máy : Nguyễn Ngọc Quyên 10 DeThiMau.vn ... sánh cách giải với cách giải ví dụ 4) Tính định thức D= a1 x x a2 x x x x an Giải : Định thức tính phương pháp biểu diễn định thức thành tổng định thức Trước hết ta viết định thức dạng:... an + bn Giải : DeThiMau.vn =0 Định thức tính phương pháp biểu diễn định thức thành tổng định thức với cách giải tương tự Chi tiết cách giải xin dành cho bạn đọc Ở đưa cách tính nửa dựa vào... định thức, sau n lần tách ta có định thức D tổng 2n định thức cấp n Cột thứ i định thức cột loại (1) loại (2) cột thứ i định thức ban đầu D Chia 2n định thức thành dạng sau: Dạng 1: Bao gồm định