Giáo án hình học 12 chuyên đề 6 bài 3 mặt cầu, khối cầu

CHUYÊN ĐỀ MẶT NÓN, MẶT CẦU, MẶT TRỤ BÀI 3: MẶT CẦU – KHỐI CẦU Mục tiêu  Kiến thức + Nắm trường hợp giao mặt cầu với mặt phẳng, giao mặt cầu với đường thẳng, vị trí điểm với mặt cầu + Nắm vững cơng thức tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu  Kĩ + Biết vẽ hình tốn cụ thể + Biết tính bán kính, diện tích mặt cầu thể tích khối cầu + Giải toán liên quan đến khối cầu toán tương giao với đường thẳng hay mặt phẳng, toán cực trị, tốn thực tế TOANMATH.com Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa Ta thường vẽ hay biểu diễn mặt cầu - Tập hợp điểm không gian cách điểm O cố định hay khối cầu hình sau: khoảng R khơng đổi gọi mặt cầu tâm O, bán kính R, kí hiệu là: S  O; R  Khi S  O; R   M OM  R - Khối cầu hay hình cầu S  O; R  tập hợp tất điểm M cho OM  R Vị trí tương đối mặt cầu điểm Cho mặt cầu S  O; R  điểm A Nếu: +) OA  R điểm A nằm mặt cầu S  O; R  +) OA  R ta nói điểm A nằm mặt cầu S  O; R  +) OA  R ta nói điểm A nằm mặt cầu S  O; R  Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng Cho mặt cầu S  I ; R  đường thẳng  Gọi H hình chiếu I lên  hay d  I ;    IH Nếu: +) IH  R :  không cắt mặt cầu hay mặt cầu S  I ; R  đường thẳng  khơng có điểm chung +) IH  R  với mặt cầu S  I ; R  có điểm chung H Ta nói  tiếp tuyến mặt cầu S  I ; R  H tiếp điểm +) IH  R :  cắt mặt cầu S  I ; R  hai điểm phân biệt Nhận xét: +) IAB cân I, điểm H trung điểm AB  AB  R  IH  AH  IH      Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng TOANMATH.com Trang Cho mặt cầu S  I ; R  mặt phẳng  P  Gọi H hình chiếu vng góc I lên P hay d  I ;  P    IH Nếu: +) IH  R : Mặt cầu S  I ; R  mặt phẳng  P  khơng có điểm chung +) Nếu IH  R : Mặt phẳng  P  tiếp xúc mặt cầu S  I ; R  Lúc ta nói mặt phẳng  P  mặt phẳng tiếp diện mặt cầu H tiếp điểm Lưu ý: IH   P  +) Nếu IH  R : Mặt phẳng P cắt mặt cầu theo thiết diện đường trịn có tâm I   I   H  bán kính r  R  IH  R  I I Nhận xét: Đường trịn giao tuyến có diện tích lớn mặt phẳng  P  qua tâm I mặt cầu S  I ; R  Đường tròn ta gọi đường trịn lớn Cơng thức cần nhớ Cho mặt cầu S  I ; R  - Diện tích mặt cầu S  4 R - Thể tích khối cầu V   R SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA MẶT CẦU Tập hợp điểm không gian cách điểm O cố định khoảng R không đổi gọi mặt cầu tâm O, bán kính R Kí hiệu: S  O; R   M OM  R TOANMATH.com Trang MẶT CẦU – KHỐI CẦU CÁC CÔNG THỨC S  4 R Diện tích mặt cầu V   R3 Thể tích khối cầu II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Câu hỏi lí thuyết mặt cầu, khối cầu Phương pháp giải Cần nắm vững phần kiến thức trọng tâm Ví dụ: Cho hình cầu có bán kính R Khi thể tích khối cầu A  R3 B  R3 C  R3 D 4 R Hướng dẫn giải Từ cơng thức tính thể tích khối cầu V   R ta suy đáp án Chọn A Ví dụ mẫu Ví dụ Diện tích mặt cầu có bán kính R A 4 R B 4 R C  R2 D  R3 Hướng dẫn giải Từ cơng thức tính diện tích mặt cầu S  4 R ta suy đáp án Chọn A Ví dụ Từ điểm M nằm mặt cầu S  O; R  kẻ tiếp tuyến với mặt cầu? A Vô số B C D Hướng dẫn giải Từ điểm M nằm ngồi mặt cầu S  O; R  kẻ vô số tiếp tuyến với mặt cầu Chọn A Chú ý: Nếu M nằm mặt cầu đáp án vơ số tiếp tuyến lúc tiếp tuyến nằm mặt phẳng tiếp diện mặt cầu M TOANMATH.com Trang Ví dụ Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Hình chóp ln có mặt cầu ngoại tiếp B Hình lăng trụ ln có mặt cầu ngoại tiếp C Hình hộp đứng ln có mặt cầu ngoại tiếp D Hình chóp tam giác ln có mặt cầu ngoại tiếp Hướng dẫn giải Đáy hình hộp đứng khơng nội tiếp đường trịn đáy hình bình hành (khơng phải trường hợp đặc biệt hình chữ nhật hay hình vng) hình hộp đứng khơng có mặt cầu ngoại tiếp Chọn C Ví dụ Cho mặt cầu có tâm, bán kính Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến đường trịn có bán kính Kết luận sau sai? A R  r  d  O,    B d  O,     r C Diện tích mặt cầu S  4 r D Đường trịn lớn mặt cầu có bán kính bán kính mặt cầu Hướng dẫn giải Đáp án A sai r  R  d  O,    Chọn A Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Khẳng định sau sai? A Mọi hình chóp ln có mặt cầu ngoại tiếp B Mọi tứ diện ln có mặt cầu ngoại tiếp C Mọi hình chóp ln có mặt cầu ngoại tiếp D Mọi hình hộp chữ nhật ln có mặt cầu ngoại tiếp Câu 2: Số mặt cầu chứa đường tròn cho trước A Vô số B C D Câu 3: Cho ba điểm A, B, C phân biệt thuộc mặt cầu  ACB  90o Khẳng định sau khẳng định sai? A Ln có đường tròn nằm mặt cầu cho đường tròn ngoại tiếp ABC B Đường tròn qua ba điểm A; B; C nằm mặt cầu C AB đường kính đường trịn giao tuyến tạo mặt cầu mặt phẳng (ABC) TOANMATH.com Trang D AB đường kính mặt cầu cho Câu 4: Trong không gian, cho hai điểm phân biệt A, B cố định Xét điểm M di động nhìn đoạn AB góc vng Hỏi điểm M thuộc mặt mặt sau? A Mặt cầu B Mặt nón C Mặt trụ D Mặt phẳng Câu 5: Trong không gian, cho hai điểm phân biệt A B Tập hợp tâm mặt cầu qua A B A mặt phẳng B đường thẳng C đường tròn D mặt cầu Dạng Tính bán kính, diện tích mặt, thể tích khối cầu Bài toán tương giao mặt cầu với đường thẳng hay mặt phẳng Phương pháp giải Nắm vững cơng thức tính diện tích thể tích Nắm vững trường hợp tương giao mặt cầu với đường thẳng hay mặt phẳng để vận dụng kiến thức phần quan hệ song song, quan hệ vng góc, hệ thức lượng tam giác để giải tập Ví dụ: Thể tích V khối cầu có bán kính R  a A V  4 a 3 C V  B V  12 a 3 4 a 3 D V  4 a Hướng dẫn giải  4 Ta có V   R   a 3   4 a 3 Chọn A Ví dụ mẫu Ví dụ Một mặt cầu có diện tích xung quanh  có bán kính A B C D Hướng dẫn giải S mc  4 R  4 R    R  Chọn C Ví dụ Diện tích S mặt cầu có bán kính R  a A S  6 a B S  24 a C S  8 a D S   a Hướng dẫn giải Diện tích mặt cầu có bán kính R  a  S  4 R  4 a   24 a Chọn B Ví dụ Khối cầu  S1  tích 54 cm3 có bán kính gấp lần bán kính khối cầu  S  Thể tích V khối cầu  S  TOANMATH.com Trang A 2cm3 B 18cm3 C 4cm3 D 6cm3 Hướng dẫn giải Khối cầu  S1  có bán kính R Khi khối cầu  S  có bán kính Từ giả thiết ta có R  R3  54 Do đó, thể tích khối cầu  S2  R V       R  54   cm3    27 27 Chọn A Ví dụ 4: Cắt mặt cầu (S) mặt phẳng cách tâm khoảng 4cm ta thiết diện đường trịn có bán kính 3cm Bán kính mặt cầu (S) A 10cm B 7cm C 12cm D 5cm Hướng dẫn giải Bán kính mặt cầu (S) R  32    cm  Chọn D Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA  6, AB  Diện tích mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (SBC) A 108 B 54 C 60 D 18 Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BC  2a Mặt bên (SAB) vng góc với đáy,  ASB  60o , SB  a Gọi (S) mặt cầu tâm B tiếp xúc với (SAC) Bán kính r mặt cầu (S) A r  2a B r  2a 19 C r  2a D r  a 19 Câu 3: Cho điểm A nằm mặt cầu S  O; R  Biết qua A có vơ số tiếp tuyến với mặt cầu Tập hợp tiếp điểm đường trịn nằm đường trịn có bán kính R Tính độ dài đoạn thẳng OA theo R A B 3R R C R D R 3R Hai mặt phẳng (P), (Q) qua M tiếp xúc với (S) A B Biết góc (P) (Q) 60° Độ dài đoạn thẳng AB Câu 4: Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R M điểm thỏa mãn IM  A AB  R C AB  3R TOANMATH.com B AB  R D AB  R AB  R Trang Câu 5: Cho mặt cầu (S) tâm O điểm A, B, C nằm mặt cầu (S) cho AB  3, AC  4, BC  khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) Thể tích khối cầu (S) A 21 B 29 C 20 5 D 29 29 Dạng Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện Các khái niệm cần lưu ý: - Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện: mặt cầu mà qua tất đỉnh hình đa diện Tâm mặt cầu ngoại tiếp cách tất đỉnh hình đa diện - Trục đa giác: đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác vng góc với mặt phẳng chứa đa giác Mọi điểm nằm trục cách đỉnh đa giác ngược lại - Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng: Là mặt phẳng qua trung điểm đoạn thẳng vng góc với đoạn thẳng Mọi điểm nằm mặt phẳng trung trực đoạn thẳng cách hai điểm mút đoạn thẳng ngược lại Phương pháp giải Đối với tốn mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện mấu chốt vấn đề phải xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện Khi xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp ta tính yếu tố cịn lại bán kính, diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu Ví dụ: Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước 2a, 4a, 4a, với  a  R Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật cho A 6a B 4a C 3a D 2a Hướng dẫn giải Giả sử hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' Dễ thấy điểm O trung điểm AC’ tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật R  OA R   1 AC   2  AA   AC   AA   AD   DC   2  a    4a    a  2 2  3a Chọn C Ví dụ mẫu Cách Tìm điểm cách đỉnh khối đa diện theo định nghĩa mặt cầu TOANMATH.com Trang Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD điểm I với A I trung điểm đoạn thẳng SD B I trung điểm đoạn thẳng AC C I trung điểm đoạn thẳng SC D I trung điểm đoạn thẳng SB Hướng dẫn giải  BC  AB Từ giả thiết ta có   BC  SA  BC   SAB   BC  SB   90o  SBC 1 Chứng minh tương tự ta có   90o CD  SD  SDC  2   90o Do SA   ABCD   SA  AC  SAC  3 Từ (1), (2) (3) suy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD mặt cầu đường kính SC nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD trung điểm I đoạn thẳng SC Chọn C Ví dụ Cho khối chóp S.ABCD có tất cạnh a Thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp A V  3 a B V   a C V   a3 D V  3 a Hướng dẫn giải Vì S.ABCD hình chóp nên SO   ABCD  Ta có OD  1 a BD  a  , 2 SO  SD  OD  a Vậy OS  OA  OD  OB  OC , nên O tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD Vậy thể tích khối cầu cần tìm V   SO   a3 (đvtt) Chọn B Lưu ý: Cơng thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp đều: R a2 2h với a: độ dài cạnh bên, h: chiều cao hình chóp TOANMATH.com Trang Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, SA   ABCD  SA  AB  a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A a B a C a D a Hướng dẫn giải Chứng minh tương tự ví dụ ta kết  Ba đỉnh A, B, D nhìn cạnh SC góc vng  Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD trung điểm SC SC bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD R  Ta có ABCD hình vuông cạnh a  AC  a Xét tam giác SAC vng A có SC  a  2a  a Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD R  a Chọn B Ví dụ Cho tứ diện ABCD có mặt ABC BCD tam giác cạnh 2, hai mặt phẳng (ABD) (ACD) vng góc với Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A 2 B C 2 D Hướng dẫn giải Ta có ABC, BCD cạnh nên AC  CD   ACD cân C Gọi I trung điểm AD  CI  AD  ACD    ADB   Lại có  ACD    ADB   AD  CI   ABD   IC  AD   CI  IB  IB   ABD   1 Ta có ACD  ABD  c.c.c   CI  IB  2 Từ vuông (1) (2) I  CB  IB  IB  ta có ACB cân CB    IC 2 DIB vuông I  ID  BD  IB   AD  ID  2 Xét ADB có AB  DB  2; AD  2  ABD vuông B  ABD  90o   ACD  90o Suy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có đường kính AD nên bán kính R  ID  Chọn B TOANMATH.com Trang 10 ... cm3 có bán kính gấp lần bán kính khối cầu  S  Thể tích V khối cầu  S  TOANMATH.com Trang A 2cm3 B 18cm3 C 4cm3 D 6cm3 Hướng dẫn giải Khối cầu  S1  có bán kính R Khi khối cầu  S  có bán...  R TOANMATH.com Trang MẶT CẦU – KHỐI CẦU CÁC CÔNG THỨC S  4 R Diện tích mặt cầu V   R3 Thể tích khối cầu II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Câu hỏi lí thuyết mặt cầu, khối cầu Phương pháp giải Cần... Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Hình chóp ln có mặt cầu ngoại tiếp B Hình lăng trụ ln có mặt cầu ngoại tiếp C Hình hộp đứng ln có mặt cầu ngoại tiếp D Hình chóp tam giác ln có mặt cầu ngoại