Nhập m ôn
Khái niệm về tín hiệu
Tín hiệu là một dạng vật chất có một đại lượng vật lý được biến đổi theo quy luật của tin tức.
Có nhiều loại tín hiệu như âm thanh, ánh sáng, sóng âm, sóng điện từ và tín hiệu điện Mỗi lĩnh vực kỹ thuật sử dụng các loại tín hiệu khác nhau, trong đó lĩnh vực điện tử thường sử dụng tín hiệu điện và sóng điện từ Các đại lượng mang thông tin trong lĩnh vực này có thể là điện áp, dòng điện, tần số hoặc góc pha.
Mỗi loại tín hiệu đều có những tham số đặc trưng riêng, nhưng tất cả đều bao gồm các tham số cơ bản như độ lớn (giá trị), năng lượng và công suất Những tham số này phản ánh bản chất vật chất của tín hiệu.
Tín hiệu được biểu diễn dưới dạng hàm của biến thời gian x(t), hoặc hàm của biến tần số X(f) hay X(co).
Phân loại tín hiệu
Theo dạng của biến thời gian t và giá trị hàm số x(t), tín hiệu được phân loại thành tín hiệu liên tục (x(t)), trong đó biến thời gian t là liên tục.
Tín hiệu liên tục được xác định theo thời gian, với giá trị hàm số có thể thay đổi một cách liên tục hoặc được lượng tử hóa Trong quá trình này, có thể xuất hiện các điểm gián đoạn loại một hoặc loại hai.
Hình 1.1: Đồ thị các tín hiệu liên tục
Hình 1.1(a) biểu diễn đồ thị của tín hiệu liên tục với giá trị liên tục, trong khi hình 1.1(b) thể hiện tín hiệu liên tục đã được lượng tử hóa từ tín hiệu trong hình 1.1(a) Hình 1.1(c) mô tả tín hiệu liên tục với giá trị gián đoạn loại một Đối với tín hiệu rời rạc x(nT), đây là tín hiệu có biến thời gian gián đoạn t = nT.
Tín hiệu rời rạc chỉ xác định ở nhữnệ thời điểm gián đoạn t = nT, không xác định trong các khoảng thời gian ở giữa hai điếm gián đoạn.
Quá trình rời rạc hóa tín hiệu liên tục x(t) thành tín hiệu rời rạc x(nT) là một bước quan trọng trong xử lý tín hiệu Định lý lấy mẫu cung cấp nền tảng để thực hiện quá trình này mà không làm mất thông tin của tín hiệu gốc Quá trình này thường được gọi là lấy mẫu tín hiệu liên tục.
Hình 1.2(a) minh họa đồ thị của tín hiệu rời rạc với giá trị liên tục, cho phép nhận giá trị bất kỳ tại mỗi thời điểm rời rạc Trong khi đó, hình 1.2(b) thể hiện tín hiệu rời rạc với giá trị đã được lượng tử hóa từ tín hiệu ở hình 1.2(a).
(a) Giá trị liên tục (b) Giá trị được lưựng tử hóa
Tín hiệu lượng tử là loại tín hiệu có giá trị được xác định bằng số nguyên, là bội số của một giá trị cơ sở được gọi là giá trị lượng tử.
Quá trình làm tròn tín hiệu có giá trị liên tục hoặc gián đoạn thành tín hiệu lượng tử được gọi là quá trình lượng tử hóa.
Hình 1.1(b) thể hiện tín hiệu liên tục đã được lượng tử hóa từ tín hiệu ở hình 1.1(a), trong khi hình 1.2(b) là tín hiệu rời rạc được lượng tử hóa từ hình 1.2(a) Tín hiệu tương tự là tín hiệu liên tục có giá trị liên tục hoặc lượng tử.
Tín hiệu tương tự, hay còn gọi là tín hiệu analog trong tiếng Anh, được thể hiện qua các tín hiệu liên tục như hình 1.1(a) và 1.1(b) Bên cạnh đó, tín hiệu xung được định nghĩa là tín hiệu có giá trị hàm số đoạn loại một.
Tín hiệu xung có thể phân loại thành tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc Tín hiệu xung liên tục một cực tính được minh họa trong hình 1.1(c), trong khi hình 1.2 thể hiện các tín hiệu xung rời rạc Tín hiệu số là tập hợp các xung được mã hóa dựa trên giá trị lượng tử tại các thời điểm rời rạc cách đều nhau.
Mỗi xung của tín hiệu số đại diện cho một bit trong từ mã, với hai mức điện áp: mức thấp tương ứng với giá trị logic “0” và mức cao tương ứng với giá trị logic “1”.
Sô xung (sô bit) của tín hiệu số là độ dài của từ mã Một tín hiệu số có 8 bit được gọi là một byte, trong khi tín hiệu số có 16 bit tương đương với hai byte và được gọi là một từ (hay còn gọi là word trong tiếng Anh).
Tín hiệu thời gian-rời rạ c
Các dãy cơ s ở
Trong phân tích hệ thống xử lý tín hiệu thời gian-rời rạc, các dãy tín hiệu được vận hành qua nhiều phương pháp cơ sở Tích và tổng của hai dãy x(n) và y(n) được xác định bằng cách nhân và cộng các mẫu tương ứng Phép nhân dãy x(n) với một số a được thực hiện bằng cách nhân từng giá trị của mẫu với số a đó Dãy y(n) được coi là phiên bản trễ hoặc dịch của dãy x(n) nếu thỏa mãn điều kiện y(n) = x(n-n0), trong đó n0 là một số nguyên.
Khi bàn về tín hiệu và hệ thống thời gian rời rạc, một số dãy cơ sở đóng vai trò quan trọng Những dãy này được minh họa trong hình 2.3 và sẽ được phân tích sâu hơn ở phần sau.
Dãy mẫu đơn vị: (hình 1.5a) được định nghĩa như dãy: n * 0 n - 0 (1.4)
Dãy mẫu đơn vị trong tín hiệu và hệ thống thời gian-rời rạc tương tự như hàm xung đơn vị trong tín hiệu thời gian-liên tục Dễ dàng hơn, dãy mẫu đơn vị được xem như một xung thời gian-rời rạc Cần lưu ý rằng xung thời gian-rời rạc có định nghĩa đơn giản và chính xác, không phức tạp về mặt toán học như xung thời gian-liên tục.
Trong quá trình thảo luận về hệ thống tuyến tính, một khía cạnh quan trọng của dãy xung là khả năng biểu diễn một dãy bất kỳ dưới dạng tổng của các xung bị trễ và được định mức Ví dụ, dãy p(n) có thể được biểu diễn như sau: p(n) = a3ô(n + 3) + a1ô(n - 1) + a2ô(n - 2) + a7ô(n - 7) Tổng quát hơn, bất kỳ dãy nào cũng có thể được diễn đạt bằng công thức x(n) = ∑ x(k) δ(n - k).
Chúng ta sẽ có sự sử dụng đặc biệt phương trình (1.6) trong khi thảo luận biểu diễn của các hệ thống tuyến tính thời gian-rời rạc.
Dãy nhảy bậc đơn vị: (hình 1.5b) được cho bởi: u(n) Jl, n > 0
Giá trị của dãy nhảy bậc đơn vị tại chỉ số n được xác định bằng tổng giá trị tích lũy tại chỉ số n và các giá trị trước đó của dãy xung Tín hiệu nhảy bậc đơn vị có thể được biểu diễn qua các số hạng của xung, như minh họa trong hình 1.5(b), bằng cách thể hiện tín hiệu này dưới dạng tổng các xung đã bị trễ theo biểu thức (1.6) Trong trường hợp này, tất cả các giá trị khác đều không bằng đơn vị, dẫn đến công thức: u(n) = õ(n) + 5(n - 1) + ỗ(n - 2) + (1,9a) hoặc u(n) = ∑ 5(n - k) với k = 0.
Các dãy cơ sở đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích và biểu diễn các tín hiệu cũng như các hệ thống thời gian-rời rạc.
Hình 1.6: Ví dụ của một dãy được biểu thị như một tổng của các xung bị trễ và được định mức
Ngược lại dãy xung có thể được biểu thị như một hiệu lùi bậc nhất của dãy nhảy bậc đơn vị, tức là: ô(n) = u(n) - u(n - 1) (1.10)
Các dãy hàm luỹ thừa đóng vai trò quan trọng trong việc biểu diễn và phân tích các hệ thống thời gian-rời rạc tuyến tính và bất biến theo thời gian Dạng tổng quát của dãy hàm luỹ thừa được biểu diễn là x(n) = Aan.
Nếu A và a là nhông số thực, dãy số sẽ là thực Khi 0 < a < 1 và A là số dương, các giá trị của dãy sẽ là số dương và giảm khi n tăng Ngược lại, với -1 < a < 0, các giá trị của dãy sẽ thay đổi dấu nhưng vẫn giảm về giá trị khi n tăng Nếu |a| > 1, dãy số sẽ tăng về giá trị khi n tăng.
Dãy chữ nhật rectN(n): Dãy chữ nhật rectfịỵì) cỏ hàm số như sau: Í 1 Khi n € [o ,(W-1)] n 1Tk rectN(n) = ị f \ (1.12)
Dãy chữ nhật rectu(n) là một dãy một phía có độ dài hữu hạn N, xác định trong miền n thuộc [0, N - 1], và tuần hoàn với chu kỳ bằng 1 Đồ thị của dãy này được thể hiện trong hình 17.
Hình 1.7: Đồ thị dãy rectN(n)
Mở rộng có dãy chữ nhật rectìẶn - k), với k là hằng số dương hoặc âm: f l Khi n e [k ,(N +Ă-1)] rectN( n - k ) - ị ữ Khi n 0 ỉày(n) dich trễ (chậm) k mẫu so với x(n).
- Khi k < 0 lày(n) dịch sớm (nhanh) k mau so với x(n).
Phép dịch tuyến tính của dãy x(n) với k mẫu không làm thay đổi hình dạng của x(n), mà chỉ điều chỉnh tốc độ của nó, giữ chậm hoặc đẩy nhanh theo k mẫu Thuật ngữ này thường được gọi ngắn gọn là phép dịch.
Trong xử lý tín hiệu số thường chỉ sử dụng phép dịch trễ, và gọi là phép trễ Phép dịch sớm rất ít khi được sử dụng.
Ví dụ 1.2: Cho dãy x{n) = u{n), hãy xác định các dãy: a y x(n) = x(n-2) b y 2(n) = x(n + 2)
Hình 1.9: Đồ thị dãy sin(ũ)0n) với N = 10
(1.18) hoặc bằng biểu thức đơn giản hơn: x(n) = Actnu(n)
Các phép toán đối với các dãy số
2.2.1 Phép dịch tuyến tính Định nghĩa: Dãy y(n) là dịch tuyến tính k mau của dãy x(n) nếu: y(n) = x ( n - k ) (1.19)
Khi k = 2 > 0, đồ thị dãy y(n) = u(n - 2) là kết quả của việc dịch phải đồ thị dãy x(n) = u(n) đi 2 mẫu theo trục tung Ngược lại, khi k = -2 < 0, đồ thị dãy y^2(n) = u(n + 2) được hình thành bằng cách dịch trái đồ thị dãy x(n) = u(n) đi 2 mẫu theo trục tung.
2.2.2 Tổng đại số của các dãy Định nghĩa: Tổng đợi số của M dãy x,(n) là dãy y(n) có giá trị mỗi mẫu bằng tổng đại sổ tất cả các mẫu tương ứng của các dãy thành phần.
Vi dụ 1.3: Cho dãy x,(n) = rect4(n) và dãy x2(n) = rect3( n - 1), hãy xác định dãy y(n) = X, ( n ) - x 2(n)
Giải: Có y(n) = rect4 ( n ) - rect3(n - 1)= ỗ(n) Để thấy rõ hơn kết quả trên, xác định y(n) bằng đồ thị như trên hình 1.10.
2.2.3 Phép nhân các dãy Định nghĩa: Tích của M dãy Xị(n) là dãy y(n) có giá trị mỗi mẫu bằng tích tất cả các mau tương ứng của các dãy thành phần.
Vớ dụ 1.4: Cho dóy x,(ô) = w(ô) và dãy x 2 (rì) = rectị (n + 2), hãy xác định dãy y(n) = Xị(n)jc2(n)
Giải: Theo định nghĩa có: rect3(n - \)
Hình 1.10: Đồ thị xác định rectị(n) - rect3(n-ỉ) - S(n) y(n) = u(rớ) rect 5(ô + 2) = rect3(ri) Để thấy rõ hơn kết quả trên, có thể giải ví dụ bằng bảng 1.1 dưới đây: n - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4
— r - 0 0 bằng chính nó trong miền n > 0
2.2.4 Phép nhân một dãy với hằng số Định nghĩa: Tích của dãy x(n) với hằng so a là dãy y(n) có giá trị môi mâu bằng tích của a với các máu tương ứng của x(n).
Phép nhân dãy x(n) với hằng số a còn thường được gọi là phép lấy tỷ lệ.
Vi dụ 1.5: Cho dãy x(n) - rectị(n), hãy biểu diễn dãy y(n) = l.rectịiỵì) dưới dạng dãy số liệu.
Giải: Dóy recu(n) cú dạng dóy số liệu là *(ô) = ! 1,1,1,1 Ị.
Dãy y(n) = 2.rectịin) có dạng dãy số liệu là y(rt) = Ị 2,2,2,2 j.
Các hệ thống tuyến tính bất biến
Các hệ thống không có nhớ
Một hệ thống được gọi là không có nhớ khi ngõ ra y(n) tại mồi giá trị của n chỉ phụ thuộc vào ngõ vào x(n) tại mỗi giá trị của n.
Vi dụ 1.7: Một hệ thống không có nhớ.
Hệ thống không có nhớ là một hệ thống trong đó đầu ra y(n) được xác định hoàn toàn bởi đầu vào x(n) tại thời điểm hiện tại, mà không phụ thuộc vào các giá trị trước đó Ví dụ, trong hệ thống này, mối quan hệ giữa x(n) và y(n) được mô tả bằng công thức y(n) = [x(n)]² cho mỗi giá trị n từ 1 đến 25.
Hệ thống trong ví dụ 1.6 không hoàn toàn không có nhớ trừ khi nd = 0 Cụ thể, hệ thống này được xem là có nhớ khi nd dương (thời gian trễ) hoặc nd âm (thời gian sớm).
Các hệ thống tuyến tín h
Một hệ thống tuyến tính được xác định dựa trên nguyên lý chồng chất Nếu yi(n) và y2(n) là các đáp ứng của hệ thống tương ứng với các ngõ vào Xj(n) và x2(n), thì hệ thống sẽ được coi là tuyến tính khi và chỉ khi thỏa mãn các điều kiện nhất định.
Tính chất cộng tính được thể hiện qua công thức T{X|(n) + x2(n)} = T{xi(n)} + T{x2(n)} = yi(n) + y2(n), trong khi tính chất đồng nhất hay tính chất định mức được mô tả bằng T{ax(n)} = aT{x(n)} = ay(n), với a là một hằng số bất kỳ Hai tính chất này có thể được kết hợp trong nguyên lý chồng chất.
Phương trình T{ax(n) + bx2(n)} = aT{xí(n)} + bT{Ix2(n)} (1.27) cho thấy tính chất tuyến tính của hệ thống, với a và b là các hằng số tùy ý Điều này có thể được mở rộng cho nhiều tín hiệu ngõ vào chồng chất Cụ thể, khi x(n) = ∑T akxk(n) (1.28a), ngõ ra y(n) của hệ thống tuyến tính sẽ được biểu diễn là y(n) = ∑T akyk(n) (1.28b), trong đó yk(n) là đáp ứng của hệ thống với ngõ vào xk(n).
Sử dụng nguyên lý chồng chất, chúng ta có thể xác định rằng hệ thống trong ví dụ 1.6 là tuyến tính, trong khi ví dụ 1.7 minh họa một hệ thống phi tuyến.
Vi dụ 1.8: Hệ thống tích luỹ.
Hệ thống được định nghĩa qua phương trình vào-ra: y(n) = ∑Tx(k), với k từ -∞ đến n, được gọi là hệ thống tích luỹ vì ngõ ra tại thời điểm n là tổng của ngõ vào hiện tại và tất cả các mẫu ngõ vào trước đó Hệ thống tích luỹ là một hệ thống tuyến tính Để chứng minh điều này, cần chỉ ra rằng nó thoả mãn nguyên lý chồng chất cho mọi ngõ vào, không loại trừ trường hợp nào Chúng ta xác định hai ngõ vào Xi(n) và x2(n) cùng với các ngõ ra tương ứng: y1(n) = ∑x1(k) và y2(n) = ∑x2(k), với k từ -∞ đến n.
Khi ngõ vào được biểu diễn dưới dạng x3(n) = aX|(n) + bx2(n), nguyên lý chồng chất yêu cầu ngõ ra y3(n) = ayi(n) + by2(n) cho mọi giá trị khả thi của a và b Điều này có thể được chứng minh từ phương trình (1.29).
(1.35) Như vậy, hệ thống tích luỹ của phương trình (1.29) thoả mãn nguyên lý chồng chât cho tất cả các ngõ vào và do đỏ là tuyến tính.
Trong trường hợp tổng quát, việc chứng minh một hệ thống phi tuyến thường đơn giản hơn so với việc chứng minh một hệ thống tuyến tính Điều này có nghĩa là chúng ta cần xác định một hoặc nhiều ngõ vào mà tại đó hệ thống không đáp ứng các điều kiện tuyến tính.
Vi dụ 1.9: Một hệ thống phi tuyến.
Xét một hệ thống được định nghĩa bằng: w(n) = logio(|x(n)|) ( (1.36)
Hệ thống này được chứng minh là phi tuyến thông qua ví dụ phản chứng với các ngõ vào x1(n) = 1 và x2(n) = 10 Ngõ ra cho tín hiệu thứ nhất là w1(n) = 0, trong khi ngõ ra cho tín hiệu thứ hai là w2(n) = 1 Theo tính chất định mức của hệ thống tuyến tính, nếu hệ thống là tuyến tính thì phải có w2(n) = 10w1(n) Tuy nhiên, phương trình (1.36) không thoả mãn điều này, do đó khẳng định rằng hệ thống là không tuyến tính.
3.4 Các hệ thống bất biến vói thời gian
Hệ thống bất biến với thời gian, hay còn gọi là hệ thống bất biến-dịch chuyển, là hệ thống mà khi có sự dịch chuyển về thời gian hoặc sự trễ của dãy ngõ vào, sẽ dẫn đến sự dịch chuyển tương ứng của dãy ngõ ra Cụ thể, nếu một hệ thống biến đổi dãy ngõ vào x(n) thành dãy ngõ ra y(n), thì hệ thống được coi là bất biến với thời gian nếu, với mọi n0, dãy ngõ vào x(n - n0) tạo ra dãy ngõ ra y(n - n0) Việc chứng minh tính chất này tương tự như chứng minh tính chất tuyến tính, yêu cầu một chứng minh tổng quát mà không cần giả thiết đặc biệt cho các tín hiệu ngõ vào Tất cả các hệ thống trong các ví dụ 1.6-1.7 đều là bất biến với thời gian, và kiểu chứng minh này được minh họa trong các ví dụ 1.10 và 1.11.
Ví dụ 1.10: Bộ tích luỹ là một hệ thống bất biến với thời gian.
Trong ví dụ 1.8, chúng ta định nghĩa Xi(n) = x(n - n0) để phân tích bộ tích lũy Để chứng minh sự bất biến theo thời gian, chúng ta sẽ giải cả y(n - n0) và yi(n) rồi so sánh chúng Đầu tiên, ta có: y(n - n0) = ∑ x(k) (1.37) với k từ -∞ Tiếp theo, ta tìm yi(n) = ∑ xi(k) (1.38) với k từ -∞.
Thay sự đổi biến k[ = k - n0 vào trong tổng sẽ cho:
Như vậy bộ tích luỹ là một hệ thống bất biến với thời gian Ví dụ sau đây minh họa một hệ thống không bất biến với thời gian.
Vỉ dụ 1.11: Hệ thống nén số liệu.
Hệ thống được định nghĩa bởi công thức y(n) = x(Mn), với M là số nguyên dương, gọi là bộ nén, loại bỏ (M - 1) mẫu khỏi M bằng cách chọn mỗi mẫu thứ M Hệ thống này không bất biến theo thời gian, điều này thể hiện qua đáp ứng yi(n) đối với ngõ vào Xj(n) = x(n - n0) Để hệ thống được coi là bất biến theo thời gian, ngõ ra yi(n) khi ngõ vào là X(n) phải bằng y(n - n0) Ngõ ra yi(n) có thể được tính từ ngõ vào X(n) thông qua phương trình yi(n) = Xi(Mn) - x(Mn - n0).
Làm trễ ngõ ra y(n) n0 mẫu ta được: y(n - n0) = x[M(n - no)] ^ (1.43)
So sánh hai ngõ ra này, chúng ta thấy rằng y(n - n0) không bằng y^n) với mọi
M và n0, và do vậy hệ thống không bất biến đối với thời gian.
Một hệ thống được coi là nhân quả nếu giá trị của dãy ngõ ra tại chỉ số n = n0 chỉ phụ thuộc vào các giá trị của dãy ngõ vào với n < n0 Điều này có nghĩa là nếu Xi(n) = x2(n) khi n < n0 thì yi(n) = y2(n) với n < n0, cho thấy hệ thống không có yếu tố trước thời hạn Ví dụ 1.6 minh họa một hệ thống nhân quả khi nd > 0 và không nhân quả khi nd < 0 Hệ thống trong ví dụ 1.7 cũng là nhân quả, tương tự như bộ tích luỹ trong ví dụ 1.8 và hệ thống phi tuyến trong ví dụ 1.9 Ngược lại, hệ thống trong ví dụ 1.11 không nhân quả nếu M > 1, vì y(l) = x(M) Một số hệ thống không nhân quả khác sẽ được trình bày trong các ví dụ tiếp theo.
Ví dụ 1.12: Các hệ thống sai phân tiến và lùi.
Xét hệ thống sai phân tiến được định nghĩa bằng hệ thức: y(n) = x(n+ l) - x ( n ) (1.44)
Hệ thống này không có tính nhân quả vì giá trị hiện tại của ngõ ra phụ thuộc vào giá trị tương lai của ngõ vào Sự vi phạm tính nhân quả được chứng minh qua việc khảo sát hai ngõ vào Xi(n) = ô(n - 1) và x2(n) = 0, cùng với các ngõ ra tương ứng yi(n) = ỗ(n) - ỗ(n - 1) và y2(n) = 0 Đặc biệt, Xi(n) = x2(n) khi n < 0, do đó định nghĩa về tính nhân quả yêu cầu yi(n) = y2(n) khi n < 0, nhưng điều này không đúng với n = 0 Qua ví dụ phản chứng, chúng ta đã chứng minh rằng hệ thống này là không nhân quả.
Hệ thống sai phân lùi được định nghĩa là y(n) = x(n) - x(n - 1), trong đó ngõ ra chỉ phụ thuộc vào giá trị hiện tại và các giá trị trước đó của ngõ vào Vì không có cách nào để ngõ ra tại thời điểm đặc biệt y(n0) liên hệ với các giá trị của ngõ vào khi n > n0, nên hệ thống này được coi là nhân quả.
Hệ thống được coi là ổn định theo tiêu chí ngõ vào giới nội và ngõ ra giới nội (BIBO) khi mỗi dãy ngõ vào giới nội tương ứng với một dãy ngõ ra giới nội Để xác định ngõ vào x(n) là giới nội, cần có một giá trị hữu hạn dương cố định Bx tồn tại.
|x(n)| < Bx < 00, với mọi n (1-46) Đối với mỗi ngõ vào giới nội, tính chất ổn định đòi hỏi phải tồn tại một giá trị hữu hạn dương B y sao cho:
Tính chất nhân q u ả
Một hệ thống được coi là nhân quả nếu giá trị của dãy ngõ ra tại chỉ số n = n0 chỉ phụ thuộc vào các giá trị của dãy ngõ vào với n < n0 Điều này có nghĩa là nếu Xi(n) = x2(n) khi n < n0 thì yi(n) = y2(n) với n < n0, xác nhận rằng hệ thống không có tính trước thời hạn Ví dụ 1.6 minh họa một hệ thống nhân quả với nd > 0 và không nhân quả khi nd < 0 Các hệ thống trong ví dụ 1.7 và ví dụ 1.8 cũng là nhân quả, trong khi ví dụ 1.9 là hệ thống phi tuyến Ngược lại, hệ thống trong ví dụ 1.11 không nhân quả nếu M > 1, vì y(l) = x(M) Một số ví dụ khác về hệ thống không nhân quả cũng được trình bày trong bài viết.
Ví dụ 1.12: Các hệ thống sai phân tiến và lùi.
Xét hệ thống sai phân tiến được định nghĩa bằng hệ thức: y(n) = x(n+ l) - x ( n ) (1.44)
Hệ thống này không có tính nhân quả, vì giá trị hiện tại của ngõ ra phụ thuộc vào giá trị tương lai của ngõ vào Sự vi phạm tính nhân quả được chứng minh qua việc khảo sát hai ngõ vào Xi(n) = ô(n - 1) và x2(n) = 0, cùng với các ngõ ra tương ứng yi(n) = ỗ(n) - ỗ(n - 1) và y2(n) = 0 Cần lưu ý rằng Xi(n) = x2(n) khi n < 0, do đó, định nghĩa về tính nhân quả yêu cầu yi(n) = y2(n) khi n < 0, nhưng điều này không đúng với n = 0 Qua ví dụ phản chứng, chúng ta đã chỉ ra rằng hệ thống này là không nhân quả.
Hệ thống sai phân lùi được định nghĩa là y(n) = x(n) - x(n - 1), trong đó ngõ ra chỉ phụ thuộc vào giá trị hiện tại và các giá trị trước đó của ngõ vào Do không có mối liên hệ giữa ngõ ra tại thời điểm đặc biệt y(n0) và các giá trị ngõ vào khi n > n0, hệ thống này được coi là nhân quả.
Tính ổn định
Một hệ thống được coi là ổn định theo tiêu chí ngõ vào giới nội và ngõ ra giới nội (BIBO) khi mỗi dãy ngõ vào giới nội tương ứng với một dãy ngõ ra giới nội Để xác định ngõ vào x(n) là giới nội, cần tồn tại một giá trị hữu hạn dương cố định Bx.
|x(n)| < Bx < 00, với mọi n (1-46) Đối với mỗi ngõ vào giới nội, tính chất ổn định đòi hỏi phải tồn tại một giá trị hữu hạn dương B y sao cho:
Các tính chất được xác định trong phần này là đặc trưng của các hệ thống, không phải của các tín hiệu đầu vào Điều này có nghĩa là |y(n)| < By < 00 cho mọi n (1.47) là một yếu tố quan trọng cần lưu ý.
Để một hệ thống có thuộc tính ổn định, thuộc tính đó phải được duy trì cho mọi ngõ vào Mặc dù có thể tồn tại một số ngõ vào mà ở đó hệ thống vẫn giữ được tính chất, nhưng nếu chỉ cần một ngõ vào không duy trì tính chất đó, chúng ta có thể khẳng định rằng hệ thống không có thuộc tính ổn định Điều này có nghĩa là, để xác định tính ổn định của hệ thống, cần kiểm tra tất cả các ngõ vào, không chỉ một vài ngõ vào giới hạn Ví dụ dưới đây sẽ minh họa quá trình thử nghiệm tính ổn định cho nhiều hệ thống mà chúng ta đã định nghĩa.
Vi dụ Ị 13: Thử tính ổn định hoặc không ổn định
Hệ thống của ví dụ 1.7 là ổn định Để thấy điều đó giả thiết rằng ngõ vào x(n) là giới nội có nghĩa là |x(n)| < Bx với mọi n Khi đó
|y(n)| = |x(n)|2 < Bx2 như vậy chúng ta có thể chọn B y = B x 2 và chứng minh rằng y(n) giới nội.
Các hệ thống tuyến tính và bất biến với thời gian
Các hệ thống tuyến tính và bất biến theo thời gian có vai trò quan trọng trong xử lý tín hiệu
Từ nguyên lý chồng chất trong phương trình (1.23), chúng ta có thể viết: y(n)= ¿ x(k)T {ô(n — k)} = ¿ x ( k ) h k(n) (1.49) k=-oo k=-oo
Theo phương trình (1.49), đáp ứng của hệ thống với một ngõ vào bất kỳ có thể được biểu diễn bằng tổng các đáp ứng của hệ thống đối với các dãy d(n - k) Nếu tính chất tuyến tính được áp dụng, hk(n) sẽ phụ thuộc vào cả n và k, dẫn đến việc lợi ích tính toán của phương trình này sẽ bị hạn chế Tuy nhiên, nếu áp dụng điều kiện bổ sung về tính bất biến theo thời gian, chúng ta có thể đạt được kết quả thuận lợi hơn.
Tính chất bất biến theo thời gian cho thấy rằng nếu h(n) là đáp ứng với d(n), thì đáp ứng với õ(n - k) sẽ là h(n - k) Với điều kiện này, phương trình (1.49) được chuyển thành: y(n) = ∑ x(k) h(n - k), trong đó k chạy từ -∞ đến ∞.
Hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian (LTI) được đặc trưng hoàn toàn bởi đáp ứng xung h(n) Điều này có nghĩa là khi biết h(n), ta có thể sử dụng phương trình (1.50) để tính toán ngõ ra cho bất kỳ ngõ vào x(n) nào.
Phương trình (1.50) được gọi là tổng nhân chập, trong đó y(n) là một dãy có các giá trị liên hệ với hai dãy h(n) và x(n) Khi đó, y(n) được xem là nhân chập của x(n) với h(n), và phép nhân chập này được biểu diễn bằng ký hiệu: y(n) = h(n) * x(n) ^ (1.51).
Phép nhân chập thời gian-rời rạc kết hợp hai dãy x(n) và h(n) để tạo ra dãy thứ ba y(n) Theo phương trình (1.50), mỗi mẫu của dãy ngõ ra y(n) được tính toán dựa trên tất cả các mẫu của dãy ngõ vào x(n) và dãy đáp ứng xung h(n).
Để thực hiện các tính toán cho phương trình (1.50) nhằm thu được y(n), việc quan trọng là phải biết cách tạo ra dãy h(n - k) cho tất cả các giá trị của n trong khoảng -∞ < n < ∞ Cần lưu ý rằng h(n - k) có thể được biểu diễn dưới dạng h[-(k - n)] theo phương trình (1.52) Để làm rõ hơn về phương trình (1.50), việc đưa ra ví dụ sẽ là phương pháp hữu ích.
Hình 1.12: Sự tạo dãy h(n - k) a) Dãy h(k) như một hàm của k b) Dãy h(-k) như một hàm của k c) Dãy h(n - k) = h[-(k - n)] như một hàm của k khi n = 4
Vi dụ 1.14: Tính tổng nhân chập.
Giả sử h(k) là dãy chỉ ra trên hình 1.12(a) và chúng ta muốn tìm h(n - k)= h(-(k
Định nghĩa h(k) là h(-k) như được thể hiện trong hình 1.12(b) Định nghĩa h2(k) là h(k) bị trễ n mẫu trên trục k, tức là h2(k) = h1(k - n) Hình 1.12(c) minh họa dãy h(k) sau khi bị trễ n mẫu Từ mối liên hệ giữa h1(k) và h(k), ta có thể xác định rằng h2(k) = h1(k - n) = h[-(k - n)] = h(n - k).
Hình dưới đây biểu thị tín hiệu mong muốn Để tính h(n - k) từ h(k), trước tiên chúng ta cần lấy nghịch đảo h(k) tại thời điểm k = 0, sau đó áp dụng lên tín hiệu đã được nghịch đảo trong n mẫu.
Từ ví dụ 1.10 thây rõ ràng là dãy h(n - k ) , -co < k < co thu được bằng cách:
1 Phản chiếu h(k) qua gốc tọa độ để được h(-k)
2 Dịch gốc tọa độ của dãy đã được phản chiếu tới k = n , Để thực hiện phép nhân chập thời gian-rời rạc, thì hai dãy x(k) và h(n - k) được nhân với nhau đối với, -co < k < QO và tích đó được tổng lại để tính mẫu ngõ ra y(n) Để nhận được mẫu ngõ ra khác, thì gốc của dãy h(-k) được dịch chuyển đến vị trí của mẫu mới, và qúa trình lại được lặp lại.
Các phương trình sai phân tuyến tính hệ số h ằn g
Một lớp quan trọng trong các hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian bao gồm các hệ thống mà đầu vào x(n) và đầu ra y(n) của chúng tuân theo phương trình sai phân tuyến tính bất biến với thời gian bậc N.
Ví dụ 1.15: Biểu diễn phương trình sai phân của bộ tích lũy.
Hệ thống tích lũy có thể được mô tả bằng phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng, được định nghĩa như sau: y(n) = Σ x(k) (1.54), với k chạy từ -∞ Để chỉ ra rằng ngõ vào và ngõ ra thỏa mãn phương trình sai phân dạng (1.49), cần lưu ý rằng ngõ ra cho n - 1 có thể được viết như sau: y(n - 1) = Σ x(k) (1.55), với k chạy từ -∞.
Tách số hạng x(n) ra khỏi tổng, chúng ta có thể viết lại phương trình (1.49) như sau: y (n -l) = x ( n ) + £ x ( k ) (1.56) k=-oo thay phương trình (1.55) vào phương trình (1.56) sẽ được: y(n) = x(n) + y(n - 1) (1.57)
Dạng mong muốn của phương trình sai phân có thể được xác định bằng cách nhóm riêng biệt các số hạng ngõ vào và ngõ ra trên hai phía của phương trình: y(n) - y(n - l) = x(n).
Chúng ta đã xác định rằng, bên cạnh việc thỏa mãn hệ thức định nghĩa của phương trình (1.54), ngõ vào và ngõ ra cũng đáp ứng một phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng theo dạng (1.53), trong đó N = 1, a0 = 1, ãị = -1, M = 0, và bo = 1.
Phương trình sai phân (1.57) cung cấp cái nhìn sâu sắc về cách thực thi hệ thống tích luỹ Theo đó, với mỗi giá trị n, chúng ta cộng giá trị ngõ vào hiện tại với tổng tích luỹ trước đó của ngõ ra y(n - 1) Sự giải thích này về bộ tích luỹ được thể hiện rõ trong giản đồ khối ở hình (1.13).
Bộ trễ một mẫu y(n - 1) yựụ
Hình 1.13: Giản đồ khối của phương trình sai phân đệ quy biểu diễn một bộ tích luỹ
Phương trình (1.52) và giản đồ khối trong hình (1.13) được xem là biểu diễn đệ quy của hệ thống, vì mỗi giá trị được tính dựa trên các giá trị đã có trước đó Khái niệm này sẽ được mở rộng trong phần tiếp theo Tương tự như phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng trong các hệ thống thời gian liên tục, một phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng cho các hệ thống thời gian rời rạc, nếu không có điều kiện ràng buộc hoặc thông tin bổ sung, sẽ không cung cấp một chỉ tiêu duy nhất cho ngõ ra dựa trên ngõ vào đã cho Cụ thể, với ngõ vào Xp(n), nếu chúng ta xác định được dãy ngõ ra yp(n), điều này có nghĩa là phương trình (1.53) đã được thỏa mãn Tuy nhiên, cùng một phương trình đó với ngõ vào tương tự có thể được thỏa mãn bởi ngõ ra bất kỳ dạng y(n) = yp(n) + yh(n), trong đó yh(n) là lời giải cho phương trình (1.53) với x(n) = 0, tức là phương trình l a kyh(n - k) = 0 Phương trình này được gọi là phương trình tuần nhất, và yh(n) là nghiệm thuần nhất, với dãy yh(n) thực tế là thành viên của họ nghiệm dạng yh(n) = m.
Thay phương trình (1.61) vào (1.60) sẽ thấy rằng các số phức zm phải là nghiệm của đa thức: ¿ a , z - > = 0 (1.62) k = 0
Phương trình (1.61) giả định rằng tất cả N nghiệm của đa thức trong phương trình (1.62) là phân biệt Mặc dù cách biểu diễn các số hạng liên quan đến nghiệm bội có sự khác biệt, nhưng vẫn tồn tại N hệ số chưa được xác định.
Vì yh(n) có N hệ số chưa xác định, nên các điều kiện bổ trợ yêu cầu chỉ tiêu duy nhất của y(n) đối với x(n) đã cho Những điều kiện này có thể là việc quy định các giá trị cố định cho y(n) tại các giá trị đặc biệt của n, như y(-1), y(-2), , y(-N), và sau đó giải N phương trình tuyến tính để tìm N hệ số chưa xác định Ngược lại, nếu các điều kiện bổ trợ là các giá trị bổ trợ của y(n), thì các giá trị khác của y(n) có thể được tạo ra bằng cách viết lại phương trình (1.53) dưới dạng công thức truy chứng.
Khi các giá trị bổ trợ y(-l), y(-2), , y(-N) và ngõ vào x(n) đã được xác định, giá trị y(0) có thể được tính từ phương trình (1.63) Từ y(0) và các giá trị y(-l), , y(-N + 1), ta có thể tính toán y(l) và tiếp tục quy trình này Phương pháp này cho phép y(n) được tính toán một cách đệ quy, nghĩa là các giá trị đầu ra không chỉ phụ thuộc vào dãy ngõ vào mà còn dựa vào các giá trị trước đó của dãy ngõ ra Để tính các giá trị y(n) khi n < -N, với các điều kiện bổ trợ y(-l), y(-2), , y(-N) đã cho, ta có thể sắp xếp lại phương trình (1.48) theo cách phù hợp.
„ M l y(n - N) = — y(n - k ) + ^ — x(n - k) (1.64) k=0 aN k=0 a N từ đây y(-N - 1), y(-N - 2), có thể được tính một cách đệ quy Ví dụ sau đây minh họa thủ tục tính toán đệ quy này.
Ví dụ 1.16: Tính toán đệ quy các phương trình sai phân.
Phương trình sai phân đã thoả mãn bởi ngõ vào và ngõ ra của một hệ thống là: y(n) = ay(n - 1) + x(n) ^ (1.65)
Xét ngõ vào x(n) = Ku(n), ở đó K là một số bất kỳ, còn điều kiện bổ trợ là y(-l)
Bắt đầu với giá trị ban đầu, ngõ ra cho n > -1 có thể được tính đệ quy như sau: y(0) = ac + K, y(1) = a2c + aK, y(2) = a3c + a2K, và y(3) = a4c + a3K Với n > 0, ta có công thức tổng quát y(n) = an+1c + anK Để xác định ngõ ra khi n < 0, phương trình sai phân có thể được biểu diễn dưới dạng y(n-1) = a^(-1)[y(n)-x(n)] hoặc y(n) = a^(-1)[y(n+1) - x(n+1)].
Sử dụng điều kiện bổ trợ y(-l) = c, chúng ta có thể tính được y(n) cho n < -1 như sau: y(-2) = a '1[y (-l)-x (-l)] = a'1c, y(-3) = a’'[y(-2) - x(-2)] = a 'V ’c = a‘2c, y(-4) = a''[y(-3) - x(-3)] = a'‘a'2c = a'3c, Tiếp theo đó suy ra: y(n) = an+1c với n < - l , (1.68)
Khi kết hợp phương trình (1.65) và (1.67) theo cách đệ quy, ta có được công thức y(n) = an + Ic + Kanu(n) cho mọi n Một số điểm quan trọng được thể hiện qua ví dụ 1.12 Đầu tiên, hệ thống được thực hiện bằng cách tính toán ngõ ra theo quy trình đệ quy cho cả hướng dương và âm, bắt đầu từ n = -1, cho thấy rằng trình tự này không mang tính nhân quả Thêm vào đó, khi K = 0, ngõ vào bằng không nhưng ngõ ra y(n) lại bằng an + 1c, điều này vi phạm yêu cầu của hệ thống tuyến tính, vốn yêu cầu ngõ ra phải bằng không khi ngõ vào bằng không ở mọi thời điểm Hơn nữa, nếu ngõ vào bị dịch chuyển n0 mẫu, tức là X(n).
Trong các hệ thống tuyến tính bất biến với thời gian, điều kiện bổ trợ cần phải bao gồm các yêu cầu bổ sung Khi thảo luận về giải pháp của các phương trình sai phân thông qua phép biến đổi z trong chương 2, chúng ta sẽ kết hợp các điều kiện về tính chất tuyến tính và bất biến với thời gian Tuy nhiên, ngay cả khi có các ràng buộc bổ sung này, giải pháp cho phương trình sai phân vẫn không được xác định một cách duy nhất Thực tế, tồn tại cả hệ thống tuyến tính và bất biến với thời gian, bao gồm cả nhân quả và không nhân quả, liên quan đến một phương trình sai phân đã cho.
Nếu một hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng, đồng thời là tuyến tính, bất biến theo thời gian và nhân quả, thì nghiệm của hệ thống sẽ là duy nhất Trong trường hợp này, các điều kiện bổ trợ thường được mặc định là các điều kiện ban đầu Cụ thể, nếu thông tin bổ trợ chỉ ra rằng x(n) bằng không khi n nhỏ hơn một thời điểm n0 nào đó, thì đầu ra cũng sẽ phải bằng không khi n nhỏ hơn n0 Điều này cung cấp đủ các điều kiện ban đầu cần thiết để tính toán y(n) cho n lớn hơn n0 bằng cách sử dụng phương trình (1.63) theo phương pháp đệ quy.
Tóm lại, đối với một hệ thống mà ngõ vào và ngõ ra thoả mãn phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng thì:
* Ngõ ra đôi với ngõ vào đã cho được xác định một cách không duy nhât Đòi hỏi các thông tin và các điều kiện bổ sung.
Nếu thông tin bổ sung dưới dạng giá trị của dãy ngõ ra, các giá trị sau có thể thu được bằng cách sắp xếp lại phương trình sai phân thành hệ thức đệ quy chạy tiến theo n Ngược lại, các giá trị trước đó có thể được xác định bằng cách sắp xếp lại phương trình sai phân thành hệ thức đệ quy chạy lùi theo n.
Tính chất tuyến tính, bất biến theo thời gian và nhân quả của một hệ thống phụ thuộc vào các điều kiện bổ trợ Nếu có một điều kiện bổ sung khiến hệ thống ở thời điểm ban đầu bằng không, hệ thống sẽ thể hiện tính chất tuyến tính, bất biến theo thời gian và nhân quả.
Tương quan của các tín h iệu
Hàm tương quan 23 ì 5.2 Hàm tự tương quan
Khi xử lý tín hiệu số, việc so sánh hai tín hiệu hoặc hai dãy số liệu là rất cần thiết Để thực hiện so sánh này, người ta sử dụng hàm tương quan r(m), trong đó m đại diện cho khoảng cách giữa các mẫu của hai tín hiệu Hàm tương quan r của dãy y(n) với dãy x(n) được xác định qua biểu thức r(m), với chỉ số dưới xy chỉ ra hướng tương quan, trong đó x(n) là dãy gốc và y(n) là dãy được so sánh Biến m được tính bằng số mẫu giữa hai dãy.
Dãy x(n) và dãy y(n) có mối quan hệ tương đương khi sự dịch chậm m mẫu của dãy y(n) so với dãy x(n) giống như sự dịch nhanh m mẫu của dãy x(n) so với dãy y(n) Để so sánh hai dãy này, chúng ta sử dụng hàm tương quan r^(m).
Nếu thay m = - m vào (1.71) sẽ nhận được (1.74), và tương tự, nếu thay m - - m
Như vậy, r^(w) là đối xứng của r^(w)qua trục tung và chúng đều mang thông tin như nhau về sự tương quan giữa hai dãy x(n) vầy(n).
Biểu thức hàm tương quan rẠm) có cấu trúc tương tự như biểu thức tích chập và thể hiện mối liên hệ rõ ràng với nó Cụ thể, việc biến đổi biểu thức (1.72) sẽ làm nổi bật sự liên quan này.
Tất cả các thuật toán và chương trình tính tích chập x(n)*y(n) đều có thể áp dụng để tính hàm tương quan r(m) bằng cách thay thế các dãy x(n) và y(n) bằng x(-m) và y(m) Để tìm hàm tương quan r(0) cho các dãy có độ dài hữu hạn với N nhỏ, chúng ta có thể tính từng mẫu của r(m) theo cách tương tự như tính tích chập.
Vỉ dụ 1.17: Hãy xác định hàm tương quan rẠrrì) của hai dãy hữu hạn: rXy{m) = 'ỵj x(n).y(n-m) (1.71) ô = —oo
00 hoặc: ryx(m ) = ỵ ^ y ( n + m)jc(n) (1.74) vào (1.72) sẽ nhận được (1.73), do đó có: r^lỵrì) =ryx(-m) (1.75) rxy(m) - ]x (n + m)-y(n) = 'y^y(n)jc[m - (-ô)] = y{nỡ) * x ( - m)
Giải: Dùng công thức (1.67) để lần lượt tính các giá trị của rv (m ) :
1 rXy(0) = Y Jx ( n ) y ( n - 0 ) = ( - l ) l + 2 ( - 2 ) + 1.3+ 2.1 = 0 Để tính r^ O ) với m < 0, lần lượt dịch trái dãy y (n) so với dãy x(n)\
Tính tiếp sẽ được r^im) = ovới mọi m < -5. Để tính r^inj)với m > 0 , lần lượt dịch phải dãy y(n) so với dãy x(n)\
Tớnh tiếp sẽ đượcr^O ) = Ovới mọi Wẻ > 4.
Từ các kết quả tính toán trên, nhận được dãy tương quan r^iỵn) là: rxy(m ) ~ ị ~ 2 ,3 ,1 ,1 3 ,0 , 6 , - 3 , 2 ị
Vi dụ 1.18: Hãy xác định hàm tương quan r^im) của hai dãy: x(n) = rect(n)4 và y(n) = 2nu(n)
Cú thể thấy ngay rằng khi ô e [0, 3] thỡ u(n-m) - 1 với mọi m < 0 nờn:
Tính tiếp sẽ được r^(m) = 0 với mọi m > 4.
Hàm tự tương quan rx(m) được sử dụng để xác định mối quan hệ giữa các thời điểm khác nhau của dãy x(n) Theo định nghĩa, rx(m) là dãy được xác định bởi biểu thức rx(m) = y ' x(n)x(n - nì) = x(n)*x(-n) Khi so sánh các biểu thức này, ta thấy rằng hàm tự tương quan rx(m) là trường hợp riêng của hàm tương quan r^lm) khi y(n) = x(n), tức là khi so sánh dãy x(n) với chính nó tại hai thời điểm cách nhau m mẫu.
Hàm tự tương quan rx{m) đạt giá trị cực đại tại m = 0 vì 7-x(0)là giá trị tương quan của x(n) tại cùng một thời điểm và có:
00 r*(°) = Ỵ Jx(,n)x{n) = Ex (1-79) ô=—00 Vậy rx(0) chính là năng lượng của tín hiệu x(n).
Ví dụ 1.19: Hãy xác định hàm tự tương quan rx{m) của dãy: x(n) = 2 ~nrectA(n) ■ Giải: Theo công thức (1.78) có: rx{m ) = 7 V rectỏ (ô) 2~n~mrectt ( ô - m) = 2~n,y ' j2~2n rect 4 ( n - m) ô=—00 ô=0 rx(0) = 2°ỵ^2~2n rectậ(n) = Y_¡2~ln = 2° +2~2 + 2 “4 + 2~6 =
3 21 rx(-l) = 2 'T ]2 '2Vec/4(n + l) = 2.(2°.1 + 2~2.1 + 2 '\ l + 2"6.0) = —— zố 8 rx(-2) = 22ỵ^2~2nrectậ(n + 2) = 22.(2°.1+2"2.1 + 2"4.0 + 2 '6.0) = 5 ô=0
3 rx (-3 ) = 2Ĩ ^ J2~2" r e c t4( n + 3) = 2 J.( 2 ° l+ 2 " 2.0 + 2~4.0 + 2 ' 6.0) = 8 ô=0 Tính tiếp sẽ được^(/n) = Ovới mọi m < -4:
Tính tiếp sẽ được rẠm) = Ovới mọi m > 4.
1.1 Cho dóy jc ( m ) = [ 1 - recớM (ô)] rectN (ô) với N > M a Rút gọn biểu thức và xác định độ dài của x(n) b Xác định x(n) bằng phương pháp đồ thị với N = 5 và M = 3
1.2 Hãy biểu diễn dãy x(n) = 2" rect 4 ( n -3 ) - rect2( n - 4) dưới các dạng bảng số liệu, dãy số liệu và đồ thị.
1.3 Cho dãy x(n) có đồ thị trên hình 1.14, hãy vẽ đồ thị các dãy sau: a Vi(ô) = x(n - 2) b y2(n) = x(n-2)u(n-3) c y3(n) = x(-/ỉ) d y4(ô) = jc(2-n) e y${n) = x(2-n)j5(n + \) f y6(n) = x(2ô) ĩ(n)
1.4 Hãy viết biểu thức của các dãy sau qua dãy u(n)\ a Dãy xung đơn vị ô (n - k) b Dãy xung đơn vị ổ (n + k) c Dãy cho trên hình 1.15 d Dãy cho trên hình 1.16 e Dãy chữ nhật rect^(n - k) f Dãy chữ nhật rectN(n + k) x(n)
1.5 Hãy viết biểu thức của các dãy sau qua dãy ổ (n)\ a Xị (n) = rect3(n +1) b x2(n) = 0,5.rect2(n -1) c *3 (n) = [rect2 (n - 1) - rect2 ( n - 2)] d x2(rỡ) = 2*"recớ4( ô - l)]
1.6 Xét tính tuyến tính, bất biến, nhân quả của các hệ xử lý số sau: a y,(ô) =x(n2) b y 2 (n) = a.x(n) + b c y ì (n) = e ^ ) d y ậ(n) = x(2n)
1.7 Tính các tích chập sau và biểu diễn kết quả dưới dạng bảng: a yị ( n ) =u(n - 2) * (ô - 2) b >>2(ô) = ra?r4(tt-2)* ô(ô) c ^3 (ô) = rect4 (ô — 2) * [ w(n) + w(ô - 2) ]
1.8 Tỡm phản ứngjYôi của hệ xử lý số cú đặc tớnh xung h(n) và tỏc động x(n) trờn hình 1.17 bằng cách tính trực tiếp tích chập.
1.9 Với tỏc động x(n) = 0,5 ” rectA (ô), hóy tỡm phản ỳ n g y ( n ) của hệ xử lý số cú đặc tớnh xung /?(ô)= 2 n rect3( n )
1.10 Hệ xử lý số có quan hệ vào ra y(n)~ x(n) + n.x(n-2) thuộc loại nào theo phân loại các hệ xử lý số ? Hãy cho biết tính ổn định của hệ xử lý số đó.
1.11 Tìm đặc tính xung h(n) và nhận xét về tính nhân quà, tính ổn định của hệ xử lý số có quan hệ vào ra như sau: y(n) = x(n)+ —jc(/?-1) + x ( n - k ) +
1.12 Giải phương trình sai phân y(n) = x(n) + 2y(n - \) với tác động x(n) = u(n - \) và điều kiện ban đầuy(-\) = 0.
1.13 Cho điều kiện ban đầu 1 ày(-2) = y (-\) = 0, hãy giải phương trinh sai phân: y(n) - 2>y(n - \) + 2y(n - 2) = x(n) + x(n - 2) a Với tác động x(n) = 5 (n - \) oo b Với tác động x(n) = u (n)
1.14 Tìm đặc tính xung h(n) và xác định tính ổn định của hệ xử lý số được mô tả bằng phương trình sai phân: y(n) - 2y(n - - 3y(n -2 ) - 4x(n) - 2x(n - l)
1.15 Tìm phản ứng y(n) của hệ xử lý số TTBBNQ có đặc tính xung h(n) và tác động x(n) hữu hạn cho trong bảng dưới đây. _ _ n 0 1 2 3 h(n) 0,5 1 0,5 0 x(n) 1 0,5 0,25 0
1.16 Tìm đặc tính xung h(n) và xác định tính ổn định của hệ xử lý số có sơ đồ cấu trúc trên hình 1.18.
1.17 Tìm hàm tương quan của dãy x(n) = anrect3(n)với các dãy sau: a y^n) = ô(ô) b y 2{n) = u{-n) c y 3(n) - a~"u(n ) d y ậ(n) = rects (n) e y $(n) =ô(n) f y 6(n) = ỏ ( n - 2)
1.18 Hãy xác định hàm tự tương quan rx(m) của các dãy sau: a Xị(n) = S(n ) b x 2(n ) = S ( - n ) c x 3{n) = ổ(n - k) d x40 ) = r ect N{ỵì) e x5(ô) = rect N( n - k) f x 6(n) = ữ " r ect N( n )
BIÊU DIỄN HỆ THỐNG VÀ TÍN HIỆU RỜI RẠC TRONG MIÈN z 1 Mờ đ ầ u
Biến đổi z
Phép biến đổi z là một công cụ quan trọng trong lý thuyết chuỗi số, được sử dụng để chuyển đổi các dãy số nguyên n thành hàm biến số phức z thông qua biến đổi z thuận Ngược lại, biến đổi z ngược cho phép chuyển đổi các hàm biến số phức z trở lại thành dãy số nguyên n.
2.1.1 Biến đổi z hai phía Định nghĩa: Biến đổi z hai phía của dãy x(n) là chuỗi lũy thừa của biến số phức z: x(z)~ ^x(n).z~n (2.1) n = - co miền xác định của hàm X(z) là các giá trị của z để chuỗi (2.1) hội tụ.
Dãy x(n) được gọi là hàm gốc, trong khi X(z) được gọi là hàm ảnh z Biến đổi z hai phía thường được gọi tắt là biến đổi z Chuỗi (2.1) biểu thị cho biến đổi z thuận và được ký hiệu tương ứng.
(.ZT là chữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh: z - Transform).
Ví dụ 2.1: Hãy xác định biến đổi z hai phía của các dãy sau: a ô{n) b ổ (n -k) c ô{n + k) d x(n) = { 3 , 2 , - 5 , 1 } t
Chuồi (2.4) hội tụ với mọi 2, nễnZT[õ(jĩ)] xác định với mọi z. b ZT[ổ( n- k) ] = Ỳ j ỏ ( n - k ) z - n = z~k (2.5)
Chuỗi (2.5) hội tụ với mọi z > 0, n èn Z I\S {n -k)] xác định với mọi z > 0. c ZT[i + *)] = ¿i+ *).*"" = ** (2.6)
Chuỗi (2.6) hội tụ với mọi 2 < 00, nênzr[£(n + £)] xác định với mọi 2 < 00. d x(z) = y^x(ô).z~n = ^ jc(/7).z”” = 3.Z1 +2-5.Z-1 + z~2 (2.7) n=-°0 >7=— 1
Hàm A'fZy) xác định trong miền 0 < 2 < 00.
2.1.2 Biến đổi z một phía Định nghĩa: Biến đổi 2 một phía của dãy x(n) là chuỗi lũy thừa của biến số phức z: x'{z)= Ỵ j x{n).z~n (2.8)
>7=0 miền xác định của hàm x \ z ) là các giá trị của z để chuỗi (2.8) hội tụ.
Biến đổi z một phía được lẩỵ theo tổng với n biến thiên từ 0 đến 00 Chuỗi (2.8) là biểu thức của biến đổi z một phía thuận và được ký hiệu như sau:
Vỉ dụ 2.2: Hãy xác định biến đổi z một phía của các dãy ở ví dụ 2.1 và so sánh kết quả với biến đổi z hai phía tương ứng. a S(n) b ô {n -k) c ỏ(n + k) d x(n) = { 3 , 2 - 5 , 1 } t
Dãy nhân quả ỗ(n) có biến đổi z một phía giống biến đổi z hai phía b ZT' [ ỏ( n- k) ] =ị j ỏ(n-k) z-n = z-k
Dãy nhân quả 5{n - k) có biến đổi z một phía giống biến đổi z hai phía c ZT'[ố(n + k)} =¿< 5( m + ¿) z "” = ¿ 0.z'" = 0 n =0 /7=0
Dãy phản nhân quả ô(n + k) có biến đổi z một phía luôn bằng 0.
Dãy không nhân quả x(n) có biến đổi z một phía khác biến đổi z hai phía.
2.2 Miền hội tụ của biến đổi z Định nghĩa: Tập hợp t ấ t cả các giá t r ị của biến s o phức z mà t ạ i đ ó c á c c h u ỗ i
(2.1) và (2.8) hội t ụ được gọi là miền hội tụ của biến đ ổ i z
Miền hội tụ của biến đổi z được ký hiệu là: RC[X(z)] hoặc RC (RC là chừ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh: Region o f Convergence).
Các dãy x(n) hữu hạn có biến đổi z tạo thành chuỗi hữu hạn, do đó chúng hội tụ trên toàn bộ mặt phẳng z, ngoại trừ hai điểm \z\= 00 và z = 0, cần được xem xét cụ thể Công thức x(z) = ZT[x{rì)N] có R C [X(z)] với điều kiện 0 < |z| < 00.
2.3 Hàm X(z) dạng phân thức hữu tỷ
Vì biến đổi z là chuỗi lũy thừa của z nên có thể biến đổi hàm X(z) về dạng phân thức hữu tỷ: jrW A - g ạ , (2.1 0)
(1 -f- Q \ Z * C Ì2 ^ ■+• 4 - ữ N Z N ) hoặc: ỵ f A jBCf) = A(bữz u + bxz M + + b M_tz + b M)z: r(A ỉ -M) Đ(z) 0 + ũị Z n 1 + + aN_ịZ + aN) ( 2 11 )
Trong đó A và các hệ số ar , bk là các hằng số thực.
Phương trình B(z) = 0 có M nghiệm là zữk, và tại z = z0k, hàm X(z) đạt giá trị 0, do đó các điểm z0* được gọi là không điểm của hàm X(z) Đa thức D(z) với hệ số a0 = 1 được xác định là đa thức đặc trưng của hàm X(z).
Phương trình đặc trưng D(z) = 0 có N nghiệm là zpr và tại z = zpr thì X(z) = 00, do đó các điểm zpr được gọi là cực điểm của X(z).
Ngoài ra, phụ thuộc vào quan hệ giữa N và M, hàm X(z) còn có thể có một không điểm hoặc cực điểm tại z - 0.
Trên mặt phang phức, các không điểm zoic của hàm
X(z) được ký hiệu bằng dấu khuyên tròn nhỏ “o“ còn các cực điểm Zpr được ký hiệu bằng dấu gạch chéo nhỏ như trên hình 2.2.
Hình 2.1: Không và cực của X(z)
Theo các không điểm Zữk và cực điểm zpr của X(z), có thể đưa phân thức hữu tỷ
(2.1 1) về dạng: x( z) A B{z) A(z - z ữị){z - z ữĩ) ịz - zũm )X"-M) (2 12)
Các cực điểm zpr của hàm X(z) có ý nghĩa rất quan trọng đối với việc phân tích hệ xử lý số trong miền z.
Biến đổi z ngược
Biến đổi Z thuận (2.1) cho phép xác định hàm ảnh X(z) từ dãy gốc x(n), trong khi biến đổi Z ngược giúp tìm lại dãy gốc x(n) từ hàm ảnh X(z) Để xác định biểu thức của biến đổi Z ngược, ta xuất phát từ công thức của biến đổi Z thuận (2.1): ỵ(z) = Σx(n)z^(-n) (2.13), với n chạy từ -∞ đến ∞.
Nhân cả hai vế của phương trình (2.13) với thừa số z^(-1)/j2 n, sau đó thực hiện tích phân theo chiều dương trên đường cong kín c nằm trong miền hội tụ của X(z) và bao quanh gốc tọa độ, ta thu được kết quả như sau:
Vì tích phân (2.14) lấy trong miềm hội tụ của chuỗi (2.13), nên có thể đổi vị trí của dấu tổng và dấu tích phân ở vế phải của (2.14):
Theo định lý Cauchy về tích phân theo chiều dương trên đường cong khép kín c bao quanh gốc tọa độ trong mặt phẳng phức có: j2n ị [ 0 khi k * 0
Do đó tất cả các số hạng của chuồi ở vế phải của (2.15) đều bằng không, trừ một sổ hạng ứng với m - n là bằng x(n), nên từ (2.15) có: x{n) = —ỉ— X(z)z x(n) (2.18)
(IZT là chữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh: Invertse z Transform).
Tính trực tiếp tích phân (2.16) là khá phức tạp, vì thế thường sừ dụng các phương pháp gián tiếp để tìm biến đổi z ngược.
Khi sử dụng biến đổi Z để phân tích và tổng hợp hệ xử lý số, cần chuyển dãy x(n) sang miền biến số Z bằng biến đổi Z thuận Sau khi thực hiện các biến đổi cần thiết trong miền Z, cần áp dụng biến đổi Z ngược để thu được kết quả trong miền thời gian.
Để xác định dãy x(n) từ biến đổi z ngược, việc tính trực tiếp tích phân thường rất phức tạp Do đó, người ta đã phát triển các phương pháp gián tiếp nhằm tìm ra biến đổi z ngược một cách hiệu quả hơn.
- Phương pháp khai triển X(z) thành chuỗi lũy thừa.
- Phương pháp phân tích X(z) thành tổng các phân thức đơn giản.
Trong lý thuyết hàm biến số phức, phương pháp thặng dư dùng đê tính tích phân:
Tích phân (2.19) được lấy theo chiều dương trên đường cong khép kín c bao quanh gốc tọa độ và nằm trong miền hội tụ của hàm Q(z).
Nếu Q(z) có một cực bội bậc q tại z = Zp thì có thể phân tích Q(z) thành: v(z) ô(z)= 7 _ \ q (Z~ Zp)
—ỉ— í Q(z)dz = —ỉ— —ỊỉiỂ}.— dz - Re s j 2 n ị j 2 n ị { z - z p)q p với Respđược gọi là thặng dư của hàm Q(z) và được tính theo biểu thức:
Trong trường hợp riêng, nếu là nghiệm đơn thì q = 1 nên:
Resp = N(z) z = Zp = N ( z p) (2.21) Đe tìm biến đổi z ngược, áp dụng phương pháp thặng dư cho hàm
Q{z) = X ( z ) z (n~ì ) Giả sử Q(z) có m cực bội bậc qi thì có thể phân tích Q(z) thành tổng: e ( z ) = N ý z)
Khi đó, biểu thức biến đổi z ngược (2.16) được đưa về dạng: x(n) = -^—\x ( z ) z {n~')dz = —ỉ—í v —HÁĩl—¿2 (2.2 2) j 2 n \ f l n ị k { z - z p,y>
Vì đường cong khép kín c nằm trong miền hội tụ của hàm X(z)-z^(-1), nên tích phân ở vế phải của (2.2 2) có thể thực hiện trên từng số hạng của chuỗi Do đó, có thể hoán đổi vị trí giữa dấu tổng và dấu tích phân.
Các thặng dư Rej ứng với các cựcz ,của A'(z).z(”"l) Re J của cực đơn tính theo (2.21), Resp, của cực bội bậc q tính theo (2.20)
Ví dụ 2.3: Hãy tìm x(n) = IZT[X(z )] =
Với n > 0, hàm X{z )z (ô-!) cú cực đơn z = a
Vì RC[X(z)} :\z\ > \ a \ nên x(n) là dãy nhân quả, do đó kết quả là: o A x(n) = IZT
3.2 Phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa
Vì X(z) là hàm giải tích của z, nên trong miền hội tụ của nó, có thể khai triển X(z) thành chuỗi lũy thừa của z'" theo dạng:
X(z) = Ỵ j a„.z~n (2.24) mặt khác, theo định nghĩa của biến đổi z có: x(z) = Ỵ dx(n)^~n (2.25) n=-co
Trong miền hội tụ của X(z), cả hai chuỗi trên đều hội tụ nên khi đồng nhất các hệ số của hai chuỗi (2.24) và (2.25), tìm được dãy: x(n) =an (2.26)
Vậy khi khai triển X(z) thành chuỗi luỹ thừa (2.24), sẽ tìm được dãy x(n) theo các hệ số của chuỗi.
Ví dụ 2.4: Hãy tìm dãy x(n) của hàm ảnh x(z) = ——— , với RC[X(z)] :| z ị > I a \.
Chia cả tử số và mẫu số cho z nhận được:
Vì RC[X{z)] :| z I > I a I nên x(n) là dãy nhân quả.
Chia tử số cho đa thức mẫu số (1 + azA):
3.3 Phương pháp phân tích X(z) thành tổng các phân thức Đây là phương pháp sử dụng bảng biên đôi z cơ bản (bảng 2.1) Đê tìm dãy x(n) của các hàm X(z) phức tạp, chi cần phân tích X(z) thành tổng của các hàm ảnh có trong
• bảng biến đổi z, và áp dụng tính chất tuyến tính tìm được hàm gốc bằng tổng của các hàm gốc thành phần.
Trong đa số trường hợp, có thể đưa hàm X(z) về dạng (2.11): x ( ) = À B('Z-> = A' ^ ° zM + bj zM~' + + b M-iz + bM) z (N M) ^2 2 7 )
Trong đó, A là hằng số và đa thức D(z) với ao = 1 được gọi là đa thức đặc trưng của hàm X(z) Phương trình đặc trưng D(z) - 0 có N nghiệm Zpk, tương ứng với các cực điểm của hàm X(z).
Hàm X(z) được phân loại dựa trên bậc của các đa thức trong tử B(z) và mẫu D(z) Nếu bậc của D(z) lớn hơn bậc của B(z) (N > M), hàm X(z) được gọi là dạng chính tắc Ngược lại, nếu bậc của B(z) lớn hơn bậc của D(z) (N < M), hàm X(z) sẽ là dạng không chính tắc Để chuyển đổi sang dạng chính tắc, có thể thực hiện phép chia đa thức hoặc áp dụng các biến đổi toán học thích hợp.
Trong đó X ’(z) là hàm dạng chính tắc Vì C(z) là đa thức lũy thừa của z, nên có thể dễ dàng tìm được biến đổi z ngược của nó:
Trong mọi trường hợp, cần nghiên cứu phương pháp tìm biến đổi z ngược của hàm X(z) dạng chính tắc Hàm X(z) chính tắc có thể được biểu diễn qua các cực điểm zpk, với công thức: ỵ(z) = A B{z) = A ị b ^ " + bxz' + b 2z* + + b M) X N-M).
Hàm X(z) được biểu diễn dưới dạng D(z) (z - z_p1)(z - z_p2) (z - z_pN) có các cực điểm z_pk Các cực này có thể là cực đơn, tức là các giá trị khác nhau, hoặc cực bội bậc q, tức là các giá trị giống nhau Hơn nữa, z_pk có thể là các số thực hoặc số phức Trước tiên, chúng ta sẽ nghiên cứu trường hợp X(z) có nghiệm đơn giản.
3.3.1 Trường hợp hàm X(z) chỉ có các cực đơn là số thực
Khi X(z) là hàm (2.27) và (2.28) dạng chính tắc và có N cực đơn zpk là số thực
(N cực thực đơn), thì có thê phân tích X(z) thành tông của các phân thức đơn giản dạng:
D(z) 7? ị(z -z pk) ( z - z p]) ( z - z p2) ( z - z pN) Để xác định hệ số Bk , nhân cả hai vế của (2.29) với (z - z p k ):
V , , _ BÁz ~ z pk) B2( z - z pk) x ( z ) ( z - z pk) - —; - — + —7 - — + + Bk + + BN( z - z pk)
Tại z - zpk thì trừ Bk, còn tất cả các số hạng khác ở vế phải của biểu thức trên đều bằng không, do đó có:
Lấy biến đổi z ngược hàm X(z) (2.30), tìm được dãy x(n)\
Theo tính chất trễ và ZT[a"u(n)] = - = —-— , với/?C[A'(z)] :|z| >max[z„t ], nhân
Dãy (2.31) có dạng trễ, để nhận được các dãy x(n) không ở dạng trễ như trên, chia cả hai vế của (2.27) cho z và phân tích hàm:
Chỉ Số k chạy từ 0, do z.D (z ■) - 0 có thêm một nghiệm Zp 0 = 0 (hoặc B(z) = 0 giảm một nghiệm tại Z 01 = 0 ) Từ (2.32) nhận được:
X ( z ) = Ỳ í Bk — ^ — Ếo ^ (z - V ) Trong đó, các hệ số ổ* được xác định theo biểu thức:
Lấy biến đổi z ngược hàm X(z) (2.33), tìm được dãy x(n)\ x(n) = IZT[X(z)] = IZT ¿ 5 * - — - p > ( Z-Zpk) '
Theo bảng 2.1, với RC[X(z)] :\z\ >max[zpk], nhận được: x{n) = IZT[X{z)) = Ỳ B k.z;k.u(n) k=0
3.3.2 Trường hợp hàm X(z) có nhiều cực dạnẹ phức tạp Để đơn giản và dễ hiểu mà không làm mat đi tính tổng quát, giả sừ X(z) là hàm (2.27) hoặc (2.28) dạng chính tắc và có r cực thực đơn Z p k , một cực thực bội zpq bậc q, một cặp cực phức liên hợp z pevà z ‘pe, khi đó có thể phân tích X(z) thành tổng của các phân thức dạng:
X ( z ) E E* Bk c, z = ( z - z pe) ( z - z ’pe) Ề J o ( z - z pk) M ( z - z pqý
Trong đó thành phần ứng với r cực thực đơn Zpk là: x h{z) By x b(z) _ ỷ i Bk z ù ( z ~ z pk
Thành phần ứng với cực thực bội Zpg bậc q là:
Thành phần ứng với cặp cực phức liên hợp z pev à z'pe là: x,(z) E E*
Tương tự trường hợp hàm X (z ) chỉ có các nghiệm thực đơn, các hệ số ổ* của (2.37) được xác định theo (2.34) VớitfC[A'fc(z)] :|z| >max|z/)i| , từ hàm X b(z), theo (2.35) nhận được thành phần x b(n): x b(n) = I Z T [ X h(z)] = Ỳ B k z;k.u(n) (2.40) k=0
Các hệ số c, cùa (2.38) ứng với cực thực bội z p q , được xác định như sau:
(2.41) Với/?C[Zc(z)] :| z I > I z pq I, từ hàm Xc(z) nhận được thành phần xc(n)\
Các hệ số phức °E và i* ứ n g với cặp cực phức liên hợp z pev à z'pe Ta chỉ cần xác định
Trong đó, Xb(n) được xác định theo (2.40), xc(n) được xác định theo (2.42), và xe(n) được xác định theo (2.44).
Ví dụ 2.5: Hãy tìm dãy x(n) của hàm ảnh:
Giải: Vi đa thức ở mẫu có a0 = 4 * 1 nên phải nhóm thừa số 4 ra ngoài Để nhận được hàm gốc x(n) dạng không trễ, phân tích hàm: x ( z ) = (2z2 + z - 3 ) = ( 2 z 2 + z - 3) ( 2 4 6 ) z 4 z ( z 2 + l ) ( z 2 - z + 0,25) 4 z ( z - j ) ( z + j)(z - 0 ,5 )2
Phương trình đặc trưng z ( z - ý ) ( z + j)(z - 0 ,5 )2 = 0 có:
- Một nghiệm đơn tại zp0 = 0,
(2.43) vì theo lý thuyết hàm biến số phức thì /(z*) = /* (z ), nên có:
( Z ~ Z P e ) ( Z ~ Z P e ) với RC[Xe(z)] :| z I > I z pe I, từ hàm Xe(z) nhận được hàm gốc xe(n):
Vậy: xe(n) = ỈZT[Xe( z )] = E.eJiPt ( z peỴ u( n) + E.e~Jq>' Ự peỴ u ( r ì ) xe(rì) = E e ^ (I I e19’ Ỵu(rì) + E £ > 9- (I z pe I Ỵ u( n) xe(n ) = E.\ z pe I" u(n) {eíq>' einq>‘ + £~JV' xe(n) = 2E I z pe r u(n) e J(”0n)] = —^ ———— —— với RC : Ị ZI > I a I
Z -2a.zcos I a I hay: (2.53)
4.4 Tính chất biến đảo: Hàm ảnh z của dãy biến đảo x(-n) có biến là z'
Nếu: ZT[x{n)] = X ( z ) v ớ i RC\ X{z ) ] : Rx_ < I z I < Rx+
Thỡ: Y(z) = ZT\y(rỡ) = *(-ô)] = X{z ~ x) (2.54) với /?C[r(z)]: < I z I < -7- n rJ /v
Ví dụ 2.9: Hãy tìm biến đổi z của dãy phàn nhân quả x(n) = a~"u(-n )
Sử dụng tính chất biến đảo nhận được:
Nếu: ZT[x(n)] = X ( z ) với RC[X(z)] :Rx_ < \ z \ < Rx+
Thì: Y(z) = Zĩ\y(n) = n x(n )\= -z.^^- dz với RC[Y(z)} : Rx_ < I z I < Rx+
Ví dụ 2.10: Hãy tìm biến đổi z của các dãy sau: x(n) =n.u(n)
Giải: Sử dụng tính chất đạo hàm ta nhận được:
4.6 Tính chất tích chập: Hàm ảnh z của tích chập hai dãy bằng tích hai hàm ảnh thành phần.
Nếu: ZT[X\{n)] = x ,(z ) với RClX,(z)] :R,.< Iz| < R1+ và: Zĩ[x2 (ô)] = X 2 (z) với RC[X 2 (z)]: R2_ < I z I < R2+
Thì: Y(z) = ZT\y(n) = Xịin)*x2(n)]= x ](z) x2(z) (2.58) với RC[Y{z)] :max[/?,_]< |z| < min[/?(+]
Miền hội tụ của hàm Y(z) là giao các miền hội tụ của các hàm X\(z).
Ví dụ 2.11: Tìm phản úngy(n) của hệ xử lý số tuyến tính bất biến nhân quả có đặc tính xung h{n) = 2 nrect2(n - 1) với tác động là x(n) = u(n).
Giải: Theo biểu thức biến đổi z thuận (2.1) có: co 2
Theo bàng 2.1 và các tính chất trễ, tuyến tính nhận được:
Lấy biến đổi z ngược tìm được phản ứng y(n): y(jỡ) = /Z7[K(z)] = 2ô(rt -1) + 4ớ/(rt - 2)
4.7 Hàm ảnh z của tích hai dãy
Nếu: ZT[xx(jì)] = Z ,(z) với RC[Xx (z)] :/? ,_ < I z| < fl1+ và: ZT[ x 2 (ô)] = x 2 (z) với /?C[Z2 (z )]: r 2_ < I z I < R2+
Hàm Y(z) được xác định bởi công thức y(z) = Z7’[y(ô) = X j (ô) jc 2(ô)], trong đó miền hội tụ của Y(z) là giao của các miền hội tụ của X1(z) và X2(z) Để tính tích phân (2.59), đường cong kín c cần bao quanh gốc tọa độ và nằm trong miền hội tụ của cả hai hàm.
4.8 Định lý giá trị đầu của dãy nhân quả: Nếu x(n) là dãy nhân quả và x{z) = zr[jc(ô)] thỡ: lim x(z) = x(0).
4.9 Hàm ảnh z của dạy liên hợp phức
Nếu: ZT[x{ri)] = X{z) với RC[X{z )] :RX_ < I z I < Rx+
Thì: ZT[x\n)] = x \ z ' ) với /?C[K(z)] :RX_ < |z| < Rx+ (2.60)
4.10 Biến đổi z của hàm tương quan rXy(m )
Ví dụ 2.12: Cho các tín hiệu số x(n) = 0,5 nu(n) và y(n) = ỏ ( n - 2), hãy tìm hàm tương quan rv (m)
Giải: Sử dụng biểu thức (2.5) với k = 2 và bảng 2.1 nhận được:
Lấy biến đổi z ngược, tìm được: r^(w) = 0,5(m+2)wO + 2)
4.11 Biến đổi z của hàm tự tương quan rx(m)
Thì: fl,(z) = zr[rx(m)] = A'(z)JT(z'1) (2.62)
Lí dụ 2.13: Tìm hàm tự tương quan rx(m) của tín hiệu số x(n) = ổ (n -k).
Giải: Sừ dụng (2.5) và theo (2.62) tìm được:
Lấy biến đổi z ngược, tìm được: rx(m) = S(m).
4.12 Bảng các biến đổi z cơ bản
Bảng 2.1 trên trang 4.2 trình bày các cặp biến đổi z của các dãy nhân quả phổ biến, đã được chứng minh qua các ví dụ trước đó Bảng này đóng vai trò quan trọng, giúp người dùng nhanh chóng xác định biến đổi z thuận và biến đổi z ngược, hỗ trợ hiệu quả trong việc giải quyết các bài toán phân tích và tổng hợp hệ xử lý số.
Theo tính chất biến đảo của biến đổi z, từ bảng 2.1 xây dựng được bảng 2.2 ở trang 116 là biến đổi z của một số dãy phản nhân quả.
Bảng 2.1: Biến đồi z của các dãy nhân quả thường gặp
S(n) â ( n - k ) u { n ) u ( n - k ) r e c t N( n ) a nu(n) n u ( n ) n a ”u ( n ) u(n).cos(ũ)0n ) ô(ô).sin(cy0rt) anu(n).cos(a>ữn ) a n u ( n ) s i n ( c o 0n)
(z -2zcosa>0 +1) z(z -ứCOSí^o) (z2 - 2a.zcoscy0 + a 1 ) a z sin Củn
Miền hội tụ Toàn bộ mặt phảng z IZI > 0 (với k> 0)
Bảng 2.2: Biến đồi z của một số dãy phản nhân quả X
• n.a~nu(-n ) u(-n).cos{coữn) u{-n).sm(coữn) a nu(-n).cos(cửữn) a ”w(-ô).sin((y0rt)
Biểu diễn hệ thống rời rạc trong miền z
Trong miền thời gian rời rạc n ta có quan hệ vào ra của hệ thống được thể hiện qua phép chập: x(n) h(n) -+ y(n) y(n) = x(n) * h(n)
Trong miền z phép chập đã được chuyển thành phép nhân đại số thông thường, đây là một trong những ưu điểm cùa biến đổi z.
H(z) là hàm truyền đạt của hệ thống rời rạc, được xác định thông qua biến đổi z của đáp ứng xung Nó cũng có thể được mô tả là tỷ số giữa biến đổi z của tín hiệu ra và biến đổi z của tín hiệu vào.
5.2 Liên hệ vói phương trình sai phân
Xét phương trình sai phân tổng quát:
Biến đổi z hai phía của phương trình sai phân: r* — y r- ảa phương trình sai phân:
X(z) akz k= 0 Đây chính là hàm truyền đạt của hệ thống rời rạc tìm được thong qua biến đổi z đối với phương trình sai phân.
Y(z) ũ Y(z) = Ỵ ềXi{z) i=l Hình 2.2: Ký hiệu phần tử cộng trong miền z
5.3.3 Phần tử nhân vói hằng số
5.4 Cách mắc sơ đồ hệ thống trong miền z
Khi các hệ thống được kết nối song song, hàm truyền đạt của hệ thống tổng quát sẽ được tính bằng tổng các hàm truyền đạt của từng hệ thống thành phần.
Hình 2.3: Sơ đồ các khối Hị(z) liên kết song song
Khi có các hệ thống mắc nối tiếp, hàm truyền đạt của hệ thống tổng quát được xác định bằng tích các hàm truyền đạt của các hệ thống thành phần.
Hình 2.4: Sơ đồ các khối H¡(z) liên kết nối tiếp
- Xét một hệ xử lý số có vòng phản hồi trên hình 2.5, theo sơ đồ khối có: x 2{z) = Y(z ) H2(z) và: X, (z ) = X ( z ) + A'j (z ) = X{z) + Y{ z ).H2 ( z )
Hình 2.5: Sơ đồ khối của vòng phản hồi
Vi dụ 2.14: Cho hệ thống rời rạc có sơ đồ sau đây:
Tìm hàm truyền đạt H(z) ? Tìm đáp ứng xung h(n) của hệ thống ?
- Điều kiện ổn định trong miền thời gian rời rạc n: s = 2]h(n) 1 =í> hệ thống không ổn định
2.1 Xác định biến đổi z của các tín hiệu hữu hạn sau: a Xi(n) = {1, 2, 5, 7, 0,1} b x2(n) = { 1 ,2 , 5, 7, 0, 1} c x3(n) = {0, 0, 1, 2, 5, 7, 0, 1} d x4(n) = {2, 4, 5, 7, 0, 1}
2.2 Xác định biến đổi z của các tín hiệu hữu hạn sau: a Xi(n) = 5(n - k), k > 0 b x2(n) = ô(n + k), k > 0
2.3 Xác định biến đổi z của tín hiệu: x(n) = a"u(n) = ịan n > 0
2.4 Cho x(n) = (3.2" - 4.3n)u(n) Xác định X(z) ? fl 0 < n < N -1 2.5 Xác định biến đổi z của tín hiệu: x(n) = ■
2.6 Cho X(z) = —í — Xác định x(n) bằng phương pháp khai triển thành chuỗi lũy z + thừa.
Xác định điểm cực, điểm không hệ thống Biểu diễn
Xét tính ổn định của hệ thống ?
2.9 Một hệ thống LTI nhân quả có đáp ứng xung h(n), biến đổi z của nó là:
2 4 a Miền hội tụ của H(z) là như thế nào ? b Hệ thống có ổn định không ? Giải thích ? c Tìm biến đổi z X(z) của ngõ vào x[n] để tạo ngõ ra:
* " > " i í 1 Y u ( n ) - ^ (2)nư ( - n - l) d Tìm đáp ứng xung h[n] của hệ thống.
2.10 Một hệ thống LTI nhân quả có hàm truyền: H(z) = 1 + 2z 1 + z' 2
(1+* z - ') ( l - z - 1) 2 a Tìm đáp ứng xung đơn vị của hệ thống, h(n) b Tìm ngõ ra cùa hệ thống, đối với tín hiệu ngõ vào: x(n) = e,(,t/2)n
2.11 Đối với mỗi cặp biến đổi - z của lối vào và lối ra X(z) và Y(z), hãy xác định miền hội tụ cho hàm truyền đạt H(z): a X(z) = 7 ’
2.12 Một hệ thống LTI được đặc trưng bởi hàm truyền đạt:
2 4 a Xác định đáp ứng xung của hệ thống ? z > b Xác định phương trình sai phân mô tả quan hệ giữa tín hiệu ngõ vào x(n) và ngõ ra y(n) của hệ thống ?
2.13 Ngố vào của một hệ thống tuyến tính bất biến với thời gian và nhân quả là: x(n) = u(-n - 1) +í 1 V u(n)
Biến đổi z của ngõ ra của hệ thống này là: Y(z)
SO a Xác định H(z), biến đổi z của đáp ứng xung của hệ thống Định rõ miền hội tụ b Miền hội tụ của Y(z) là như thế nào ? c Xác định y(n).
BIỂU DIỄN HỆ THỐNG VÀ TÍN HIỆU RỜI RẠC TRONG MIÊN TẦN SÓ LIÊN TỤC 1 Mở đ ầ u
Biến đổi Fourier của các tín hiệu rời rạc
2.1 Biến đổi Fourierthuận Định nghĩa: Neu dãy x(n) thoả mãn điều kiện:
Xl*0)| < 00 (3.1) ô = —co thì sẽ tồn tại phép biến đổi Fourier như sau:
Biến đổi Fourier đã chuyển dãy số x(n) thành hàm phức X (e°), (3.2) là biểu thức biến đổi Fourier thuận và được ký hiệu như sau:
(FT là chữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh Fourier Transform).
Ký hiệu X(eị0)) để phân biệt phép biến đổi Fourier của dãy số x(n) FT\x(n)] = x(eJX) với phép biến đổi Fourier của hàm liên tục x(t):
Biểu thức biến đổi Fourier cho dãy số x(n) được phát triển từ biểu thức biến đổi Fourier của hàm liên tục x(t) Khi hàm trong dấu tích phân là dãy rời rạc, cần thay dấu tích phân bằng dấu tổng để phù hợp với tính chất của dãy số.
Do tính chất tuần hoàn của hàm mũ é m, nên X(e/(0) là hàm tuần hoàn của biến Củ với chu kỳ 2n:
X(eiUo+k2n)) = ỵ jx(n)e-Am+kĩ,r)n = ¿jc(ô).ft) - ý sin (íy n )]
Hàm phần thực: x R{co) = Re[jỊr(ey")] = ¿x(ô).cosịco.n) ằ=-00
Hàm phần ảo: x,(co) = \m[x(eJa>)] = - ¿x(/ớ).sin(ớằ.n) ô=— 00
2.3.2 Dạng mô đun và argumen
MÔ đun: \x{ejm ) = yỊxị (a>) + x ) (íy) (3.12)
IA 7 Ó I được gọi là hàm biên độ tần số, nó là hàm chẵn và đối xứng qua trục tung: \x(e>") \ = \ x ( e rm) \ ọ(co) được gọi là hàm pha tần số, nó là hàm lẻ và phản đối xứng qua gốc toạ độ:
2.3.3 Dạng độ lớn và pha
X( elt0) = A(eJa) £ jeia) = I A(eJwị e Ma)
Hàm độ lớn A (é (ữ) có thể nhận các giá trị dương hoặc âm, và:
Hàm pha: ỡ(a>) = ỗ(co) - Arg[A(ejm )]
Với Arg[A(ej a )] phụ thuộc vào dấu của hàm A(eJữ>) như sau: Í 0 Khi A(ejm) > 0 Arg[A{eJ(0)] = \
Một cách tổng quát, có thể viết:
Theo (3.17), có thể biểu diễn hàm pha ỡ(co) dưới dạng như sau:
Ví dụ 3.2: Hãy xác định các hàm phần thực và phần ảo, mô đun và argumen, độ lớn và pha của hàm tần số x ( e Jữ>) = cos(2ũj)£~Jứ)
Hàm phần thực: x r ( cử ) = c o s (2 íy ) c o s ( íy )
Hàm phần ảo: Xj{co) = - c o s ( 2 f t ) ) s in ( t y )
Mô đun: |A'(e;'")| = yj c o s 2 (2 < y ).c o s 2 (iy ) + c o s 2 (2 < y ).c o s 2 (fi>) = |c o s(2 (y )| c o s (2 iy ).s in (iu )
).c o s(íy ) = -Cữ
Biến đổi Fourier ngược cho phép tìm dãy x(n) từ hàm ảnh X (é a)
Xuất phát từ biểu thức Fourier thuận:
Nhân cả hai vế của với eị0)m rồi lấy tích phân trong khoảng (-7T, 7ĩ)\
Vì: í eJw{m-n)dco = 1 27T Ar/ỉ/ m -n i 1 0 khi m *n
Từ đó suy ra biểu thức của phép biến đổi Fourier ngược: x{n) = — ĩ x ( e j)£~j2e>.
Giải: Ta có: x(n) = — J cos(o))£~Jĩía £J)
Nếu k > 0 là x(n) bị giữ trễ k mẫu, nếu k < 0 là x(n) được đẩy sớm k mẫu
Vỉ dụ 3.5: Hóy tỡm: x(eJ'°) = FT\Tn r e c t N (ô)]
Theo biểu thức (3.6) và tính chất dịch của biến đổi Fourier nhận được:
Thì: Y{eJ" ) = FT y{n) = X A,.Xị (n) = ỵ A, JCt (eJ“>) (3.23) i i
Trong đó các hệ số A\ là các hằng số.
Vi dụ 3.4: Hãy tìm hàm phổ của tín hiệu số x(n) = - S(n - 1) + - õ { n - 3)
Giải: Theo tính chất tuyến tính của biến đổi Fourier có:
Thì: FT[x{n - * )] = e-jk(ữX{eja ) = ịx(eJía ị e (3.24)
3.3 Tính chất trễ của hàm tần số: Khi nhân dãyx(n) với Ế?'"0'1, trong đó 0)0 là hằng số, thì hàm tần số x(e/m) không bị biến dạng mà chỉ tịnh tiến trên trục tần số một khoảng bằng ũ)o, theo chiều ngược với dấu của 0)0.
Vỉ dụ 3.6: Tớn hiệu số x(n) cú phổ tần số là X{ejal) = Fr[x(ô)], hóy tỡm phổ tần số của tín hiệu điều biên y{n) = x(n).cos(ũ)0n )
Do đú: F 2 " [x (n ).c o s (ớy 0ô ) ] = FT - x ( n ) Ê jw°"
Theo tính chất dịch của hàm tần số nhận được:
3.4 Tính chất biến đảo: Biến đổi Fourier của các dãy thực có biến đảo x(n) và x(-n) là hai hàm liên hợp phức.
Thì: FT[x(-n)] = X(e-Jm ) = x \ e ja ) = \x(eja ịe~Ma>) (3.28)
Ví dụ 3.7: Hãy tìm X{ej‘°) = FT[2nu{-rí)]
Giải: Theo biểu thức (3.6) và tính chất biến đảo có:
3.5 Hàm tần số của tích chập hai dãy: Hàm tần số của tích chập hai dãy bằng tích của hai hàm tần so thành phần.
Nếu: FT[xx{n)] = x,{eia>) và FT[x2 ( ô ) ] = (eJ* )
Thì: Y(eJW) = FT[x,(n)* x 2{n)} = X {(eJro)JC2(eja)) (3.29)
Vi dụ 3.8: Hãy tìm X(eJ)
Thì: FT[xx(n)jc2(n)] = -Ị- í x,{eia').X2(eJ(m-°>,))dcữ' (3.30)
Hay: Fĩ [ xx {n)x2 (ô)] = ¿ Xx {eja ) * {ejm ) (3.31)
3.7 Công thức Parseval: tính năng lượng của tín hiệu theo hàm phổ.
Vi dụ 3.9: Hóy xỏc định năng lượng của tớn hiệu sổ x(n) = 2“"ô(ằ) theo cả hàm thời gian và hàm phổ, so sánh hai kết quả nhận được.
G iải: Theo hàm thời gian có:
' • - Ẻ ^ - ẳ ^ - ẳ ^ - T n p r - T ô=-00 ô= 0 ô=0 V1 " 4 J Để xác định năng lượng theo hàm phổ, trước hết tìm: x(ejm) = ỷ 2 -nu(n).e-jmn = - — = - ỉ -
Tính năng lượng của x(n) bằng công thức Parseval (3.32):
3.8 Đạo hàm của hàm tần số
Ví dụ 3.10: Hãy tìm biến đổi Fourier của dãy x{n) = 2 ~"n.u(n)
Theo (3.33) có: FT[2-nn.u(n)] = / — deo
3.9 Phổ tần số của hàm tương quan rXy(m)
PÍ' 1, do U(z) lchông hội tụ trên vòng tròn đơn vị I Z I = 1 nên u(n) không có biến đổi Fourier, câu a ví dụ 3.1 đã chứng minh điều đó.
5 Biéu diên hê thong roi rac trong mien tan so lien tue
5.1 Dàc tinh tan so và hàm truyèn dat phùc cüa hê xir l ÿ so tuyén tinh bât bien nhân quâ (TTBBNQ)
Dinh nghùa: Dõc tinh tan sụ H(eJC0) cỹa hờ xự lÿ sụ TTBBNQ là bien õụi Fourier cüa dâc tinh xung h(n):
Dõc tinh tõn sụ H (ộ(0) cho biột tinh chõt tõn sụ cua hờ xir ợÿ sụ TTBBNQ.
Xét hê xù lÿ sô cô dàc tinh xung h(n), tâc dông x(n), phàn icngy(n).
Dàc tinh tân so cua hê: H(eJ ) = FT[x(n)]
Pho cüa phân ùng: Y{ejm ) = FT[y{n)]= FT[x(n) * h{ri)]
Théo tinh chât tich châp cua bien dôi Fourier nhân duge:
Cô thê tim duge dàc tinh xung h(n) cûa hê xù lÿ sô tù dàc tinh tân sô H (é (0) bàng bien dôi Fourier nguge: h(n) = IFT[H(eJa>)] = — f H{.eJa) e Jan dœ
5.2 Dâc tinh bien dô tân so và dâc tinh pha tan sô
\x(eJ“ )\ và: Arg H(eJÙJ ) = Arg Y(eJW) y A r ^ X ( e '" )
Mô đun hàm truyền đạt phù hợp với đặc trưng của tính chất chọn lọc tín hiệu theo tần số của hệ thống lý thuyết băng thông rộng, do đó, hàm truyền này còn được gọi là đặc tính biến đổi theo tần số.
Argumen cùa hàm truyên dat phùc cp(co) cho biêt su dich pha cüa câc thành phần tân sô tin hiêu khâc nhau khi truyên qua hê xù lÿ sô TTBBNQ Do đó, cp(co) Arg[H(da)] được gọi là dâc tinh pha tân sô.
Khi truyền qua hệ xử lý số TTBBNQ, tín hiệu số không bị méo phô cần đảm bảo rằng tất cả các thành phần tần số của tín hiệu đều được truyền đạt một cách đồng nhất Điều này có nghĩa là, về lý thuyết, hệ xử lý số phải có đặc tính biến đổi tần số dạng hình chữ nhật Tuy nhiên, trong thực tế, các hệ xử lý số thường có đặc tính biến đổi tần số với sự nhập nhằng và hai đỉnh nhô lên, như minh họa trong hình 3.2b.
Hình 3.2: Đặc tính biên độ tần số I H(e?a) I của hệ xử lỵ số
Dải thông và dải chặn là hai khái niệm quan trọng trong hệ xử lý số Dải thông là khoảng tần số mà hệ thống cho phép tín hiệu số đi qua, trong khi dải chặn là khoảng tần số mà hệ thống không cho phép tín hiệu số đi qua Đối với hệ xử lý số lý tưởng, dải thông được xác định khi |H(e^jω)| = 1, và dải chặn khi |H(e^jω)| = 0 Tần số giới hạn giữa dải thông và dải chặn được gọi là tần số cắt, thường được ký hiệu là ωc.
Đối với hệ xử lý số thực tế, tần số giới hạn của dải thông được ký hiệu là ũ)c, trong khi tần số giới hạn của dải chặn là CÛ p Giữa dải thông và dải chặn có sự tồn tại của dải quá độ AcOp, được tính bằng I Cừp.
- (ùcI Acơp càng nhỏ càng tốt.
Các tín hiệu số có phổ nằm trong dải thông của đặc tính biên độ tần số sẽ được hệ xử lý số tiếp nhận mà không bị méo dạng Ngược lại, các tín hiệu có bề rộng phổ lớn hơn dải thông sẽ mất đi các thành phần nằm ngoài dải này Những tín hiệu có phổ nằm ngoài dải thông sẽ bị suy giảm gần như hoàn toàn khi qua hệ xử lý số Do đó, để xử lý tín hiệu hiệu quả, người ta phát triển các bộ lọc số có khả năng chọn lọc tín hiệu theo tần số.
Hệ xử lý số có phản ứng y(n) = 6.2^(-n)u(n - 1) - 2u(n - 1) với tác động x(n) = 2^(-n)u(n) cần xác định hàm truyền đạt phức H(e^jω), đặc tính xung h(n), đặc tính biên độ tần số |H(e^jω)| và đặc tính pha tần số φ(ω) của hệ.
Giải: Có: X(ejm) = FT[2~nu(n)] = -
(1 - 0,5e”y +e~Jĩa> Đặc tính xung: h(n) = IFT[H(eJ0> )] = ỏ(n - 1) + ỏ(n - 2) = rect2 ( n - 1) Để tìm đặc tính biên độ tần sổ và pha tần số, biến đổi H(e)ứJ) như sau:
H(eJW) = e~‘m + e~j2a = e-jlSûJ (ej0-iw + e ' j0'ỉo>)
Vậy hàm truyền đạt phức là: H{eJl°) = 2.cos(0,5 ( * n
Nhân và chia (3.40) cho chu kỳ lấy mẫu T, đồng thời đổi thứ tự của dấu tổng và dấu tích phân, nhận được biểu thức: x(n.T) = — [— Ỵ ' x(ũ> + — k).eJtonTdco (3.41)
So sánh biểu thức dưới dấu tích phân của (3.41) và (3.38) nhận được:
Hàm phổ X(é m) của tín hiệu lấy mẫu x(n.T) là hàm tuần hoàn theo biến tần số góc Củ với chu kỳ Ũ)T - 2 7t/T, như được thể hiện trong biểu thức (3.42) Điều này cho thấy rằng hàm phổ này là tổng vô số các hàm phổ x(co) của tín hiệu liên tục x(t).
Khi tín hiệu liên tục x(t) có phổ hữu hạn và chu kỳ lấy mẫu T thỏa mãn điều kiện T < 7ĩ/a>c, phổ X(e^jω) của tín hiệu lấy mẫu x(n.T) có chu kỳ T > 2 độ rộng phổ của tín hiệu liên tục tương ứng.
Hình 3.7: VYìổX(ei ĩĩ/cũt thì ŨỈT < 2ũ)c
3.1 Với \a\ < 1 , hãy xác định sự tồn tại và tìm biến đổi Fourier của các dãy sau:
I a Xị(n) =,a"u(n) e x5(n) = w(ô).sin(¿y0^) b x2(n) = a~nu(n) f x6(ri) - a"u(n).sỉn(( 0 o.n) c x3(w) = a nu(-n) g X 7(n) = w(ô).cos(ớũ0.ô) d x4(n) = a~nu(-n) h X6(n ) = a"u(n).cos(co0.n )
3.2 Xác định các hàm phần thực và phần ảo, mô đun và argumen của các hàm tần số sau: a * , ( ô '• ) = cos(ỉCử)Ê-Jữ-Ĩa> e~jm b Ar2(ey'n z-n
’Jkto'N = e N = ej2k7r = 1 với mọi k, nên nhận được:
Biểu thức (4.32) là công thức nội suy để tìm dạng gần đúng của X(z) từ N mẫu của X(k:)N = DFĩịx(n)Nị Khi cho N -> 00, sẽ nhận được hàm X(z) chính xác của dãy x(n).
3.2.3 Nội suy X(ei L ?
4.4 Hãy xác định DFT N điểm của các dãy sau: c cosỊ^— nj.rect„(n)
Hãy tính biến đổi DFT a ej(2ỵ L)nrectL{n) vQLc , n \ (5.3) Đặc tính xung hip(n) của bộ lọc trên được xác định bằng IFT: hlp(n) = IF t \ h ,p{e ia>)] = -— ] Hlp(eJc2, dựa trên đặc tính tần số của hai bộ lọc thông thấp có tần số cắt coc\ và Cừc2 tương ứng Đặc tính xung hbp(n) của bộ lọc này được xác định thông qua biến đổi Fourier ngược (IFT), với công thức hbp(n) = IFĩ\Hbp(eja)] = J - ][ h ,p2{ela) - H,pX{eja>)]ejandeo.
W cỉ “il hb ( n ) = — f e-J°“eJmd a - — \e 'iamejwn dco p 2 n J 2 7T J
, , , sin[íyc2(rt-a)] sin[ ( ằ ) ô ■ '“" + h — \e~Ja 2 + ằ=0 L ' 2 ' J n =N~X+1 Đổi biến thành phần thứ 3, đặt m = ( N - ì - n ) => n = {N - 1 - m) , khi n = + 1 j thì m = -1 j , khi n - (N -1) thì m = 0 :
H{eJm ) = 2 h(n)e-Jtan + h\ — - y J0> 2 + 2 ^ - 1 ■ JM"") ằ - 0 L ^ 2 ; J [ — * - ' - 1 Đảo chiều chỉ số và đổi lại biến của thành phần thứ 3 theo n: r *~1_| 1 r -1 r Aí-1-1
Vì bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 có h(n) = /2(jV - 1 - rt), nên:
Do đó (5.38) được đưa về dạng: lt0[Ni - n) +e-J,{ Nĩ - n)
L 2 J Đổi biến m trở về n, đảo cận của tổng và thêm cos(a> 0) = 1 vào số hạng đầu:
Với các hệ số của chuỗi: ĩ { 2 ; = A ( e j m ) £ - Jam a( 0) = ^ j và a{n) = 2.h]ỗ- — - - ô j khi n > 1
Từ (5.39), đặc tính biên độ tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1:
Với các hệ sổ a(n) phụ thuộc vào đặc tính xung h(n) theo (5.40) Đặc tính pha: 6 {c o ) = - a c o = jV - 1 I N - 1
Bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 không thể được sử dụng để tạo ra bộ lọc có đáp ứng tần số I H (éa) I = 0 tại tần số Cú = 0, đặc biệt là trong trường hợp các bộ lọc thông cao và dải thông Điều này xảy ra trừ khi bộ lọc có đặc tính xung với h (N-ỉ/2) = a(0) = 0.
Để xác định các đặc tính tần số 6(củ) và I H(e'0)) I của bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 1 như trong ví dụ 5.5, chúng ta cần phân tích đồ thị đặc tính xung h(n) của bộ lọc Đồ thị này cho thấy các thông số quan trọng liên quan đến hiệu suất và hành vi của bộ lọc trong miền thời gian.
5.14 Vẽ đặc tính biên độ tần số 1 H (ém) I của bộ lọc đã cho.
Giải: Đặc tính pha theo (5.42): a = — — — = - — - = 2 = > 6 ( c o ) = - 2 0 )
Theo (5.41) có đặc tính biên độ tần s ố : | / / ( e 7'*’ )| = £a(n)cos(ũ>.n) n =0
Tính các hệ số a(n) theo (5.40): a(0) = [ì = h(2) = 2
Theo giá trị các hệ số nhận được: |//(e7®)| = |2 + 2cos(cy)-2cos(2) I của bộ lọc đã cho.
Giải: Theo (5.46) có đặc tính pha:
Vì N chẵn nên khai triển biểu thức trên thành tổng của hai thành phần:
- 0 Đổi biến tổng thứ hai, và biến đổi tương tự ở mục 3.2.1, nhận được:
Từ đó có đặc tính biên độ tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 2:
Với các hệ số b(n) phụ thuộc vào đặc tính xung h(n) theo (5.44). ty => a = A^-l
Theo (5.45) co dac tinh bien dp tan so: |//(eyK,)| = '¿Tb(n) n=\
Vdi cac he so b(n) dupe xac d|nh theo (5.44): ¿(1) = 2 Ji
Hinh 5.15: Dac tinh xung h(n) va dac tinh bien do tan so | H(ei n = (N - 1 - m), nhan dupe:
D6i lai bien m thanh n va dao chieu chi so cua tong thu hai: jV—1 AM ,
Vi bo loc FIR pha tuyen tinh loai 3 co h(n) = - h(N -1 - n) , nen:
Tiep tuc bien doi tuong tu o muc 5.2.2a , nhan dupe:
Với các hệ số: c(n) = 2.hị^~—- - wj = 2.h(a - n)
Từ đó có đặc tính biên độ tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3:
Với các hệ số c(n) phụ thuộc vào đặc tính xung h(n) theo (5.48). Đặc tớnh pha: ỡ(a) = ò - aa> = — - ớ N - 1'' Cỳ
Bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3 không thể tạo ra bộ lọc có đặc tính biên độ tần số khác 0 tại 0 và Củ = ± n, điều này có nghĩa là nó không thể được sử dụng để xây dựng các bộ lọc thông thấp, thông cao và bộ lọc dải chặn Do đó, bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3 chỉ có khả năng xây dựng bộ lọc dải thông.
Trong ví dụ 5.11, chúng ta cần xác định các đặc tính tần số 6(cù) và I H (é m) I của bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 3 được trình bày trong ví dụ 5.7 Đồ thị đặc tính xung h(n) của bộ lọc này được minh họa trong hình.
5.16 Vẽ đặc tính biên độ tần số I H ( é œ) I của bộ lọc đã cho.
Giải: Theo (5.50) có đặc tính pha tần số: và ò =7t
Theo (5.47) c ó đặc tính biên độ tần s ố : | / / ( e ;íi') | = ^ T c (tt)s in (c y r t) ô=1 Với các hệ số c(n) được xác định theo (5.48): c ( l ) = 2.h(a - 1) = 2./j(3 - 1) = 2.h{2) = 2.1,5 = 3 c{ 2) = 2.A(1) = - 2.0,5 = -1 ; c( 3) = 2.h(0) =
Vậy: |//(ej'đ)| = |3sin(cy)-sin(2ớy)-2sin(3aằ)|
H ìn h 5 16 : Đ ặ c tín h x u n g h(n) và đ ặ c tín h b iê n đ ộ tầ n số I H (ẻm) I củ a bộ lọc d ả i th ô n g F I R pha tu y ế n tín h lo ạ i 3 ở v í dụ 5 11
Trên hình 5.16 là đặc tính biên độ tần số \ỉỉ(eìCữ) I của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3 đã cho, đây là bộ lọc dải thông.
3 2 4 Đ ặ c tín h tầ n số củ ạ b ộ lọ c F IR p ha tu y ế n tín h lo ạ i 4
Bộ lọc FIR pha tuyến tớnh loại 4 cú 9(a>) = ò - CCCỦ và N chẵn, đặc tớnh tần số là:
Vì N chẵn nên khai triển biểu thức trên thành tổng của hai thành phần:
H ( e JW) = ]T/z(ô)e-y"" + n=0 77=" Đổi biến tổng thứ hai, và biến đổi tương tự ở mục 2.3, nhận được:
Từ đó có đặc tính biên độ tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 4: s ị,d (n ) n=l sin co (2n-\)
Với các hệ số d(n) phụ thuộc vào đặc tính xung h(n) theo (5.52). Đặc tớnh pha: 0 {(ỳ ) = ò - aco = — - f
Khi Củ = 0, sin(O) cũng bằng 0, dẫn đến I H (élữ) I = 0 Điều này cho thấy bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 4 không thể được sử dụng để tạo ra bộ lọc có đặc tính biên độ tần số khác 0 tại = 0, như các bộ lọc thông thấp và dải chặn.
Trong ví dụ 5.12, chúng ta cần xác định các đặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 4 được đề cập trong ví dụ 5.8 Đồ thị đặc tính xung h(n) của bộ lọc này được thể hiện rõ trong hình minh họa.
5.17 Vẽ đặc tính biên độ tần số I H (é(0) I của bộ lọc đã cho.
Giải: Theo (5.54) có đặc tính pha:
Theo (5.51) có đặc tính biên độ tần số:
Với các hệ số c(n) được xác định theo [5.2-25]: d ( ì ) = 2.h\ — - 1 I = N 2 h( \ ) = - 2
Hình 5.17: Đặc tính xung h(ìt) và đặc tính biên độ tần số \ H ( P ) \ của bộ lọc thông cao FIR pha tuyến tính loại 4 ở ví dụ 5.12
Trên hình 5.17 là đặc tính biên độ tần số I H (é a) I của bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 4 đã cho, đây là bộ lọc thông cao.
Theo dạng đặc tính biên độ tần số I H(e/tữ) I của các bộ lọc số FIR pha tuyến tính đã phân tích ở trên, rút ra kết luận như sau:
- Bộ lọc loại 1 chỉ làm được các bộ lọc thông thấp và dải chặn.
- Bộ lọc loại 2 chỉ làm được các bộ lọc thông thấp và dải thông.
- Bộ lọc loại 3 chỉ làm được bộ lọc dải thông.
- Bộ lọc loại 4 chi làm được các bộ lọc thông cao và dải thông. r
5.1 Cho bộ lọc FLR loại 1 với N = 7 có đáp ứng xung h(n) được xác định h(Ọ) = 1, h(l) = 2, h(2) = 3, h(3) = 4 Tìm a và đáp ứng xung h(n) ?
5.2 Cho bộ lọc FER loại 2 với N = 6 có đáp ứng xung h(n) được xác định h(0) = 1, h(l) = 2, h(2) = 3, h(3) = 4 Tìm a và đáp ứng xung h(n) ?
5.3 Cho bộ lọc FIR loại 3 với N = 7 có đáp ứng xung h(n) được xác định h(0) = 1, h(l) = 2, h(2) = 3, h(3) = 4 Tìm a và đáp ứng xung h(n) ?
5.4 Xác định đặc tính tần số H(e/a) của bộ lọc số FIR pha tuỵến tính loại 2:
5.5 Xác định đặc tính tần số H (é(0) của bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 3:
5.6 Xác định đặc tính tần số H(eịũ>) của bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 4:
TỎNG HỢP CÁC BỘ LỌC SỐ CÓ ĐÁP ỨNG XUNG CHIỀU DÀI VÔ HẠN (B ộ LỌC IIR) 1 Mở đ ầ u
Các tính chất tổng quát của bộ lọc
2.1 Bộ lọc IIR thực hiện được ở đây chúng ta sẽ nghiên cứu các bộ lọc IIR thực hiện được về mặt vật lý, tức là các bộ lọc số là ổn định và nhân quả.
Tính nhân quả được đảm bảo nếu đáp ứng xung h(n) của bộ lọc thỏa mãn điều kiện sau đây: h(n) = 0 với n < 0 (6.1)
Tính ổn định được đảm bảo với đáp ứng xung h(n) thỏa mãn điều kiện ổn định sau: ^ |h ( n)| 0, r > 1; và khi ơ = 0, r = 1 Do đó, nửa trái của mặt phẳng s được ánh xạ vào vòng tròn đơn vị của mặt phẳng z, trong khi nửa phải của mặt phẳng s ánh xạ thành các điểm nằm ngoài vòng tròn đơn vị của mặt phẳng z Đây là một đặc tính quan trọng của phép ánh xạ tốt Trục ảo cũng được ánh xạ thành vòng tròn đơn vị Tuy nhiên, đây không phải là phép ánh xạ một-một Vì Cừ là duy nhất trong khoảng (-n, n), phép ánh xạ chỉ ra rằng khoảng - < Q < - ánh xạ vào các giá trị tương ứng trong khoảng -TCC 0 < TC, và khoảng tần số - < Q < - cũng được ánh xạ vào trong.
Ts Ts khoảng -7ĩ = 1 (chuẩn hóa) Hãy xác định hàm truyền đạt Ha(s) khi n = 3.
6.5 Hãy tính toán biên độ |H(eJU>)| và pha (p(cừ) của bộ lọc số IIR được cho bởi phương trình sai phân sau:
6.6 Cho hàm truyền đạt Ha(s) của một bộ lọc tương tự như sau: Ha(s) = -
(s + 2)(s + 3) Hãy tìm hàm truyền đạt H(z) của bộ lọc số IIR tương ứng bằng phương pháp bất biến xung Sau đó vẽ sơ đồ bộ lọc số.
6.7 Cho hàm truyền đat Ha(s) của một bộ loc tương tư như sau: Ha(s) = - -
(s + 2)(s + 3) Hãy tìm hàm truyền đạt H(z) của bộ lọc số IIR tương ứng bằng phương pháp bất biến * xung Sau đó vẽ sơ đồ bộ lọc số r
6.8 Cho hàm truyên đạt Ha(s) của một bộ lọc tương tự như sau: Ha(s) = — —Y—
Hãy tìm hàm truyền đạt H(z) của bộ lọc số IIR tương ứng bằng phương pháp biến đổi song tuyến Sau đó vẽ sơ đồ bộ lọc số.
6.9 Cho hàm truyên đạt của hệ thong tương tự như sau: Ha(s) = -— -
Hãy tìm hàm truyền đạt H(z) của hệ thống sổ tương ứng bằng phương pháp biến đổi z thích ứng Hãy vẽ sơ đồ thực hiện hệ thống số.
; với các diêm cực spk = e u 2n ' k=l k=l
6.10 Các chi tiêu kỹ thuật của bộ lọc sổ thong thấp như sau:
Hãy tổng hợp bộ lọc số thong thấp trên từ bộ lọc tương tự thong thập Butterworth bằng phương pháp biển đổi song tuyến. t t ị
[1] Nguyễn Quốc Trung 2001 “Xử lý tín hiệu và lọc số”, Tập 1, Tập 2, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật.
[2] “Tài liệu giảng dạy DSP”, Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông.
[3] Jonh G.Proakis and Dimitris G.Manolakis 1992 “Digital Signal Processing: Principles Algorithms, and Applications”, Macmillan Publishing Company, printed The Republic of Sigapore.
[4] Jonh G.Proakis and Dimitris G.Manolakis 1989 “Introduction to Digital Signal Processing”, Maxwell Macmillan International Editions, New York.
[5] M.Kunt 1980 “Traifement Numérique du Signal”, Presses Polytechnique Romandes Lausanne.
[6] A.V.Oppenhein and R.W.Schofer 1975 “Digital Signal Processing”, Englewood Cliffs N.E Prentice Hall.