Đặc tớnh tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tớnh loại 2

• 2.2 Bộ lọc thụng thấp lý tưởng

3. Đỏp ứng tần số của cỏc bộ lọc số FIR pha tuyến tớnh

3.2. Đặc tớnh tần số của bộ lọc số FIR pha tuyến tớnh

3.2.2. Đặc tớnh tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tớnh loại 2

Bộ lọc FIR pha tuyến tớnh loại 2 cú 9(cự) - -acữ và N chẵn, đặc tớnh tần số là:

I H (ộ Cữ) I = 0 khi Cự = ± n. Như vậy, bộ lọc FER pha tuyến tớnh loại 2 khụng thể dựng

để xõy dựng bộ lọc cú đặc tớnh biờn độ tần số khỏc 0 tại Cữ= ± 7 t, đú là bộ lọc thụng cao và bộ lọc d.ải chặn.

Vớ dụ SỈ10: Hóy xỏc định cỏc đặc tớnh tần số 9(co) và I H(eị(ữ) I của bộ lọc số FIR

pha tuyến tớnh loại 2 ở vớ dụ 5.6. Đồ thị đặc tớnh xung h(n) của bộ lọc cho trờn hỡnh

5.15. Vẽ đặc tớnh biờn độ tần số I H(e!(l>) I của bộ lọc đó cho.

Giải: Theo (5.46) cú đặc tớnh pha:

H(eJla) = Ỵ^h(n)e-jmn = A(ejla).e~jaa

N-1

Vỡ N chẵn nờn khai triển biểu thức trờn thành tổng của hai thành phần:

2 Ạ '-!

H(eJm) = + Ỵ^h(n)e-Jan

- 0

Đổi biến tổng thứ hai, và biến đổi tương tự ở mục 3.2.1, nhận được:

(5.43)

Với cỏc hệ sụ: b(n) = 2.h ( N —— n)

V 2 V )

(5.44) Từ đú cú đặc tớnh biờn độ tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tớnh loại 2:

N

|//(e-"a)|= ^ố(ô)cos — (2ô - 1)

ô-1 2

(5.45)

Với cỏc hệ số b(n) phụ thuộc vào đặc tớnh xung h(n) theo (5.44).

ty => a = A^-l 2 (5.46) N-1 4 -1 = 1,5 => 9(cử) - - l,5.ty a = 2 2

Theo (5.45) co dac tinh bien dp tan so: |//(eyK,)| = '¿Tb(n)

n=\

Vdi cac he so b(n) dupe xac d|nh theo (5.44): ¿(1) = 2 Ji Vay: co, c o s — (2n - 1) 2 — - 1 | = 2.h{2 - 1) = 2./i(l) = 2 ; b(2) = 2.h(2 - 2) = 2.^ (0) = - 2

\H{eJa> )| = | 2 cos(0,5< y) - 2 cos(l,5<y)|

' 'h(n) 1_ .1

n

0

” T

Hinh 5.15: Dac tinh xung h(n) va dac tinh bien do tan so | H(ei<D) | cua bo loc dai thong FIR pha tuyen tinh loai 2 & vi du 5.10

Tren hinh 5.15 la dac tinh bien do tan so | H(e/(0) | cua bo loc so FIR pha tuyen tinh loai 2 da cho, day la bo loc dai thong.

3.2.3. Dac tinh tan so cua bp loc FIR pha tuyen tinh loai 3

Bo loc FIR pha tuyen tinh loai 3 co 0(co) = ft -aco va N le, dac tinh tan so la:

H(eja) = Y j Kn)e-jtm = A(eJCU ).e~jaa

n=0

Vi N le nen lchai trien bieu thuc tren thanh tong cua ba thanh phan:

H ( e j a ) = 2 Y s K n y n=0 ■j(on -jo*"''] — W 2 + Yh(n)e-J™ v 2 J „ A ,

Vi bo loc FIR pha tuyen tinh loai 3 co dac tinh xung h(n) phan doi xung nen tai

n = (N - \)/2 thi h(n) = 0. Do do bieu thuc tren co dang:

a m_, ^

H{ejm) = + Ê h{n)e-jmn

ằôo

Doi bien tong thir hai, d&t m = (N - 1 - n) => n = (N - 1 - m), nhan dupe:

N - l ,

2 ' 0

H(ej a ) = Y j h(n)e~]m + Ê / i ( W - l - w ) e ‘

"=0 1

D6i lai bien m thanh n va dao chieu chi so cua tong thu hai:

jV—1 AM ,

2 2

H(eJ<J>) = '^fi(n)e~jaH + Y , h(N ~ ] ~ n')e

n=0 ô=0

Vi bo loc FIR pha tuyen tinh loai 3 co h(n) = - h(N -1 - n) , nen:

^ AM_,

H{eJW) = Y j h{n)[e-]an

ô=0

Tiep tuc bien doi tuong tu o muc 5.2.2a , nhan dupe:

- j c o ( N - \ - n )

H ( e j a ) t ô=1 N-\ c(ri)ỷn(a>.n) .e l n N- 1 ) T 2 2 " J Với cỏc hệ số: c(n) = 2.hị^~—- - wj = 2.h(a - n)

Từ đú cú đặc tớnh biờn độ tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tớnh loại 3:

\ n w ị = N - \ 2 2^c(n )sin (co .n ) n=ỡ (5.47) (5.48) (5.49) Với cỏc hệ số c(n) phụ thuộc vào đặc tớnh xung h(n) theo (5.48).

Đặc tớnh pha: ỡ(a) = ò - aa> = — - ớ N -1''.Cỳ

Suy ra: a N - \

2

Nhận xột: Với Củ = 0 và <y = i- thỡ sin(O) = 0 và sin(ijT ) = 0 với mọi n, nờn khi

đú I H(eị6>) I = 0. Bộ lọc FER pha tuyến tớnh loại 3 khụng thể dựng để xõy dựng bộ lọc cú đặc tớnh biờn độ tần số khỏc 0 tại 03 - 0 và Cũ = ± n đú là cỏc bộ lọc thụng thấp, thụng cao và bộ lọc dải chặn. Như vậy, bộ lọc FIR pha tuyến tớnh loại 3 chỉ xõy dựng được bộ lọc dải thụng.

Vớ dụ 5 .11: Hóy xỏc định cỏc đặc tớnh tần số 6(cự) và I H (ộ m) I của bộ lọc số FIR pha tuyến tớnh loại 3 ở vớ dụ 5.7. Đồ thị đặc tớnh xung h(n) của bộ lọc cho trờn hỡnh

5.16. Vẽ đặc tớnh biờn độ tần số I H ( ộ œ) I của bộ lọc đó cho.

Giải: Theo (5.50) cú đặc tớnh pha tần số:

và ò =7t (5.50)

a , = , 3 => ỡ (o ằ = ^ - 3 . a

2 2 2

Theo (5.47) c ú đặc tớnh biờn độ tần s ố : | / / ( e ;ới') | = ^ T c (tt)s in (c y .r t)

ô=1 Với cỏc hệ số c(n) được xỏc định theo (5.48):

c ( l ) = 2.h(a - 1) = 2./j(3 - 1) = 2.h{2) = 2.1,5 = 3

c{ 2) = 2.A(1) = - 2.0,5 = -1 ; c( 3) = 2.h(0) =

Vậy: |//(ej'đ)| = |3sin(cy)-sin(2ớy)-2sin(3aằ)|

■2.1 = - 2

H ỡn h 5 .16 : Đ ặ c tớn h x u n g h(n) và đ ặ c tớn h b iờ n đ ộ tầ n số I H (ẻm) I

Trờn hỡnh 5.16 là đặc tớnh biờn độ tần số \ỉỉ(eỡCữ) I của bộ lọc FIR pha tuyến

tớnh loại 3 đó cho, đõy là bộ lọc dải thụng.

3 .2 .4 . Đ ặ c tớn h tầ n số củ ạ b ộ lọ c F IR p ha tu y ế n tớn h lo ạ i 4

Bộ lọc FIR pha tuyến tớnh loại 4 cú 9(a>) = ò - CCCỦ và N chẵn, đặc tớnh tần số là: *-1

H ( e jm ) = ]T h ( r i ) e - Jmn = A ( e jm ) . e ' J.am

n=0

Vỡ N chẵn nờn khai triển biểu thức trờn thành tổng của hai thành phần:

H ( e JW) = ]T/z(ô)e-y"" +

n=0 77="

Đổi biến tổng thứ hai, và biến đổi tương tự ở mục 2.3, nhận được:

N H(ejm) /7=1 Sin N Cữ (2n — 1) .e{ ' - y - ) Với cỏc hệ số: d { n) = 2 -h \ ^ J

Từ đú cú đặc tớnh biờn độ tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tớnh loại 4:

s ị,d (n ) n=l sin co(2n-\) (5.51) (5.52) (5.53) Với cỏc hệ số d(n) phụ thuộc vào đặc tớnh xung h(n) theo (5.52).

Đặc tớnh pha: 0 {(ỳ ) = ò - aco = — - f

Suy ra: a = và ò = — (5.54)

2 2

Nhận xột: Với Củ = 0 thỡ sin(O) = 0, khi đú I H (ộlữ) I = 0 . Vỡ thế, bộ lọc FIR pha tuyến tớnh loại 4 khụng thể dựng để xõy dựng bộ lọc cú đặc tớnh biờn độ tần số khỏc 0 tại <x> = 0 , đú là cỏc bộ lọc thụng thấp và dải chặn.

Vỉ dụ 5.12: Hóy xỏc định cỏc đặc tớnh tần sổ ỡ((ỳ) và I H(e'a>) I của bộ lọc sổ FIR

pha tuyến tớnh loại 4 ở vớ dụ 5.8. Đồ thị đặc tớnh xung h(n) của bộ lọc cho trờn hỡnh

5.17. Vẽ đặc tớnh biờn độ tần số I H (ộ(0) I của bộ lọc đó cho.

Giải: Theo (5.54) cú đặc tớnh pha:

W-1 4- 1 _ K a = --------- = ---------= 1,5 => OUủ) = — - l,5.ớy 2 2 ' 2 Theo (5.51) cú đặc tớnh biờn độ tần số: \H(eJW) 2 r ^ T d ( n)sin —(2n - 1) /7=1 L 2

Với cỏc hệ số c(n) được xỏc định theo [5.2-25]:

N

d ( ỡ ) = 2.h\ — - 1 I = 2 . h( \ ) = - 2

Vậy:

d{2) = 2.h(2 - 2) = 2.h(0) = 2

' ‘h(n) I w o I n a> T—► -3.14 -1.57 0.00 1.57 3.14 Hỡnh 5.17: Đặc tớnh xung h(ỡt) và đặc tớnh biờn độ tần số \ H ( P ) \

của bộ lọc thụng cao FIR pha tuyến tớnh loại 4 ở vớ dụ 5.12

Trờn hỡnh 5.17 là đặc tớnh biờn độ tần số I H (ộ a) I của bộ lọc số FIR pha tuyến tớnh loại 4 đó cho, đõy là bộ lọc thụng cao.

Theo dạng đặc tớnh biờn độ tần số I H(e/tữ) I của cỏc bộ lọc số FIR pha tuyến tớnh đó phõn tớch ở trờn, rỳt ra kết luận như sau:

- Bộ lọc loại 1 chỉ làm được cỏc bộ lọc thụng thấp và dải chặn. - Bộ lọc loại 2 chỉ làm được cỏc bộ lọc thụng thấp và dải thụng. - Bộ lọc loại 3 chỉ làm được bộ lọc dải thụng.

r

BÀI TẬP

5.1. Cho bộ lọc FLR loại 1 với N = 7 cú đỏp ứng xung h(n) được xỏc định h(Ọ) = 1, h(l) = 2, h(2) = 3, h(3) = 4. Tỡm a và đỏp ứng xung h(n) ?

5.2. Cho bộ lọc FER. loại 2 với N = 6 cú đỏp ứng xung h(n) được xỏc định h(0) = 1, h(l) = 2, h(2) = 3, h(3) = 4. Tỡm a và đỏp ứng xung h(n) ?

5.3. Cho bộ lọc FIR loại 3 với N = 7 cú đỏp ứng xung h(n) được xỏc định h(0) = 1, h(l) = 2, h(2) = 3, h(3) = 4. Tỡm a và đỏp ứng xung h(n) ?

5.4. Xỏc định đặc tớnh tần số H(e/a) của bộ lọc số FIR pha tuỵến tớnh loại 2:

Mr) H(eJa) = N 5 > (h)c o s ử / ô - — n ~ \ L V 2 với b{ri) = 2.h\ — — n

5.5. Xỏc định đặc tớnh tần số H (ộ(0) của bộ lọc số FIR pha tuyến tớnh loại 3:

H(eJa) - N-l 2 y ^ c ( n ) s i n ( f i i ./7) n=ỉ j ị * _ N , _ .e ' 2 ' với c{n) = 2.h\------------n 2

5.6. Xỏc định đặc tớnh tần số H(eịũ>) của bộ lọc số FIR pha tuyến tớnh loại 4: H{ejớ0) N n=ỡ ~ ( 1 V Cữ\ n - — V 2 / .e 2 ^ với d(n) - 2 — - I , ố' m n

CHƯƠNG 6: TỎNG HỢP CÁC B ộ LỌC SỐ Cể ĐÁP ỨNG XUNG CHIẩU DÀI Vễ HẠN (B ộ LỌC IIR)

Mục tiờu: Trong chương này sẽ nghiờn cứu cỏc phương phỏp tổng hợp bộ lọc số cú đỏp ứng xung chiểu dài vụ hạn IIR tỡr bộ lọc tương tự theo cỏc phộp ỏnh xạ, từ đú giỳp sinh viờn nắm rừ được:

- Cỏc tỉnh chất tổng quỏt của bộ lọc IIR.

- Cỏc phương phỏp tổng hợp bộ lọc so HR từ bộ lọc tương tự. - Tổng họp cỏc bộ lọc tương tự.

- Biến đổi tần sổ.

1. Mở đầu

Trong chương này chỳng ta sẽ nghiờn cứu cỏc phương phỏp tổng hợp bộ lọc số, tức là tỡm ra cỏc hệ số của bộ lọc IIR sao cho thỏa món cỏc chỉ tiờu kĩ thuật của bộ lọc là ụi, Ỗ2, (ỳp, cos trong miền tần số liờn tục (ự đối với |H(ej<0)|.

Cỏc phương phỏp tổng hợp bộ lọc này cú thể chia thành hai loại chớnh:

- Loại thứ nhất là chuyển từ việc thiết kế cỏc bộ lọc tương tự sang bộ lọc số, tức là chỳng ta phải thiết kế bộ lọc tương tự trước sau đú dung cỏc phương phỏp chuyển đổi tương đương một cỏch gần đỳng giữa miền tương tự và miền số để thu được bộ lọc số. Phương phỏp thứ nhất này được sử dụng rộng rói nhất.

- Loại thứ hai là cỏc phương phỏp tỡm ra cỏc thủ tục tối ưu húa nhờ sự tham gia của mỏy tớnh điện tử. Cỏc phương phỏp này là tỡm kiếm cỏc cỏch tối thiểu húa sai số của việc xấp xi cỏc chỉ tiờu kĩ thuật của bộ lọc cần thiết kế bằng một bộ lọc khỏc cú thể thực hiện được cỏc tiờu chuẩn gần đỳng. Loại thứ hai này ớt được dung.

Trong chương này chỳng ta sẽ đi sõu nghiờn cứu cỏc phương phỏp loại thứ nhất vỡ nú đơn giản và độ chớnh xỏc là chấp nhận được.

2. Cỏc tớnh chất tổng quỏt của bộ lọc2.1. Bộ lọc IIR thực hiện được 2.1. Bộ lọc IIR thực hiện được

ở đõy chỳng ta sẽ nghiờn cứu cỏc bộ lọc IIR thực hiện được về mặt vật lý, tức là cỏc bộ lọc số là ổn định và nhõn quả.

Tớnh nhõn quả được đảm bảo nếu đỏp ứng xung h(n) của bộ lọc thỏa món điều kiện sau đõy:

h(n) = 0 với n < 0 (6.1)

Tớnh ổn định được đảm bảo với đỏp ứng xung h(n) thỏa món điều kiện ổn định

sau: ^ |h ( n)|<00 (6.2)

n=-co

2.2. Hàm truyền đạt

Hàm truyền đạt của một bộ lọc số IIR cú dạng sau đõy: M Z b r z ~r H(z) = -g ------ Z a k z ’ k k=0 (6.3)

ao= 1 H(z) = M Z brz_r r=0 N 1+lk=l (6.4) 1 + Z a xz_k k=l Tổng quỏt H(z) là một hàm phức. Nếu cỏc hệ số ak và br là cỏc số thực, thỡ ta cú: r_M 1' r M Ỵ ~'r ẼM"r r=0 [H(z)]‘ = M Ẽ M " r=0 i _ k=ề a kz-k a kz-k . k=0 Nhưng ak và br là thực, ta cú: M , W M . . Ê b r(z") Ị b , ( z T k=0 k=0

Vậy nếu ak và br là thực ta cú quan hệ sau: H*(z) = H(z‘) hoặc: H(z) = H*(z’) 2.3. Đỏp ứnẹ tần số của bộ lọc IIR Ta biờt rằng: và: Nếu ak và br là thực ta cú: vậy: H(eJ“) = H ( z ) |^ H(eJ“) = |H(eJ“)|ew<w) H*(ej“) = H(e~J“)

ĂH(ej<D)|ej<p(“,J =|H(eJtD)|e = H(e~j“) Ta cú:

Lấy logarit cơ số e ta cú:

H(ejt0) _ e H(e‘J“) " e' j<p(ớằ) •jq>(ct>) _ g j2<p(<0) ln H(eJ0)) H(e*JU)) = 2j<p(co) vậy: (p(co) = - l l n 2j

" H(eJ“) " xrro. j°> \ n . r f n m H(eJ“) H(e~jo>) -h (e )-arcig K e H(eJ<0)

(6.5) (6.6) (6.7) (6.8) (6.9) (6.10) (6.11) (6.12) (6.13) (6.14) (6.15) 102

3. Cỏc phương phỏp tổng hợp bộ lọc số IIR từ bộ lọc tương tự

Trong phần này, chỳng ta sẽ nghiờn cứu cỏc phương phỏp chuyển đổi hàm truyền đạt của một hệ thống tươrig tự Ha(s) sang hàm truyền đạt của hệ thống số H(z). Như vậy, trước đú chỳng ta đó thiết kế được bộ lọc tương tự, như đó núi ở trờn, việc làm này đú được phỏt triển từ lõu và đú đạt được cỏc kết quả tốt đẹp, chỳng ta sẽ tổng kết sơ lược trong phần sau.

3.1. Nguyờn tắc

Hàm truyền đạt của bộ lọc tương tự (trong miền biến phức s) cú dạng: M Ha(s) = B(s) A(s) k=0 Z a K k= 0 (6.16)

trong đú{aic}, {Ị3k} là cỏc hệ số của bộ lọc.

Hàm truyền đạt cũng cú thể được biểu diễn dưới dạng biến đổi Laplace của đỏp

ứng xung:

00

H ,(s)= jh(t)e-s,dt -eo

(6.17)

Một bộ lọc tượng tự cú hàm truyền đạt được mụ tả như (6.17) cũng cú thể được biểu diễn bằng phương trỡnh vi phõn tuyến tớnh hệ số hằng:

01 k=0 dtk

k = 0 k=0

với x(t), y(t) lần lượt là tớn hiệu vào và tớn hiệu ra của bộ lọc.

Mỗi cỏch biểu biễn trong ba cỏch biểu diễn tương đương của bộ lọc tương tự như trờn sẽ đưa đến một phương phỏp chuyển đổi sang miền số.

Ta nhớ lại rằng một hệ thống tương tự tuyến tớnh bất biến theo thời gian với hàm truyền đạt H(s) gọi là ổn định nểu tất cả cỏc cực của H(s) đều nằm ở nửa trỏi của mặt phẳng s! Vỡ vậy, một phương phỏp chuyển đổi từ miền tương tự sang miền số phải thỏa cỏc nguyờn tắc sau:

Trục ảo jQ trong mặt phẳng s sẽ ỏnh xạ thành vũng trũn đơn vị trong mặt phẳng z. Nguyờn tắc này bảo đảm cú mối liờn hệ trực tiếp giữa hai biến tần số trong hai miền.

Phần nửa trỏi của mặt phẳng s sẽ ỏnh xạ thành phần ở phớa bờn trong vũng trũn đơn vị trong mặt phẳng z. Nguyờn tắc này bảo đảm một bộ lọc tương tự ổn định sẽ được chuyển thành một bộ lọc số ổn định.

3.2. Thiết kế bộ lọc IIR bằng phương phỏp tương đương vi phõn

Một trong những phương phỏp đơn giản nhất để chuyển đổi một bộ lọc tương tự sang bộ lọc số là xấp xỉ phương trỡnh vi phõn bằng một phương trỡnh sai phõn. Phương phỏp này giống như qỏch giải phương trỡnh vi phõn tuyến tớnh hệ số hằng bằng phương phỏp số trờn mỏy tớnh.

Đạo hàm dy(t)/dt tại t = nTs, với Ts là chu kỳ lấy mẫu, được thay bằng sai phõn lựi [y(nTs) - y(nTs - Ts)]/Ts. Tức là:

dy(t) dt

y(nTs)-y(nTs - T s) y ( n ) - y ( n - l )

Hệ thống vi phõn tương tự với đỏp ứng dy(t)/dt cú hàm truyền đạt là H(s) - s, tương đương trong, miền số là một hệ thống số với đỏp ứng [y(n) - y(n - 1)]/TS sẽ cú hàm truyền đạt là H(z) = — — (Hỡnh 6.1). Kết quả, ta thu được sự tương đương trong hàm truyền đạt là H(z) = — —- (ỉ

Ts miền tần số của quan hệ (6.19) là:

s = 1 - z -I (6.20) y(t) H(s) = s a) dy(t) dt y(n)-y(n.-l) b) Hỡnh 6.1

Đạo hàm bậc hai tớ dược thay bằng sai phõn bậc hai:

[y(nT,)-y(nTs -T,)]/T, -[y(nT, -T s)-y(nTs -2T,)]/T, T.

d2y(t) d rdy(t)l Ịy(nTJ-y(nT,-TJ]/T,-Ịy(nT,-T,)

dt2 dt dt Ts

_ y (n )-2 y (n -l) + y(n-2) Ts

Trong miền tần số, phương trỡnh (6.21) tương đương với:

s2 = 1~ 2z~l + z~2 = { x~ ỉ— ) (6.22)

T s2 l T. )

Từ đõy cú thể rỳt ra mối quan hệ tương trong miền tần số khi thay thế đạo hàm bậc k bằng sai phõn bậc k như sau:

sk = — z (6.23)

V. Ts )'

Kết quả là hàm truyền đạt của bộ lọc số IIR cú được từ phộp xấp xỉ đạo hàm bằng sai phõn, đú là:

H(z) = Ha(s)|s=.-z-' (6.29)

Ts

trong đú Ha(s) là hàm truyền đạt của bộ lọc tương tự được đặc trưng bởi phương trỡnh vi phõn (6.18).

Ta hóy xem ý nghĩa của phộp ỏnh xạ từ mặt phăng s sang mặt phăng z theo phương trỡnh (6.20), ta viết lại:

l - z - ' , 1

hay z = s = ■

Ts ' l-s T s

Nếu thay s = jQ vào phương trỡnh (6.25) ta cú:

1 1

z = qt; (6.26)

Khi thay đổi từ -00 —► 00 thỡ quĩ tớch tương ứng của cỏc điểm trong mặt phẳng z là một vũng trũn cú bỏn kớnh 1/2 và tõm đặt tại điểm z = 1/2, xem hỡnh 6.2.

Đễ dàng chứng tỏ rằng phộp ỏnh xạ (6.26) biến cỏc điểm trong nửa trỏi trờn mặt phẳng s thành cỏc điểm tương ứng bờn trong vũng trũn cú bỏn kớnh 1/2 và tõm (1/2, 0) trong mặt phẳng z và cỏc điểm ở nửa phải của mặt phẳng s sẽ chuyển thành cỏc điểm tương ứng ứng ở bờn ngoài vũng trũn này, trong mặt phẳng z.

Điều này cú nghĩa là một bộ lọc tương tự ổn định sẽ được chuyển đổi thành một bộ lọc sổ ổn định. Tuy nhiờn, vị trớ cú thể cú của cỏc cực của bộ lọc số bị giới hạn trong cỏc dài tần số khỏ nhỏ. Vỡ vậy, phộp ỏnh xạ cũng bị giới hạn trong phạm vi thiết kế cỏc bộ lọc hạ thụng và cỏc bộ lọc dải thụng cú tần số cộng hưởng tương đổi nhỏ. Vỡ vậy, phộp ỏnh xạ này chỉ cú thể dựng để thiết kế cỏc bộ lọc thụng thấp và thụng dải cú