• 2.2 Bộ lọc thụng thấp lý tưởng
5. Biến đổi tần số
5.2. Chuyển đổi tần số trong miền số
Giống như trong miền tương tự, phộp chuyển đổi tần số cú thể được thực hiện trờn một bộ lọc thụng thấp số và chuyển nú thành một bộ lọc thụng dải, dải chặn hay thụng cao. Sự chuyển đổi này liờn quan đến việc thay biến bằng một hàm hữu ti z '1
thỏa hai tớnh chất sau:
(1) Phộp ỏnh x ạ z ' —► z*' phải ỏnh xạ cỏc điểm bờn trong vũng trũn đơn vị trong mặt phảng z vào chớnh nú.
(2) Vũng trũn đơn vị cũng phải được ỏnh xạ vào chớnh nú.
Từ điều kiện (2) ta thấy khi r = 1 thỡ e"jm = g(e~J<0) = g(co) = |g(co)|ejarg B(0)), rừ ràng ta phải cú |g(co)| = 1 . Tức là phộp ỏnh xạ phải là ỏnh xạ thụng tất (all_pass). Nghĩa là:
g ( z - ' ) = ± n f ^
k=i I _ a k-Z 1 * 1__ * Al-i- ~ ~
(6.71) trong đú ak <1 đảm bảo rằng một bộ lọc ổn định sẽ được chuyển thành một bộ lọc khỏc cũng ổn định (tức thỏa điều kiện 1).
Sau đõy là cỏc phộp biến đổi để chuyển một bộ lọc hạ thụng số cú tần số cắt
C0c thành cỏc bộ lọc khỏc (hạ thụng, thượng thụng, dải thụng và dài chặn).
z_1- a ,. sin[(coc — to'c )/2] , ., ---------, với a = - - -g----- — _■ , co c là tõn l- a z sin[(coc +co'c ) / 2] Thụng thấp —> thụng thấp: z' số của bộ lọc mới. Thụng thấp —> thụng cao: z~' tần số của bộ lọc mới. Thụng thấp —► thụng dải: z~' z ' ' - a ,. -cos[(coc -co' )/2] , .. ------- với a = --------- — c —, co’c là l + az cos[(coc +co'c )/2] z 2 - a ,z _l + a, ,. 1 ■, với a! a 2z-2 -a,z 1 +1 -2ak/(k + 1), a2 = (k - l)/(k + 1), cc = CQSỊ|t0' k=cos( cos[(cou -co,)/2] tần số cắt thấp và tần số cắt cao. co„-colx C0c . . ,
—-----L).tan—^ v à C0|, cou tương ứng là
Thụng thấp —> chặn dải: z"‘ z~l-a ,z " ‘ + a, 1 , với at =■,. a2z + az +1 -2ôk k + 1 1-k 1 + k c o s[(c o ,+ c o „ )/2 ] , co — 00. C0c a = — L2— “2—li k = tan(—-----L)tan— . cos[(cou - co,)/2 ] 2 2 116
BÀI TẬP
6.1. Cho hàm truyờn đat bụ lọc tương tự: H (s) = —— . Hóy chuyển sang bộ lọc số s + 1
bằng phương phỏp tương đương vi phõn với thời gian lẩy mẫu T = 0,1. *
Ã
nhờ phương phỏp bất biến xung.
6.3. Xỏc định cấp và cỏc cực của bộ lọc Buttervvorth thong thấp cú độ rộng băng -3dB là 500Hz và độ suy giảm 40dB tại 1000Hz.
6.4. Bộ lọc Butterworth được mụ tả ở dạng như sau:
trong đú H0 - n < - v > = 1 (chuẩn húa). Hóy xỏc định hàm truyền đạt Ha(s) khi n = 3. 6.5. Hóy tớnh toỏn biờn độ |H(eJU>)| và pha (p(cừ) của bộ lọc số IIR được cho bởi phương trỡnh sai phõn sau:
6.6. Cho hàm truyền đạt Ha(s) của một bộ lọc tương tự như sau: Ha(s) = -------------- . (s + 2)(s + 3) Hóy tỡm hàm truyền đạt H(z) của bộ lọc số IIR tương ứng bằng phương phỏp bất biến xung. Sau đú vẽ sơ đồ bộ lọc số.
6.7. Cho hàm truyền đat Ha(s) của một bộ loc tương tư như sau: Ha(s) = ------ ------- . (s + 2)(s + 3)
Hóy tỡm hàm truyền đạt H(z) của bộ lọc số IIR tương ứng bằng phương phỏp bất biến *
xung. Sau đú vẽ sơ đồ bộ lọc số. r
' s *{" 2 r
6.8. Cho hàm truyờn đạt Ha(s) của một bộ lọc tương tự như sau: Ha(s) = — —Y— . Hóy tỡm hàm truyền đạt H(z) của bộ lọc số IIR tương ứng bằng phương phỏp biến đổi song tuyến. Sau đú vẽ sơ đồ bộ lọc số.
. s2+7s + 10
6.9. Cho hàm truyờn đạt của hệ thong tương tự như sau: Ha(s) = ----------—--------- .
Hóy tỡm hàm truyền đạt H(z) của hệ thống sổ tương ứng bằng phương phỏp biến đổi z thớch ứng. Hóy vẽ sơ đồ thực hiện hệ thống số.
, jn Ị +
; với cỏc diờm cực spk = e u 2n '
k=l
k=l
ft *'•
6.10. Cỏc chi tiờu kỹ thuật của bộ lọc sổ thong thấp như sau: S] = ỗ2 = 0.005; C0p = 0.2ji; cos = 0.371
Hóy tổng hợp bộ lọc số thong thấp trờn từ bộ lọc tương tự thong thập Butterworth bằng phương phỏp biển đổi song tuyến.
t
t
ị
TÀI LIấU THAM KHẢO
[1] . Nguyễn Quốc Trung. 2001. “Xử lý tớn hiệu và lọc số”, Tập 1, Tập 2, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật.
[2] . “Tài liệu giảng dạy DSP”, Học viện Cụng nghệ Bưu chớnh Viễn thụng.
[3] . Jonh G.Proakis and Dimitris G.Manolakis. 1992. “Digital Signal Processing: Principles Algorithms, and Applications”, Macmillan Publishing Company, printed The Republic of Sigapore.
[4] . Jonh G.Proakis and Dimitris G.Manolakis. 1989. “Introduction to Digital Signal Processing”, Maxwell Macmillan International Editions, New York.
[5] . M.Kunt. 1980. “Traifement Numộrique du Signal”, Presses Polytechnique Romandes Lausanne.
[6] . A.V.Oppenhein and R.W.Schofer. 1975. “Digital Signal Processing”, Englewood Cliffs N.E Prentice Hall.