5.1. Hàm truyền đạt
5.1.1. Miền n
Trong miền thời gian rời rạc n ta cú quan hệ vào ra của hệ thống được thể hiện qua phộp chập: x(n) h(n) -+ y(n) y(n) = x(n) * h(n) 5.1.2. Miền z Trong miền z ta cú: H(z) * Y(z) X(z) - X(z) = ZT[x(n)] H(z) = ZT[h(n)ớ
Y(z) ô ZT[y(n)] Y(z) = X(z).H(z)
Trong miền z phộp chập đó được chuyển thành phộp nhõn đại số thụng thường, đõy là một trong những ưu điểm cựa biến đổi z.
X(z) => h(n) = IZT[H(z)]
H(z): hàm truyền đạt của hệ thống rời rạc là biến đổi z của đỏp ứng xung hay nú cũn được xỏc định bằng tỷ số giữa biển đổi z của tớn hiệu ra trờn biến đổi z của tớn hiệu vào.
5.2. Liờn hệ vúi phương trỡnh sai phõn
Xột phương trỡnh sai phõn tổng quỏt:
N M
Ê a ky [n -k ] = ]T b mx[n-m ]
k = 0 m = 0
Biến đổi z hai phớa của phương trỡnh sai phõn: r* . . —y r- . .
ảa phương trỡnh sai phõn:
" N 1 r M ZT Z a*y(n - k) =ZT Z bmx(n - m) _ k = 0 _ _m = 0 N M Z akZTớy(n - k)] = Ê b mzilx(n - m)] k=0 m=0 N M Ê a l z-‘Y(z) = Ê b n,z-'"X(z) k =0 m=0 N M Y (z)X a,z-‘ = X (z )Ê b ,.z -" k=0 m=0 Ta rỳt ra: M H(z) = V b z' Y(z) _ t o m akz X(z) k= 0
Đõy chớnh là hàm truyền đạt của hệ thống rời rạc tỡm được thong qua biến đổi z đối với phương trỡnh sai phõn.
5.3. Thực hiện hệ thống 5.3.1. Phần tử trễ - Miền n: - Miền z: x(n) D -► x(n - 1) ZT[x(n)] = X(z) ZT[x(n - 1)] = z ‘X(z) X(z) > z'!X(z)
5.3.2. Phần tử cộng
Y(z)
ũ. Y(z) = Ỵ ềXi{z)
i=l
Hỡnh 2.2: Ký hiệu phần tử cộng trong miền z
5.3.3. Phần tử nhõn vúi hằng số
X (z)-------------►[>-------------► aX(z) a
5.4. Cỏch mắc sơ đồ hệ thống trong miền z
- Nếu cú cỏc hệ thống mắc song song với nhau thỡ hàm truyền đạt của hệ thống tổng quỏt sẽ bằng tổng cỏc hàm truyền đạt của cỏc hệ thống thành phần.
Hỡnh 2.3: Sơ đồ cỏc khối Hị(z) liờn kết song song
H(z) = ¿ H ,(z ) 1=1
- Nếu cú cỏc hệ thống mắc nối tiếp với nhau thỡ hàm truyền đạt của hệ thống tổng quỏt sẽ bằng tớch cỏc hàm truyền đạt của cỏc hệ thống thành phẩn.
m H , ( z ) H2(z) H J z ) Y(z)
Hỡnh 2.4: Sơ đồ cỏc khối HĂ(z) liờn kết nối tiếp
H(z) = fjH ,(z ) 1=1
- Xột một hệ xử lý số cú vũng phản hồi trờn hỡnh 2.5, theo sơ đồ khối cú:
x 2{z) = Y(z ). H2(z)
và: X, (z ) = X ( z) + A'j (z ) = X{z) + Y{z).H2 (z)
Y(z) = X, (z).fớ, (z ) = [x(z) + Y(z).H2(z)]hi(z)
Từ đỳ suy ra: (2.63) Y { z ị1 - H, ( z ) . / / 2 ( z ) ] = Y ( z ) . / / , ( z ) H z ) _ Hx(z) H(z) X(z) l - / / , ( z ) . / / 2 ( z ) X(z) X\(z) + " ớ x 2(z) Hx(z) H2(z) Y(z)
Hỡnh 2.5: Sơ đồ khối của vũng phản hồi
Vi dụ 2.14: Cho hệ thống rời rạc cú sơ đồ sau đõy:
X(z) Y(z)
H(z)
I ằ
___________________________________________________________________ ■*
Tỡm hàm truyền đạt H(z) ? Tỡm đỏp ứng xung h(n) của hệ thống ?
Giải: H(z) = Y(z) ; X(z) Xj(z) = X(z) + otz'lX1(z) X(z) = X1(z)[l-ỏcz''ị Y(z) = X, (z) + z_,x , (z) = X, (z)[l + z_l j = > H ( Z ) = H(z) = 1 + z-I l - a z-1 l + z"' -1 -az~ ' l - a z _' l - a z 1 z - a h(n) = a"u(n) + a n"'u(n - 1) z _| z + z —— z - a 5.5. Độ ổn định
- Điều kiện ổn định trong miền thời gian rời rạc n: s = 2]h(n) <G0
n=-00
- Điều ldện ổn định trong miền z:
Trong miền z một hệ thống ổn định sẽ phải thỏa món định lý sau:
Định lý ổn định: Một hệ thống tuyến tớnh bất biến nhõn quả là ổn định nếu và chỉ nếu tất cả cỏc điểm cực của hàm truyền đạt H(z) nằm bờn trong vũng trũn đơn vị (tức là chỉ cần một điểm cực nằm trờn hoặc nằm ngoài vũng trũn đơn vị là hệ thống mất ổn định).
Vỉ dụ 2.15: Cho hệ thống tuyến tớnh bất biến được mụ tả bởi phương trỡnh sai
y(n) = Ay(n-l) + x(n)
Hóy tỡm hàm truỵền đạt H(z), tỡm h(n) và xột ổn định trong miền z.
Giải: Lấy biến đổi z cả hai vế:
Y(z) = Az'Y(z) + X(z) =>Y(z) (1 - Az’1) = X(z) => H(z) = X ớ ĩ l = — !—- = —— điểm .cưc Z = A X(z) 1 - Az” Z - A h(n) = IZT[H(z)] = Ị ^ n n - ° [0 n < 0 Xột ổn định: H(z) = Z -A D(z) = Z - A => Zpi = A A < 1 => hệ thống ổn định A > 1 =ớ> hệ thống khụng ổn định
BÀI TẬP
2.1. Xỏc định biến đổi z của cỏc tớn hiệu hữu hạn sau: a. Xi(n) = {1, 2, 5, 7, 0,1}
b. x2(n) = { 1 ,2 , 5, 7, 0, 1} c. x3(n) = {0, 0, 1, 2, 5, 7, 0, 1} d. x4(n) = {2, 4, 5, 7, 0, 1}
2.2. Xỏc định biến đổi z của cỏc tớn hiệu hữu hạn sau: a. Xi(n) = 5(n - k), k > 0
b. x2(n) = ụ(n + k), k > 0
2.3. Xỏc định biến đổi z của tớn hiệu: x(n) = a"u(n) = ịan n > 0
|o n < 0 2.4. Cho x(n) = (3.2" - 4.3n)u(n). Xỏc định X(z) ?
fl 0 < n < N -1 2.5. Xỏc định biến đổi z của tớn hiệu: x(n) = ■
0 *
2.6. Cho X(z) = —ớ — . Xỏc định x(n) bằng phương phỏp khai triển thành chuỗi lũy z + thừa. 2.7. Cho H(z) = trờn mặt phẳng z. 2.8. Cho H(z) = - z + 3 (z2 + z + l)(z — )
. Xỏc định điểm cực, điểm khụng hệ thống. Biểu diễn
(z +z + l)(z+ ‘ ) 4
. Xột tớnh ổn định của hệ thống ?
2.9. Một hệ thống LTI nhõn quả cú đỏp ứng xung h(n), biến đổi z của nú là:
1 + z _l
H(z) =
( l - ^ z - , ) ( l + Ị z - 1)
2 4
a. Miền hội tụ của H(z) là như thế nào ? b. Hệ thống cú ổn định khụng ? Giải thớch ?
* " > " i
ớ 1 Y
u ( n ) - ^ (2)nư ( - n - l)
d. Tỡm đỏp ứng xung h[n] của hệ thống.
2.10. Một hệ thống LTI nhõn quả cú hàm truyền: H(z) = 1 + 2z 1 + z' 2 (1+* z - ') ( l - z - 1)
2 a. Tỡm đỏp ứng xung đơn vị của hệ thống, h(n)
b. Tỡm ngừ ra cựa hệ thống, đối với tớn hiệu ngừ vào: x(n) = e,(,t/2)n
2.11. Đối với mỗi cặp biến đổi - z của lối vào và lối ra X(z) và Y(z), hóy xỏc định miền hội tụ cho hàm truyền đạt H(z):
a. X(z) = 7 ’ 1- V z > Y(z) b. X(z) = , + 2 Z- 3 1 1 z > z < 1 + z 3 Y(z) = 1 (1- V ) ( 1+ V ) ũ 3 - < z <
2.12. Một hệ thống LTI được đặc trưng bởi hàm truyền đạt:
1 1- H(z) 1- ‘ z~2 2 1 2 4 a. Xỏc định đỏp ứng xung của hệ thống ? z >
b. Xỏc định phương trỡnh sai phõn mụ tả quan hệ giữa tớn hiệu ngừ vào x(n) và ngừ ra y(n) của hệ thống ?
2.13. Ngố vào của một hệ thống tuyến tớnh bất biến với thời gian và nhõn quả là: x(n) = u(-n - 1) +ớ 1 Vu(n)
Biến đổi z của ngừ ra của hệ thống này là: Y(z)
1
- z 2
(1- * z-')(l + z-' )
a. Xỏc định H(z), biến đổi z của đỏp ứng xung của hệ thống. Định rừ miền hội tụ b. Miền hội tụ của Y(z) là như thế nào ?
CHƯƠNG 3: BIẫƯ DIấN HỆ THỐNG VÀ TÍN HIỆU RỜI RẠC TRONG MIẩN TẦN Sể LIấN TỤC
Mục tiờu: Trong chương này sẽ nghiờn cứu cỏch biểu diễn hệ thống và tớn hiệu rời rạc trong miền tần sổ liờn tục, từ đú giỳp sinh viờn nắm rừ được: ệ.
- Biến đổi Fourier, biến đổi Fourier ngược, điều kiện để tồn tại biến đổi Fourier của cỏc tớn hiệu rời rạc.
- Cỏc tớnh chất của biến đổi Fourier. ■
- Quan hệ giữa biến đổi Fourier và biến đổi z.
- Biểu diễn hệ thống rời rạc trong miền tần số liờn tục. - Lấy mẫu tớn hiệu.
1. Mử đầu
Giỏo trỡnh lý thuyết mạch đó nghiờn cứu biến đổi Fourier của tớn hiệu liờn tục.
Chương ba trỡnh bầy biến đổi Fourier của dóy số và ứng dụng của nú để phõn tớch phổ
của tớn hiệu số và đặc tớnh tần số của hệ xử lý số.
2. Biến đổi Fourier của cỏc tớn hiệu rời rạc2.1. Biến đổi Fourier thuận 2.1. Biến đổi Fourier thuận
Định nghĩa: Neu dóy x(n) thoả món điều kiện:
Xl*0)| < 00 (3.1)
ô = —co
thỡ sẽ tồn tại phộp biến đổi Fourier như sau:
X(ej<a) = ị j x(ri)e-J°>" (3.2)
ô = —co #
Biến đổi Fourier đó chuyển dóy số x(n) thành hàm phức X (e°), (3.2) là biểu
thức biến đổi Fourier thuận và được ký hiệu như sau:
Fĩ\x(n)] = X(eja) . (3.3)
hay: x(n)— (3.4)
(FT là chữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh Fourier Transform).
Ký hiệu X(eị0)) để phõn biệt phộp biến đổi Fourier của dóy số x(n) FT\x(n)] = x(eJX) với phộp biến đổi Fourier của hàm liờn tục x(t):
F ĩlx ( /) ] = x(ũj) = J x ( t ) Ê - Ja)ldt
—00
Biểu thức biến đổi Fourier của dóy số x(n) (3.2) là suất phỏt từ biểu thức biến
đổi Fourier của hàm liờn tục x(t), vỡ khi hàm dưới dấu tớch phõn là dóy rời rạc thỡ phải thay dấu tớch phõn bằng dấu tổng.
Do tớnh chất tuần hoàn của hàm mũ ộ m, nờn X(e/(0) là hàm tuần hoàn của biến Củ
với chu kỳ 2n:
X(eiUo+k2n)) = ỵ jx(n)e-Am+kĩ,r)n = ¿jc(ô)<r''B" = X(eJO)
Dieu do cử nghợa là chi cõn nghiờn cuu hàm tõn sụ X(e!m) cựa cõc dõy rài rac x(n) voi co e (-n, n) hoÊc co e (0, 2n).
Sir dung bien dụi Fourier cho phộp nghiờn cỹu phụ cựa tin hiỗu sụ và dõc tinh
tõn sụ cựa hỗ xir lÿ so. Neu x(n) là tin hiỗu so thi FT[x(n)] = x(eJX) là pho cựa tin hiỗu x(n), cụn voi h(n) là dõc tinh xung cựa hỗ xir lÿ so thi FT[h(n)] = H(ejn) là dõc tinh tan
so cỹa hỗ xự lÿ sụ.
2.2. Sir ton tai cỷa bien dụi Fourier
Theo dinh nghợa, bien dụi Fourier thuõn (3.2) chi ton tai nờu dõy x(n) thoà man dieu kiờn khà tụng tuyờt dụi (3.1). Dieu dụ co nghợa là, nờu dõy x(n) thoà mõn dieu
kiờn (3.1) thi chuoi (3.2) sở hụi tu vố hàm Xfe10), nờn x(n) ton tai bien doi Fourier.
Nguoc lai, nờu dõy x(n) khụng thoà mõn dieu kiỗn (3.1) thi chuoi (3.2) sở phõn ky, vi thờ hàm X (ộ co) khụng ton tai và x(n) khụng cụ bien dụi Fourier.
Cõc tin hiờu sụ x(n) co nàng luỗng hỹu han:
Ex = ¿ | * ( ”)|2 < 00 (3.5)
W=-o0
luụn thụa mõn dieu kiờn (3.1), do dụ luụn ton tai bien dụi Fourier.
Vi du 3.1: Hày xột sir tụn tai và tim bien dụi Fourier cỹa cõc dọy sau:
a. u(n) b. 2"ô(ô) C. 2~"u(n) Giõi: QO 00 a- L M = X 1 = 00 ô=—oo ô=o
Hàm u(n) khụng thoà mõn (3.1) nờn khụng tụn tai bien dụi Fourier.
b. |2” ^ 2" =oo
ô=-oo n=0
Hàm 2nu(n) khụng thoà man (3.1) nờn khụng tụn tai bien dụi Fourier.
C.
ô = - oo ô = —0 * ^
Hàm 2~nu(n) thoà mõn (3.1) nờn tụn tai bien dụi Fourier:
FT[2~n u(n)] = 2 ^ 2 ~"u(n)Ê~j“,n = 'Ê 2~ ne~jan =
ô=—oo ô=0 ô=0
Võy: FT[2~nu(n)] =-----Z[-— - ------——
1 — 2 l.e J 1 - 0 ,5 e 7
(3-6) 2.3. Cõc dang biờu diờn cỷa hàm X ( ộ m)
Vi X (ộ m) là hàm phirc, nờn cụ thộ biờu diờn no duụi cõc dang, phõn thirc và
phõn ào, mụ dun và argupien, dụ lcm và pha. 2.3.1. Dang phõn thuc và phõn õo
X(eJf0 ) = X R(ỷ>) + j X , ( œ )
Theo cụng thỹc Euler cụ:
(3.8)
co oo
X(eJ<0) = Ỵ ' x(n)e~Jm" = y^ x(n) Ịcos(ỏ>.ft) - ý sin (ớy .n )]
Hàm phần thực: x R{co) = Re[jỊr(ey")] = ¿x(ô).cosịco.n)
ằ=-00
(3.9) Hàm phần ảo: x,(co) = \m[x(eJa>)] = - ¿x(/ớ).sin(ớằ.n)
ô=—00
(3.10) 2.3.2. Dạng mụ đun và argumen
X(eJ<0) = ịx(eJ" ị e Ma) (3.11)
Mễ đun: \x{ejm ) = yỊxị (a>) + x ) (ớy) (3.12)
Argumen: ẹ(m) = Arg[x(eja> )] = arctg —
X R(co) (3.13)
IA 7 ể I được gọi là hàm biờn độ tần số, nú là hàm chẵn và đối xứng qua trục tung: \x(e>") \ = \ x ( e rm) \
ọ(co) được gọi là hàm pha tần số, nú là hàm lẻ và phản đối xứng qua gốc toạ độ:
<p(a) = - cp(-Cự).
2.3.3. Dạng độ lớn và pha
X( elt0) = A(eJa) Ê jeia) = I A(eJwị e Ma)
Hàm độ lớn A (ộ (ữ) cú thể nhận cỏc giỏ trị dương hoặc õm, và:
\A(ejm)\ = \x(ejm)\
Cũn: Arg[A(eJC0 )] + 0(<o) = <p(co)
Hàm pha: ỡ(a>) = ỗ(co) - Arg[A(ejm )]
Với Arg[A(ej a )]phụ thuộc vào dấu của hàm A(eJữ>) như sau:
Í 0 Khi A(ejm) > 0
Arg[A{eJ(0)] = \
Một cỏch tổng quỏt, cú thể viết:
Arg[A{eỉ a )\ = ~ 1
Theo (3.17), cú thể biểu diễn hàm pha ỡ(co) dưới dạng như sau:
{ n Khi A(eJ ) < 0 A{ejũ)) A{ejcư) n. > = - — \ 1 - Sign A(eJ ) (3.14) (3.15) (3.16) (3.17) <9(ớỹ) = ọ(,co) - A(ejũ}) A(eJCứ) (3.18)
Vớ dụ 3.2: Hóy xỏc định cỏc hàm phần thực và phần ảo, mụ đun và argumen, độ
lớn và pha của hàm tần số x ( e Jữ>) = cos(2ũj)Ê~Jứ)
Giải: Theo (3.8) c ú : X(ejm) = c o s ( 2 ứ Ạ c o s ( t y ) - ý c o s ( 2 < y ) .s i n ( c y )
Hàm phần thực: x r(cử) = c o s (2 ớy ) .c o s ( ớy )
Hàm phần ảo: Xj{co) = - c o s ( 2 f t ) ) .s in ( t y )
Mụ đun: |A'(e;'")| = yjc o s 2 (2 < y ).c o s 2 (iy ) + c o s 2 (2 < y ).c o s 2 (fi>) = |c o s(2 (y )| c o s (2 iy ).s in (iu ) Argumen: Hàm độ lớn Hàm pha: <p(cứ) = - arctg co s(2 fi> ).c o s(ớy ) = -Cữ A{e)0>) = c o s (2 ớy ) ớ(co) = - co — 2 cos(2ứ>) |c o s(2 ớy )|
2.4. Biến đổi Fourier ngược
Biến đổi Fourier ngược cho phộp tỡm dóy x(n) từ hàm ảnh X (ộ a).
Xuất phỏt từ biểu thức Fourier thuận:
X{e'“ ) = Ề
ô=-00
Nhõn cả hai vế của với eị0)m rồi lấy tớch phõn trong khoảng (-7T, 7ĩ)\
-7Ĩ -I- '>=-ô=
Vỡ: ớ eJw{m-n)dco = 1 27T Ar/ỉ/ m -n
i 10 khi m *n
Nờn: = 2n.x{n) (3.18)
Từ đú suy ra biểu thức của phộp biến đổi Fourier ngược:
x{n) = — ĩ x ( e j<u).ejan do)
2 n }-n
Phộp biến đổi Fourier ngược được ký hiệu như sau:
IFT[X(ej a )] = x{n)
Hay: X{e)a) IFT -> x(n)
(3.19)
(3.20)
(3.21) (3.22)
Vỉ dụ 3.3: Hóy tỡm tớn hiệu số x(n) cú hàm phổ là x(eJ(a) = cos(a>)Ê~j2e>. Giải: Ta cú: x(n) = — J cos(o))Ê~Jĩớa ÊJ<0" dcỳ
— 71
. f t / j ỳ ) . — j c ữ \ , f t r ..
x(n) = — Ị—— — ...I ,e->ĩ<a.e>an dco = — | V (”-|>'B + ej("-ĩ)m]dũ)
2n J - n 2 4n Ị 1- n J x{n) = 4 7Ĩ x(n) = - 2 - 4;r 1 e J ( n -\ ) c o I ft + _____ !_____1 j ( n - \ ) -n j ( n - 3) 7j(n-ỡ)m , j ( n - \ ) ĩ ĩ _ - j ( n - \ ) n J ( n - ỡ ) i r _ - j ( n - ĩ ) t r x(n) = j(n - 1) j(n - 3) l y y f n - l ) * _ e - ; ( ô - ! )JTJ Ị Ị g X n - 3 ) * _ g - y ( ô - 3 ) j r j 2(ô - l)7r / 2 2 ( ô - 3)7T n
2 ựl-\)7l 2 ( M - 3)7T 1 khin = k ^ sin[(w - k)n] 7 0 khin*k (n -k)n Y J . sin[(tt-*);r] (ô - k)n Nờn: x(n) = 4 - < ỹ ( r t- l) + — J ( ô - 3 ) 2 2
Vỡ X(ej a) = X(z)Ị =e>(U , nờn để lập bảng biến đổi Fourỡer chỉ cần sử dụng bảng
biến đổi z khi thay z = ộ 03, và để tỡm biến đổi Fourier ngược, ngoài cỏch tớnh trực tiếp tớch phõn (3.20), cũng cú thể sử dụng cỏc phương phỏp giống như tỡm biến đổi z 3. Cỏc tớnh chất của biến đổi Fourier
Do biến đổi Fourier là một trường hợp riờng của biến đổi z nờn, biến đổi Fourier cũng cú cỏc tớnh chất giống như biến đổi z. Dưới đõy trỡnh bày cỏc tớn,h chất ’
thường được sử dụng khi phõn tớch phổ tớn hiệu số và đặc tớnh tần số của hệ xử lý số. .• 3.1. Tớnh chất tuyến tớnh: Hàm tần số của tổ hợp tuyến tớnh cỏc dóy bằng tổ họp
tuyến tớnh cỏc hàm tần so thành phần.
3.2. Tớnh chất trễ: Khi dịch trễ dóy x(n) đi k mẫu thỡ hàm biờn độ tần sổ I X(e"°j khụng thay đổi, chi cú hàm pha tần sổ cp(co) bị dịch đi lượng kcự. khụng thay đổi, chi cú hàm pha tần sổ cp(co) bị dịch đi lượng kcự.
Nếu: FT[x{n)} = X(eja ) = \x(eja ị e Ma>)
Nếu k > 0 là x(n) bị giữ trễ k mẫu, nếu k < 0 là x(n) được đẩy sớm k mẫu. Vỉ dụ 3.5: Hóy tỡm: x(eJ'°) = FT\Tn r e c t N (ô)]
Giải: Cú 2~"rect(n)N = 2~" u(n) — 2~" u(n - N)
Nờn: X(ejm) = FT[2-n ô(ô)] - Fĩ\2-N2~{n-N) u(n - N)]
Theo biểu thức (3.6) và tớnh chất dịch của biến đổi Fourier nhận được:
Vậy: X(ejro) = FT[2~" rectN(ô)] = 1 - (3.25)
\-ữ,Se~ỡlJ
ngược.
Nếu: F 7 T ằ )] = x,(eja)
Thỡ: Y{eJ" ) = FT y{n) = X A,.Xị (n) = ỵ A, JCt (eJ“>) (3.23)
i i
Trong đú cỏc hệ số A\ là cỏc hằng số.
Vi dụ 3.4: Hóy tỡm hàm phổ của tớn hiệu số x(n) = - S(n - 1) + - ừ { n - 3)
Giải: Theo tớnh chất tuyến tớnh của biến đổi Fourier cú:
(pJi04- p -j(0 \
X(ejm) = = cos (co) Ê -j2c°
2
Thỡ: FT[x{n - * )] = e-jk(ữX{eja ) = ịx(eJớa ị e (3.24)
3.3. Tớnh chất trễ của hàm tần số: Khi nhõn dóyx(n) với Ế?'"0'1, trong đú 0)0 là hằng số, thỡ hàm tần số x(e/m) khụng bị biến dạng mà chỉ tịnh tiến trờn trục tần số một số, thỡ hàm tần số x(e/m) khụng bị biến dạng mà chỉ tịnh tiến trờn trục tần số một khoảng bằng ũ)o, theo chiều ngược với dấu của 0)0.
Nếu: F1\x(n)) = x(ejm)
Thỡ : FTle^x^n)} = x(eJ(œ-m°] ) (3.26)
Vỉ dụ 3.6: Tớn hiệu số x(n) cú phổ tần số là X{ejal) = Fr[x(ơ)], hóy tỡm phổ tần số của tớn hiệu điều biờn y{n) = x(n).cos(ũ)0n) .
Giải: Cú: cos(<y0ô) = e J*>
0 " + e ~ J ao”
Do đú: F 2 " [x (n ).c o s (ớy 0ô ) ] = FT - x ( n ) Ê jw°"
Theo tớnh chất dịch của hàm tần số nhận được:
+ FT\ - x ( n ) Ê - J<ữ°n 2
FT[x(n).cos(ứ)0n)] = - X{eJ(a' a<>)) + - X(eA<0+<0o)) (3.27)
3.4. Tớnh chất biến đảo: Biến đổi Fourier của cỏc dóy thực cú biến đảo x(n) và x(-n)
là hai hàm liờn hợp phức.
Nếu: FT[x(n)] = X ( e JÍ0 ) = \ x ( e Ja ị e M<0)
Thỡ: FT[x(-n)] = X(e-Jm ) = x \ e ja ) = \x(eja ịe~Ma>) (3.28)
Vớ dụ 3.7: Hóy tỡm X{ej‘°) = FT[2nu{-rớ)]
Giải: Theo biểu thức (3.6) và tớnh chất biến đảo cú:
FT[2nu{-n)} = --------ỉ——
1 - 0,5.ejm
3.5. Hàm tần số của tớch chập hai dóy: Hàm tần số của tớch chập hai dóy bằng tớch
của hai hàm tần so thành phần.
Nếu: FT[xx{n)] = x,{eia>) và FT[x2( ô ) ] = (eJ* )
Thỡ: Y(eJW) = FT[x,(n)* x 2{n)} = X {(eJro)JC2(eja)) (3.29)
Vi dụ 3.8: Hóy tỡm X(eJ<0) = FT[2~nu( n) *ừ{n-1)]
Giải: Sử dụng cỏc biểu thức (3.6), (3.8) với k - 1, và (3.29), tỡm được:
FT[2-"u(n)) = Ị
1 - 0 ,5 e '
Vậy: X(ej a) = 1 ,-ja _
1 - 0,5e- j a 1 - 0 , 5 e ‘
và FT[ổ(n - 0] = e~Jm
3.6. Hàm tần số của tớch hai dóy: Hàm tần số của tớch hai dóy bằng tớch chập của
hai hàm tần số thành phần chia cho 2 71.
Nếu: FT[xx(ô)] = Xị(eJt0) và FT[x2(n)) = x 2(eja>)
Thỡ: FT[xx(n)jc2(n)] = -Ị- ớx,{eia').X2(eJ(m-°>,))dcữ' (3.30)
27Ĩ
(3.32) 3.7. Cụng thức Parseval: tớnh năng lượng của tớn hiệu theo hàm phổ.
Ex = Ê | * ( ô ) | 2 = ị\x(eJmiỊdat
Vi dụ 3.9: Hóy xỏc định năng lượng của tớn hiệu sổ x(n) = 2“"ô(ằ) theo cả hàm thời gian và hàm phổ, so sỏnh hai kết quả nhận được.
G iải: Theo hàm thời gian cú:
' • - Ẻ ^ - ẳ ^ - ẳ ^ - . T n p r - Tô=-00 ô= 0 ô=0 V1 " 4 J Để xỏc định năng lượng theo hàm phổ, trước hết tỡm:
x(ejm) = ỷ 2 -nu(n).e-jmn = ----- — = ------------- ỉ-------------
1 - 0,5e~jứ> 1 - 0,5 co s< y + /.0 ,5 sin co
Vậy: \x(e^)\ = -— = L = - ----- j = _
V(1 - 0,5 coso)2 + (0,5 sin co)2 V l’25 - C0S(y
Tớnh năng lượng của x(n) bằng cụng thức Parseval (3.32):
E x = — } ----------- ---- 2 lt _n 1 , 2 5 -