* 5.2 Đặc tớnh biờnđộ tần số và đặc tớnh pha tần số
3. Biến đổi Fourier rời rạc đối với cỏc dóy khụng tuần hồn cú chiều dài hữu hạn
1 0,78 . I I . 3,14 ị 0,78 - I I . ^ -8 1 -6 -5 -4 I -2 -1 -0,78 -0,78 ằ 2 3 5 -0,78 1 - 7 8 9 ' -0,78 Hỡnh 4.1: Đồ thị cỏc dóy xp(n), I Xp(k) I, <p(k) ở vớ dụ 4.1
3. Biến đổi Fourier rời rạc đối với cỏc dóy khụng tuần hồn cú chiều dài hữu hạn3.1. Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) 3.1. Biến đổi Fourier rời rạc (DFT)
Xột dóy khụng tuần hồn x(n)i cú độ dài hữu hạn L . Một cỏch gần đỳng, cú thể coi dóy x(n)i là một chu kỳ của dóy tuần hồn X p (n ) với chu kỳ bằng N, khi đú vúi a là
hằng số cú: xp(n) = x(n + aN)L (4.11) x(n)L 1 . 0,5 I . -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 *
Hỡnh 4.2: Đồ thị của dóy x(n)L cú độ dài L = 4
1 1 ^Xp(n) 1 1 1 1 J . 0,5 I . 0,5 . 0,5 I . 0,5 I . 0,5 I 1 I I I I 1 I I I I 1 I I .6 -5 -4 -3 -2 A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Jcp(n) 1 1 1 1 1 105, 1 r , 1 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 . n
Hỡnh 4.4: Đồ thị của dóy tuần hồn Xp(ỡt) cú chu kỳ N = L
^Cp(n)
J J è I r , ■ ■ 1 1 r .
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Hỡnh 4.5: Đồ thị của dóy tuần hồn X p ( n ) cú chu kỳ N > L
Đồ thị của dóy x(n)i trờn hỡnh 4.2 và dóy X p (n ) trờn hỡnh 4.3 cho thấỵ rằng, nếu chu kỳ N của Xp(n) nhỏ hơn độ dài L của x(n)i (N < L) thỡ dóy x(h)lsẽ bị biờn dạng do sự trựm thời gian. Để khụng xảy ra hiện tượng trựm thời gian và dóy x(n)L khụng bị biến dạng thỡ dóy tuần hồn Xp(n) phải cú chu kỳ thỏa món điều kiện:
N > L _ (4.12)
Hơn nữa, nếu N > L thỡ dóy tuần hồn Xp(n) phải cú cỏc mẫu với giỏ trị bằng 0 trong đoạn L < n <(N - l), như đồ thị trờn hỡnh 4.5.
Trong đoạn 0 < n <(N - \) biểu thức (4.11) cú dạng:
Xp{n) = x{n)L
Từ đú, cú thể trực tiếp suy ra cặp biến đổi Fourier rời rạc của dóy khụng tuần
hoàn cú độ dài hữu hạn x(n)i từ cặp biến đổi Fourier rời rạc (4.9) và (4.7) của dóy
tuần hồn Xp(n). Với N > L cú:
Biến đổi thuận: X(k)N = Ỵ ^ x ( n ) ,, .e~jk<u'n (4.13)
n=0
Biến đổi ngược: x (n )L = — '¿ rx (k )Nejlctu'n (4.14)
N k=0
Trong đú = 7.71 ỊN và thừa số e ±lkro'n được gọi là hệ số pha. Trong nhiều tài liệu, hệ số pha e ±jkt0'nđược ký hiệu là .
Biến đổi Fourier rời rạc thuận (4.13) của dóy cú độ dài hữu hạn x(n)N được viết tắt là DFT và ký hiệu như sau:
X(k)N = DFT[x(n)N] (4.15)
Hay: x{n)N — > X(k)N (4.16)
Biến đổi Fourier rời rạc ngược (4.14) của dóy cú độ dài hữu hạn x(n)Nđược viết tắt là IDFT và ký hiệu như sau:
x{n)N = IDFTim)ằ} (4.17)
Hay: x(k)N -SEZ_> *(*)„ (4.18)
Trong cỏc biểu thức DFT (4.13) và IDFT (4.14), quan hệ giữa độ dài L của dóy
x(n)i và độ dài N của dóy X(k)N phải theo điều kiện (4.12), tức là N > L. Khi tớnh DFT với N > L, coi như thờm vào dóy x(n)L cỏc mẫu cú giỏ trị bằng 0 ở cỏc thời điểm L < n
¿ ( N - ỉ).
Vỡ X(k)N là dóy phức nờn cú thể biểu diễn nú dưới cỏc dạng:
Dạng phần thực và phần ảo:
x(k)N = x R(k)N+jX,(k)N (4.19)
Dóy phần thực: x R(k)N = ỵ^ x (n )N.cos(kcũ]n) (4.20)
n=0
Dóy phần ảo: X,(k)N = - ^ x ( n ) N.sin(ka)xn) (4.21)
Dạng độ lởn và pha: x(k)N = A(k)NeJ0(k) (4.22)
Dóy độ lớn cú thể nhận giỏ trị dương hoặc õm và: \A(k)N\ = !*(*)„ I
Dạng mụ đun và argumen: x{k)N = \x{k)N\eJtp(k) (4.23)
Dóy mụ đun: |x(*)„| = ^ x ị( k ) N + xj(k)N (4.24)
cũn được gọi là dóy biờn độ tần số, hay dóy phổ biờn độ rời rạc. Dóy argumen: ọ(k) = arctg X ,(k)N
XrW„
(4.25) Dóy <p(k) cũn được gọi là dóy pha tần số, hay dóy phổ pha rời rạc.
Theo lý thuyết hàm phức, \x(k)N\ là dóy chẵn và đối xứng qua trục tung, cũn
(p{k) là dóy lẻ và phản đối xứng qua gốc tọa độ.
Vỉ dụ 4.2: Hóy tỡm DFT[ừ{n)N ], vẽ đồ thị tớn hiệu S(n)Nvà phổ của nú.
Giải: Cú thể xem ỏ(n)N là dóy ỏ(n)N = 1 khi n = 0
0 khi 0 < n < (N - 1)
Theo biểu thức DFT thuận (4.13) cú hàm phổ rời rạc:
DFT[S(n)N] = ỵ ổ ( n ) N.e-jk!ữ'" = ị n=0 { 1 khi k e [0 , (iV - 1)] 0 khi k e [ 0 , ( N -1)] V ậ y : DFT[ỏ(n)N] = recớN(k) ĐỒ thị tớn hiệu ố(n)N và phổ rời rạc của nú là rectN(k) ở
hỡnh 4.6. Khi thay đổi độ dài N
của ổ(n)N, thỡ tớn hiệu S(n)u khụng
cú gỡ thay đổi, nhưng số vạch của phổ rời rạc rectN(k) thay đổi
tương ứng, khi tăng N thỡ bề rộng phổ tăng.
Vi dụ 4.3: Tỡm DFĨ\rectL( ô ) „ ] ,
với N > L .
Giải: Theo biểu thức DFT (4.13)
ổ(n)fi . n 0 1 2 3 (N-l) 1 0 rectN(k) 1 2 3 Hỡnh 4.6: ổ(n)N\ằ phổ của nú (4.26) 7 Á
cú hàm phổ rời rạc:
DFT[rect L{n) „] = Ỵ ^ r e c t L{n).e~lkm'n = Y j e~jkm'n =
>7=0 n=0 1 - e-jk^L Hay: ,~jkNLreikNL _ e~jkNL\ DFT[rectL (n) N ] = - 2 Ĩ = „ ~ F ------ l - e ~ J j ĩ e ’ N{eÍ N - e . _ sinịkĩlL n) - j kx(LA) DFT[rectL ( n ) N ] = . v - ỉ e N ỡ _ e -jkằỡL l - e n -jkml ) (4.27) sin(A7T N)
Xột trường hợp đặc biệt N = L: Trong khoảng 0<Ả:<(Ar-i)thỡ sin(*;r)=o, cũn
sin(A:;T/jV)*Ovới mọi k.
Tại k = 0 cú: Lim— y '■■■■■■ve N = Lỉm-,— \ = F
*-+0sin(& ;r N ) *->0 ựr N ị c o s \ k 7 ĩ N )
_ ___ \ N k h i k =0
Dođú:
Tức là: DFT[rectN(n)N] = N.Ỏ(k)N (4.28)
Biểu thức (4.28) cho thấy rằng, trong trường hợp N = L , khi thay đổi độ dài N của dóy chữ nhật rectN(ơ), thỡ DFT[rectN(n)N] vẫn chỉ cú một vạch tại k = 0, nhưng biờn độ của nú luụn bằng N. Kết hợp (4.27) và (4.28) nhận được:
” "(***■ K h i N > L
DFT[rectL{n )N] - • sin(*;r n)
N . ổ ( k ) f j K h i N = L
3.2. Quan hệ giữa DFT với FT và ZT
3.2.1. Quan hệ giữa DFT với FT và ZT, khỏi niệm về lấy mẫu tần số
Xột cỏc biểu thức biến đổi thuận DFT, FT, và ZT của dóy x(n)N . DFT thuận (4.13): X(k)N = DFT[x{n)N} = Y j x{n)Ne-jk0i'n
ô = 0
FT thuận (3.2): X(eằ) = Fĩịx{n)N ] = ¿ x (ằ )N e-jan = ỵ X(n)N e -Jtan
n= - 00 n=0
ZT thuận (2.1): x (z ) = FT[x{n)N ] = Ỵ j x(n)N.z~n =Ỵj x(rỡ)N.z~n
n= -cc n= 0
Suy ra: Ỵ Jx{n)Ne~)ka'n = Ỹ Jxin)Ne' 1<on
Tức là giữa DFT, FT, và ZT cú quan hệ: DFT[x(n)N]=FT[x(n)N] co = kũ)x N-\ = Ỵ_lx{n)Nz~n n=0 z - e_ p ] k ỳ i ị Cử = kco. = z r [ x ( n ) „ ] z = e‘ka>' (4.29)
Biểu thức (4.29) cho thấy, DFT chớnh là FT của cỏc dóy cú độ dài hữu hạn tại cỏc tần số rời rạc Cử - kcOị = k.2n/N, và nú cũng chớnh là ZT của dóy cú độ dài hữu hạn trờn vũng trũn đơn vị |z| = I tại cỏc tần số rời rạc co = kcot. Cú thể viết lại (4.29) dưới
dạng:
Theo (4.30), X(k)N chớnh la X(eJ(0) cỳa day cú do dỏi hỹu han x(n)N khi rai rae húa bien tan so gúc lien tuc co thỏnh bien rai rae kco\. Quỏ trinh rai rae húa bien tan so lien tuc duge goi la lỏy mau tan so.
Nộu x(n)N la tớn hieu sú thi day X(k)N la phú rdi rae, nú nhỏn duge bỏng cỏch lỏy mau tỏn so phú lien tuc X(ei0>). Nộu h(n) la dỏc tớnh xung cỳa he xỹ ly so, thi H(k)N la dỏc tớnh tỏn so rai rae cỹa he xu ly so, nú nhỏn duge bỏng cỏch lỏy mau tỏn sú dỏc tớnh tỏn sú lien tuc F[(ộa).
Nhu vỏy, DFT chớnh la lỏy mau tỏn sú, va dộ viộc lỏy mau tỏn sú khúng lỏm bien dang day gúc trong miộn thai gian, thi phỏi khúng dộ xỏy ra hiộn tugng trỹm thai gian (xem hinh 4.3), do dú diộu kiộn dộ cú thộ khúi phuc duge hỏm tỏn sú lien tuc
X(e,a>) tớr hỏm tỏn sú rai rae X(k)N la: Day gúc phỏi cú dú dỏi L hmi han va dú dỏi N tớnh DFT phỏi khúng nhú hon dú dỏi cỳa day gúc theo diộu kiộn (4.12): N > L.
Diộu kiộn lỏy mau tỏn sú tren cỹng cú y nghla vỏt ly tuang tu nhu dinh ly lỏy mau theo thai gian.
Tuy nhiộn, khi dú dỏi N tớnh DFT bỏng dú dỏi cỹa day gúc x(n), thi sai khỏc
giỹa day tan sú rai rae X(k) N\ ỏ hỏm tỏn sú lien tuc X (ộ (0) con rỏt lún, khi dú dỏi N tớnh
DFT cỏng lún thi su sai khỏc giỹa X(k)N va X (ộ (0) cỏng giỏm, va khi N -> oo thi X(k)N
—> Xúộ01). Cú thộ thỏy rú diộu dú khi xem lai cỏc biộu thỳc (4.27), (4.28) a vi du 4.3:
Vỏi L = N thi: X(k)N = DFT[rect N {n)N] = N.8(k)N
Vỏi L > N thi: X W , = = ằ j / i “
sin (^ N)
Vỏi L > 77 thi: X{k)H = DFT[rectL(n)N] =
a>
a. Do thi | X t f 03) | vúi L = 10
t l m U
b. Do thi \X (k)x<)
■II. lili lili llii I I lili lili lili .11. k k
c. Do thi | X(k)so I d. Dú thi I X (k)m
(4.31)
3.2.2. Nội suy hàm X(z) từ N mẫu của dóyDFT X (k)N
Theo (2.1), biến đổi i của dóy cú độ dài hữu hạn x(n)N là:
X(z)=Ỵj x(n)N.z~n
Do x(n)N là dóy hữu hạn nờn X(z) luụn tồn tại, và miền hội tụ của X(z) là toàn bộ mặt phẳng z trừ hai điểm z = 0 và \z\- 00 phải xột cho từng dóy x(n)N cụ thể.
Để tỡm X(z) từ X(k)s, trước hết cần tỡm x(n)N = IDFĩịx(k)N ], sau đú lấy biến đổi
z thuận X(z)= Zĩ\x(n)N). Ta cú: x(n)N = IDFT[X(k)N] = l y X{k)NeJka'n N tố Theo (4.31): X(z)= ZT[x(n)N] = ỵ 1 Ê*(*)„ơ>*•'" .z~" n=olN k=0 x(z)= ZT[x(n)„] = 1 Ỵ JX{k)NỴ j ejko>'n .z-n N t ị t i 1 t ỡ (\ - ejktữ'N z~N ) Trong đú, vỡ eJ . ^ 2 n
’Jkto'N = e N = ej2k7r = 1 với mọi k, nờn nhận được:
X(z)= ZT[x(iĩ)n ] = (1
- N \ N - \ x(k)h
(4.32)
N t ớ (1 - e JKm'z-')
Biểu thức (4.32) là cụng thức nội suy để tỡm dạng gần đỳng của X(z) từ N mẫu của X(k:)N = DFĩịx(n)Nị Khi cho N -> 00, sẽ nhận được hàm X(z) chớnh xỏc của dóy
x(n).
3.2.3. Nội suy X(ei<0) từ V mẫu của dóy DFT X(k)N
Vỡ x(n)N là dóy hữu hạn nờn X (ộ m) luụn tồn tại, và cú thể nhận được X (ộ m) từ biểu thức của X(z) khi thay z = ộ 10. Do đú từ [4.2-22] cú:
1 w_l (ĩ — e~JloN)
x ^ ’ > ^ w . ] = m . (4.33)
Sừ dụng cộng thức: (1 - e JX) = e
và mẫu của (4.33), nhận được:
J 2 ~ J Ĩ
e 2- e 2
X
= 2 je ’2 sin- để biến đổi cả đa thức ở tử
2 N-I sin . X(ejm)= FT[x(n)N) = - i g X(k)N — y - N tố ■ a > sin \ 1 y (4.34)
BÀI TẬP
ơ
Í1 0 < n < 5
4.1. Cho dóy tuần hồn x(n): x(n) = < chu kỳ N = 12. Xỏc định X(k) ?
J [ 0 6 < n < 1 1 “
4.2. Cho dóy tuần hồn chu kỳ 4 như sau: x(n) =
1 n = 0 2 n = 1 3 n = 2 4 n = 3 . Xỏc định X(k) ? Í1 0 < n < L -1 0 n ^
4.3. Cho tớn hiệu cú chiều dài hữu hạn: x(n) = i1
l< của dóy x(n) cú chiều dài N với N > L ?
4.4. Hóy xỏc định DFT N điểm của cỏc dóy sau:
c. cosỊ^— nj.rect„(n)
. Hóy tớnh biến đổi DFT
a. ej(2ỵ L)nrectL{n) vQL<jV
b. l - ~ \rectN(n)
\ N ) d. sin
2 7 1 I . .
— n \.rectN(n)
4.5. Hóy xỏc định x(k)N = DFT[anrectL(n)„] vQ L< N. Tớnh x{k)N với a = 0,8; 1 = 2 ;
N = 4, vẽ cỏc đồ thị |x(*)„| và Arg[x(k)N].
4.6. Hóy tớnh trực tiếp X(k)5,
ag[x(k)5].
với 1 , 0 , 1 , 2| . Vẽ cỏc đồ thị ỊX(k)5 và
4.7. Hóy tớnh X(k) 8 , với x(n) = | 2 ,2 ,11,, 00 ,,11,, 22 j . Vẽ cỏc| . sỏnh kểt quả nhận được với kềt quả của bài 4.6.
4.8. Cho dóy *-,(*)„ =DFT[x(n)„], hóy xỏc
x 2(k)N = Z)FT[(-i)"jc(ơ)„]theo x,(k)N.
4.9. Hóy tỡm IDFT của cỏc DFT N điểm sau:
đồ thị !*(*)*! và Arg[x(k)i\. So
định biểu thức của dóy
a. 2 k.rectN(k) b. 1 - V N , ■rectN{k) c. d. rectN(k). c o rectN{k). sin 2/r. N 2 71. N ‘ ) ‘)
4.10. Cho dóy thực hữu hạn với x(n)N= - x ( N - \ - n ) N và N lẻ. Hóy tỡm x (k)Ntại cỏc điểm k = N/2; 3N/2; 5M2; 1N/2,
4.11. Hóy tớnh DFT 8 điểm của cỏc dóy sau: i n ' ] ( n Yl 2. c o s —n + 3 .sin L V 4 J U J a. X \ ( n ) = b. x2(n) = 2~"rect5(n) + 3~"rect4(n) .rectg(n) 8 y c. x3(tt) = 4.C0S d. x4{n) = 2~nrectịin) + 3ố(n-4)g
4.12. Cho dóy hữu hạn x(n) = Ỉ3 , 2 ,1, o ị . a. Hóy xỏc định x { k ) 4và AWg
b. Tỡm Yị(k)4 = DFT[x(n - 2)] khi x(n - 2) là dịch tuyển tớnh
c. Tỡm Y2(k)4 = D F ĩ\x (n- 2)4] khi x(rt-2)4là dịch vũng
4.13. Cho x { k ) N =DFT[x(n)N], hóy tỡm DFT Nđiểm của cỏc dóy sau: a. y\(n)N =2x(n)N + 3x(-n)N c. y6(n)N = x(-n)N *x(n-3)N b. y2(n)N = x(n)N + 2x’(n)N d. y s(n)„ = x(n)N.x(N - 1 + n)h
CHƯƠNG 5: TỎNG HỢP CÁC B ộ LỌC Sể Cể ĐÁP ỨNG XUNG CHIỀU DÀI HỮU HẠN FIR
Mục tiờu: Trong chương này sẽ nghiờn cứu cỏc phương phỏp tổng hợp bộ lọc sụ cú đỏp ớmg xung chiờu dài hữu hạn FIR đờ xõy dimg cỏc bộ lọc thực tờ cú đỏp ứng xung nhăn quả, cú chiều dài hữu hạn, và cỏ pha tuyến tỉnh, từ đú giỳp sinh viờn nắm rừ được:
- Cỏc đặc trưng của bộ lọc FIR tuyến tớnh.
- Đỏp ứng tần so của cỏc bộ lọc số FIR pha tuyển tớnh.
1. Tổng quan
Giống như cỏc bộ lọc tớn hiệu tương tự, bộ lọc số là mạch thực hiện chức năng chọn lọc tớn hiệu theo tần số. Cỏc mạch lọc số cho tớn hiệu số cú phổ nằm trong một dải tần số nhất định đi qua và khụng cho cỏc tớn hiệu cú phổ nằm ngoài dải tần số đú đi qua.
Dải tần số mà mạch lọc cho tớn hiệu đi qua được gọi là dải thụng, cũn dải tần số mà mạch lọc khụng cho tớn hiệu đi qua được gọi là dải chặn. Tần số ph.õn cỏch giữa dải thụng và dải chặn là tần s ố cắt và được ký hiệu là C0c.Theo dạng của đặc tớnh biờn độ tần số I H (dm) I , người ta chia cỏc bộ lọc số thành cỏc loại:
- Bộ lọc thụng thấp, cú d ả i thụng co e (0, C0c) . - Bộ lọc thụng cao, cú dải thụng co e (<oc, oo). - Bộ lọc dải thụng, cú dải thụng (0 e (cocl, C0c2 ) .
- Bộ lọc dải chặn, cú dải thụng co e (o, C0cl) và co e (ooc2, oo). Theo dạng của đặc tớnh xung h(n), người ta phõn biệt cỏc bộ lọc số:
- Bộ lọc số cú đặc tớnh xung hữu hạn (bộ lọc số FIR). - Bộ lọc số cú đặc tớnh xung vụ hạn (bộ lọc số IIR).
Chương năm trỡnh bầy cỏc phương phỏp phõn tớch và tổng hợp cỏc bộ lọc số cú đặc tớnh xung hữu hạn, pha tuyến tớnh (gọi vắn tắt là bộ lọc số FIR pha tuyến tớnh). 2. Cỏc đặc trưng của bộ lọc FIR tuyến tớnh
2.1. Cỏc bộ lọc số lý tưởng
Bộ lọc số lý tưởng cú đặc tớnh biờn độ tần số dạng chữ nhật:
Trờn thực tế khụng thể xõy dựng được bộ lọc số cú đặc tớnh biờn độ tần số I H(e)CƠ) I như vậy, tuy nhiờn cỏc bộ lọc số lý tưởng là cơ sở để phõn tớch và tổng hợp
cỏc bộ lọc số thực tế.
ở chương ba chỳng ta đó biết rằng, đặc tớnh tần số H(e’co) của hệ xử lý số là hàm tuần hoàn của biến Cữvới chu kỳ 2k, hơn nữa đặc tớnh biờn độ tần số I H (ộ œ) I là hàm chẵn và đối xứng qua trục tung. Vỡ thế, chi cần nghiờn cứu đặc tớnh tần số của cỏc bộ lọc số lý tưởng trong một chu kỳ tần sổ Cỳ € [-7 T , n ], hoặc trong nửa chu kỳ co G [0,
7Ỉ\. Dưới đõy sẽ trỡnh bầy về đặc tớnh tần sổ và đặc tớnh xung của cỏc bộ lọc số lý
tưởng thuộc cỏc loại thụng thấp, thụng cao, dải thụng, và dải chặn.
Khi m e d ả i thụng
2.2. Bộ lọc thụng thấp lý tưởng
2.2.1. Định nghĩa: Bộ lọc thụng thấp lý tưởng cú đặc tinh biờn độ tần sổ khi Cữ e [-71, 71 ] như sau: 71 ] như sau:
I I ớ 1 Khi co e [ -c o ., C0c ] \h (eJ ) = < ớ c • c J
' lp ' [ 0 Khi co e [-71, -C0c] và co e [coc , 7C]
Đặc tớnh biờn độ tần số của bộ lọc thụng thấp lý tưởng ở hỡnh 5.1.
(5.2)
V
___ L____
-7Ĩ -COc 0 (Oc tt CO
Hỡnh 5.1: Đặc tớnh biờn độ tần số của bộ lọc thụng thấp lý tưởng 2.2.2. Cỏc tham số thực của bộ lọc thụng thấp lý tưởng
- Tần số cắt: fc
- Dải thụng: / <r [0, f c] - Dải chặn: f e [fc oừ\
Bộ lọc thụng thấp lý tưởng cho tớn hiệu số cú phổ nằm trong dải tần / < fc đi qua, chặn khụng cho tớn hiệu số trong dải tần f > f c đi qua.
2.2.3. Đặc tớnh xung hip(n) của bộ lọc thụng thấp lý tưởng
Xột bộ lọc thụng thõp lý tường pha tuyờn tớnh d(cũ) = - a c ơ , đặc tớnh tõn sụ của nú cú dạng:
n,Ảe>") e - j a a i Ị Q ^ ị ¿ y Ê [ - 0 ) c , COc ]
0 Khi cư € [ - 7 Ĩ , - C0c ] và Cử e [a>c , n \ (5.3) Đặc tớnh xung hip(n) của bộ lọc trờn được xỏc định bằng IFT:
hlp(n) = IFt\h,p{eia>)] = -— ] Hlp(eJ<u )ei<ondco
- n
1 1
______i___e j(0(n-a) I
2n j(n - a)
b,pirỡ) = s in ^ C ô -a ) ] a>c sin[ớyc( n -a ) ]
n{n - a ) n a>c(n -a ) (5.4)
Theo (5.4), bộ lọc thụng thấp lý tưởng pha tuyến tớnh cú đặc tớnh xung hip(n)
dạng hàm sin giảm dần về 0 khi n -> ± 00. Tại n = 0 cú:
h,p (0 ) = lim h, ( ô ) = Lim — — ----7; " - " — = — —
ô-*0 "->0 n Cửc{n — a) 7Ĩ
Đặc tớnh xung hip(n) đạt cực đại tại n = 0, và hlp(n) = otại cỏc điểm n = knị(ũc, với k là
số nguyờn.
Vớ dụ 5.1: Hóy xỏc định và vẽ đồ thị đặc tớnh xung hip(n) của bộ lọc số thụng
thấp lý tưởng pha khụng [ d{co) = 0 ], cú tần số cắt Cức = /r/3.
2.3.3. Đặc tớnh xung hhp(n) của bộ lọc thụng cao lý tưởng
Xột bộ lọc thụng cao lý tưởng pha tuyến tớnh ỡ(ũ)) = -acơ, đặc tớnh tần số của
nú cú dạng:
H ( i <0) = \ e ~Jaa K h i c o e [ - x , - c o c ] v à œ e [ œ c , 7 z ]
hp Ị 0 K h i coe [ - coc , w c ]
Vỡ dải thụng và dải chặn của bộ lọc thụng cao ngược với bộ lọc thụng thấp, nờn cú thể biểu diễn H ự ộ 01) qua Hịp(ộ(ỳ) như sau:
Hhp(eja) = \ - H lp(eJa) (5.7)
Theo (5.7) cú thể tỡm được đặc tớnh tần số của bộ lọc thụng cao từ đặc tớnh tần số của bộ lọc thụng thấp cú cựng tần số cắt.
Đặc tớnh xung hhp(n) của bộ lọc trờn được xỏc định bàng EFT:
M " > = IFÁ H^ e)m )] = J - 1 [ l - H>p (eJ~ )}eJ(andco
■n ịe~jaae)mdco hhp(n) = -T—r e 2 n jn , , N sin(7T.ô) hhp(n) = F n .n Hay: hhp(n) - Vỡ: sin(^.ô) [ 1 n .n ~ Ị 0 1 1 Jto(n-a) —ĩĩ 2n j { n - à ) sin [< y c (n - a ) ] 7ĩ(n-a) s in (7 T .r t) (0C sin[ứ> c ( / ỡ - a ) ] n .n 7t K h i n - 0 K h i n 0