• 2.2 Bộ lọc thụng thấp lý tưởng
3. Cỏc phương phỏp tổng hợp bộ lọc số IIR từ bộ lọc tương tự
3.2. Thiết kế bộ lọc IIR bằng phương phỏp tương đương vi phõn
Một trong những phương phỏp đơn giản nhất để chuyển đổi một bộ lọc tương tự sang bộ lọc số là xấp xỉ phương trỡnh vi phõn bằng một phương trỡnh sai phõn. Phương phỏp này giống như qỏch giải phương trỡnh vi phõn tuyến tớnh hệ số hằng bằng phương phỏp số trờn mỏy tớnh.
Đạo hàm dy(t)/dt tại t = nTs, với Ts là chu kỳ lấy mẫu, được thay bằng sai phõn lựi [y(nTs) - y(nTs - Ts)]/Ts. Tức là:
dy(t) dt
y(nTs)-y(nTs - T s) y ( n ) - y ( n - l )
Hệ thống vi phõn tương tự với đỏp ứng dy(t)/dt cú hàm truyền đạt là H(s) - s, tương đương trong, miền số là một hệ thống số với đỏp ứng [y(n) - y(n - 1)]/TS sẽ cú hàm truyền đạt là H(z) = — — (Hỡnh 6.1). Kết quả, ta thu được sự tương đương trong hàm truyền đạt là H(z) = — —- (ỉ
Ts miền tần số của quan hệ (6.19) là:
s = 1 - z -I (6.20) y(t) H(s) = s a) dy(t) dt y(n)-y(n.-l) b) Hỡnh 6.1
Đạo hàm bậc hai tớ dược thay bằng sai phõn bậc hai:
[y(nT,)-y(nTs -T,)]/T, -[y(nT, -T s)-y(nTs -2T,)]/T, T.
d2y(t) d rdy(t)l Ịy(nTJ-y(nT,-TJ]/T,-Ịy(nT,-T,)
dt2 dt dt Ts
_ y (n )-2 y (n -l) + y(n-2) Ts
Trong miền tần số, phương trỡnh (6.21) tương đương với:
s2 = 1~ 2z~l + z~2 = { x~ ỉ— ) (6.22)
T s2 l T. )
Từ đõy cú thể rỳt ra mối quan hệ tương trong miền tần số khi thay thế đạo hàm bậc k bằng sai phõn bậc k như sau:
sk = — z (6.23)
V. Ts )'
Kết quả là hàm truyền đạt của bộ lọc số IIR cú được từ phộp xấp xỉ đạo hàm bằng sai phõn, đú là:
H(z) = Ha(s)|s=.-z-' (6.29)
Ts
trong đú Ha(s) là hàm truyền đạt của bộ lọc tương tự được đặc trưng bởi phương trỡnh vi phõn (6.18).
Ta hóy xem ý nghĩa của phộp ỏnh xạ từ mặt phăng s sang mặt phăng z theo phương trỡnh (6.20), ta viết lại:
l - z - ' , 1
hay z = s = ■
Ts ' l-s T s
Nếu thay s = jQ vào phương trỡnh (6.25) ta cú:
1 1
z = qt; (6.26)
Khi thay đổi từ -00 —► 00 thỡ quĩ tớch tương ứng của cỏc điểm trong mặt phẳng z là một vũng trũn cú bỏn kớnh 1/2 và tõm đặt tại điểm z = 1/2, xem hỡnh 6.2.
Đễ dàng chứng tỏ rằng phộp ỏnh xạ (6.26) biến cỏc điểm trong nửa trỏi trờn mặt phẳng s thành cỏc điểm tương ứng bờn trong vũng trũn cú bỏn kớnh 1/2 và tõm (1/2, 0) trong mặt phẳng z và cỏc điểm ở nửa phải của mặt phẳng s sẽ chuyển thành cỏc điểm tương ứng ứng ở bờn ngoài vũng trũn này, trong mặt phẳng z.
Điều này cú nghĩa là một bộ lọc tương tự ổn định sẽ được chuyển đổi thành một bộ lọc sổ ổn định. Tuy nhiờn, vị trớ cú thể cú của cỏc cực của bộ lọc số bị giới hạn trong cỏc dài tần số khỏ nhỏ. Vỡ vậy, phộp ỏnh xạ cũng bị giới hạn trong phạm vi thiết kế cỏc bộ lọc hạ thụng và cỏc bộ lọc dải thụng cú tần số cộng hưởng tương đổi nhỏ. Vỡ vậy, phộp ỏnh xạ này chỉ cú thể dựng để thiết kế cỏc bộ lọc thụng thấp và thụng dải cú tần số cộng hưởng khỏ nhỏ. Nú khụng cú khả năng chuyển đổi từ bộ lọc thụng cao tương tự thành bộ lọc thụng cao số.
Vớ dụ 6. ị: Thay thế đạo hàm bằng sai phõn ngược để chuyển đổi một bộ lọc
Bộ lọc số cọ một cực tại z = 1/(1 + Ts). Để đạt được tần số cộng hưởng thấp, ta phải chọn Ts đủ nhỏ dể cho vị trớ của cực nằm gần vũng trũn đơn vị. Chẳng hạn, ta cú thể chọn Ts = 0.1, ta được:
z - 0.909 1 -0.909z~'
Do cực của H(z) nằm ở tại điểm z = 0.909, nờn đỏp ứng tần số cú một đỉnh tại z = 0 {Hỡnh 6.3)
V h n p trũn j n
Mặt phăng z Mặt phảng s
ơ
1 — z~ Jk * \
Hỡnh 6.2: Phộp ỏnh xa s = — — biờn nửa trỏi của măt phăng s thành miờn trong
Ts
vũng trũn bỏn kớnh 1/2, tõm z = 1/2 trờn mặt phẳng z
' ’ ' ' 1 — z
Ap dụng biờu thức ỏnh xạ từ miờn s sang miờn z: s = ----- Ta cú:
Hỡnh 6.3: Cỏc đỏp ứng tần số của bộ lọc tương tự (a) và bộ lọc số (b) trong vớ dụ 6.1
3.3. Thiết kế bộ lọc IIR bằng phương phỏp bất biến xung
Phương phỏp này xuất phỏt từ cỏch biểu diễn một hệ thống bằng xung. Theo đú, một bộ số IIR cú đỏp ứng xung h(n) thu được bằng cỏch lấy mõu đỏp ứng xung ha(t) của bộ lọc tương tự. Ta cú:
h(n) = h(nTs), n = 0, 1 ,2 ,... (6.27)
trong đú Ts là chu kỳ lấy mẫu.
Ta đó biết rằng khi một tớn hiệu liờn tục trong miền thời gian (tớn hiệu tương tự xa(t) cú phổ x a(f) được lấy mẫu với tốc độ = 1/TS (samples/second) thỡ phổ của tớn hiệu lấy mẫu là sự lặp lại tuần hoàn của x a(f) với chu kỳ Fs. Cụ thể thỡ quan hệ đú là:
X(f) = F ,Ề x ,[ ( f - k ) F ,] (6.28)
k=-co trong đú f = F/Fs là tần số chuẩn húa.
Hiện tượng biệt danh xuất hiện nếu tốc độ lấy mẫu Fs nhỏ hơn hai lần thành phần tần số lớn nhất cú trong Xa(F).
Thể hiện dưới gúc độ lấy mẫu đỏp ỳng xung của một bộ lọc tương tự cú đỏp ứng tần số Xa(F), thỡ bộ lọc số với đỏp ứng xung h(n) sẽ cú đỏp ứng tần số là:
H(f) = F .Ê H .[ ( f -k ) F ,]
k=-oo (6.29)
hay: H(cd) = Fs ¿ H a[(co-2krc)FJ (6.30)
tương đương với:
!s k=-°° h
(6.31) Cú thể thấy rừ là bộ lọc sổ với đỏp ứng tần số sẽ cú cỏc đặc tớnh đỏp ứng tần số của bộ lọc tương tự tương ứng nếu chu kỳ lấy mẫu được chọn đủ nhỏ để trỏnh hoàn toàn hoặc cực tiờu húa hiện tượng biệt biệt danh. Ta cũng thõy .răng phương phỏp bõt biến xung là khụng thớch hợp để thiết kế cỏc bộ lọc thụng cao, bởi vỡ hiện tượng biệt biệt danh sẽ xuất hiện từ quỏ trỡnh lấy mẫu.
Để xem xột sự ỏnh xạ giữa mặt phẳng s và mặt phẳng z được hàm chứa trong quỏ trỡnh lấy mẫu, ta dựa vào sự tổng quỏt húa phương trỡnh (6.31) băng cỏch liờn kờt biến đổi z của h(n) với biến đổi Laplace của ha(t). Sự liờn kờt được thực hiện như sau:
H ( Z ) U = Ts k t t ị ẵ H . ( s - j T 1 Ts (6.32)
Khi s = jớ2, phương trỡnh (6.32) được rỳt gọn thành phương trỡnh (6.31) (thừa số j trong Ha(co) được bỏ đi trong ký hiệu).
Tớnh chất tổng quỏt của phộp ỏnh xạ:
z = esTs _ (6.33)
cú thể cú được bằng cỏch thay s = ơ + jQ và biểu diễn biến phức z dưới dạng cực z = rej0> = eơTs .ejnTs. Rừ ràng, ta cú:
r = eaTs và co = QTS (6.36)
Kết quả là khi ơ < 0 thỡ 0 < r < 1, và khi ơ > 0 thỡ r > 1, khi ơ = 0 thỡ r = 1. Vỡ vậy, nửa trỏi của mặt phẳng s được ỏnh xạ vào trong vũng trũn đơn vị của mặt phăng z, và nửa phải của mặt phăng s sẽ được ỏnh xạ thành cỏc điển nằm ngoài vũng trũn đơn vị của mặt phẳng z. Đõy là một trong số cỏc đặc tớnh mong muốn của một phộp ỏnh xạ tốt. Trục ảo cũng được ỏnh xạ thành vũng trũn đơn vị như đó chỉ ra ở trờn. Tuy nhiờn, đõy khụng phải là phộp ỏnh xạ một-một. Vỡ Cừ là duy nhất trờn khoảng (-n, n), nờn
phộp ỏnh xạ hàm ý rằng khoảng — < Q < — ỏnh xạ vào cỏc giỏ trị tương ứng trong khoảng -TCC0<TC. Hơn nữa, khoảng tần số — < Q < — cũng ỏnh xạ vào trong
Ts Ts
khoảng -7ĩ<co<7t, và điều này núi chung vẫn xay ra đổi với khoảng - k--1 — < Q < — — , với k là một số nguyờn. Vỡ vậy phộp ỏnh xạ từ biến tần số tương tự Q sang biến tần số co trong miền số là phộp ỏnh xạ nhiều-vào-một (many-to- one), điều này thể hiện ảnh hưởng của hiện tượng biệt danh do quỏ trỡnh lấy mẫu. Hỡnh 6.4 minh họa phộp ỏnh xạ từ mặt phăng s sang mặt phăng z.
m jf2 Mặt phẳng s 7t ĩ ------------ ơ n T
Hỡnh 6.4: Phộp ỏnh xa z = esT‘ sẽ ỏnh xa dóy cú đụ rụng — (ơ < 0) trong măt
Ts
phẳng s thành cỏc điểm trũn đơn vị của mặt phang z
Để tỡm hiểu sõu hơn nữa tỏc dụng của phương phỏp bất biến xung lờn cỏc đặc tớnh của bộ lọc số IIR, ta hóy biểu diễn hàm hệ thống của bộ lọc tương tự dưới dạng tổng cỏc phõn thức. Với giả thiết là cỏc cực của bộ lọc tương tự là khỏc nhau, ta cú thể viết: Mặt phẳng z Vũng trũn đơn vị H.(s) 1k=l gk s - p k (6.37)
trong đú pk là cỏc cực của bộ lọc tương tự và ck là cỏc hệ số trong khai triển phõn thức. Kết quả là:
h,(t) = 2 > kePk‘, t> 0 k= l
Nếu ta lấy mẫu ha(t) một cỏch tuần hoàn tại cỏc thời điểm ta sẽ được: h(n) = h(nTs) = Ê c kep
k = l và hàm hệ thống của bộ lọc số IIR sẽ cỏ dạng:
(6.38)
(6.39) Nờu ta lõy mõu ha(t) một cỏch tũn hồn tại cỏc thời diờm ta ớ
h(n) = h(nTs) = Ê c kePkT’" k = l và hàm hệ thống của bộ lọc số IIR sẽ cỏ dạng: H(z) = f> (n )z -" - ị ớ i c ke ^ ' \ - kỆ ( e - V ' ) r n - 0 n= 0 \ k=1 ) k = l n= 0 Vè Pk < 0 , nờn ¿ ( e - pkT- Z-‘ )" = _ .¿ r— v à : h<z) =ẻ , _ . , 1t. z'-ĩ Ta thấy bộ lọc số cú cỏc cực tại: zk = e PkT’, k = 1, 2 ,..., N
Với hàm hệ thống như phương trỡnh (6.42), bộ lọc số IIR dễ dàng được thực hiện bằng một dải ghộp song song của cỏc bộ lọc đơn cực. Nếu một sụ cực là cỏc giỏ trị phức, chỳng cú thể được ghộp thành từng cặp với nhau để tạo thành cỏc bộ lọc thành phần cú hai cực. Ngoài ra, hai thừa số chứa cỏc cực cú giỏ trị thực cũng cú thờ được kết hợp lại để tạo thành cỏc bộ lọc thành phần cú hai cực. Nờn bộ lọc sụ IIR cú thể được thực hiện bằng một dải song song của cỏc bộ lọc thành phần cú hai cực.
được dựa trờn (6.40) (6.41) (6.42) (6.43)
Mặc dự sự khai triển để đưa đến biểu thức H(z) = *Yj-
k=l 1'
“ 1-e ‘.z
một bộ lọc tương tự cú cỏc cực khỏc nhau, nhưng biểu thức trờn cũng cú thể tổng quỏt húa đối với trường hợp cỏc cực kộp.
Vỉ dụ 6.2: Chuyển một bộ lọc tương tự cú hàm truyền đạt H(s) = — S + ^'2" —
thành bộ lọc số IIR bằng phương phỏp bất biến xung.
Giải: Ta thấy bộ lọc tương tự cú một zero tại s = -0.1 và một cặp cực liờn hợp phức tại pk = -0.1 ± j3. Ta khụng phải xỏc định đỏp ứng xung ha(t) đờ thiờt kờ bộ lọc số bằng phương phỏp bất biến xung, mà thay vào đú ta sẽ xỏc định trực tiờp H(z) bởi phương trỡnh (6.42) từ khai triển phõn thức của H(s). Ta cú:
' 1/2 1/2 _ TI/, 1/2 1/2
H(s)- s + O.I-j3 + s + 0.1 + j3 "" <Z)_l - ẹ ,iy JT'.z-' + l - e ,IT-.e->JT'.z-1
Do hai cực là liờn hợp phức, nờn ta cú thể kết hợp chỳng lại với nhau để tạo thành một bộ lọc cú hai cực đơn giản cú hàm truyền đạt là:
H(z) =
1 0.1 T- _ nn — 1 1 -e s.cos3Tz
l- 2 e 0n\cos3Tsz -'+ e 02Tl.z~2
Đỏp ứng biờn độ của bộ lọc này được vẽ trong hỡnh 6.5a với hai trường hợp Ts = 0.1 và Ts = 0.5.
|H(co)|(dB) |Ha(Q)|(dB) 10 0 10 0 -10 -10 -20 -30 -40 -50 -20- -30- -40 V 0 2' a) 3 4 “ -500 2 4 6 " ĩo , b ) ’ Hỡnh 6.5: a) Đỏp ứng biờn độ của bộ lọc số
b) Đỏp ứng biờn độ của bộ lọc tương tự
Q. -
3.4. Thiết kế bộ lọc số IIR bằnẹ phộp biến đổi song tuyến
Hai phương phỏp thiết ke bộ lọc số IIR đó được giới thiệu cú một hạn chờ là chỳng chỉ thớch hợp để thiết kế cỏc bộ lọc hạ thụng và một lớp hữu hạn cỏc bộ lọc dải thụng. Sự hạn chế này là kết quả của việc ỏnh xạ để chuyển cỏc điểm trong mặt phẳng s thành cỏc điểm tương ứng trong mặt phẳng z.
Phương ph^p biến đổi song tuyến khắc phục được những hạn chế của hai phương phỏp trờn, phộp biờn đụi song tuyờn liờn quan với việc tớnh tớch phõn băng phương phỏp số thdồ qui tắc hỡnh thang. Vớ dụ, ta xột một bộ lọc tương tự tuyến tớnh cú hàm truyền đạt lẵ:
Hệ thống này pũng cú thể dặc trưng bằng phương trỡnh vi phõn:
đ l + a y ( t ) = bx(t) (6.45)
dt
Thay vỡ thaý thế đạo hàm bằng một sai phõn hữu hạn, ta hóy thử lấy tớch phõn của đạo hàm và tớnh xấp xỉ tớch phõn theo qui tắc hỡnh thang. Ta cú:
trong đú y ’(t) là đạo hàm của y(t). Tớch phõn trờn được tớnh xấp xỉ theo qui tắc hỡnh thang tại và ta được:
Thay phương trỡnh (6.48) vào phương trỡnh (6.47) ta được một phương trỡnh sai phõn cho hệ thống rời rạc tương ứng:
H(s) = b (6.44)
s + a
(6.46)
y(nTs) = ^ [y-(nTs) + y' (nTs - Ts)] + y(nTs - Ts) Tớnh phương trỡnh vi phõn (6.45) tại G ta được:
y’(nTs) = -ay(nTs) + bx(nTs) (6.48)
(6.47)
(1 + ^ -)y (n ) - (1 - ^ ) y ( n -1) = ^ M x (n ) + x(n -1)] (6.49) Biến đổi z của phương trỡnh vi phõn này là:
Kết quả, hàm truyền đạt của bộ lọc số tương đương là: aT .......... aT . bT,
(1 + ^A ) Y(z) - (1 - ^ ) z - ' Y(z) = (1 + z-‘ )X(Z) z
Kết quả, hàm truyền đạt của bộ lọc số tương đương là: H(z) - M - (bT- /2ỹ + Zl ' „ , X(z) 1 + aTs / 2 - (1 - aTs / 2)z" hay: H(z) =
T, [ ỡ + z ' J + a
Như vậy, phộp ỏnh xạ từ mặt phẳng s sang mặt phang z là:
s = — ỉ - ^ r (6.51)
Ts ự + Z I
Phộp ỏnh xạ này được gọi là phộp biến đổi song tuyến. Mặc dự ta rỳt ra phộp biến đổi song tuyến từ phương trỡnh vi phõn bậc nhất, nhưng điều này cũng đủng đụi với phương trỡnh vi phõn bậc N.
Để tỡm hiểu những tớnh chất của phộp biến đổi song tuyến, ta đặt: Phương trỡnh (6.51) cú thể được viết lại như sau:
z = reJ0) [s = ơ +jQ s = 2 ớZ-1 TA z +1 rej0> -1 l s VreJW +1 s = r 2 -1 2rsinco l s V - 4- j - 1 + r2 + 2rcosco l + r^+2rcosco suy ra: ơ = và: Q = T. r2 - ] s V1 + r2 +2rcosco 2rsinco \ 1S vl + r + 2rcoscoy
Ta thấy rằng nếu r < 1 thỡ ơ < 0, và nếu r > 1 thỡ ơ > 0 nờn nửa trỏi của mặt phẳng s ỏnh xạ vào bờn trong vũng trũn đơn vị trờn mặt phăng z, và nửa phải của mặt phẳng s ỏnh xạ thành cỏc phần nằm ở phớa ngoài vũng trũn đơn vị. Khi r = 1 thỡ ơ = 0
(6.52) (6.53) hay: họa ở hỡnh 6.6. ^ 2 sinco 2 co Q = A — —---- = Ê - t a n - Ts 1 + cos co Ts 2 QT co = 2 tan-'(A A ) (6.54) co = 2tan -) (6.55)
CO
Hỡnh 6.6: Sự ỏnh xạ giữa miền tần số <0 và miền tần số trong phộp biến đổi song tuyến
Ta thấy tồn bộ miền Í2 được ỏnh xạ chỉ một lần vào Cừ < 71, nờn sẽ trỏnh được
hiện tượng biệt danh của cỏc thành phần tần số. Tuy nhiờn phộp ỏnh xạ này cú tớnh phi tuyến tớnh. Ta khảo sỏt sự nộn tần số là do tớnh chất phi tuyến của hàm. Ngoài ra, phộp biến đổi song tuyến sẽ ỏnh xạ điểm thành điểm z = -1. Vỡ vậy, bộ lọc thụng thấp đơn cực H(s) = b/(s+a) cú một zero tại điểm s = 00, sẽ đưa đến một bộ lọc sụ cú một zero
tại z = -1.
Vi dụ 6.3: Chuyển một bộ lọc tương tự cú hàm truyền đạt là H (s) = ----- ---------- thành bộ lọc số IIR cú tần số cộng hưởng bằng phộp biến đổi
a (s + 0.1)2 +16 song tuyến.
Giải: Ta thấy bộ lọc tương tự cú tần số cộng hưởng n = 4, tần số này được ỏnh
xạ thành tần số bằng cỏch chọn giỏ trị của thụng số Ts. Từ phương trỡnh (6.54), ta phải chon =1/2 đờ cú. Vỡ thờ biờu thức ỏnh xa là: s = 4 -——T , và bộ lọc sụ cú hàm l+ z ' . - 2 i . .. TT/_X 0.128 + 0.006z"-0.122z truyờn đạt là: H(z) = --------- -— — 7----——-r—. 1 1 + 0.0006z"' + 0.975z'2
Ta thấy hệ số của số hạng ở mẫu của H(z) là rất nhỏ và cú thể tớnh gần đỳng bằng 0, ta được:
, 0.128 + 0.006z-1 -0.122z'2 H(z) = -------------—----- f-— —
1 + 0.975z“2
Bộ lọc này cú cỏc cực p, 2 = 0.987.e±J,,/2 và cỏc zero Z] = -1; z2 = 0.95.