Phộp biến đổi z được sử dụng cho cỏc dóy số. Biến đổi z thuận để chuyển cỏc dóy biến số nguyờn n thành hàm biến số phức z, biến đổi z ngược để chuyển cỏc hàm
biến số phức z thành dóy biến số nguyờn n.
2.1. Biến đổi z thuận2.1.1. Biến đổi z hai phớa 2.1.1. Biến đổi z hai phớa
Định nghĩa: Biến đổi z hai phớa của dóy x(n) là chuỗi lũy thừa của biến số
phức z:
x(z)~ ^x(n).z~n (2.1)
n = - co
miền xỏc định của hàm X(z) là cỏc giỏ trị của z để chuỗi (2.1) hội tụ.
Dóy x(n) được gọi là hàm gốc, cũn X(z) được gọi là hàm ảnh z. Biến đổi z hai
phớa thường được gọi vắn tắt là biến đổi z. Chuỗi (2.1) là biểu thức biến đổi z thuận và được ký hiệu như sau:
ZT[x{n)} = X(z) (2.2)
hay: x(n) ——ị. X{z) (2.3)
(.ZT là chữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh: z - Transform).
Vớ dụ 2.1: Hóy xỏc định biến đổi z hai phớa của cỏc dóy sau:
a. ụ{n) b. ổ (n -k) c. ụ{n + k) d. x(n) = { 3 , 2 , - 5 , 1 } t Giải: a. ZT[S{n)} = = 1 (2.4)
Chuồi (2.4) hội tụ với mọi 2, nễnZT[ừ(jĩ)] xỏc định với mọi z.
b. ZT[ổ( n- k) ] = Ỳ j ỏ ( n - k ) . z - n = z~k (2.5)
/7=-00
Chuỗi (2.5) hội tụ với mọi z > 0, n ốn Z I\S {n -k)] xỏc định với mọi z > 0.
c. ZT[<J(>i + *)] = ¿<y(>i+ *).*"" = ** (2.6)
M=-00
Chuỗi (2.6) hội tụ với mọi 2 < 00, nờnzr[Ê(n + Ê)] xỏc định với mọi 2 < 00.
d. x(z) = y^x(ô).z~n = ^ jc(/7).z”” = 3.Z1 +2-5.Z-1 + z~2 (2.7)
n=-°0 >7=—1
Hàm A'fZy) xỏc định trong miền 0 < 2 < 00.
2.1.2. Biến đổi z một phớa
Định nghĩa: Biến đổi 2 một phớa của dóy x(n) là chuỗi lũy thừa của biến số phức z:
x'{z)= Ỵ j x{n).z~n (2.8)
>7=0
miền xỏc định của hàm x \ z ) là cỏc giỏ trị của z để chuỗi (2.8) hội tụ.
Biến đổi z một phớa được lẩỵ theo tổng với n biến thiờn từ 0 đến 00. Chuỗi (2.8) là biểu thức của biến đổi z một phớa thuận và được ký hiệu như sau:
ZT'[x(n)) = x '(z) (2.9)
hay: x{n) 7T' -> x '(z )
Vỉ dụ 2.2: Hóy xỏc định biến đổi z một phớa của cỏc dóy ở vớ dụ 2.1 và so sỏnh
kết quả với biến đổi z hai phớa tương ứng. a. S(n) b. ụ {n -k) c. ỏ(n + k) d. x(n) = { 3 , 2 . - 5 , 1 } t Giải: a. ZT'[ỏ(n)] =¿Ê(w).z-" = 1 >7=0
Dóy nhõn quả ỗ(n) cú biến đổi z một phớa giống biến đổi z hai phớa
b. ZT' [ ỏ( n- k) ] =ị j ỏ(n-k). z-n = z-k
>7=0
Dóy nhõn quả 5{n - k) cú biến đổi z một phớa giống biến đổi z hai phớa
c. ZT'[ố(n + k)} =¿< 5(m + ¿).z"” = ¿ 0.z'" = 0
n=0 /7=0
Dóy phản nhõn quả ụ(n + k) cú biến đổi z một phớa luụn bằng 0.
00 2
d. x ' ( z ) = = yỵ^ x (n ).z~ n = 2 - 5 . Z -1 + z" 2
>7=0 >7=0
2.2. Miền hội tụ của biến đổi z
Định nghĩa: Tập hợp t ấ t cả cỏc giỏ t r ị của biến s o phức z mà t ạ i đ ú c ỏ c c h u ỗ i
(2.1) và (2.8) hội t ụ được gọi là miền hội tụ của biến đ ổ i z.
Miền hội tụ của biến đổi z được ký hiệu là: RC[X(z)] hoặc RC (RC là chừ viết
tắt của thuật ngữ tiếng Anh: Region o f Convergence).
Cú thể thấy ngay rằng cỏc dóy x(n) hữu hạn cú biến đổi z là chuỗi hữu hạn nờn sẽ hội tụ trờn toàn bộ mặt phẳng z, trừ hai điểm \z\= 00 và z —0 là phải xột cụ thể:
x ( z ) = ZT[x{rỡ)N ] cú R C [ X ( z ) ]: 0 < |z| < 00 .
2.3. Hàm X(z) dạng phõn thức hữu tỷ
Vỡ biến đổi z là chuỗi lũy thừa của z nờn cú thể biến đổi hàm X(z) về dạng phõn thức hữu tỷ:
jrW . A - g ạ . , (2.1 0)
(1 -f- Q \ Z * C è2 ^ ■+• . . . 4 - ữ N Z N )
hoặc: ỵ f A jBCf) = A(bữz u + bxz M + . . . + b M_tz + b M)z:r(Aỉ-M)
Đ(z) 0 + ũịZn 1 + ...+ aN_ịZ + aN) (2.11)
Irn[2]
y ^ 1 U j Trong đú A và cỏc hệ số ar , bk là cỏc hằng số thực.
Phương trỡnh B(z) = 0 cú M nghiệm là zữk và tại z = z0k thỡ X(z) - 0, nờn cỏc điểm z0*được gọi là khụng điểm của hàm X(z).
Đa thức ở mẫu D(z) cú hệ số a0 = 1 được gọi là đa thức đặc trưng của X(z).
Phương trỡnh đặc trưng D(z) = 0 cú N nghiệm là zpr và tại z = zpr thỡ X(z) = 00, do đú cỏc điểm zpr được gọi là cực điểm của X(z).
Ngoài ra, phụ thuộc vào quan hệ giữa N và M,
hàm X(z) cũn cú thể cú một
khụng điểm hoặc cực điểm tại
z - 0.
Trờn mặt phang phức, cỏc khụng điểm zoic của hàm
X(z) được ký hiệu bằng dấu
khuyờn trũn nhỏ “o“ cũn cỏc cực điểm Zpr được ký hiệu bằng dấu gạch chộo nhỏ như trờn hỡnh 2.2. 2pl X 2oi o 0 * r ữ z ô X z t ĩ Aỉ >Re[z] Hỡnh 2.1: Khụng và cực của X(z) “x“
Theo cỏc khụng điểm Zữk và cực điểm zpr của X(z), cú thể đưa phõn thức hữu tỷ
(2.1 1) về dạng:
x( z) . A B{z) A(z - z ữị){z - z ữĩ)..ịz - zũm)X"-M) (2 12)
' D(z) ( z - z pị) ( z - z p2) . . . ( z - z pN)
Cỏc cực điểm zpr của hàm X(z) cú ý nghĩa rất quan trọng đối với việc phõn tớch hệ xử lý số trong miền z.