• 2.2 Bộ lọc thụng thấp lý tưởng
4. Tổng hợp cỏc bộ lọc tương tự
Như đú giới thiệu, vấn đề thiết kế bộ lọc tương tự đó phỏt triờn từ lõu, vỡ vậy cú nhiều sỏch viết về chủ đề này. Với mục đớch cung cấp tài liệu tham khảo cho việc thiết kế bộ lọc số IIR, trong phần này ta sẽ trỡnh bày tỳm tắt cỏc đặc tớnh quan trọng của vài loại bộ lọc thụng dụng và cỏc tham số tương ứng. Mặt khỏc, ta cũng chi thảo luận giới hạn ở bộ lọc thụng thấp, bởi vỡ cú cỏc phương phỏp chuyển bộ lọc thụng thấp thành lọc thụng dải, thụng cao hoặc triệt dải.
4.1. Bộ lọc Butterw orth
Bộ lọc Buttenvorth là bộ lọc toàn cực được đặc trưng bởi đỏp ứng biờn độ bỡnh phương:
trong đú N là bậc của bộ lọc và Qc là tần số cắt. Vỡ H(s).H(-s) được tớnh tại s - jf2
bằng với |H(Q)|2nờn ta cú thể viết:
Khoảng cỏch giữa cỏc cực của H(s).H(-s) xuất hiện trờn vũng trũn đơn vị là bằng nhau. Từ (6.58) ta thấy rằng: M f H(z) = n o - e zkT-.z-') k = l (6.57) N f Ị ( l - e PkT-.z-') k=l (6.58) H(s).H(-s) = 1 + (-s 2 /Qc)n (6.59) (6.60) 112
Hỡnh 6.7: Cỏc vị trớ của cỏc cực của bộ lọc Butter
Hỡnh 6.7 minh họa vị trớ của cỏc cực của bộ lọc Butterworth với N = 4. Đặc tuyến đỏp ứng tần số của bộ lọc này với vài giỏ trị khỏc nhau của N (N = 1, N = 2, N = 4, N = 5) được vẽ trong hỡnh 6.7.
Ta thấy đơn điệu ở dải thụng và cả dải chặn. Bậc cần thiết của bộ lọc để đỏp ứng yờu cầu về độ suy giảm ỗ2 tại một tần số cụ thể ớ ỡ 3 cú thể xỏc định một cỏch dễ dỏng từ phương trỡnh (6.58). Tại Q = Í2S, ta cú:
S2 = — -------= (6.61)
1+(Qs/Q c)2N 21og10(Qs /Q c )
Như vậy, bộ lọc Butterworth hoàn toàn được đặc trưng bởi cỏc thụng số N, ụ2 và Í2S /Qc.
Hỡnh 6.8: Đặc tuyến đỏp ứng tần số của bộ lọc Butterworth 4.2. Bộ lọc Chebvshev
Cú hai loại bộ lọc Chebyshev. Loại 1 là cỏc bộ lọc toàn cực cú tớnh chất gợn súng đờu ờ dải thụng và tớnh đơn điệu ở dải chặn. Loại 2 là cỏc bộ lọc chứa cả cực và
zero, cú tớnh đơn điệu ở dải thụng và tớnh gợn súng đều ở dải chặn. Cỏc zero của bộ lọc Chebyshev loại 2 nằm trờn trục ảo trong mặt phăng s.
Đặc tuyến đỏp ứng biờn độ bỡnh phương của bộ lọc Chebyshev loại 1 được cho bởi biểu thức sau:
|H(Q)| = - 1
1 + Ê2T^(Q/Q c) (6.62)
trong đú e là thụng số của bộ lọc, nú cú quan hệ với độ gọn súng trong dải thụng, và Tn (x) là đa thức Chebyshev bậc N được đinh nghĩa như sau-:
ớcos(Ncos"‘x), |x| < 1
Tn(x)= (6.63)
I cosh(n cosh x), |x| > 1
Đa thức Chebyshev cú thể được thành lập bằng phương trỡnh đệ qui như sau:
Tn+i(x) = 2xTn(x) - Tn.](x), N = 1, 2,. .. (6.64)
trong đú T0(x) = 0 và T](x) = 1.
Cỏc tớnh chất của đa thức Chebyshev:
1. |Tn(x) | < 1, v ớ i |x |< l
2. Tn(x) = 1, với mọi N
3. Tất cả cỏc nghiệm của đa thức đều nằm trong khoảng -1 < X < 1
Hỡnh 6.9 minh họa sự ảnh hưởng của thụng số e lờn độ gợn súng dải thụng tương ứng với hai trường hợp N chẵn và N lẻ.
0.6 0.4 0.2 0 Ai \ Ỉ 1 T ũ 0 20 40 Q 20 ; N cliẳn 40 N lẽ
Hỡnh 6.9: Đặc tuyến tần số của bộ ỉọc Chebyshev loại 1, E = 0.8 Khi N lẻ, Tn(0) = 0 => |H(0)|2 = 1, khi N chẵn TN(0) = 1 => |H(0)|2 = Ở tần số cạnh băng tần Q = Í2C, ta cú: Tn( 1) = 1, suy ra: l- ụ ị = 1 + e x/ĩ <=> e (6.65) l + s* 0 - 5 . ) trong đú 5, là giỏ trị của độ gợn dải thụng.
Bộ lọc Chebyshev loại 2 cú cả zero lẫn cực. Đỏp ứng biờn độ bỡnh phương là:
|H(Q)|2 = — - _------- — - — (6.66)
l + e2[T2(Qs/Q c ) /T 2(Qs/Q)]
trong đú Tn(x) là đa thức Chebyshev bậc N và Í2S là tần số cạnh dải chặn như được minh họa ở hỡnh sau:
Hỡnh 6.10: Đặc tuyến tần số của bộ lọc Chebyshev loại 2
Ta thấy cỏc bộ lọc Chebyshev được đặc trưng bởi cỏc thụng số N, e và ti số Í1 với một tập đặc tớnh kỹ thuật e và n , ta cú thể xỏc định được bậc của bộ lọc từ biểu thức:
Xỉ_ i o g j y ù ^ 5 [ + V i - 5 2( i+ s 2)]/s5 2 logl0[(n s/Q c+A/(Os /Q c )2 - l ]
(6.67)
Núi chung, với cựng cỏc chỉ tiờu kỹ thuật, bộ lọc Chebyshev cú ớt cực hơn (bậc thấp hơn) bộ lọc Butterworth. Nếu ta so sỏnh bộ lọc Butterworth với bộ lọc Chebyshev cú cựng số cực, cựng dải thụng và dải chặn thỡ bộ lọc Chebyshev cú dải qỳa độ hẹp hơn.