II. Dạyhọc các định lý tốn học
2.4. Dạyhọc chứng minh định lý
2.4.1. Gợi động cơ chứng minh
Hình thành động cơ chứng minh cĩ vai trị quan trọng đối với việc học tập những định lý, nĩ phát huy tính tự giác và tích cực của HS. Ban đầu khi mới làm quen với chứng minh HS chưa thấy sự cần thiết phải chứng minh định lý. Do vậy cần phải tận dụng những cơ hội khác nhau để gợi động cơ cho hoạt động chứng minh định lý (xuất phát từ thực tế, từ nội bơ tốn học, . .). Cĩ đơi khi chỉ cần xuất phát từ một hình vẽ cũng dẫn đến HS cĩ nhu cầu chứng minh định lý. Chẳng hạn đối với định lý “Gĩc ngồi của một tam giác luơn lớn hơn gĩc trong khơng kề với nĩ” (hình học 7). Nếu ta vẽ như hình a) thì HS hồn tồn thấy hiển nhiên. Nhưng nếu ta vẽ như hình b) thì HS thấy nghi ngờ về điều phát biểu của định lý nên cĩ nhu cầu chứng minh.
A B
D C E
2.4.2. Rèn luyện những hoạt động thành phần khi chứng minh
- Cần cĩ ý thức tập luyện cho HS những hoạt động trí tuệ chung như: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hĩa, khái quát hĩa thường xuất hiện như những hoạt động thành phần khi chứng minh. Chẳng hạn như: trước khi chứng minh định lý học sinh phải biết phân tích giả thiết và kết luận; Khi phân tích xong học sinh phải thấy được sự liên hệ giữa giả th iết và kết luận, thấy được mối liên hệ giữa định lý này và định lý khác (tổng hợp) để tìm đường lối chứng minh. Trong việc ghi giả thiết và kết luận nên kết hợp với hình vẽ và ghi bằng kí hiệu.
Ví dụ: Định lý: “Trong một tam giác đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh thì song song với cạnh thứ 3 và bằng nửa cạnh ấy” – Tốn 7.
GT ABC, AM = MB, AN = NC
KL MN//BC, MN =
2
BC
- Cần tập luyện cho HS những quy tắc kết luận logic thường dùng. Những quy tắc này ít được trình bày trong nội dung mơn tốn cấp THCS dưới dạng các mệnh đề Tốn học. HS chỉ lĩnh hội chúng thơng qua những trường hợp cụ thể. Thường dùng nhiều nhất là quy tắc
B A A B
A , . Trong đĩ A B là một định nghĩa (hay định lý) cho trước,
chính là căn cứ suy luận.Thường trong trình bày chứng minh, để cho gọn, người ta hay viết quy tắc suy luận sau đĩ viết căn cứ bên cạnh.
Ví dụ: Trình bày chứng minh định lý “Nếu hình thang cĩ hai đường chéo bằng nhau thì nĩ là hình thang cân”
Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt DC kéo dài tại E.
Các bước suy luận Căn cứ suy luận
1. BE = AC Tính chất đoạn chắn
2. AC = BD Giả thiết
3. BE = BD Theo (1) và (2)
4. Tam giác BDE cân Theo (3)
5. BEˆD BDˆE Theo (4)
6. BEˆD ACˆD Cặp gĩc đồng vị
7. ACˆDBDˆC Theo (5) và (6)
8.ACD =BDC Trường hợp bằng nhau C.G.C
9. ADˆCBCˆD Theo (8)
10. ABCD là hình thang cân Theo (9) và đ/n hình thang cân
2.4.3. Hướng dẫn HS những tri thức phương pháptrong chứng minh
a) Trong quá trình chứng minh cần phải hướng dẫn cho HS những tri thức phương
pháp liên quan đến vấn đề đang chứng minh. Trước hết đĩ là những tri thức liên quan đến các quy tắc suy luận mà ở cấp THCS khơng được truyền thụ tường minh. Đồng thời cần chú ý truyền thụ những tri thức phương pháp suy luận, như: suy ngược (suy
B
NM M
CA A
ngược tiến, lùi), suy xuơi, phản chứng theo con đường thơng báo chúng nhân cơ hội tiến hành các phép chứng minh.
- Phép suy xuơi cĩ sơ đồ sau: A1 A2 A3 . . . X. Trong đĩ Ai là một định nghĩa, tiên đề hoặc một mệnh đề đúng nào đĩ, X là mệnh đề cần chứng minh.
Ví dụ: Chứng minh rằng: a3 + b3 = (a + b)3–3ab(a + b) (minh họa phép suy xuơi) Từ hằng đẳng thức (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (A1) (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) (A2) (a + b)3– 3ab(a + b) = a3 + b3 (A3) a3 + b3 = (a +b)3– 3ab(a + b) (X).
- Phép suy ngược cĩ hai trường hợp: Suy ngược tiến và suy ngược lùi. - Suy ngược tiến cĩ sơ đồ: X An An – 1 . . . A1
- Suy ngược lùi cĩ sơ đồ: X AnAn – 1. . .A1.
Các phép suy xuơi, suy ngược lùi là những phép chứng minh. Cịn phép suy ngược tiến chỉ cĩ tính chất tìm đốn.
Ví dụ: phép suy ngược lùi, muốn chứng minh: a3 + b3 = (a + b)3 –3ab(a + b), cần chứng minh a3 + 3ab(a + b)+ b3 = (a + b)3 cần chứng minh: = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 luơn đúng.
b) Cần làm cho HS thấy rõ ba bộ phận cấu thành và ba yêu cầu đảm bảo chứng minh,
tức là một chứng minh bao gồm ba bộ phận: Luận đề (mệnh đề cần chứng minh); luận cứ (những định nghĩa, giả thiết, định lý đã biết); luận chứng (phép suy luận được sử dụng trong chứng minh). Liên hệ với ba bộ phận cấu thành của chứng minh người ta nhấn mạnh tới ba yêu cầu để đảm bảo chứng minh đúng, đĩ là: (1) Luận đề khơng được đánh tráo; (2) Luận cứ phải đúng; (3) Luận chứng phải hợp logic.
Ví dụ: -Sai lầm về luận cứ khơng đúng
Ngụy biện chứng minh – 2 = 2?
Ta cĩ (-2)2 = 22 suy ra ( 2) 2 22 . Vì ta cĩ a2 a nên ( 2) 2 2 và
2
2 2. Do đĩ -2 = 2. Như vậy luận cứ a2 a khơng đúng nên dẫn đến điều nghịch lý trên.
-Sai lầm về luận chứng khơng hợp logic:
Để chứng minh bất đẳng thức x2 + x + 1 > 0 (1), cĩ HS đã lập luận như sau: Từ (1)
suy ra 2 1 3 0 4 4 x x , tức là 1 2 3 0 2 4 x (2). Rõ ràng (2) đúng, tức là (1) đúng. Sai lầm ở chỗ đã dùng A B B
A , khơng phải là một quy tắc suy luận.
c) Trong quá trình dạy học chứng minh định lý, ta cũng cần hình thành cho HS những tri thức phương pháp về chiến lược chứng minh (cĩ tính chất tìm đốn) theo con đường tập luyện những hoạt động ăn khớp với những tri thức này. Chẳng hạn thầy giáo luơn lập đi lập lại một cách cĩ dụng ý những chỉ dẫn hoặc câu hỏi như sau để giúp HS tìm đốn đường lối chứng minh định lý:
- Giả thiết cho gì? Giả thiết cĩ thể biến đổi ra sao? - Hãy vẽ hình theo những dữ kiện của bài Tốn?
- Từ giả thiết suy ra được điều gì? Những định lý nào cĩ giả thiết giống hoặc gần giống với giả thiết này?
- Kết luận nĩi gì? Kết luận cịn cĩ thể biến đổi như thế nào?
2.4.4. Phân bậc hoạt động khi chứng minh
Dựa vào tư tưởng chủ đạo của quan điểm hoạt động, ta cần phân bậc hoạt động chứng minh để điều khiển quá trình học tập của HS. Bao quát nhất là phân bậc căn cứ vào mức độ hoạt động độc lập của HS: Hiểu được chứng minh; trình bày lại chứng
minh; độc lập tiến hành chứng minh. Cần chú ý r ằng mức độ khĩ khăn của một hoạt động chứng minh khơng chỉ phụ thuộc vào cách phân bậc trên mà cịn liê n quan đến từng nội dung bài tốn. Cĩ đơi khi hiểu chứng minh của một bài tốn khĩ cịn khĩ khăn hơn độc lập chứng minh của một bài tốn dễ.