1.1. Những yêu cầu khi dạy học khái niệm
1.1.1. Nắm vững các tính chất đặc trưng của khái niệm
Ví dụ: Hình bình hành là tứ giác cĩ các cặp cạnh đối song song. Tính chất đặc trưng là Tứ giác + Các cặp cạnh đối song song
Ví dụ: Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 chỉ cĩ ước là 1 và chính nĩ. Tính chất đặc trưng là Số tự nhiên > 1 + Chỉ cĩ ước là 1 và chính nĩ
1.1.2. Biết nhận dạng và thể hiện khái niệm
Ví dụ: Khi dạy bài hai gĩc đối đỉnh (lớp 7). Ta cĩ thể đưa ra các hình vẽ sau để học sinh nhận dạng:
Họat động 1: Hai gĩc Oˆ2 và Oˆ4 cĩ phải là hai gĩc đối đỉnh khơng? Vì sao?
Họat động 2: Quan sát hình xem cặp gĩc nào là đối đỉnh, cặp gĩc nào khơng đối đỉnh. Giải thích?
Thể hiện khái niệm: Vẽ hai đường thẳng cắt nhau rồi đặt tên cho hai cặp gĩc đối đỉnh được tạo thành?
1.1.3.Biết phát biểu rõ ràng, chính xác khái niệm cùng với những ký hiệu được quy định
Ví dụ: Phát biểu khái niệm tia phân giác của một gĩc: “ tia phân giác của một gĩc là tia nằm giữa hai cạnh của gĩc và tạo với 2 cạnh ấy hai gĩc bằng nhau”.
Tia Oz là tai phân giác của gĩc xƠy: xƠz + zƠy = xƠy
xƠz = zƠy 2 4 y’ 1 2 A B M O y x x’ x z O
1.1.4. Biêt vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong dạy tốn và ứng dụng vào thực tiễn
Ví dụ: Khi dạy khái niệm trung điểm của một đoạn thẳng ta cĩ thể cho học sinh làm bài tập sau: “ Xác định điểm chính giữa của một khúc gỗ hình trụ trong trưịng hợp khơng cĩ thước đo”.
1.1.5.Nắm được mối liên hệ giữa khái niệm vừa học với khái niệm cũ
Ví dụ: Dạy học khái niệm hình thang cân liên hệ với khái niệm hình thang. Hình thang cân là hình thang.
Hình thang cĩ 2 gĩc kề ở đáy bằng nhau là hình thang cân Hình thang cân là trưịng hợp đặc biệt của khái niệm hình thang.
1.2. Các cách định nghĩa khái niệm
1.2.1. Định nghĩa khái niệm mới dựa vào khái niệm cũ trước đĩ
Ví dụ:Hình chữ nhật là hình bình hành cĩ một gĩc vuơng.
1.2.2. Định nghĩa theo quy ước
Ví dụ: Ta quy ước 0 1; 1 ; n n a a a 0! = 1 1.2.3. Định nghĩa bằng mơ tả
Ví dụ: Điểm, đường thẳng, mặt phẳng, phân số, tập hợp là các khái niệm được định nghĩa bằng mơ tả.
1.2.4. Định nghĩa bằng xây dựng
Ví dụ: Định nghĩa đạo hàm, nhĩm thương.
1.2.5. Định nghĩa theo quy nạp
Ví dụ: Cấp số cộng, cấp số nhân là các khái niệm được định nghĩa theo quy nạp.
1.2.6. Định nghĩa theo tiên đề
Ví dụ: Nhĩm, nửa nhĩm, vành là các khái niệm được định nghĩa dựa vào tiên đề.
1.3. Nội hàm ngọai diên của khái niệm
1.3.1. Nội hàm của khái niệm : Là tập hợp các dấu hiệu bản chất của khái niệm.
1.3.2. Ngọai diên của khái niệm: Là tập hợp tất cả các đối tượng cĩ đủ tất cả các dấu hiệu cơ bản đã quy định.
Ví dụ: Khái niệm hình bình hành
- Nội hàm của khái niệm này là: Tứ giác + các cặp cạnh đối song song. - Ngọai diên của khái niệm này là tập hợp tất cả các hình bình hành.
Ví dụ: Khái niệm số nguyên tố
- Nội hàm của khái niệm số nguyên tố là: Số tự nhiên > 1, cĩ ước là 1 và chính nĩ. - Ngoại diên của khái niệm số nguyên tố là Tập tất cả các số nguyên tố.
Chú ý:Nội hàm của một khái niệm càng phong phú th ì ngọai diên càng hẹp.
Ví dụ: Khái niệm hình chữ nhật và khái niệm h ình bình hành. Gọi ngọai diên của khái niệm hình chữ nhật là A, ngọai diên của khái niệm h ình bình hành là B thì AB.
1.4. Các yêu cầu khi định nghĩa khái niệm
1.4.1. Định nghĩa phải tương xứng
Ngọai diên của khái niệm được định nghĩa phải phải bằng ngọai diên của khái niệm dùng để định nghĩa. Vi phạm điều này sẽ dẫn đến định nghĩa quá rộng hoặc quá hẹp.
Ví dụ: Đường kính của đường trịn là đoạn thẳng nối hai điểm của đường trịn (hình a)
Đường kính của đường trịn là đường nối hai điểm của đường trịn và đi qua tâm(hình b). Hoặc là đường kính của đường trịn là đường thẳng nối hai điểm của đường trịn và đi qua tâm(hình c). Tất cả các định nghĩa trên được minh họa ở hình a), b), c) đều rơi vào trường hợp định nghĩa quá rộng.
1.4.2. Định nghĩa khơng được vịng quanh
Định nghĩa vịng quanh tức là lấy khái niệm này để định nghĩa khái niệm kia và ngược lại.
Ví dụ: Gĩc được gọi là gĩc vuơng nếu hai cạnh của nĩ vuơng gĩc với nhau.
Hai đường thẳng vuơng gĩc với nhau nếu chúng tạo thành gĩc vuơng. Đây là định nghĩa vịng quanh.
1.4.3. Định nghĩa khơng được ở dạng phủ định
Nếu làm như vậy sẽ khơng nêu được dấu hiệu đặc trưng của khái niệm.
Ví dụ: Hình bình hành khơng phải là một tam giác.
Chú ý: Ta chỉ cĩ thể định nghĩa được dưới dạng phủ định trong trường hợp khái niệm được phân chia thành hai lớp trong đĩ cĩ một lớp được định nghĩa.
Ví dụ: Số vơ tỷ là số thực khơng phải là số hữu tỷ.
1.4.4. Định nghĩa phải ngắn gọn,
Tức là khơng cĩ một thuộc tính nào bị thừa trong quá trình định nghĩa khái niệm
Ví dụ: Hình bình hành là một tứ giác cĩ các cạnh đối song song và bằng nhau(thừa).
1.4.5. Định nghĩa phải cĩ trị, nhưng khơng được đa trị
Tồn tại ít nhất một đối tượng thõa mãn điều kiện nêu trong định nghĩa và mỗi thuật ngữ chỉ được dùng để chỉ một cái được định nghĩa.
1.5.Phân loại khái niệm
1.5.1. Ý nghĩa tầm quan trọng của việc phân lọai khái niệm
Là một thao tác logic nhằm vạch ra ngoại diên của khái niệm bằng cách chỉ ra các khái niệm cụ thể nằm trong khái niệm theo một tiêu chuẩn nào đĩ.Việc phân lọai này giúp cho học sinh hiểu rõ bản chất của khái niệm , hiểu sâu và nhớ lâu và giúp cho học sinh thấy mối liên hệ giữa khái niệm này với khái niệm khác.
1.5.2. Các yêu cầu để phân loại
a)Trong quá trình phân lọai chỉ tuân theo một dấu hiệu nhất định
Những khái niệm thành phần phải độc lập với nhau.Tức là giao của các ngoại diên các khái niệm thành phần sau khi phân bằng rỗng NiNj (i j)
b)Phân loại phải triệt để
Tức là hợp của các ngoại diên của các khái niệm cụ thể phải bằng ngọai diên của
khái niệm phân lọai. n i
i N
N
1 .
c) Phân loại phải theo một trình tự nhất định
Ví dụ: Phân loại khái niệm số thực cần phải tuân theo một trình tự nhất định, các bộ phận khơng dẫm đạp lên nhau.
Chú ý:Cũng Cĩ đơi khi cùng một lúc phân lọai theo nhiều dấu hiệu khác nhau.
Ví dụ: Phân loại khái niệm tam giác dựa vào dấu hiệu cạnh và gĩc
Cĩ các cạnh bằng nhau So sánh các cạnh So Với Sánh nhau với gĩc vuơng Cả ba cạnh khơng bằng nhau Hai cạnh bằng nhau Ba cạnh bằngnhau Cả ba gĩc đều
nhọn Tam giác thường Tam giác cân Tam giác đều
Một gĩc vuơng Tam giác vuơng Tam giác vuơng
cân ║
Một gĩc tù Tam giác thường Tam giác cân ║
1.6. Các con đường chủ yếu hình thành khái niệm trong mơn Tốn THCS
1.6.1. Con đường quy nạp
Được áp dụng cho phần lớn các khái niệm Tốn ở THCS. Theo con đường này, cĩ thể khái quát thành các bước sau: Bước 1: Đưa ra các ví dụ cụ thể; bước 2: Dẫn dắt HS phân tích, so sánh để nêu bật đặc điểm chung các đối tượ ng đang xem xét; bước 3: Khái quát hĩa từ đặc điểm chung để được định nghĩa khái niệm.
Ví dụ: Xây dựng ví dụ về tiếp cận khái niệm “đơn thức đồng dạng” – Đại số 7 theo con đường quy nạp, như sau:
Bước 1: Đưa ra các ví dụ cụ thể, cho các đơn thức a)3x3y2, b)-5x3y2, c)1 3 2
4 x y , d)2x2y3.
Bước 2: Cho HS nhận xét về số lượng biến và lũy thừa của biến trong các đơn thức trên. HS nhận xét được các đơn thức a), b), c) cĩ phần biến và lũy thừa phần biến giống nhau. Từ đĩ giáo viên nĩi các đơn thức a), b), c) là đồng dạng ;
Bước 3: Cho HS khái quát hĩa thành định nghĩa hai đơn thức đồng dạng , sau đĩ GV chính xác hĩa lai: “Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức cĩ hệ số khác khơng và cĩ cùng phần biến”.
Quá trình hình thành khái niệm bằng con đường quy nạp chứa đựng những khả năng phát triển năng lực trí tuệ như: so sánh, trừu tượng hĩa, khái quát hĩa.
1.6.2.Con đường suy diễn
Việc định nghĩa khái niệm mới xuất phát từ định nghĩa của khái niệm cũ mà học sinh đã biết. Cĩ thể tuân theo các bước sau: Bước 1: xuất phát từ khái niệm đã biết,
Số thực
Số vơ tỷ Số hữu tỷ
Số hữu tỷ
dương Số khơng Số hữu tỷâm Số vơ tỷdương Số vơ tỷâm Số nguyên
thêm vào nội hàm của khái niệm đĩ một số đặc điểm mà ta quan tâm; bước 2: Phát biểu định nghĩa băng cách nêu tên khái niệm mới; bước 3: Đưa ra một số ví dụ đơn giản để minh họa cho khái niệm vừa định nghĩa.
Ví dụ: Dạy hình thang cân: “Hình thang cân là hình thang cĩ 2 gĩc kề 1 đáy bằng nhau”.
Bước 1: + Yêu cầu học sinh phát biểu lại khái niệm hình thang. + Hình thang là tứ giác + 2 cạnh đối song song.
+ Bổ sung thêm 2 gĩc kề đáy bằng nhau => Hình thang cân. Bước 2: Phát biểu.
Bứơc 3: Trong các hình sau hình nào là hình thang cân? Vì sao?
1.7. Các bước dạy học khái niệm
1.7.1. Hình thành khái niệm Mục đích:
- Làm cho học sinh thấy nguồn gốc phát sinh của khái niệm, hiểu sâu, nhớ lâu các thuộc tính của khái niệm.
- Rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh như quan sát, so sánh, khái quát hĩa và trừu tượng hĩa.
Nội dung: Vạch lại quá trình tư duy dẫn đến khái niệm.
Biện pháp:
- Xuất phát từ những ví dụ cụ thể hoặc những hình ảnh trực quan, hoạt động thực hành. Học sinh thơng qua họat động, quan sát, so sánh khái quát để phát biểu định nghĩa khái niệm.
Ví dụ: Khái niệm “Hai đường thẳng vuơng gĩc”
Họat động 1: Gấp đơi tờ giấy, sau đĩ gấp đơi lại lần nữa, trải phẳng tờ giấy, sau đĩ quan sát hai nếp gấp cĩ được.
Họat động 2: Tơ lại nếp gấp bằng viết và thước thẳng.
Họat động 3:Đo các gĩc tạo bởi các nếp gấp đĩ. Nhận xét?
Họat động 4: Giáo viên vẽ hai đường thẳng xx' và yy' cắt nhau tại O và xOˆy 900. Học sinh quan sát hình vẽ và nêu nhận xét về số đo các gĩc cịn lại xOˆy ;'x'Oˆy;y'Oˆx
dựa vào gĩc đối đỉnh.
Gấp lần 1 Gấp lần 2 Trải phẳng Tờ giấy 500 500 A B C D Q P S T 300 30 0 E F H G I 50 0 130 0 M N K
Giáo viên thơng báo hai đường thẳng x'x và y'y gọi là hai đường thẳng vuơng gĩc. Sau đĩ cho học sinh phát biểu thế nà là hai đường thẳng vuơng gĩc.
- Bằng thực tế đời sống, hiện tượng cĩ thực để hình thành khái niệm.
- Bằng khái niệm cũ để hình thành khái niệm mới. Chẳng hạn học sinh đã biết về đơn thức, ta cĩ thể định nghĩa đa thức gồm tổng của nhiều đơn thức.
1.7.2. Phát biểu định nghĩa khái niệm
Giáo viên phát biểu lại chính xác định nghĩa, vạch rõ nội hàm(tính chất đặc trưng) và đưa ra ký hiệu (nếu cĩ).
Ví dụ: Phát biểu định nghĩa khái niệm trung điểm của đoạn thẳng “Trung điểm của đoạn thẳng là điểm nằm giữa và cách đều 2 đầu đoạn thẳng”.