Trong cơ học kết cấu ứng dụng cho bài toán tính tấm, tồn tại khái niệm
“trong mọi dạng uốn tấm có thể, luôn tồn tại dạng mà thế năng uốn tấm đạt giá trị cực tiểu”.
Cơ sở tính toán tấm bê tông trên nền đàn hồi theo phương pháp năng lượng được hiểu như sau:
Thế năng đầy đủ của tấm uốn trên nền đàn hồi bao gồm: thế năng uốn của tấm bê tông (∏bt), thế năng biến dạng của nền (∏0) và thế năng của tải trọng ngoài tác dụng lên tấm (T), ta có:
bt+∏ +T
∏
=
∏ 0 . (2.47)
Hàm độ võng tấm có thể biểu thị dưới dạng chuỗi lượng giác đơn:
( )
1
, ( , )
n i i i
w x y c x y
=
= ϕ∑
, (2.48)
trong đó ϕi(x,y)có thể được mô tả dưới dạng hàm:
( , ) sin xsin y
x y a b
ϕ = π π
. (2.49)
Thế năng toàn phần có thể được viết dưới dạng hàm của các hệ số Ci:
1 2
( ,C C ,.... )Cn
Π=Ψ . (2.50)
Để thế năng đạt giá trị cực tiểu, cần tính:
1
C 0,
∂∂Π = 2 0,
∂Π =C
∂ 3 0,
∂Π =C
∂ 0.
Cn
∂∂Π = (2.51) Như vậy ta sẽ có hệ phương trình tuyến tính có n phương trình với n là ẩn của C1, C2, …. Cn.
Khi tấm bị uốn, ta có các giá trị nội lực:
2 2
2 2
( );
x
w w
M D
x y
∂ ∂
=− +à
∂ ∂
2 2
2 2
( );
y
w w
M D
y x
∂ ∂
=− +à
∂ ∂
( )1 2 ;
xy yx
M M D w
à∂x y
= =−−
∂∂
3 3
3 2
( );
x
w w
Q D
x y x
∂ ∂
=− +à
∂ ∂∂
3 3
3 2
( );
y
w w
Q D
y x y
∂ ∂
=− +à
∂ ∂∂
với D- độ cứng kháng uốn của tiết diện.
Thế năng tấm uốn theo cơ học kết cấu được viết dưới dạng:
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
0 0
w w w w w
. 2. . . 2.(1 ). . .
2 .
a b BT
D dx dy
x y x y x y
∂∂ ∂ ∂ ∂
Π=∫ ∫ữ∂∂ ∂++ữà +∂ −àữ∂∂
. (2.52) Thế năng biến dạng của nền theo cơ học kết cấu được viết:
0 0 0
( , ).w( , ) 2 . .
a b r x y x y
dx dy Π=∫∫
, (2.53)
với r(x,y) - phản lực nền; a,b - kích thước tấm.
Thế năng của tải trọng ngoài theo cơ học kết cấu, xét hai trường hợp:
a) Khi lực tập trung P:
T = - P. w(x,y) (2.54)
b) Khi lực phân bố trên hình có cạnh a1, b1 với cường độ q:
1 1
0 0
( , ).w( , ). .
a b
T=−∫∫q x y x y dx dy
. (2.55)
Khi đó ta có:
0 0.
BT
i i i i
T
C C C C
∂Π
∂Π
∂Π= + + ∂ =
∂ ∂ ∂ ∂ (2.56)
Giải hệ phương trình theo (2.56) sẽ tính được C0, C1, C2, …. Cn. Thay Ci
vào (2.48) sẽ tìm được độ võng tấm.
Nếu lấy 2 số hạng đầu của chuỗi, hàm độ võng (2.48) sẽ có dạng:
b
y a C x C y x
w( , )= 0 + 1sinπ sinπ
. (2.57) Nếu lấy 3 số hạng đầu của chuỗi ta có:
b
y a C x b
y a C x C y x
w( , )= 0 + 1sinπ sinπ + 2sinπ sinπ
. (2.58)
Từ (2.57) hoặc (2.58) tính được hàm W(x,y) từ đó ta sẽ tính được nội lực trong tấm bê tông.
Việc tính toán tấm bê tông trên nền đàn hồi bằng phương pháp giải tích nói
chung cho lời giải chính xác, song thường chỉ thực hiện được trong một số trường hợp nhất định, như tính tấm bê tông một lớp hoặc ở một số trường hợp với các điều kiện biên đơn giản.
2.3.4. Các phương pháp lý thuyết -thực nghiệm
Tính toán nội lực trong tấm bê tông theo các công thức (2.26) - (2.28), từ đó xác định chiều dày tấm bê tông, tuy là lời giải chính xác, song sẽ gặp nhiều khó khăn do tính phức tạp về mặt toán học. Trong tính toán, thiết kế thực tế, người ta thường sử dụng các phương pháp khác nhau: phương pháp lý thuyết – thực nghiệm, phương pháp kinh nghiệm, phương pháp thực nghiệm hoặc là các phương pháp số. Trong đó, phương pháp kinh nghiệm - thực nghiệm (kết hợp giữa phương pháp tính toán lý thuyết với các hệ số xác định bằng thực nghiệm), hiện đang được ứng dụng rộng rãi trong quy trình thiết kế mặt đường bê tông xi măng sân bay ở Việt Nam, Nga, Trung Quốc và một số nước khác. Phương pháp kinh nghiệm, phương pháp thực nghiệm thường được áp dụng ở các nước phương Tây. Các phương pháp số (phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân hữu hạn,...) thường được ứng dụng trong các công trình nghiên cứu chuyên sâu, khi tính toán kết cấu nhiều lớp, tấm với các điều kiện biên tấm và tải trọng tác dụng phức tạp.
Khi ứng dụng phương pháp lý thuyết – thực nghiệm, người ta xây dựng các phương pháp tính hoặc theo chỉ tiêu mô men uốn hoặc theo ứng suất kéo uốn bê tông theo mô hình nền một hệ hoặc mô hình nền bán không gian đàn hồi.
Theo lý thuyết đàn hồi, giữa mô men uốn và ứng suất kéo uốn có quan hệ:
2 6
bh Mtt
tt =
σ , (2.59) với h - chiều dày tấm bê tông;
b - chiều rộng tiết diện tính toán, lấy bằng một đơn vị.
Tùy theo phương pháp tính theo ứng suất kéo uốn hoặc mô men uốn tính toán, để so sánh với cường độ kéo uốn hoặc mô men uốn giới hạn của tấm bê tông theo công thức sau:
,
;
;
cp tt
cp tt
cp tt
C M M
R
≤
≤
≤ τ σ
(2.60)
với Mcp, Rcp- tương ứng là mô men uốn và cường độ kéo uốn cho phép của bê tông, có xét đến sự tăng cường độ bê tông theo thời gian và hiện tượng mỏi do trùng phục của tải trọng;
Ccp- lực dính cho phép của nền đường;
τtt =τam +τav- tổng ứng suất cắt do tải trọng ngoài và do trọng lượng bản thân lớp vật liệu phía trên nền gây ra.
Dưới đây trình bày cơ sở lý thuyết tính toán mô men uốn và ứng suất kéo uốn trong tấm bê tông, chỉ tiêu ứng suất cắt trong nền, tính tương tự như đối với kết cấu mặt đường mềm ( xem chương 4).