CỦA NHIỆT ĐỘ MÔI TRƯỜNG
3.3. TÍNH TOÁN ỨNG SUẤT KHI NHIỆT ĐỘ PHÂN BỐ KHÔNG ĐỀU THEO CHIỀU SÂU TẤM BÊ TÔNG
Như đã nêu ở mục 3.2, trong điều kiện khai thác tấm bê tông mặt đường ô tô và sân bay bao giờ cũng tồn tại sự khác biệt giữa nhiệt độ bề mặt và đáy tấm bê tông và giữa các thời điểm khác nhau trong ngày. Sự tăng hoặc giảm nhiệt độ trung bình trong tấm gây ra hiện tượng dãn dài hoặc co ngắn tấm bê tông, còn khi nhiệt độ bề mặt và đáy tấm khác nhau sẽ gây ra hiện tượng uốn vồng tấm.
Khi sự biến dạng của tấm bê tông bị cản trở do trường nhiệt độ phân bố không đều theo chiều sâu tấm hoặc bị cản trở do ma sát giữa đáy tấm và nền khi tấm co dãn do nhiệt độ, trong tấm sẽ xuất hiện ứng suất nhiệt độ, theo lý thuyết nhiệt đàn hồi tuyến tính ta có ứng suất kéo theo phương x hoặc y tại độ sâu z:
ms y x z t
y x y
x ( )
, ) ( )
( σ σ
σ = + , (3.6)
trong đó: σx(y) – ứng suất nhiệt tại độ sâu z trong tấm (ứng suất kéo, nén theo phương x hoặc y);
σtx,(zy)– ứng suất nhiệt do nhiệt độ phân bố không đều ở chiều sâu z của tấm và vào thời điểm t bất kỳ;
σxms(y)- ứng suất nhiệt do ma sát giữa tấm bê tông và nền theo phương x hoặc y cũng tại thời điểm t.
Dưới đây, trình bày trường hợp khi nhiệt độ phân bố không đều theo chiều sâu tấm. Khi trường nhiệt độ phân bố không đều theo chiều sâu tấm, giá trị ứng suất nhiệt tại độ sâu z vào thời điểm t, ứng với nhiệt độ Tz,t và với điều kiện biên tấm tự do sẽ được tính theo công thức sau:
), 1 (
, ) (
u v t t cd t t T z
t y x
Eà ε ε ε
σ=− −−
(3.7)
ở đây: σxt,(zy)- ứng suất nhiệt tại thớ bê tông có độ sâu z vào thời điểm t theo phương x hoặc y;
εT - biến dạng bị cản trở hoàn toàn của thớ bê tông tại độ sâu z ở nhiệt độ Tt,z có giá trị bằng αTt,z;
α - hệ số dãn nở nhiệt bê tông, α=1.10-5 1/0C;
E, à - tương ứng là mụ đun đàn hồi và hệ số poisson của bờ tụng;
cd
εtt - biến dạng co dãn thực tế của thớ bê tông tại độ sâu z theo phương x hoặc y (là biến dạng không bị cản trở khi tấm co dãn);
uv
εtt - biến dạng uốn vồng thực tế của thớ bê tông tại độ sâu z theo phương x hoặc y (khi tấm có thể uốn vồng cục bộ).
Từ công thức (3.7) cho thấy, khi tấm bê tông có thể co dãn hoàn toàn và uốn vồng hoàn toàn, khi đó ta có εT −εttcd −εttuv =0 lúc này trong tấm bê tông không có ứng suất nhiệt. Tuy nhiên trong thực tế không thể xảy ra biến dạng co dãn hoàn toàn và biến dạng uốn vồng hoàn toàn bởi các thớ bê tông luôn cản trở biến dạng lẫn nhau, do tính liền khối của bê tông và do trọng lượng của bản thân tấm bê tông. Để tính ứng suất nhiệt theo công thức (3.7) ta phân ra các trường hợp tính sau:
a) Khi tấm bê tông hoàn toàn bị cản trở, không có khả năng biến dạng (không thể xảy ra co dãn hoặc uốn vồng), khi đó các đại lượng biến dạng thựcεttcdvà εttuvđều bằng không. Công thức xác định ứng suất nhiệt được viết như sau:
1 .
1 ,
, )
( T t z
z t
y
x Eà ε Eà αT
σ=− =−
(3.8) với Tt,z là nhiệt độ ở độ sâu z, thời gian t. Các kí hiệu khác như đã nêu trên.
b) Khi các thớ bê tông bị cản trở co dãn một phần (εttcd ≠ 0) và tấm không thể uốn vồng(εttuv= 0).
Khi đó ứng từ công thức (3.8), ta có công thức xác định ứng suất nhiệt độ như sau:
).
1 (
, ) (
cd tt T z
t y x
E ε ε
σ à −
= −
(3.9) Để tính ứng suất nhiệt theo công thức (3.9), ta cần biết đại lượng biến dạng co dãn thực εttcd . Ở đây, ta áp dụng điều kiện cân bằng tổng nội lực trong tiết diện tấm bằng không, khi trong tiết diện không có ngoại lực tác dụng:
0
0;
h z tdz σ = σ =
∑ ∫ (3.10)
Thay (3.9) vào (3.10), giải ra ta được:
0
( . ) 0
h
cd
z tt
T dz
α −ε =
∫ .
hay ta có: 0
h cd
tt T dzz
h ε =α ∫
(3.11) Khi đó theo (3.9) ta có:
. 1 )
1 ( 0
, )
(z = − z − ∫h z
t y
x T dz
T h E σ à
(3.12) Công thức (3.12) dùng để tính ứng suất nhiệt tại chiều sâu z và thời điểm t bất kỳ trong tấm bê tông, khi biến dạng uốn vồng của tấm bị cản trở hoàn toàn và tấm có thể thực hiện một phần biến dạng dãn dài.
c) Khi các thớ bê tông bị cản trở biến dạng co dãn hoàn toàn (εttcd = 0) nhưng có khả năng uốn vồng một phần(εttuv≠ 0), khi đó từ công thức (3.7) ta có:
).
1 (
, ) (
uv tt T z
t y x
E ε ε
σ à −
= −
(3.13)
Để tính ứng suất trong trường hợp này, ta phải biết đại lượng biến dạng uốn vồng thựcεttuv.
Trong hình 3.3 thể hiện:
a) tấm bị cản trở hoàn toàn co dãn và uốn vồng;
b) tấm không thể co dãn nhưng có thể uốn vồng;
c) biểu đồ biến dạng tương ứng của thớ bê tông khi uốn vồng không bị cản trở một phần (εuv) và biến dạng nhiệt (εT) do trường nhiệt độ là Tz gây ra.
Khi biến dạng uốn vồng bị cản trở một phần (εuv), khi đó đường thẳng đặc trưng cho biến dạng εuv, sẽ song song với đường cạnh tấm c - c (hình 3.3).
Do chỉ xét biến dạng uốn vồng, đường thẳng này có thể biểu diễn theo hàm tuyến tính bậc nhất đi qua gốc toạ độ như sau:
εuv = b.z',
với b là hệ số tỉ lệ, z' là khoảng cách từ điểm xem xét đến mặt trung hòa.
Để xác định hệ số b, ta áp dụng điều kiện cân bằng tổng mô men trong tiết diện tấm bằng 0, khi trong tiết diện không có ngoại lực tác dụng, ta có:
. 0 '.
.
1
1 ,
)
( =
= ∫
∑ +
− h
h z t
y
x z dz
M σ
(3.14) Thay σxt,(zy) từ (3.13) và với εT = α.Tz, ta nhận được:
. 0 '.
).
' 1 (
1
∫1 +
−
=
− −
h
h
z bz z dz
E T
à α
Giải ra ta được:
1 1
1 1
' ( ')2
h h
z
h h
T z dz b z dz α+ +
− −
∫ = ∫
.
hay ta có:
1
1
3
3 '
2
h z h
b T z dz
h α +
−
= ∫
,
suy ra: εuv=
1
1
3
3 ' '
2
h z h
z T z dz h
α +
−∫
.
Đặt z' = h/2 - z (xem hình 3.3), ta nhận được công thức :
. 2 ).
( 2 )
( 12
0
3 −∫ −
= h z
uv h z dz
h T h z
ε α
(3.15) với h - chiều dày tấm bê tông; các kí hiệu khác tương tự đã nêu.
z=h-z' h z'
εtt εΤ
h1h1 c
c'
uv
x z
a)
b)
c)
Hình 3.3. Tấm uốn vồng khi nhiệt độ phân bố không đều theo chiều sâu Đại lượng εuvlà biến dạng uốn vồng cục bộ của thớ bê tông, tuy nhiên trong thực tế biến dạng uốn vồng cục bộ còn bị cản trở bởi độ cứng kháng uốn của tấm, phụ thuộc khích thước tấm: khi tấm có kích thước lớn, khả năng biến dạng thực sẽ nhỏ (biến dạng bị cản trở lớn), và ngược lại, khi tấm có kích thước nhỏ, khả năng biến dạng thực sẽ lớn (biến dạng bị cản trở sẽ nhỏ). Theo Bradbury, phần biến dạng bị cản trở do độ cứng tấm sẽ bằng biến dạng của thớ bê tông khi tấm có thể uốn vồng εuvnhân với hệ số Cuv, trị số của nó được xác định theo các hệ số Cx và Cy (xem hình 3.4), phụ thuộc kích thước cạnh tấm và đặc trưng đàn hồi tấm. Khi đó, biến dạng uốn vồng thực sẽ là:
εttuv =εuv −cuv.εuv =(1−cuv)εuv.
hay ta có:
, 2 ).
( ) 1
2 )(
( 12
0
3 − ∫ −
= − uv h z
uv
tt h z dz
h T
C h z
ε α
(3.16)
ở đõy khi tớnh ứng suất nhiệt tại tõm tấm, Cuv = Cx −àCy, cũn ở cạnh tấm ta cú Cuv
= Cx (hoặc Cuv = Cy). Như vậy, khi kể đến tấm có thể uốn vồng cục bộ nhưng không thể co dãn, thì từ công thức (3.13), ứng suất nhiệt được tính như sau:
σtxzy = −αà z − −zh −Cuv ∫hTz h−z dz
h E T
0 3
, )
( ) ).
(2 ) 1 2 )(
( 12
1 ( (3.17)
Trong thực tế, sự làm việc của tấm bê tông mặt đường sân bay và ô tô khi chịu phân bố nhiệt không đều theo chiều sâu, đồng thời có thể xảy ra biến dạng co dãn cục bộ và biến dạng uốn vồng cục bộ.
Khi đó theo lý thuyết đàn hồi tuyến tính, công thức tính ứng suất nhiệt trong tấm bê tông ,ở độ sâu z bất kỳ và vào thời điểm t bất kỳ sẽ là:
σtxzy = −αà z − ∫h z − −zh −Cuv ∫hTz h−z dz
h dz
h T E T
0 3
0 ,
)
( ) ).
(2 ) 1 2 )(
( 1 12
1 ( (3.18)
Công thức (3.18) tương tự với công thức tính toán ứng suất nhiệt trong tấm bê tông, khi nhiệt độ phân bố không đều theo chiều sâu của C. Timoshenkô.
Để tránh gây nứt tấm bê tông do ứng suất uốn vồng, ta cần lựa chọn kích thước tấm (trong công thức tính Cuv ), sao cho giá trị ứng suất uốn vồng nhỏ hơn một giá trị cho phép.
Lấy tích phân công thức (3.11) và (3.16), ta có thể xác định được biến dạng thực khi tấm có thể dãn dài hoặc uốn vồng tại thời điểm t bất kỳ.
Khi nhiệt độ bề mặt lớn hơn nhiệt độ đáy tấm (vào thời điểm ban ngày), trên bề mặt tấm sẽ xuất hiện ứng suất nén uốn, ở đáy tấm xuất hiện ứng suất kéo uốn, còn ngược lại, khi nhiệt độ bề mặt tấm nhỏ hơn nhiệt độ đáy tấm (vào thời điểm ban đêm) thì trên bề mặt tấm xuất hiện ứng suất kéo uốn, còn đáy tấm là ứng suất nén uốn. Như vậy vào ban ngày mùa hè, khi vừa có tải trọng xe, vừa có tác dụng của nhiệt độ, thớ dưới đáy mặt đường sẽ chịu đồng thời ứng suất kéo uốn do tải trọng xe và do nhiệt độ (σp + σt), mặt đường lúc này làm việc ở điều kiện bất lợi nhất. Trường hợp vào ban đêm thì ngược lại.
Tính ứng suất nhiệt theo (3.18) tuy phức tạp về mặt toán học, song cho kết quả chính xác. Để đơn giản trong áp dụng thực tế, Bradburi đã đề nghị sử dụng công thức gần đúng, tính toán ứng suất do nhiệt độ phân bố không đều theo chiều sâu.
Ứng suất nhiệt uốn vồng tại cạnh tấm và tâm tấm có thể tính:
, ).
)( 1 ( 2
; . . 2 .
1
2 C C t
E
t E C
y x
t t o
t x t
c
∆
− +
=
∆
=
à à σ α
α σ
(3.19) trong đó: σct - ứng suất nhiệt tại cạnh tấm;
σot- ứng suất nhiệt tại tâm tấm;
α - hệ số dãn nở nhiệt bê tông, α = 1.10-5 (1/0C);
Et- mô đun đàn hồi của bê tông.
∆t – građien nhiệt độ theo chiều sâu tấm phụ thuộc từng khu vực, theo quy trình thiết kế, quy định khi chiều dày tấm bê tông;
à - hệ số poisson của bờ tụng ;
cx
1 0.8
0.6 0.4 0.2
0 2 4 6 8 10 L/Lo
Hình 3.4. Đồ thị xác định hệ số Cx,Cy
L0- đặc trưng đàn hồi tấm bê tông
Cx, Cy - hệ số phụ thuộc kích thước các cạnh tấm (L,B), có thể lấy theo hình 4.4 hoặc có thể tính theo công thức:
sin2 sinh2 ( ), cosh
. cos 1 2
, λ λ λ λtgλtghλ
Cxy +
− +
= (3.20)
với 8
) ( L0
B
= L λ
, L,B - kích thước chiều dài, chiều rộng tấm;
Lo là đặc trưng đàn hồi tấm; hàm sinh - hàm sin hyperbol; hàm cosh là hàm cos hyperbol: sinhλ = 2
λ λ −e−
e
; coshλ = 2
λ λ +e−
e
; λ
λ λ
cosh
= sinh
tgh .
4 0
3
0 12.
. C
h L = Ebt
; với C0- hệ số nền ( tương đương nền và móng ).
Trong quy trình thiết kế quy định, ứng suất kéo uốn do tấm uốn vồng do nhiệt độ lấy σt = (0,25
÷0,3), với Rbt- cường độ kéo uốn bê tông theo mác, còn khi tính chung ứng suất kéo uốn do tải trọng bánh xe và do uốn vồng do nhiệt, có thể lấy (σp + σt) = (0,8÷0,85)Rbt.