Lời giải bài toán tính tấm bê tông trên nền bán không gian đàn hồi cũng đã được nhiều học giả nghiên cứu và đề xuất phương pháp tính như O. Sheckter, M.
Gorbunov-Possađov, N. Ivanov. Dưới đây xem xét một số lời giải trên.
a. Lời giải O. Sheckter.
Sheckter đã sử dụng mô hình nền bán không gian đàn hồi, để giải bài toán tính mô men hướng tấm và mô men tiếp tuyến, dưới tác dụng của tải trọng phân bố trong một diện tích đường tròn có bán kính R tại khu vực giữa tấm. Tính cho tấm tròn theo tọa độ độc cực.
Khi tải trọng (Ptt) phân bố đều trên vệt bánh có bán kính R tại tiết diện tính toán tại tâm tấm:
M0 =
( )
aR M CP
Mht tt tt π
à
= +
= 2
1
. (2.77) Khi tải trọng (Ptt) đặt cách tiết diện tính toán một khoảng r:
( ) ( ) tt,; tt
tt ht
P A B M
P B A M
à +
=
à +
=
(2.78) trong đó:
Mht – mô men hướng tâm, gây ra uốn tấm theo phương thẳng góc với đường hướng tâm;
Mtt – mô men tiếp tuyến, gây ra uốn tấm theo phương trùng với đường hướng tâm;
Ptt, à - tương tự nờu trờn;
C - hệ số có giá trị thay đổi theo tích a.R, lấy theo bảng bảng lập sẵn;
A,B - hệ số có giá trị thay đổi theo tích a.r, lấy theo bảng lập sẵn;
a - đại lượng được tính bằng:
( ) ( )
3 2
0 2
1 1 6
1 àà
−
= − E E a h td
;
Etđ,à0 - tương ứng là mụ đun đàn hồi tương đương và hệ số poisson lớp móng và nền;
E,h,à– tương ứng là mụ đun đàn hồi, chiều dày và hệ số poisson của tấm bê tông.
Khi tính cho trục xe nhiều bánh, ta cộng các mô men do tải trọng tại tiết diện tính toán và tải trọng bánh ngoài tiết diện tính toán:
M = k(M0 + Mi), (2.79) với k- hệ số chuyển đổi cạnh tấm, lấy bằng 1,2 khi cạnh tấm có liên kết thép truyền lực hoặc mộng ngàm và bằng 1,5 khi cạnh tấm tự do.
M0 – mô men tại tiết diện tính toán, tính theo công thức (2.77);
Mi – phần mô men hướng tâm hoặc mô men tiếp tuyến do bánh lân cận gây ra tại tiết diện tính toán, lấy giá trị lớn nhất.
Ứng suất kéo uốn sinh ra sẽ là:
ku 2
σ = 6M
h ≤ Rcp. (2.80) Nếu lấy σku= Rcp , khi đó ta có chiều dày tấm bê tông được xác định theo công thức:
Rcp
h 6M
=
, (2.81) với M – mô men tính toán, tính theo (2.79);
R - cường độ giới hạn cho phép chịu kéo khi uốn của bê tông, tính theo công
thức (2.75).
Phương pháp tính trên đang được áp dụng trong quy trình thiết kế mặt đường cứng 22TCN 223-95 để kiểm toán tải trọng đặc biệt.
b. Lời giải M. Gorbunov-Possađov.
Dưới đây trình bày phương pháp tính toán tấm bê tông mặt đường một lớp, dựa trên lời giải của M. Gorbunov-Possađov.
Tính toán chiều dày tấm bê tông và bê tông lưới thép thực hiện theo trạng thái giới hạn.
Mô men uốn tính toán được xác định theo công thức thực nghiệm:
Mtt = k.Ptt(0,0592 – 0,0928lnλ);
hay ta có: Mtt = k.Ptt(0,0592−0,2137lgλ), (2.82) Ptt - tải trọng tính toán của bánh xe;
k- hệ số chuyển đổi mô men từ tâm tấm ra cạnh tấm, lấy bằng 1,2 khi cạnh tấm có liên kết thép truyền lực hoặc mộng ngàm và bằng 1,5 khi cạnh tấm tự do;
λ - bán kính chuyển đổi vệt bánh xe: λ =R/L;
R- bán kính đường tròn vệt bánh xe quy đổi;
L – bán kính tương đối tấm bê tông:
( ) ( )
3 2
0
2 0
1 6
1
b b
E h E
L à à
−
= −
; (2.83) h - chiều dày tấm bê tông;
Eb, àb - mụ đun đàn hồi và hệ số poisson của bờ tụng;
E0,à0 - mụ đun đàn hồi và hệ số poisson của nền đất hoặc nền và múng tương đương.
Ứng suất kéo uốn tính toán được tính:
cp
tt
tt R
h M ≤
= 6 2
σ . (2.84) Điều kiện kiểm toán :
σtt ≤Rcp, (2.84) với Rcp- xác định theo (2.75).
Lời giải của M. Gorbunov-Possađov hiện đang được ứng dụng trong quy trình thiết kế mặt đường cứng của Nga (BCH 197-91).
Trường hợp trên một tấm bê tông có nhiều bánh xe cùng tác dụng. Khi đó, mô men uốn tại tâm tấm được tính bằng công thức:
Mxy =M +∑n Mxi y
2 ) ( 1
)
( , (2.86) với M1- mô men uốn do bánh tính toán gây ra;
Mxi(y) =Mxi(y).Ptt, mô men uốn do bánh thứ i gây ra, trong đó, Mxi(y)- mô men uốn đơn vị theo phương x hoặc y, được xác định theo bảng 2.6, phụ thuộc khoảng cách tương đối (ξ,η), giữa bánh xe thứ i đến tiết diện tính toán:
L Y L
X / ; = /
= η
ξ , với L- được xác định theo công thức (2.84).
Bảng 2.6
η (ξ)
Giá trị Mxi (Myi) khi ξ (η) trong tiết diện tính toán bánh xe thứ i
0 0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60
0 - 0.256 0.191 0.129 0.093 0.068 0.054 0.036
0.05 0.332 0.243 0.167 0.130 0.098 0.069 0.053 0.037
0.10 0.258 0.202 0.136 0.132 0.10 0.071 0.054 0.038
0.20 0.195 0.174 0.154 0.133 0.103 0.072 0.055 0.039
0.30 0.158 0.146 0.134 0.122 0.097 0.072 0.056 0.040
0.40 0.132 0.125 0.117 0.100 0.091 0.071 0.056 0.042
0.50 0.114 0.109 0.104 0.099 0.083 0.067 0.055 0.042
0.60 0.097 0.094 0.090 0.087 0.075 0.063 0.053 0.042
0.70 0.086 0.082 0.080 0.078 0.068 0.059 0.050 0.041
0.80 0.074 0.072 0.070 0.068 0.061 0.054 0.046 0.039
0.90 0.066 0.064 0.063 0.061 0.055 0.049 0.043 0.037
1.00 0.057 0.056 0.055 0.054 0.049 0.044 0.039 0.034
1.10 0.051 0.050 0.049 0.048 0.044 0.040 0.036 0.031
1.20 0.045 0.044 0.043 0.042 0.040 0.037 0.033 0.028
1.30 0.040 0.040 0.039 0.038 0.036 0.034 0.030 0.025
1.40 0.035 0.035 0.034 0.034 0.032 0.030 0.027 0.023
1.50 0.032 0.031 0.031 0.030 0.029 0.027 0.024 0.021
1.60 0.028 0.028 0.027 0.027 0.026 0.024 0.022 0.020
1.70 0.025 0.025 0.024 0.024 0.023 0.021 0.020 0.018
1.80 0.022 0.022 0.021 0.021 0.020 0.019 0.018 0.017
1.90 0.020 0.020 0.019 0.019 0.018 0.017 0.016 0.016
2.00 0.018 0.018 0.018 0.018 0.016 0.015 0.014 0.014
2.10 0.016 0.016 0.016 0.016 0.015 0.014 0.013 0.013
2.20 0.014 0.014 0.014 0.014 0.013 0.012 0.011 0.011
2.40 0.011 0.011 0.011 0.011 0.011 0.010 0.009 0.009
2.60 0.009 0.009 0.009 0.009 0.009 0.009 0.008 0.008
2.80 0.007 0.007 0.007 0.007 0.007 0.006 0.006 0.006
3.00 0.006 0.006 0.006 0.006 0.006 0.006 0.006 0.005
3.20 0.005 0.005 0.005 0.005 0.005 0.005 0.005 0.004
3.40 0.004 0.004 0.004 0.004 0.004 0.004 0.004 0.004
3.60 0.003 0.003 0.003 0.003 0.003 0.003 0.003 0.003
3.80 0.002 0.002 0.003 0.003 0.003 0.003 0.003 0.003
4.00 0.002 0.002 0.002 0.002 0.002 0.002 0.002 0.002
η (ξ)
Giá trị Mxi(Myi) khi ξ (η) trong tiết diện tính toán bánh xe thứ i
0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40
0 0.026 0.016 0.010 0.004 -0.001
0.00
-0.005 -0.008 -0.011
0.05 0.027 0.017 0.011 0.004 -0.004 -0.008 -0.011
0.10 0.028 0.017 0.011 0.005 0.001 -0.004 -0.007 -0.010 0.20 0.029 0.018 0.012 0.005 0.001 -0.003 -0.007 -0.010 0.30 0.030 0.020 0.013 0.006 0.005 -0.003 -0.006 -0.009 0.40 0.031 0.021 0.014 0.006 0.002 -0.002 -0.005 -0.008 0.50 0.032 0.022 0.015 0.008 0.004 -0.001 -0.004 -0.007
0.60 0.032 0.023 0.016 0.009 0.005 0.001 -0.003 -0.006
0.70 0.032 0.023 0.017 0.010 0.006 0.002 -0.002 -0.005
0.80 0.031 0.023 0.017 0.011 0.007 0.002 -0.001 -0.004
0.90 0.030 0.023 0.017 0.012 0.007 0.003 0 -0.003
1.00 0.028 0.022 0.017 0.02 0.008 0.004 0.001 -0.001
1.10 0.026 0.021 0.016 0.012 0.008 0.005 0.002 -0.001
1.20 0.024 0.020 0.016 0.011 0.008 0.006 0.003 0
1.30 0.022 0.019 0.015 0.011 0.009 0.006 0.003 0.001
1.40 0.020 0.017 0.014 0.011 0.009 0.006 0.004 0.001
1.50 0.019 0.016 0.013 0.011 0.008 0.006 0.004 0.002
1.60 0.018 0.015 0.013 0.010 0.008 0.005 0.004 0.002
1.70 0.016 0.014 0.012 0.009 0.007 0.005 0.004 0.002
1.80 0.015 0.013 0.011 0.008 0.007 0.005 0.004 0.002
1.90 0.014 0.012 0.010 0.008 0.006 0.005 0.004 0.003
2.00 0.013 0.011 0.009 0.007 0.006 0.004 0.004 0.003
2.10 0.011 0.010 0.008 0.007 0.005 0.004 0.004 0.003
2.20 0.010 0.009 0.008 0.006 0.005 0.004 0.004 0.003
2.40 0.009 0.008 0.007 0.005 0.004 0.003 0.003 0.002
2.60 0.008 0.007 0.006 0.003 0.004 0.003 0.003 0.002
2.80 0.006 0.005 0.005 0.003 0.003 0.003 0.003 0.002
3.00 0.005 0.004 0.004 0.002 0.003 0.002 0.002 0.002
3.20 0.004 0.003 0.003 0.002 0.002 0.002 0.002 0.002
3.40 0.004 0.003 0.003 0.002 0.002 0.002 0.002 0.002
3.60 0.003 0.002 0.002 0.002 0.002 0.002 0.002 0.001
3.80 0.002 0.002 0.002 0.001 0.002 0.002 0.002 0.001
4.00 - - - - - - - -
η (ξ)
Giá trị Mxi(Myi) khi ξ (η) trong tiết diện tính toán dới tác dụng bánh xe thứ i
1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2
0 -0.013 -0.014 -0.015 -0.015 -0.016 -0.016
-0.017 -0.017 -0.016
0.05 -0.012 -0.014 -0.014 -0.015 -0.017 -0.017 -0.016
0.10 -0.012 -0.013 -0.014 -0.014 -0.016 -0.017 -0.017 -0.016 0.20 -0.012 -0.013 -0.014 -0.014 -0.016 -0.017 -0.017 -0.016 0.30 -0.011 -0.012 -0.013 -0.014 -0.015 -0.016 -0.016 -0.016 0.40 -0.010 -0.011 -0.012 -0.013 -0.014 -0.015 -0.015 -0.015 0.50 -0.009 -0.010 -0.011 -0.013 -0.013 -0.014 -0.015 -0.015 0.60 -0.008 -0.009 -0.011 -0.012 -0.013 -0.013 -0.014 -0.015 0.70 -0.007 -0.008 -0.01 -0.011 -0.012 -0.013 -0.013 -0.014 0.80 -0.006 -0.007 -0.009 -0.010 -0.011 -0.012 -0.013 -0.013 0.90 -0.004 -0.006 -0.008 -0.010 -0.010 -0.012 -0.012 -0.013
1.00 -0.002 -0.005 -0.007 -0.009 -0.010 -0.011 -0.012 -0.01 1.10 -0.002 -0.005 -0.006 -0.008 -0.009 -0.010 -0.011 -0.011 1.20 -0.002 -0.004 -0.006 -0.007 -0.008 -0.009 -0.010 -0.010 1.30 -0.002 -0.004 -0.005 -0.007 -0.007 -0.008 -0.009 -0.009 1.40 -0.001 -0.003 -0.005 -0.006 -0.007 -0.007 -0.008 -0.008 1.50 -0.001 -0.003 -0.004 -0.005 -0.006 -0.007 -0.007 -0.008 1.60 0 -0.002 -0.003 -0.004 -0.005 -0.006 -0.007 -0.007 1.70 0 -0.002 -0.002 -0.003 -0.004 -0.005 -0.006 -0.007 1.80 0.001 -0.001 -0.002 -0.002 -0.003 -0.004 -0.005 -0.006 1.90 0.002 -0.001 -0.001 -0.002 -0.003 -0.004 -0.005 -0.005
2.00 0.002 0 -0.001 -0.002 -0.003 -0.003 -0.004 -0.004
2.10 0.002 0 -0.001 -0.002 -0.002 -0.003 -0.003 -0.004
2.20 0.002 0 -0.001 -0.001 -0.002 -0.003 -0.003 -0.003
2.40 0.002 0 -0.001 -0.001 -0.002 -0.002 -0.003 -0.003
2.60 0.002 0 0 0 -0.001 -0.001 -0.002 -0.002
2.80 0.002 0.001 0.001 - 0.001 -0.001 -0.001 -0.001
3.00 0.002 0.001 0.001 - 0 0 -0.001 -0.001
3.20 0.002 0.001 0.001 - - - -0.001 -0.001
3.40 0.002 0.001 0.001 - - - - -
3.60 0.002 0.001 0.001 - - - - -
3.80 0.001 - - - - - - -
4.00 0.001 - - - - - -
η (ξ)
Giá trị Mxi (Myi
) khi ξ (η) trong tiết diện tính toán dới tác dụng bánh xe thứ i
2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0
0 -0.016 -0.015 -0.014 -0.013 -0.012 -0.011 -0.010 -0.008 -0.008 0.05 -0.016 -0.015 -0.014 -0.013 -0.012 -0.011 -0.010 -0.008 -0.008 0.10 -0.016 -0.015 -0.014 -0.013 -0.012 -0.011 -0.010 -0.008 -0.008 0.20 -0.016 -0.015 -0.014 -0.013 -0.012 -0.011 -0.010 -0.008 -0.008 0.30 -0.016 -0.015 -0.014 -0.013 -0.012 -0.011 -0.010 -0.008 -0.008 0.40 -0.015 -0.014 -0.014 -0.013 -0.012 -0.011 -0.010 -0.008 -0.007 0.50 -0.015 -0.014 -0.014 -0.013 -0.012 -0.011 -0.010 -0.008 -0.007 0.60 -0.014 -0.014 -0.013 -0.012 -0.011 -0.011 -0.010 -0.008 -0.007 0.70 -0.014 -0.014 -0.013 -0.012 -0.011 -0.011 -0.010 -0.008 - 0.80 -0.013 -0.013 -0.012 -0.011 -0.010 -0.010 -0.009 -0.007 - 0.90 -0.013 -0.013 -0.012 -0.011 -0.010 -0.009 -0.009 -0.007 - 1.00 -0.012 -0.012 -0.011 -0.010 -0.009 -0.008 -0.008 -0.007 - 1.10 -0.011 -0.011 -0.011 -0.010 -0.009 -0.008 -0.008 -0.007 - 1.20 -0.010 -0.010 -0.010 -0.009 -0.009 -0.008 -0.008 -0.007 - 1.30 -0.010 -0.010 -0.010 -0.009 -0.009 -0.008 -0.008 -0.007 - 1.40 -0.009 -0.009 -0.010 -0.009 -0.009 -0.008 -0.008 0.007 - 1.50 -0.009 -0.009 -0.009 -0.009 -0.009 -0.008 -0.008 - - 1.60 -0.008 -0.008 -0.008 -0.008 -0.008 -0.007 -0.007 - - 1.70 -0.007 -0.008 -0.008 -0.008 -0.007 -0.007 -0.007 - - 1.80 -0.007 -0.007 -0.007 -0.007 -0.006 -0.006 -0.006 - -
1.90 -0.006 -0.007 -0.007 -0.007 -0.006 -0.006 - - -
2.00 -0.005 -0.006 -0.006 -0.006 -0.006 -0.006 - - -
2.10 -0.005 -0.005 -0.006 -0.006 -0.006 -0.006 - - -
2.20 -0.004 -0.004 -0.005 -0.005 -0.005 -0.005 - - -
2.40 -0.004 -0.004 -0.004 -0.004 -0.005 - - - -
2.60 -0.003 -0.003 -0.003 - - - - - -
2.80 -0.003 -0.003 - - - - - - -
3.00 -0.003 - - - - - - - -
3.20 - - - - - - - - -
3.40 - - - - - - - - -
3.60 - - - - - - - - -
3.80 - - - - - - - - -
4.00 - - - - - - - - -
2.3.5. Cơ sở lý thuyết thử nghiệm đánh giá sức chịu tải mặt đường bê tông xi măng tại hiện trường