CHỊU TẢI TRỌNG TĨNH
4.4.2. Phương pháp tính toán mô đun đàn hồi chung kết cấu hệ nhiều lớp theo giả thiết lớp tương đương
Để tính toán xác định chỉ tiêu mô đun đàn hồi chung, trực tiếp từ hệ nhiều lớp, không cần quy đổi về hệ hai lớp, kiến nghị sử dụng giả thiết lớp tương đương theo G.
Pokrovski (1936), như đã trình bày ở mục 4.4.1.
Hình 4.9. Toán đồ xác định mô đun đàn hồi chung hệ hai lớp Viết lại công thức (4.26):
htd =h23 E2/E1.
Có thể nhận xét rằng, công thức trên chỉ phù hợp với các lớp là vật liệu mặt đường là đàn hồi. Do các lớp vật liệu mặt đường mềm làm việc không hoàn toàn tuân theo định luật Hook, để có thể ứng dụng giả thiết lớp tương đương như nêu trên, kiến nghị cần quy đổi lớp vật liệu bê tông nhựa không hoàn toàn đàn hồi về lớp tương tự đàn hồi (tựa đàn hồi), bằng sử dụng các hệ số thực nghiệm.
Theo Ivanov, để tính toán ứng suất - chuyển vị trong kết cấu mặt đường mềm khi tỉ lệ mô đun đàn hồi lớp vật liệu và lớp nền không lớn hơn 35 (
35 / 0
1 E ≤
E ), có thể sử dụng công thức thực nghiệm sau:
5 , 2
1 2 2
E h E htd =
. (4.30) Cũng tương tự, Korsunski đề nghị sử dụng hệ số thực nghiêm theo công thức quy đổi:
htd =1,1.h23 E2/E1 . (4.31) Để tính mô đun đàn hồi chung của hệ nhiều lớp, cần biết độ võng kết cấu, trên cơ sở phân tích trường ứng suất theo chiều sâu. Trường ứng suất phân bố theo chiều sâu trong nền, có thể sử dụng một trong số các công thức sau:
Ứng dụng bài toán Boussineqk, trong bán không gian đàn hồi đồng nhất, để tính phân bố ứng suất theo chiều sâu, ta áp dụng công thức (4.13) đã nêu:
− +
= 2 32 1,5 ) 1 (
r z q z
σz
.
Tương tự, khi xem đất là lớp vật liệu đàn hồi, đồng nhất, V. Babkov đề nghị công thức:
σz = q(1−cos3β). (4.32) Tương tự, theo Love A.E.H, với nền đồng nhất ta có công thức sau:
1,5 2 0
1 ( 1 )
1 ( / (2 ))
z q
D z
σ = − + . (4.33) M. Iacunhin đã tiến hành thực nghiệm trên kết cấu thực hệ hai lớp, gồm một lớp vật liệu có mô đun đàn hồi E, chiều dày h, trên lớp nền đất và đã đưa ra công thức thực nghiệm tính phân bố ứng suất theo chiều sâu như sau:
, 1
. 1 2
0
+
=
D a z q
td
σz
(4.34) trong các công thức trên
q- áp lực do bánh xe tác dụng lên mặt đường;
D0- đường kính vệt tải trọng tác dụng;
r- bán kính đường tròn vệt tải trọng;
β- góc hợp bởi trục 0z đi qua tâm tải trọng và đường thẳng nối điểm xem xét có độ sâu z với mép của đường tròn gia tải có bán kính r;
a- hệ số xét đến đặc trưng làm việc của kết cấu. Khi thực nghiệm với lớp mặt là bê tông nhựa hoặc các lớp vật liệu có độ cứng nhỏ, Iacunhin đề nghị lấy a
= 1, còn khi lớp vật liệu là bê tông xi măng có độ cứng lớn, có thể lấy a = 2;
z- chiều sâu tính toán trong lớp nền đồng nhất;
ztđ- chiều sâu tương đương của điểm xem xét khi thay lớp vật liệu mặt đường bằng lớp tương đương.
Viện nghiên cứu đường bộ Liên xô (cũ), đã xây dựng phương pháp tính toán mô đun chung hệ hai lớp theo giả thiết lớp tương đương của G. Pokrovski, sử dụng công thức quy đổi chiều dày lớp tương đương của Ivanov (theo 4.30) và phân bố ứng suất theo chiều sâu theo công thức của Iacunhin (4.34), nhận được công thức tính mô đun chung hệ hai lớp như sau:
) ( 1 )
1 2(
1 3,5
0
qd td
D n h arctg -n
E E
−π
=
, (4.35) trong đó
4 , 0 0 1) (E n= E
.
Công thức (4.35) chỉ áp dụng tính mô đun đàn hồi chung cho hệ hai lớp.
Để tính hệ nhiều lớp, cần quy đổi mô đun đàn hồi các lớp mặt và móng về lớp có chiều dày bằng tổng chiều dày các lớp và mô đun đàn hồi bằng mô đun đàn hồi trung bình như đã nêu.
Dưới đây, tác giả trình bày cơ sở phương pháp tính mô đun đàn hồi chung, trực tiếp từ kết cấu mặt đường hệ nhiều lớp, sử dụng giả thiết lớp tương đương của G. Pokrovski.
Do nền đất và lớp vật liệu không hoàn toàn là vật liệu đàn hồi, trong tính
toán phân bố ứng suất theo chiều sâu, kiến nghị sử dụng công thức thực nghiệm của Iacunhin (4.34). Quy đổi chiều dày lớp tương đương theo Korsunski theo công thức (4.31).
Bài toán đặt ra như sau: kết cấu mặt đường được xem là bao gồm từ nhiều cột đất hình trụ độc lập, có đường kính bằng với đường kính vệt bánh xe quy đổi.
Khi đó, biến dạng của mặt đường được xem là sự nén ép của các cột đất.
Tại điểm M ở độ sâu z, so với mặt đường, biến dạng của phân tố đất có chiều dày dz sẽ là:
dz E , dw σz ε = =
(4.36) với σz- ứng suất pháp theo phương Z, gây biến dạng cho phân tố đất, trong tính toán, để tính σz, kiến nghị sử dụng công thức thực nghiệm tính theo (4.34) là công thức áp dụng cho hệ 2 lớp, thay vào (4.36), ta được:
. ) ( dz E
z qf E dw= σdz =
(4.37) Với trường hợp hệ hai lớp
Tổng độ lún của mặt đường sẽ được tính bằng lấy tích phân biểu thức (4.37) theo z từ 0→∞cho hệ hai lớp, gồm từ độ nén ép của lớp mặt đường có chiều dày h và độ võng của nền đường ( xem hình 4.10):
[ ( ) ( ) ],
0 1 ∫ 0
∫ +∞
=
h h
E dz z f E
dz z q f
w
(4.38) Sử dụng công thức quy đổi chiều dày lớp tương đương theo Korsunski, ta có:
Khi 0≤z≤h, suy ra
3 0
. 1
1 ,
1 E
z E ztd =
.
Khi h z< ≤ ∞,
h h E z
h E h z
ztd = − + = + td −
1 3
0
. 1
1 , 1
. (4.39) Thay f(z) theo (4.34), giá trị ztđ theo (4.39) vào (4.38) và sau một số biến đổi, ta có:
2 2
2 2
2 2
1 0 3 1 0
0
( ) .
(1,1. . )
h
qd qd
qd td
h qd
D dz D dz
q q
w E E E D z h h
D z
E
∞
→ = +
+ + −
∫ + ∫
(4.40) Để tính tích phân phương trình (4.40), ở số hạng thứ hai, đặt biến phụ
h h z
t= + td − , dt = dz, ở cận dưới khi z = h thì t = htđ. Ta nhận được:
∫
∫ + ∞ +
+
=
htd qd qd h
qd
qd
t D
dt D E
q E
z E D
dz D E
w q ,
) .
. 1 , 1 (
2 2
2
0 0
3 2
0 2 1
2
1
và sau một số biến đổi, ta được:
=
qd qd td
D arctg h E
E E
w qD )
) ( . 1 , 1 - 1 1 ( 2 -
→
3 4
0 0 1
π
. (4.41) Mặt khác, giả sử ta có hệ quy đổi là một bán không gian đàn hồi, đồng nhất (có mô đun Edn ), chịu một tải trọng bánh xe có áp lực q và đường kính quy đổi D. Khi đó độ võng mặt đường được xác định như sau:
2 d
2 2
d
0 0
( ) D
w q .
dn dn q
f z dz q dz
q E E D z
∞ ∞
= =
∫ ∫ +
(4.42)
X
q
Z D
M
ht®
zt® σzE1,h1
E0
z
Hình 4.10. Sơ đồ tính toán hệ hai lớp
Lấy tích phân phương trình (4.42) theo z từ 0→∞, ta được dn
qd
E w qD
2
=π
. (4.43) Như vậy khi xem kết cấu hai lớp với lớp mặt có E1, h1 và lớp nền có E0 và kết cấu đồng nhất với Edn là hai kết cấu tương đương, thì khi cùng chịu một tải trọng tác dụng (cùng áp lực q và đường kính vệt bánh xe D), độ võng của chúng phải bằng nhau. Do vậy, cho độ võng tính theo công thức (4.41) và độ võng tính theo (4.43) bằng nhau, sau một số biến đổi, ta nhận được mô đun đàn hồi lớp đồng nhất, chính là mô đun đàn hồi chung của hệ hai lớp như sau:
0
1 4 3
0
2 1
1 1-
1,1. ( )
ch
td qd
E E
arctg h E D
E π
=
−
. (4.44) Công thức (4.44) được sử dụng để tính mô đun đàn hồi chung (tương đương) hệ hai lớp. Kết quả tính toán so sánh cho thấy, mô đun chung tính theo công thức (4.44), có giá trị tương tự với mô đun chung hệ hai lớp, của Viện nghiên cứu đường bộ Liên Xô (cũ) tính theo công thức (4.35) và tính theo các phương pháp khác.
Với trường hợp hệ nhiều lớp
Trên cơ sở lời giải hệ hai lớp, phát triển bài toán tính toán mô đun đàn hồi chung, cho kết cấu mặt đường mềm có số lớp lớn hơn hai, trong bài toán kiến nghị sử dụng một số giả thiết sau:
- Sử dụng phương pháp quy đổi từng lớp vật liệu mặt đường với lớp nền thành lớp tương đương để tạo nên một kết cấu đồng nhất theo giả thiết lớp tương đương. Việc tính toán được tiến hành đồng thời cho tất cả các lớp mặt đường, móng đường;
- Các lớp dính chặt với nhau, thỏa mãn điều kiện biến dạng liên tục giữa các lớp.
Trên hình 4.11 trình bày thí dụ tính cho kết cấu hệ ba lớp, gồm lớp mặt có mô đun đàn hồi E1, chiều dày h1, lớp móng có mô đun đàn hồi E2, chiều dày h2 và lớp nền tự nhiên có mô đun đàn hồi E0.
Trong tính toán sử dụng công thức quy đổi chiều dày lớp tương đương theo Korsunski:
htđ1 = 1,1.h1.
3 0 1
E E
, h tđ2 = 1,1.h2.
3 0 2
E E
. (4.45) Xét điểm M có toạ độ z so với mặt đường.
- Khi
3 0 1
1 1,1.
z
0 h
E z E ztd =
⇒
<
≤
, và khi z = h1 thì
3 0 1
1 1
,
1 E
h E Ztd =
; - Khi
3 3 2 1 1
2 1
1 1,1( )
E h E z h
z h h z
h < < + ⇒ td = td + −
, và khi z = h1+h2 suy ra ztđ = htđ1+htđ2.
- Khi . h1+h2 < z≤∞⇒ ztd =htd1 +htd2 −h1−h2. (4.46) Ở độ sâu z, sự biến dạng của phân tố đất có chiều dày dz:
E , dw dz E
dz
dw σz σz ε = = → =
Thay σz theo (4.33), ta được: , ) ( dz E
z dw= qf
(4.47)
Lấy tích phân biểu thức (4.47) theo từng lớp, ta nhận được độ võng mặt đường (W):
+ +
= ∫ ∫+ ∫∞
+
2 1
1 1 2
1
0
0 1 2
) ( )
( )
( h h
h h h
h
E dz z f E
dz z f E
dz z q f w
. (4.48)
E2
E1
E0
dZ
dW
M
h1h2
ht®2ht®1
zt® σz
X q
Z D
Hình 4.11. Sơ đồ tính toán hệ ba lớp Ta đặt:
w=w1+w2 +w3, (4.49) với w1,w2 và w3 – tương ứng là độ nén ép của lớp thứ nhất, lớp thứ hai và độ võng của nền đất tự nhiên, dưới tác dụng của tải trọng bánh xe.
Viết lại phương trình (4.49):
= ∫1
0 1
1
)
h ( E
dz z q f w
;
= 1∫+2
1 2
2
)
h (
h
h E
dz z q f
w
;
= ∞∫
+2
1 0
3
) (
h
h E
dz z q f
w
. (4.50) Lần lượt lấy tích phân các biểu thức trong (4.50), ở biểu thức thứ nhất thay f(z) theo (4.34), ta nhận được w1:
∫
∫ = +
= 1 1
0 2
0 1 1
1
) ( 1 )
( h
qd td h
D z dz E
q E
dz z q f
w
. (4.51) Thay ztđ theo (4.46) với 0≤Z <h1, sau một số biến đổi, ta có:
) ( 1
, 1
1 1
3 0 1 1
1
qd qd td
D arctg h E
E E w = qD
⇒
. (4.52) Tương tự đối với w2:
= 1∫+ 2
1 2
2
)
h (
h
h E
dz z q f
w ⇒ = 1∫+2 +
1
2 2
2
2 2
h h
h qd td
qd
Z D
dz D E
w q
. (4.53) Thay ztđ vào (4.53) với h1 < z< h1+h2, ta có:
∫+
− + +
=
⇒ 1 2
1 2
3 0 2 1 1
2
2
2 2
) ).
( 1 , 1 (
h h
h
td qd
qd
E h E z h
D
dz D E
w q
. (4.54) Để tính tích phân (4.54), đặt biến phụ
3 0 1 2 1
1 1,1( )
E h E z h
t = td + −
, ta có
E dz dt 3 E
0 2 1 =1,1
,
3 0 2 1
1 ,
1 E
E dz = dt
, lấy tích phân theo t1, khi đó, cận dưới của tích phân z = h1 thay bằng t1 = htđ1 và cận trên z = h1 +h2, thay bằng t1 = htđ1 + htđ2, thay vào (4.54) và sau một số biến đổi ta được:
) (
1 , 1 . 1
. 1 2 1
3 0 2 2
2
qd td qd
td qd td
D arctg h D
h arctg h
E E E
D
w =q + −
⇒
. (4.55)
Tương tự đối với w3:
= ∫∞
+ 2
1 0
3
) (
h
h E
dz z q f
w
Thay f(z) theo (4.34) ta được:
∞∫
+ +
=
⇒
2 1
2 2 0
3
1
h h
qd td
D z dz E
w q
. (4.56) Để tính tích phân (4.56) vớiztd =htd1 +htd2 +z−h1−h2, ta đặt biến phụ t2 = htd1 + htd2 + z - h1 - h2, ta có dt2 = dz. Lấy tích phân ( 4.56) theo biến t2, khi đó cận dưới của tích phân z = h1 + h2, thay bằng t2 = htđ1 + htđ2 và cận trên z = ∞, thay bằng t2 =∞, sau một số biến đổi ta được:
1 2 3
0
w .( )
2
qd td td
qd
qD h h
arctg
E D
π +
= −
. (4.57) Từ (4.52),(4.55), (4.57), ta có độ võng mặt đường hệ ba lớp như sau:
w =
) ( 1
, 1
1 1
3 0
1 1 qd
qd td
D arctg h E
E E qD
+
) (
1 , 1 . 1
. 1 6 2 1
3 0
2 2 qd
td qd
d t qd td
D arctg h D
h arctg h
E E E
D
q + −
+
+
2 )
.( 1 2
0 qd
td qd td
D h arctg h
E
qD π− +
. (4.58) Tương tự với kết cấu nhệ hai lớp, từ (4.43) và (4.58), cho hai độ võng bằng nhau, ta nhận được công thức tính mô đun đàn hồi tương đương của hệ đồng nhất, chính là mô đun chung của hệ ba lớp như sau:
− + +
+ − +
=
2 ) 1 .(
) (
1, 1 . 1 ) 1 ( 1,
1 1 1
2 /
2 1 0
1 2
1
3 0 2 2 1
3 0
1 1 qd
td td qd
td qd
td td qd
td td
D h arctgh E
D arctg h D
h arctgh E E E D arctg h E E E E
π π
.(4.59) Nếu kết cấu mặt đường bao gồm từ n lớp, khi đó độ mô đun đàn hồi tương đương của hệ n lớp được tính như sau:
1 1
( ) ( ) ( )
1 1 0 1
1 4 0
3 0
/ 2 .
1 1
(arctg arctg ) ( arctg )
1,1 2
td i i n
td j td j td i
n j j i
i i qd qd qd
E
h h h
D D E D
E E
π
π
− −
− = = =
=
=
− + −
∑ ∑ ∑
∑
(4.60) Như vậy chúng ta nhận được công thức để tính toán mô đun đàn hồi tương đương của hệ bao gồm n lớp theo ( 4.60).
Theo công thức (4.60) cho phép tính được chính xác mô đun đàn hồi chung kết cấu mặt đường nhiều lớp, so với phương pháp quy đổi về hệ hai lớp với việc tính mô đun đàn hồi trung bình các lớp mặt và móng đường. Tính mô đun chung hệ nhiều lớp được thể hiện dưới dạng công thức giải tích, do vậy tiện lợi khi xây dựng phần mềm tính toán, tính được kết cấu có tổng chiều dày lớn hơn 2D.
Cũng từ công thức (4.60) cho thấy, giá trị mô đun đàn hồi chung phụ thuộc độ lớn tải trọng tính toán (thông qua đường kính quy đổi D). Với cùng một kết
cấu, nếu tính mô đun đàn hồi chung khi khai thác với tải trọng lớn, sẽ cho giá trị nhỏ, và khi khai thác với tải trọng nhỏ, mô đun đàn hồi chung cho giá trị lớn hơn.