CHỊU TẢI TRỌNG TĨNH
4.5. TÍNH TOÁN CHỈ TIÊU ỨNG SUẤT CẮT TRONG LỚP VẬT LIỆU KÉM DÍNH VÀ TRONG LỚP NỀN
Cường độ chống cắt của đất, đặc trưng cho sức chịu tải của nền đất, bao gồm thành phần lực ma sát giữa các hạt đất (đặc trưng bằng hệ số ma sát trong của đất) và lực liên kết giữa chúng (lực dính). Khi chịu lực tác động gây ra ứng suất cắt, vượt quá cường độ chống cắt của đất, các hạt bị trượt lên nhau, gây trượt trong đất.
Khi tính toán và thiết kế nền trong kết cấu mặt đường ô tô, phải xét cả hai trạng thái giới hạn: trạng thái giới hạn về cường độ và trạng thái giới hạn về độ ổn định của nền. Trong thực tế, đất nền có thể bị phá hoại khi độ lún chưa phải là lớn lắm. Đó là kết quả của biến dạng trượt, làm mất ổn định của nền. Do đó, cần phải xác định sức chịu tải của nền đất, để từ đó khống chế tải trọng tác dụng lên mặt đường.
Cơ sở lý luận khi nghiên cứu biến dạng trượt, là sử dụng lý thuyết đàn hồi của vật thể biến dạng tuyến tính kết hợp với điều kiện bền Mohr – Coulomb, hay lý thuyết cân bằng tới hạn. Theo lý thuyết này, sự phá huỷ độ ổn định của nền đất là do sự phát triển của các biến dạng trượt trong phạm vi một vùng nhất định gọi là vùng biến dạng dẻo, còn sự mất ổn định của nền đất tại một điểm là sự xuất hiện biến dạng trượt hay biến dạng dẻo tại điểm đó mà thôi. Yếu tố quyết định đối với sự ổn định của nền và an toàn của kết cấu mặt đường là sức chống cắt của đất hay cường độ chống cắt của đất nền. Các lời giải sử dụng lý thuyết đàn hồi kết hợp với điều kiện bền Mohr – Coulomb, đang được áp dụng trong tính toán trạng thái cân bằng giới hạn trong đất hiện nay, được kể đến là các lời giải của Rankine, Prandtl, Sokolovski…
Theo điều kiện bền Mohr- Coulomb, trên hình 4.12a, nếu điểm M ở trạng thái cân bằng đàn hồi thì vòng tròn Mohr ứng suất, sẽ nằm dưới đường Coulomb (hình 4.12.a); nếu tăng tải trọng, thì các trị số ứng suất và trạng thái cân bằng tại M sẽ thay đổi theo. Khi P tăng đến giá trị giới hạn, thì ứng suất tại M sẽ đạt giá trị ứng suất giới hạn và gây trượt đất theo mặt trượt đi qua điểm M. Vòng tròn Mohr biểu diễn trạng thái ứng suất tại M lúc này là vòng tròn Mohr ứng suất giới hạn (xem hình 4.12.b).
Trong tính toán kết cấu mặt đường, A. Kriviski đã kiến nghị đánh giá điều kiện để nền đường không xảy ra biến dạng dẻo.
Để không xảy ra trượt, biến dạng dẻo trong nền, theo điều kiện Coulomb ta có :
τ ≤σtgφ +C. Ta viết lại như sau:
τ-σtgφ ≤C. (4.61) với τ - ứng suất cắt tại điểm xem xét;
σ - ứng suất pháp tại điểm xem xét, trong trường hợp tổng quát là ứng suất hiệu quả, có xét ảnh hưởng của áp lực nước lỗ rỗng theo K.Terzaghi;
C,ϕ- tương ứng là lực dính cho phép và góc ma sát trong của đất.
Vế trái bất đẳng thức trên được A. Kriviski gọi là ứng suất cắt hoạt động (kí hiệu là τa), gây ra trong nền và trong lớp vật liệu kém dính. Không thỏa mãn điều kiện (4.61) sẽ xảy ra biến dạng dẻo trong nền đường. Chỉ tiêu biến dạng dẻo là một trong số các chỉ tiêu quan trọng trong đánh giá kết cấu mặt đường.
Α S = σtgϕ + C
C
Ο Ο'
Ι
Η σ
τ
ϕ
σ1 σ σ3 σ3
σ σ1
ϕ
τ
σ
Ο' Η Ο
S = σtgϕ + C
Α Β Β
c
c
Ι
Hình 4.12. Trạng thái ứng suất tại điểm M
a. Trạng thái cân bằng đàn hồi (Vòng tròn Mohr nằm dưới đường Coulomb) b. Trạng thái cân bằng giới hạn
Xét mặt phẳng trong nền đất chịu tải trọng bề mặt, mặt phẳng aa đi qua điểm M bất kỳ trong nền đất ấy (hình 4.13.a).
Trường hợp đối với nền là cát. Gọi tổng ứng suất tác dụng tại điểm M là σ0. Có thể phân tích σ0 thành ứng suất pháp σ và ứng suất tiếp τ . Tại M, khi diện chịu lực thay đổi thì σ và τ cũng thay đổi. Theo Mohr – Coulomb, khi σ thay đổi thì sức chống cắt S của đất tại M cũng thay đổi. Nếu gọi góc giữa ứng
suất tổng σ0và ứng suất pháp σ tác dụng tại điểm M là góc lệch θ, thì có thể đánh giá trạng thái ổn định chống cắt của đất tại điểm M đang xét thông qua góc lệch θ.
Chọn hệ trục toạ độ τ −σ song song với phương của ứng suất chính
3 1,σ
σ , tương ứng là ứng suất chính lớn nhất và nhỏ nhất, tác dụng tại điểm M.
Vẽ lên biểu đồ này đường biểu diễn sức chống cắt của đất theo Coulomb, trạng thái ứng suất tại điểm M trong trường hợp bài toán phẳng, có thể biểu thị bằng vòng tròn ứng suất Mohr vẽ với các ứng suất chính σ1,σ3 của nó (hình 4.13.b).
Mặt phẳng aa đi qua điểm M và làm với phương của ứng suất chính lớn nhất (σ1) một góc bằng θ, nếu không phải là mặt trượt thì điểm K trên vòng tròn Mohr ứng với mặt phẳng ấy sẽ nằm thấp hơn đường chống cắt của Coulomb, đoạn thẳng OH sẽ biểu diễn ứng suất pháp σ tác dụng trên mặt phẳng aa còn đoạn HK thì biểu diễn ứng suất tiếp τ trên mặt phẳng ấy và từ Hình 4.12.b ta có:
ˆ HK τ
tgHOK = =
σ
OH .
S = σtgϕ
θ
Ο Ο'
Ι Κ
Η σ
τ
ϕ
σ1 σ σ3
b)
τ
Hình 4.13. Phân tích ứng suất trong nền chịu tác dụng tải trọng ngoài
Tỷ số στ
đồng thời cũng là tang của góc lệch trên hình 4.12.a, nên có thể nói rằng gócHOˆKbiểu diễn góc lệch giữa ứng suất pháp σ và ứng suất tổng σ0. Mặt khác, cũng có thể thấy rằng, với các điểm trên vòng tròn Mohr, ứng với các mặt phẳng không phải là mặt trượt, góc lệch θ bé hơn góc ϕ của đường biểu diễn chống cắt của Coulomb (θ < ϕ), với ϕlà góc ma sát trong.
Từ những điểm trình bày ở trên, có thể đi đến kết luận rằng, để đánh giá trạng thái ổn định chống cắt của đất tại một điểm bất kỳ, có thể dùng khái niệm góc lệch giữa ứng suất pháp σ tác dụng trên các mặt phẳng đi qua điểm đang xét và tổng ứng suất σ0 tác dụng trên điểm ấy.
Đất ở tại điểm ấy đạt tới trạng thái cân bằng giới hạn, khi góc lệch lớn nhất θmax bằng góc ma sát trong ϕ của đất, khi đó điểm K trên hình 5.13.b sẽ trùng với điểm I.
Ta có: θmax =ϕ (4.62) Điều kiện (4.62) có thể viết dưới một dạng khác, trong đó θmax được biểu diễn qua các ứng suất chính σ1 và σ3 trên vòng tròn Mohr:
1 3
3 1 3 1
3 1 max
2 2 '
sin ' σ σ σ σ
σ σ
σ
θ σ+ =+−
−
=
=OO I O
. (4.63) Vì vậy, điều kiện cân bằng giới hạn tại một điểm của các loại đất rời (thường được gọi là điều kiện cân bằng giới hạn Mohr – Coulomb), có thể biểu diễn bằng công thức sau:
sin 1 3.
3 1
σ + σ
σ
−
=σ
ϕ (4.64) Đối với trường hợp đất dính (hình 4.14), kéo dài đường Coulomb S = σ.tg ϕ+ C, gặp trục hoành tại O’’, cách điểm O một khoảng C.cotgϕ và áp dụng hoàn toàn như đối với đất rời, ta có điều kiện cân bằng giới hạn Mohr – Coulomb viết cho đất dính như sau:
cot . sin 2
3 1
3 1
ϕ +
σ + σ
σ
−
= σ
ϕ C g
Dạng tổng quát, điều kiện cân bằng giới hạn tại một điểm bất kỳ trong nền đất, có thể viết như sau:
cos 2 2 .
1 1 3 1 3
C tgϕσ +σ = σ −
− σ
ϕ (4.65) Đối với đất rời C = 0.
σ3 σ
σ1
ϕ
τ
σ
Η
Ι Κ
Ο' Ο'' Ο
C.ctgϕ
θ C
S = σtgϕ + C
Α Β
τ
Hình 4.14. Biểu đồ vòng tròn Mohr kết hợp với đường biểu diễn cường độ chống cắt của Coulomb
Ý nghĩa ứng dụng của công thức trên ở chỗ, nếu ứng suất chính tại một điểm nào đó, thoả mãn công thức này thì ở điểm đó có hiện tượng đất bắt đầu bị trượt. Như vậy, biến đổi công thức (4.65), ta nận được điều kiện để không xảy ra biến dạng dẻo như sau:
cotg , sin 2
3 1
3 1
ϕ σ
σ
σ ϕ σ
+ C +
≥ −
(4.66) trong đó: σ1, σ3- các ứng suất chính lớn nhất và nhỏ nhất tại vị trí tính toán;
C, ϕ - lực dính và góc ma sát trong của đất nền.
Tiếp tục biến đổi công thức (4.66) ta nhận được [( ) ( )sin ] .
cos 2
1
3 1 3
1−σ − σ +σ ϕ ≤C
ϕ σ (4.67)
Khi ở trạng thái cân bằng giới hạn, mặt phẳng trượt tạo với mặt phẳng ứng suất chính lớn nhất một góc π/4 - ϕ/2 và tạo với mặt phẳng ứng suất chính nhỏ nhất một góc π/4 + ϕ/2 ( hình 4.15).
Vế trái của bất đẳng thức (4.67), chính là ứng suất cắt hoạt động theo A.
Kriviski (τa), bao gồm hai thành phần ứng suất cắt hoạt động do tải trọng gây ra,
kí hiệu là τam và ứng suất cắt hoạt động do trọng lượng bản thân các lớp vật liệu mặt đường phía trên, được xem là tải trọng ngoài tác dụng lên nền gây ra, được kí hiệu là τav.
Ứng suất cắt hoạt động do tải trọng gây ra:
[( ) ( )s in ].
c o s 2
1
3 1 3
1 σ σ σ ϕ
ϕ σ
τam = −−+
(4.68) Từ công thức (4.68) và hình 4.12, khi đất có góc ϕ nhỏ, hoặc với vật liệu dính lý tưởng, ta có:
( ).
2 1
3
1 σ
σ τam = −
Trong trường hợp bài toán không gian, trong các công thức nêu trên, không có thành phần ứng suất chính trung gian σ2. Giá trị ứng suất chính trung gian σ2 không có ảnh hưởng gì đến điều kiện cân bằng giới hạn theo điều kiện bền Morh-Coulmb.
Trong trường hợp bài toán phẳng theo tọa độ xOz, ta có các ứng suất chính được xác định như sau:
2 2 3
,
1 )
( 2
2 xz
x z x
z σ σ σ τ
σ=σ+± − +
, (4.69) với σz,σx,τxz tương ứng là ứng suất pháp theo phương z, x và ứng suất tiếp do tải trọng ngoài gây ra, được xác định theo lý thuyết đàn hồi.
σ σ1
σ1
σ3 σ3
45 +ϕ 2
0
0 ϕ2
45 −
Μ
mặt truơt
Hình 4.15. Sơ đồ mặt trượt tại điểm M
Như vậy, bài toán đặt ra là cần xác định các ứng suất thành phần
xz x
z σ τ
σ , , , tại vị trí xem xét trong nền đường trên cơ sở lời giải bài toán hệ đàn hồi nhiều lớp, từ đó tính toán ứng suất cắt trong nền đường theo (4.68).
Trường hợp đối với kết cấu mặt đường khi chỉ xét tác dụng của lực theo phương đứng, tại điểm nằm trên trục đi qua tâm tải trọng và trên mặt nền, đây là trường hợp bài toán đối xứng trục (điểm M trên hình 4.16), khi đó có điều kiện cân bằng giới hạn tương tự bài toán phẳng, với ứng suất tiếp τxz =0, các ứng suất
y
x σ
σ = và các ứng suất pháp tác dụng như là các ứng suất chính:
σ1 = σz; σ2 = σ3 = σx = σy. (4.70) Vì vậy, trong tính toán các ứng suất thành phần trong nền đường, để đơn giản trong tính toán, cũng có thể áp dụng lời giải bài toán Boussinesq, với tải trọng bánh xe phân bố trên hình tròn áp lực q, đường kính D.
Do tồn tại các lớp vật liệu mặt đường có mô đun đàn hồi khác với mô đun đàn hồi nền. Để quy đổi lớp có chiều dày h và mô đun đàn hồi E, về lớp đồng nhất với nền để áp dụng bài toán Boussinesq, cần quy đổi chiều dày lớp vật liệu về lớp tương đương, có thể ứng dụng công thức của Korsunski như sau:
. 1 , 1 3
E0
h E hqd =
(4.71)
Nếu kết cấu có n lớp vật liệu thì chiều dày lớp tương đương hqđ,i của từng lớp hoàn toàn tương tự ( xem hình 4.15):
q E1,h1
dqd
E0
E2,h2
Em1,hm1
Em2,hm2
z
M
Hình 4.16. Kết cấu mặt đường mềm nhiều lớp
3 0
1 ,
1 E
h E hqdi = i i
. (4.72) Theo bài toán Boussinesq, trường hợp tải trọng phân bố đều trên hình tròn bán kính r, áp lực q, áp dụng công thức (4.14), (4.13), tại điểm M trên mặt nền, nằm trên trục tải trọng, ta có:
3 td
1 z 2 2 1,5
td
q 1 z ;
(r z )
σ=σ= − +
3
td td
3 r 2 2 0,5 2 2 1,5
td td
z z
3 1
q 1 2 (r z ) 2 (r z )
σ=σ=−+++, (4.73) với ztđ- tổng chiều dày quy đổi tính từ mặt đường xuống đến điểm tính toán, tính theo công thức (4.72).
Thay các ứng suất thành phần σ1,σ3vào (4.68), sẽ tính được ứng suất cắt hoạt động do tải trọng gây ra tại điểm M trên mặt nền.
Như đã nêu trên, ngoài các thành phần ứng suất do tải trọng bánh xe gây ra, trọng lượng bản thân các lớp vật liệu mặt đường phía trên điểm M cũng được xem là tải trọng ngoài gây ứng suất biến dạng cho nền.
Các ứng suất thành phần do trọng lượng bản thân các lớp vật liệu phía trên điểm M gây ra được xác định như sau:
σ =σ =∑ γ σ =σ =σ ε
= 3 1
1
1 n i i; x
i
z h
. (4.74) với γi- dung trọng của vật liệu thứ i;
hi- chiều dày lớp vật liệu thứ i;
ε- hệ số ỏp lực ngang, với ε = à/ (1- à), với à - hệ số poisson của nền.
Thay các ứng suất σ1,σ3 do trọng lượng bản thân các lớp vật liệu phía trên gây ra vào (4.67), sẽ tính được đại lượng ứng suất cắt do trọng lượng bản thân τab theo công thức:
τ = ∑ γ ϕ [ −ε − +ε ϕ]
= (1 ) (1 )sin cos
2
1 i i n
i ab
h
, (4.75) với ϕ- góc ma sát trong của nền.
Phụ thuộc góc ma sát trong và hệ số poisson của nền mà giá trị ứng suất τabcó thể có giá trị âm hoặc dương.
Khi đó ta có: τa,m a x=(τa m+τa b)≤τc p, (4.76) với τcp là lực dính cho phép của đất.
Trong một số quy trình đề nghị lấy:
τcp =k'.c=k1k2k3.C, (4.77) trong đó: C – lực dính của đất, được xác định bằng thí nghiệm hiện trường;
k1,k2,k3 – là các hệ số dự trữ, trị số của chúng được xác định bằng thực nghiệm:
k1 – hệ số kể đến sự giảm của lực dính C khi mặt đường chịu tác dụng của tải trọng động ( lấy bằng 0,6 với làn xe chạy); k2 – hệ số kể đến sự sai sót trong quá trình thi công, đặc biệt trong điều kiện thời tiết bất lợi, giá trị của nó phụ thuộc lưu lượng xe; k3 – hệ số tính đến đặc điểm làm việc của nền đất trong kết cấu, phụ thuộc loại đất nền.
Cần lưu ý rằng, hệ số k1 nêu trên là hằng số, áp dụng chung cho các loại mặt đường là chưa phù hợp, mà cần xem xét riêng cho từng loại cấp đường, có
vận tốc xe chạy khác nhau như đã nêu ở mục 1.3 chương 2: độ lớn của lực dính
C,ϕ có thể bị suy giảm phụ thuộc vận tốc di chuyển của bánh xe. Cần lưu ý rằng cường độ chống cắt của nền đường, rất nhậy cảm với sự trùng phục của tải trọng tác dụng, do vậy đối với kết cấu mặt đường sân bay, do mật độ khai thác máy bay trong ngày đêm ít, trong tính toán có thể không cần kiểm tra chỉ tiêu này.
Trên cơ sở giải phương trình (4.68), A. Kriviski đã tính toán xác định giá trị ứng suất cắt hoạt động đạt giá trị lớn nhất, tại điểm nằm trên mặt nền và tại trục tải trọng. Vì vậy để đơn giản trong tính toán, trong một số quy trình thiết kế, đã xây dựng toán đồ tính ứng suất cắt hoạt động cho hệ hai lớp: lớp trên có mô đun trung bình E1, chiều dày h, lớp nền dưới có mô đun đàn hồi E2, góc ma sát trong ϕ, tớnh với hệ số poisson à=0,25 đối với vật liệu mặt đường và à=0,35 đối với nền đất, xét riêng cho các trường hợp H/D= 0÷2,0 và H/D= 0÷4,0. Trên hình 4.17 trình bày cách tính ứng suất cắt hoạt động, xét cho trường hợp khi H/D= 0÷4,0.
Thí dụ tính toán: tính ứng suất cắt trong kết cấu mặt đường mềm 5 lớp:
lớp 1 là bê tông nhựa có h1 = 6cm, E1 = 300 MPa; lớp 2 là bê tông nhựa có h2 = 8cm, E2 = 250 MPa; lớp 3 là đá gia cố xi măng có h3 = 14cm, E3 = 600 MPa lớp 4 là CPĐD loại 1 có h4 = 17cm, E4 = 300 MPa; lớp 5 là CPĐD loại II có h5
= 18cm, E5 = 250 MPa, nền đất có E0 = 42 MPa, lực dính của đất C = 0,032 MPa, góc ma sát trong ϕ = 240.
Tải trọng trục xe 10T, độ tin cậy yêu cầu k = 0,95.
40 50
ϕ = 45 42 38 34 30 26 22 18 14 10 6
E1 /E2
=5
D E1
h
p
Ε2,ϕ ,co
o
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 h/D
τ
7 15 10 25 20
30
Hỡnh 4.17. Toán đồ xác định τam cho hệ 2 lớp, khi cỏc lớp cựng làm việc Theo công thức (4.71), xác định chiều dày quy đổi các lớp vật liệu có mô đun đàn hồi Ei về lớp tương đương với nền có mô đun đàn hồi E0.
Chiều dày quy đổi lớp 1: = =
1 3
42 6 300 . 1 ,
qd 1
h 12,7 cm;
tương tự ta có : h2qđ = 15,9cm; h3qđ = 37,3cm; h4qđ = 36cm; h5qđ = 35,9cm. Khi đó chiều dầy lớp tương đương tính từ mặt bê tông nhựa xuống mặt nền đất sẽ là Zqđ
= 137,9cm.
Tính ứng suất chính σ1,σ3 theo công thức (4.73), từ đó tính ứng suất cắt hoạt động do tải trọng bánh xe theo (4.67) và ứng suất cắt do trọng lượng bản thân các lớp phía trên theo (4.75). Nhận được: giá trị ứng suất cắt tính toán, đạt 0,0048 MPa, nhỏ hơn lực dính cho phép của đất là C =0,023 MPa.