Dựa vào sơ đồ phân cấp các giá trị của biến, ta thấy rằng một số KNV con phát sinh thêm có thể không tồn tại trong thể chế đang xét. Nguyên nhân là do sự hạn chế của thể chế trên các giá trị của biến. Chẳng hạn, KNV con: P1(x)Q1(x) = k, k ≠ 0 không bao giờ xuất hiện trong dạy học bậc trung học cơ sở Pháp (Chaachoua và Bessot, 2016).
Trong quá trình nghiên cứu và thực nghiệm trên HS, họ thấy rằng sự hạn chế của thể chế trên các giá trị của biến có thể gây ra những hậu quả trên TCTH cá nhân của HS. Nhóm nghiên cứu đã làm rõ điều này trong phần tổ chức hoạt động cá nhân.
1.2.6. Tổ chức hoạt động cá nhân
Trong quá trình làm việc thì tổ chức tri thức của thể chế ít khi tương ứng với tổ chức tri thức thực sự được học. Đặc biệt, tồn tại các KNV cá nhân phân biệt với các KNV của thể chế và hệ quả là các TCTH cá nhân phân biệt với các TCTH của thể chế (Chaachoua và Bessot, 2016).
Trong quá trình nghiên cứu, các tác giả cho thấy có hai khả năng xảy ra khi HSđối mặt với một KNV T như sau:
- Một là, HS thực hiện một kỹ thuật dựa vào một tổ chức toán học trong thể chế gắn với KNV T mà thể chế mong đợi.
- Hai là, HS không tuân thủ mối quan hệ cá nhân với KNV T dẫn tới việc thực hiện một kỹ thuật hoặc hợp thức về mặt khoa học nhưng không thích hợp với thể chế hoặc không hợp thức về mặt khoa học.
Trong một số trường hợp, khoảng cách giữa các kỹ thuật của HS và kỹ thuật mong đợi của thể chế có thể mô hình hóa như sau: đối mặt với một nhiệm vụ t, HS cảm nhận nó như một KNV khác với KNV của thể chế, thậm chí như không tồn tại trong thể chế (Bessot và Chaachoua, 2016).
Theo nhóm nghiên cứu một TCTH cá nhân gồm:
[KNV cá nhân, kỹ thuật cá nhân, công nghệ cá nhân, lí thuyết cá nhân]
Kiểu nhiệm vụ cá nhân là tập hợp các nhiệm vụ mà HS cảm thấy chúng tương tự nhau và ta có thể quan sát thấy điều này thông qua kỹ thuật mà HS sử dụng để giải quyết nó. Hai kiểu nhiệm vụ cá nhân gọi là phân biệt nhau nếu các kỹ thuật cá nhân tương ứng cũng phân biệt nhau. Nhóm nghiên cứu đặc trưng hóa sự phân chia các KNV cá nhân bằng các giá trị của biến và chúng có thể không thích hợp từ quan điểm thể chế.
Một kỹ thuật cá nhân cho phép giải quyết một kiểu nhiệm vụ cá nhân duy nhất: nó có thể đúng với sự mong đợi của thể chế, sai khi không được sự mong đợi trong thể chế. Theo nhóm nghiên cứu, kỹ thuật cá nhân dùng để giải quyết KNV cá nhân cần phải ổn định trong một khoảng thời gian, họ không chọn những cách giải quyết sai lầm bất chợt ở HS.
Nhóm nghiên cứu đặt giả thuyết tồn tại ngầm ẩn hay tường minh một công nghệ cá nhân. Đây là một vấn đề quan trọng vì nó không chỉ giúp nhà nghiên cứu giải thích nguồn gốc của các kỹ thuật cá nhân trong các điều kiện và ràng buộc của thể chế mà còn trong đời sống và học tập của HS. Một công nghệ cá nhân hay thể chế không chỉ giới hạn ở các định lý hay các quy tắc toán học mà có thể là một phát biểu cho phép giải thích, làm hiểu được hoặc kiểm soát được để phù hợp với một kỹ thuật. Nó có thể được tạo ra từ nhiều thành phần, có khi dựa trên toán học, các quy tắc hành động dạy học,...
Lí thuyết cá nhân giải thích cho công nghệ cá nhân. Điều này giống với mô hình TCTH của thể chế.
Ví dụ, xét một nhiệm vụ “giải phương trình 2
4 4
x x ” liên quan đến hệ sinh KNV GT = [Giải một phương trình; V1, V2, V3, V4].
Bảng 1.1. Lời giải và phân tích KNV “giải phương trình 2
4 4
x x ” Lời giải mong đợi của giáo viên Lời giải của một HS lớp 10
2 2 2 4 4 4 4 0 ( 2) 0 2 0 2 x x x x x x x
Dựa vào câu trả lời mong đợi của GV, ta có thể rút ra kỹ thuật: - Chuyển mọi hạng tử về vế trái. - Đặt nhân tử chung P2(x) bằng kỹ thuật “nhận dạng hằng đẳng thức đáng nhớ” - Giải một phương trình bậc nhất dạng Q1(x)= 0. 2 4 4 ( 4) 4 4 4 4 4 8 x x x x x x x x
Dựa vào lời giải của HS này có thể giải thích bằng một kỹ thuật gồm 4 bước sau:
-B1: Đặt nhân tử chung cho vế trái bằng kỹ thuật “đặt nhân tử đơn”
-B2: Giải một phương trình dạng
P1(x)Q1(x) = k, k ≠ 0
-B3: Giải một phương trình bậc nhất kiểu
P1(x) = k
- B4: Giải một phương trình bậc nhất bằng kiểu
Q1(x) = k. Nhận xét lời giải của HS:
Ở bước 2, HS đứng trước một KNV ngoài thể chế “giải phương trình 4
) 4 (x
x ” nhưng HS vẫn cứ giải theo cách giải phương trình P1(x)Q1(x)=0. HS đã tự mình đồng hóa một kỹ thuật đã học trong thể chế “giải phương trình bậc 1 dạng R1(x) = 0” vào KNV ngoài thể chế “P1(x)R1(x)= k, k ≠ 0”
Trong quá trình nghiên cứu, các tác giả đã tìm lý do HS giải như vậy là do sự không hoàn thiện của các TCTH được dạy.
Giải thích nguyên nhân về lời giải của HS:
Từ bước 2, giải phương trình x(x + 4) = –4, ta có thể tìm ra các giá trị của các biến đã được chọn như sau:
V1 chọn phương trình bậc 2; V2 chọn số nghiệm của phương trình là 2; V3 dạng đại số của vế trái chọn tích của hai đa thức bậc 1; V4 dạng đại số của vế phải chọn hằng
số khác 0. Chính vì sự phối hợp các giá trị của biến V3 và V4 như vậy nên đã cho phép tính đến TCTH cá nhân của KNV (Giải phương trình P1(x)Q1(x)=k, k ≠ 0).
Đây là một KNV có thể xem như đã phát sinh từ GT và được mô hình hóa bằng T0 = (Giải một phương trình; V1 = 2, V2 = 2, V3 = tích của hai đa thức bậc 1,
V4 = hằng số khác không). Với giá trị là hằng số khác 0 của biến V4, các tác giả đã đưa ra bộ tứ trong TCTH cá nhân của HSnày theo mô hình T4TEL như sau:
T = (Giải một phương trình; V1 = 2, V2 = 2, V3 = tích của hai đa thức bậc 1, V4 = hằng số khác không).
= {(Áp dụng quy tắc R); (Giải một phương trình bậc nhất)}
= (R: “Nếu P1(x)Q1(x)=k thì P1(x) = k hay Q1(x) = k ”; các yếu tố công nghệ của kỹ thuật giải phương trình bậc nhất).
Theo nhóm nghiên cứu, quy tắc R có nghĩa là quy tắc hành động của HS khi viết “P1(x) = k hay Q1(x) = k” nằm ngoài phạm vi hợp thức trường hợp P1(x)Q1(x) = 0.
(Bessot và Chaachoua, 2016)
Tóm lại
Thông qua những khái niệm và phân tích, nhóm nghiên cứu đã chứng tỏ sự hợp lý và cho thấy nhiều hữu ích khi giới thiệu khái niệm biến gắn kết với định nghĩa hệ sinh KNV nhằm thể hiện mô hình TCTH thành mô hình quản trị được trong T4TEL. Việc cấu trúc các giá trị của biến là một trong những điểm mạnh của sự thể hiện này. Hay nói cách khác, sự cấu trúc các TCTH dựa trên sự quản trị được của mô hình.
Đặc biệt, trong mô hình T4TEL, các giá trị của cùng một biến có thể giúp các nhà nghiên cứu xác định các đặc trưng của:
- Những điều kiện và ràng buộc của thể chế.
- Khả năng lựa chọn các KNV của giáo viên để thực hiện nghiên cứu. - Các TCTH cá nhân dựa trên các giá trị không phù hợp với thể chế.
Chính những đặc trưng này nên một số công trình nghiên cứu sử dụng khái niệm biến của nhóm đã xuất hiện:
+ Nghiên cứu về các TCTH cá nhân của HS trong phân môn đại số (Croset, 2009).
+ Nghiên cứu về các TCTH biểu diễn phối cảnh của hình học không gian (Tang, 2014).
+ Sử dụng khái niệm biến để tạo ra và cấu trúc một mô hình tri thức luận tham chiếu của biểu diễn phối cảnh.
+ Nathalie Brasset đã dựa vào hệ sinh KNV và khái niệm biến để soạn thảo một tiến trình học tập về phép đếm ở Trường tiểu học (Brasset 2017).
1.3. Hệ sai lầm và thuật ngữ “quan niệm” 1.3.1. Thuật ngữ “quan niệm” 1.3.1. Thuật ngữ “quan niệm”
Ta gọi quan niệm là một mô hình được nhà nghiên cứu xây dựng để phân tích ứng xử nhận thức của HS trước một kiểu vấn đề liên quan đến một khái niệm toán học. Mô hình này cho phép:
- Vạch rõ sự tồn tại nhiều quan điểm có thể về cùng một khái niệm, những cách thức xử lí được kết hợp với chúng, sự thích ứng của chúng với lời giải của một lớp nào đó các bài toán;
- Phân biệt tri thức mà thầy giáo muốn truyền thụ với những kiến thức thực tế được HSxây dựng.
G. Brousseau định nghĩa quan niệm là:
Một tập hợp các quy tắc, cách thực hành, tri thức cho phép giải quyết một cách tương đối tốt một lớp tình huống và vấn đề, trong khi đó lại tồn tại một lớp tình
huống khác mà trong đó quan niệm dẫn đến thất bại, hoặc nó gợi lên những câu trả lời sai, hoặc kết quả thu được một cách khó khăn trong điều kiện bất lợi. (Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến, Bessot, A., & Comiti, C., 2009, tr 91) Việc nghiên cứu quan niệm có thể được hình thành từ hai sự tiếp cận sau: - Phân tích những chiến lược và sản phẩm của HS.
- Nghiên cứu khái niệm về mặt khoa học luận, trong mối liên hệ với các định nghĩa và tính chất khác nhau.
Ví dụ, một số công trình nghiên cứu đã chỉ ra sự tồn tại quan niệm coi số thập phân như một cặp số nguyên ở HS trung học. Chẳng hạn: 1,2 + 5,9 = 6,11; (0,3)2 = 0,9; 12,8 < 12,14 vì 14 > 8.
1.3.2. Hệ sai lầm
Học thuyết về hành vi xem sai lầm là sự phản ánh của sự thiếu hiểu biết hay sự bất cẩn, vô ý mà thôi. Trong khi đó, học thuyết kiến tạo lại xem sai lầm và sự nhận ra sai lầm có vai trò quan trọng trong việc xây dựng hoạt động nhận thức ( Lê Thị Hoài Châu et al., 2009).
Brousseau cũng nhấn mạnh đến tầm quan trọng của sai lầm như sau:
Sai lầm không chỉ đơn giản do thiếu hiểu biết, mơ hồ hay ngẫu nhiên sinh ra (...), mà còn là hậu quả một kiến thức trước đây đã từng tỏ ra có ích, đem lại
thành công, nhưng bây giờ lại tỏ ra sai lầm hoặc đơn giản là không còn thích
hợp nữa. Những sai lầm thuộc này không phải thất thường hay không dự đoán được. Chúng tạo thành chướng ngại. Trong hoạt động của giáo viên cũng như
hoạt động của học sinh, sai lầm bao giờ cũng góp phần xây dựng nên nghĩa của kiến thức thu nhận được (Lê Thị Hoài Châu et al., 2009, tr 57).
1.4. Kết luận
Nhóm nghiên cứu đã chỉ ra những lợi ích của khi giới thiệu khái niệm biến vào tổ chức toán học. Khi thay đổi các giá trị của biến giúp cho nhà nghiên cứu trong việc phân tích tiên nghiệm trước khi HS đối mặt với các nhiệm vụ thuộc hệ sinh đang xét. Bên cạnh đó, khi ta thay đổi các giá trị của biến và sắp xếp thứ tự xuất hiện của các KNV trong dạy học cũng cho phép nhà nghiên cứu quản lý được
nghiệm, nó cho phép giải thích những kỹ thuật cá nhân của HS khi đối mặt với KNV con nào đó sinh ra từ hệ sinh KNV mà chưa được thể chế nghiên cứu.
Trong chương tiếp theo của luận văn, chúng tôi sử dụng hệ thống biểu đạt để tìm hiểu hệ thống biểu đạt của hàm số thông qua các công trình nghiên cứu có liên quan. Ngoài ra, chúng tôi sử dụng khái niệm biến gắn với khái niệm hệ sinh KNV để mô hình một TCTH thành một mô hình quản lý được từ một KNV mới, liên quan đến mối quan hệ giữa đồ thị hàm số và đạo hàm của nó trong đề thi của kì thi THPT Quốc gia năm 2017.
Chương 2. MÔ HÌNH HOÁ TỔ CHỨC TOÁN HỌC
Trong chương này, chúng tôi sẽ tổng hợp những kết quả nghiên cứu về chương trình SGK hiện hành liên quan đến hệ thống biểu đạt của hàm số. Sau đó, chúng tôi sẽ phân tích các tổ chức toán học gắn với khái niệm biến và hệ sinh KNV như đã trình bày trong chương 1. Mục đích của chương này nhằm trả lời cho câu hỏi nghiên cứu Q1: Giới hạn trên mối liên hệ giữa đồ thị hàm số và đạo hàm của nó, những KNV nào ta có thể mô hình hóa từ các nhiệm vụ cụ thể xuất hiện trong đề thi của kì thi THPT quốc gia năm 2017? Những kỹ thuật nào cho phép ta giải quyết các KNV này? Và những công nghệ nào tương ứng với các kỹ thuật mà ta có thể tìm thấy trong các SGK hiện hành?
Trước đây, với hình thức thi tự luận thì bài toán khảo sát hàm số và vẽ đồ thị luôn xuất hiện trong các kì thi THPT quốc gia và thi Cao đẳng - Đại học. Tuy nhiên, trong kì thi THPT Quốc gia năm 2017, BGD&ĐT đã chuyển hình thức thi từ tự luận sang thi trắc nghiệm khách quan, trong đó câu hỏi liên quan đến phần hàm số chiếm khoảng 22%. Hầu hết các câu hỏi trong phần hàm số là những dạng câu hỏi mới được lấy từ bài toán KSHS. Để kiểm soát được các câu hỏi mới này, chúng tôi cần phải sử dụng đến lý thuyết về sự gắn kết khái niệm biến với hệ sinh KNV trong TCTH đã trình bày ở chương 1. Việc gắn kết này giúp chúng tôi mô hình TCTH thành mô hình quản trị được. Chính vì lợi ích này nên chúng tôi quyết định sử dụng lý thuyết này để trả lời cho câu hỏi Q1. Do điều kiện không cho phép nên chúng tôi chỉ mô hình hóa một KNV trong số những KNV liên quan đến mối quan hệ giữa đồ thị hàm số và đạo hàm của nó.
Để tổng hợp về mối quan hệ giữa đồ thị hàm số và đạo hàm của hàm số, chúng tôi tham khảo kết quả một số luận văn sau:
- “Sự chuyển đổi hệ thống biểu đạt trong dạy học hàm số ở lớp 12” của Nguyễn Thị Hồng Duyên (2012).
- “Hàm số đạo hàm trong dạy học toán bậc trung học phổ thông” của Phạm Thị Thanh (2016).
- “Bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trong bối cảnh đánh giá bằng hình thức trắc nghiệm khách quan” của Lê Thị Bích Siêng (2017).
2.1. Các nghiên cứu liên quan đến hệ thống biểu đạt hàm số
Trong luận văn Nguyễn Thị Hồng Duyên (2012), tác giả đã cho thấy rằng, một hàm số có thể được biểu đạt dưới ít nhất 4 hình thức sau: đại số (công thức hay biểu thức giải tích), lời, hình học, bảng số. Mỗi hệ thống biểu đạt có những tầm quan trọng khác nhau. Kết quả nghiên cứu của tác giả về sự chuyển đổi hệ thống biểu đạt cho thấy, hàm số chủ yếu biến đổi từ công thức sang đồ thị ở chương trình toán phổ thông.
Chúng tôi còn nhận thấy ngoài 4 cách diễn đạt trên, trong luận văn Lê Thị Bích Siêng (2017) cho thấy có cách biểu đạt khác của hàm số là bằng bảng biến thiên trong dạy học ở Việt Nam. Bên cạnh đó, tác giả còn chỉ ra biểu đạt của hàm số xuất hiện trong những câu hỏi TNKQ liên quan đến KNV con của bài toán KSHS có trong SGKCB12 chủ yếu là công thức.
Bảng 2.1. Bảng dự đoán KNV con của bài toán KSHS trong SGKCB 12
Kiểu nhiệm vụ Biểu đạt hàm số
Tìm số cực trị của hàm số. Công thức
Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số. Công thức
Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành. Công thức
Tìm cực trị của hàm số. Công thức
Tìm các khoảng biến thiên của hàm số. Công thức
Tìm tiệm cận của hàm số. Công thức
Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số y=f(x) Công thức Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên (a;b) Công thức Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn Công thức
Theo nghiên cứu của Phạm Thị Thanh cho thấy rằng “SGK Việt Nam đề cập đến mối liên hệ theo chiều từ f’ đến f trên những hàm số được cho bằng biểu thức đại số, không có mối liên hệ này nhìn từ đồ thị” (2016, tr 45).
Với những ghi nhận trên của các tác giả, chúng tôi nhận thấy rằng biểu đạt