Chương 4 NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM
4.4. Phân tích tiên nghiệm
4.4.3. Các câu trả lời có thể có ở các bài toán và ảnh hưởng của biến
4.4.3.1. Phiếu 1
Bài 1 và 2
Hai bài này có cách giải giống nhau nên chúng tôi chỉ trình bày lời giải bài toán 1.
Câu trả lời mong đợi
Ta biết “Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm tại tiếp điểm (điểm tiếp xúc)”.
Trên đồ thị, ta xác định được tại 2 điểm cực trị và đường tiếp tuyến tại 2 điểm đó song song với trục hoành, nghĩa là các tiếp tuyến này có hệ số góc bằng 0. Vậy đạo hàm tại các điểm này bằng 0.
Kết luận: phương trình y’=0 có 2 nghiệm thực phân biệt.
Câu trả lời có thể có của HS
Chúng tôi dự đoán HScó thể dùng những kỹ thuật sau để giải:
- Sử dụng bảng tổng kết trong SGK sau đó đối chiếu với dạng đồ thị và kết luận số nghiệm của phương trình y’=0 có 2 nghiệm
- Sử dụng cách đếm số lượng cực trị: dựa vào đồ thị HS đếm có 2 cực trị và kết luận số nghiệm y’=0 có 2 nghiệm.
- Sử dụng đại số: HS chọn một công thức cụ thể của hàm số (bậc 3, bậc 4 trùng phương) có hình dáng đồ thị tương tự đồ thị đã cho. Sau đó tính đạo hàm và kết luận bài toán.
Các chiến lược có thể xuất hiện ở bài toán 1 và 2
- Chiến lược Stongquat: dựa vào bảng tổng kết. - Chiến lược Scuctri: đếm số cực trị.
- Chiến lược Sđaiso: gán các hệ số a,b,c vào công thức hàm số sao cho có dạng đồ thị giống với đề bài.
- Chiến lược Stieptuyen : đếm số tiếp tuyến song song với trục hoành
Ảnh hưởng của biến lên các chiến lược
Bài toán 1 và 2, chúng tôi chọn hàm số quen thuộc với biểu đạt bằng đồ thị và công thức tổng quát tạo điều kiện cả 4 chiến lược Scuctri, Sdaiso, Stongquatvà Stieptuyen
xuất hiện. Tuy nhiên, Stongquatít có khả năng xuất hiện hơn, vì HS cần phải nhớ rất nhiều dạng đồ thị của hàm số trong bảng nên khả năng nhớ chính xác không cao. Chúng tôi dự đoán Scuctri xuất hiện nhiều nhất.
Câu trả lời mong đợi
Ta biết “hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm tại tiếp điểm (điểm tiếp xúc)”. Trên đồ thị hàm số chỉ có 3 điểm mà tiếp tuyến tại đó song song với trục hoành, nghĩa là các tiếp tuyến này có hệ số góc bằng 0. Vậy đạo hàm tại các điểm này bằng 0.
Kết luận: phương trình y’=0 có 3 nghiệm thực phân biệt.
Câu trả lời của HS
Chúng tôi dự đoán HS có thể dùng những kỹ thuật sau để giải:
- Sử dụng cách đếm số lượng cực trị: dựa vào đồ thị HS đếm có 2 cực trị và kết luận số nghiệm y’=0 có 2 nghiệm.
- Sử dụng cách đếm số cực trị và kết hợp với Trường hợp hàm số bậc 3 có một điểm uốn (có nghiệm kép). Từ đó kết luận phương trình y’=0 có 3 nghiệm.
Các chiến lược có thể xuất hiện: Scuctri , Stieptuyen
Ảnh hưởng của biến lên các chiến lược
Chúng tôi lựa chọn hàm số không quen thuộc nhằm khóa chiến lược Stongquat, và chọn hàm số có biến nhằm tạo điều kiện cho chiến lược Scuctri sẽ dễ xuất hiện và tăng sự khẳng định quan điểm “Số cực trị bằng số nghiệm của phương trình y’=0”. Chúng tôi chọn biểu đạt đồ thị nhằm giúp HS nhìn rõ các điểm cực trị và điểm uốn với mong muốn chiến lược Stieptuyen có khả năng xuất hiện.
Bài toán 4
Câu trả lời mong đợi
Ta biết “hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm tại tiếp điểm (điểm tiếp xúc)”. Trên đồ thị hàm số tại điểm cực đại A(0, 4) ta vẽ được 1 đường tiếp tuyến song song với trục Ox, nghĩa là đường tiếp tuyến này có hệ số góc bằng 0. Vậy đạo hàm tại điểm A bằng 0. Mặt khác, tại điểm cực tiểu B(1, 2) ta không vẽ được đường tiếp tuyến song song với trục Ox (hay đồ thị hàm số bị gãy tại điểm B) nên không có đạo hàm tại điểm B.
Kết luận: phương trình y’=0 có 1 nghiệm thực.
Chúng tôi dự đoán HS có thể dùng những kỹ thuật sau để giải:
- Sử dụng cách đếm số lượng cực trị: dựa vào đồ thị HS đếm có 2 cực trị và kết luận số nghiệm y’=0 có 2 nghiệm.
- Sử dụng cách vẽ đường tiếp tuyến song song với trục Ox. Từ đó kết luận phương trình y’=0 có 3 nghiệm.
Các chiến lược có thể xuất hiện: Scuctri , Stieptuyen
Ảnh hưởng của biến lên các chiến lược
Giống với bài toán 3
Bài toán 5
Câu trả lời mong đợi
Theo đề bài hàm số y=f(x) nghịch biến trên R có 2 khả năng xảy ra
- Trường hợp 1: Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định (,a),(a,) từ đây suy ra hàm số nghịch biến trên R. Điểm tại x=a được gọi là điểm uốn nên
suy ra tiếp tuyến đi qua điểm uốn và Trường hợp này đường tiếp tuyến song song với trục hoành, nghĩa là tiếp tuyến này có hệ số góc bằng 0. Ta biết rằng “ Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm tại tiếp điểm (điểm tiếp xúc)”. Vậy đạo hàm tại điểm có xa sẽ bằng 0. Vậy phương trình y’=0 có 1 nghiệm xa
- Trường hợp 2: Hàm số nghịch biến R và không có điểm uốn nên không có đường tiếp tuyến song song với trục hoành. Suy ra phương trình y’=0 vô nghiệm.
Vậy lời khẳng định của bạn A chưa đúng.
Câu trả lời của HS
- Đồng ý với lời khẳng định.
- Không đồng ý và giải thích như sau:
+ Dựa vào bảng tổng kết trong SGK và chỉ ra Trường hợp hàm số bậc 3 nghịch biến trên R không có cực trị nhưng y’=0 vẫn có nghiệm.
+ Sử dụng đại số: HS chọn công thức cụ thể của hàm số bậc 3 thỏa điều kiện nghịch biến trên R nhưng phương trình y’=0 vẫn có nghiệm.
Các chiến lược có thể xuất hiện dùng để giải thích: Scuctri , Stieptuyen , Stongquat
Chúng tôi lựa chọn biểu đạt bằng lời kết hợp lời khẳng định của hàm bậc 3 quen thuộcnhằm để HS đưa ra quyết định đồng ý hay không đồng ý. Khi HS đồng ý điều đó cho thấy HS dùng chiến lược Scuctri và giúp chúng tôi khẳng định quan niệm sai lầm xuất hiện ở HS “số cực trị bằng số nghiệm phương trình đạo hàm”.
4.4.3.2. Phiếu 2 Bài toán 1
Câu trả lời mong đợi
Ta biết “hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm tại tiếp điểm (điểm tiếp xúc)”. Trên đồ thị, ta vẽ một tiếp tuyến song song với trục hoành tại điểm uốn, nghĩa là tiếp tuyến này có hệ số góc bằng 0. Vậy đạo hàm tại điểm này bằng 0.
Kết luận: phương trình y’=0 có 1 nghiệm thực phân biệt.
Câu trả lời có thể có của HS
Chúng tôi dự đoán HS có thể dùng những kỹ thuật sau để giải:
- Sử dụng bảng tổng kết trong SGK sau đó đối chiếu với dạng đồ thị và kết luận số nghiệm của phương trình y’=0 có 1 nghiệm.
- Sử dụng cách đếm số lượng cực trị: dựa vào đồ thị HS đếm có 2 cực trị và kết luận số nghiệm y’=0 vô nghiệm.
- Sử dụng đại số: HS chọn một công thức cụ thể của hàm số bậc 3 có hình dáng đồ thị tương tự đồ thị đã cho. Sau đó tính đạo hàm và kết luận bài toán.
Các chiến lược có thể xuất hiện: Scuctri , Stieptuyen , Stongquat , Sdaiso
Ảnh hưởng của biến lên các chiến lược
Chúng tôi lựa chọn hàm số bậc 3 không có cực trị kết hợp với công thức tổng quát nhằm tạo điều kiện cho chiến lược Stongquat, Stieptuyen, Scuctri và Sdaiso xuất hiện. Vì hàm số bậc 3 thuộc hàm số được dạy trong bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số nên chúng tôi dự đoán chiến lược Stongquat xuất hiện nhiều nhất. Với chiến lược Stongquat xuất hiện giúp chúng tôi thấy rõ ở HS bộc lộ quan niệm sai lầm về mối quan hệ giữa cực trị và nghiệm đạo hàm
Bài toán 2 và 3, chúng tôi lấy lại 2 đồ thị trong bài toán 3 và 4 ở phiếu 1 và chọn đưa ra hai lời giải giả định với hai chiến lược Stieptuyenvà Scuctri . Biến tình huống “lời giải giả định” nhằm để HS chuyển từ chiến lược chưa tối ưu Scuctri sang một chiến lược mới tối ưu hơn Stieptuyen. Chúng tôi dự đoán Stieptuyen sẽ xuất hiện nhiều.