Câu hỏi thực nghiệm Mục tiêu
Bài toán 1 Đường cong (C1) ở hình bên là đồ thị của hàm số d cx bx ax y 3 2 với a, b, c, d là các số
thực. Em hãy viết một hướng dẫn để chỉ cho
Với bài toán 1 và 2, chúng tôi chọn hàm số bậc 3 và hàm bậc 4 trùng phương nằm trong chương trình học được biểu đạt bằng công thức tổng quát và bằng đồ thị để tạo điều kiện cho cả 4 kỹ thuật cuctri,tongquat,daiso,tieptuyenđều
bạn khác biết cách tìm số nghiệm thực của phương trình y’=0.
có thể xuất hiện.
Mục đích của bài 1 và bài 2 nhằm quan sát xem kỹ thuật nào sẽ xuất hiện nhiều nhất ở HS.
Bài toán 2 Đường cong (C2) ở hình bên là đồ thị của hàm số y = ax4 + bx2 + c với a, b, c là các số thực.
Em hãy viết một hướng dẫn để chỉ cho bạn khác biết cách tìm số nghiệm thực của phương trình y’=0.
Bài toán 3
Đường cong (C’) hình bên dưới là đồ thị của hàm số y = ax5 + bx3 + c với a, b, c là các số thực.
Em hãy viết một hướng dẫn để chỉ cho bạn khác biết cách tìm số nghiệm thực của phương trình y’=0.
Với bài toán 3 và 4 , chúng tôi chọn hàm số biểu đạt bằng công thức và bằng đồ thị, đồng thời chọn hàm đa nằm ngoài các dạng hàm được khảo sát và vẽ đồ thị ở lớp 12. Sự lựa chọn này nhằm khoá kỹ thuật tongquatvà kỹ thuật
daiso
tạo điều kiện cho sự cạnh tranh giữa kỹ thuật tieptuyenvà kỹ
thuật cuctri. Từ đó, chúng tôi có thể quan sát rõ hơn quan niệm của HS về mối quan hệ giữa cực trị và nghiệm của đạo hàm.
Bài toán 4 Đường cong (C) ở hình bên dưới là đồ thị của hàm số 1 , 1 , 2 x d cx x b ax y Em hãy viết một
hướng dẫn để chỉ cho bạn khác biết cách tìm số nghiệm thực của phương trình y’=0.
Bài toán 5
Cho một hàm số y=f(x) nghịch biến trên R. Bạn A cho rằng: “ Hàm số này không có cực trị vậy phương trình y’=0 vô nghiệm.” Em có đồng ý với ý kiến đó không? Giải thích câu trả lời của em.
Bài toán này, chúng tôi chọn biểu đạt hàm số bằng lời kết hợp với một lời khẳng định để quan sát xem HS có đồng ý với lời khẳng định đó không. Từ đó, chúng tôi có thể nhận ra quan niệm ở HS về mối quan hệ giữa cực trị và nghiệm đạo hàm.
4.3.2. Phiếu 2 4.3.2.1. Bài toán 1 4.3.2.1. Bài toán 1
Đường cong (C’’) ở hình bên là đồ thị của hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d với a, b, c, d là các số thực. Em hãy viết một hướng dẫn để chỉ cho bạn khác biết cách tìm số nghiệm thực của phương trình y’=0.
Chúng tôi chọn biểu đạt hàm số bằng công thức và bằng đồ thị của hàm bậc ba. Sự chọn lựa này nhằm tạo thuận lợi cho các kỹ thuật tieptuyenvà cuctri và tongquat
xuất hiện. Hàm đa thức bậc 3 là dạng hàm được dạy học trong bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Như vậy, sự lựa chọn này cũng tạo thuận lợi cho HS nhận ra rằng phương trình y’=0 có một nghiệm.
4.3.2.2. Bài toán 2
Đường cong (C’) ở hình bên dưới là đồ thị của hàm số y = ax5 + bx3 + c với a, b, c là các số thực. Tìm số nghiệm thực của phương trình y’=0.
Hai học sinh giải như sau:
Câu hỏi cho em:
Em đồng ý với lời giải của bạn nào và giải thích lý do. Nếu em không đồng ý với lời giải của cả hai bạn này thì hãy trình bày lời giải của em.
Với tình huống này, chúng tôi chọn nêu tường minh hai lời giải giả định lần lượt ứng với các kỹ thuật cuctri và tieptuyen. Điều này đặt HS vào một tình huống có
sự mâu thuẫn giữa hai lập luận “có lý”. Giáo viên sẽ giải quyết mâu thuẫn này trong giai đoạn tổng kết.
4.3.2.3. Bài toán 3 Học sinh A:
Đồ thị hàm số đạt cực đại tại A (-2; 5) và đạt cực tiểu tại B(2, -3) Mà số cực trị bằng số nghiệm của phương trình y’=0.
Vậy phương trình y’=0 có 2 nghiệm thực phân biệt.
Học sinh B
Ta biết “Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm tại tiếp điểm (điểm tiếp xúc)”. Trên đồ thị hàm số tại 3 điểm A, B, C ta vẽ được
3 đường tiếp tuyến song song với trục Ox, nghĩa là các tiếp tuyến này có hệ số góc bằng 0.
Vậy đạo hàm tại các điểm này bằng 0.
Kết luận: phương trình y’=0 có 3 nghiệm thực phân biệt.
Đường cong (C) ở hình bên dưới là đồ thị của hàm số 1 , 1 , 2 x d cx x b ax y với a,
b, c, d là các số thực. Tìm số nghiệm thực của phương trình y’=0.
Hai học sinh giải như sau: Học sinh A
Đồ thị hàm số đạt cực đại tại A (0, 4) và đạt cực tiểu tại B(1, 2). Mà số cực trị bằng số nghiệm của phương trình y’=0.
Vậy phương trình y’=0 có 2 nghiệm thực phân biệt.
Học sinh B
Ta biết “Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm tại tiếp điểm (điểm tiếp xúc)”. Trên đồ thị hàm số tại điểm cực đại A(0, 4 )
ta vẽ được 1 đường tiếp tuyến song song với trục Ox, nghĩa là đường tiếp tuyến này có hệ số góc bằng 0. Vậy đạo hàm tại điểm A bằng 0. Mặt khác, tại điểm cực tiểu B(1, 2) ta không vẽ được đường tiếp tuyến song song với trục
Ox (hay đồ thị hàm số bị gãy tại điểm B) nên không có đạo hàm tại điểm B. Kết luận: phương trình y’=0 có 1 nghiệm thực.
Câu hỏi cho em:
Em đồng ý với lời giải của bạn nào và giải thích lý do. Nếu em không đồng ý với lời giải của cả hai bạn này thì em hãy trình bày lời giải của mình.
Với tình huống này, chúng tôi chọn nêu tường minh hai lời giải giả định lần lượt ứng với các kỹ thuật cuctri và tieptuyen. Điều này đặt HS vào một tình huống có
sự mâu thuẫn giữa hai lập luận “có lý”. Giáo viên sẽ giải quyết mâu thuẫn này trong giai đoạn tổng kết.
4.4. Phân tích tiên nghiệm
4.4.1. Biến dạy học và các giá trị có thể chọn
Chúng tôi xây dựng các bài toán thực nghiệm dựa trên cơ sở của KNV T: “Xác định số nghiệm của phương trình y’=0 khi biết biểu đạt của hàm số y=f(x)”. Các câu hỏi chúng tôi đặt ra dựa trên một số lựa chọn cố định như: Hàm số đã cho là hàm số liên tục và xác định trên R, công thức của hàm số ở dạng tổng quát
Biến V1: Các cách biểu đạt hàm số Có các giá trị lựa chọn như sau:
+ Biểu đạt hàm số bằng công thức tổng quát +Biểu đạt hàm số bằng đồ thị
+ Biểu đạt hàm số bằng lời
+ Biểu đạt hàm số bằng bảng biến thiên Biến V2: Dạng hàm số
Giá trị của biến:
- Hàm đa thức thuộc nhóm hàm số quen thuộc trong chương trình (bậc 1, bậc 2, bậc 3, bậc 4 trùng phương
- Hàm số khác các hàm được học trong chương trình (hàm bậc 5, hàm gồm hai công thức,...)
Biến V3: Hàm số có cực trị hay không - Hàm số có cực trị
- Hàm số không có cực trị
Ngoài các biến đã xác định chúng tôi còn lựa chọn thêm một số biến tình huống khi ra yêu cầu bài toán như sau:
- Yêu cầu với hình thức tự luận hay lựa chọn giữa 2 lời giải giả định. Việc trả lời bằng hình thức tự luận giúp chúng tôi thấy rõ quan niệm của HS về mối quan hệ giữa đồ thị hàm số và đạo hàm. Việc đưa ra 2 lời giải giả định đặt HS vào 1 tình huống lựa chọn giữa 2 lập luận “có lý” từ đó giúp HS có nhận thức đúng đắn hơn về mối quan hệ giữa đồ thị hàm số và đạo hàm.
- Yêu cầu HS giải thích hay không giải thích khi lựa chọn. Yêu cầu giải thích giúp chúng tôi hiểu rõ hơn kỹ thuật và kiến thức HS đã sử dụng để lý giải điều đó thể hiện rõ quan niệm của HS.
4.4.2. Sự lựa chọn các biến trong những bài toán Bảng 4.2. Những giá trị của biến trong các bài toán
Phiếu Bài toán Biến V1 Biến V2 Biến V3
1 1 Chọn biểu đạt bằng công thức tổng quát và đồ thị Hàm đa thức bậc ba Có 2 cực trị 2 Hàm đa thức bậc bốn trùng phương Có 3 cực trị 3 Hàm đa thức bậc năm Có 2 cực trị 4 Hàm gồm 2 công thức Có 2 cực trị
5 Biểu đạt bằng lời Hàm đa thức bậc 3 Không có cực trị
2 1 Chọn biểu đạt bằng công thức tổng quát và đồ thị Hàm đa thức bậc 3 Không có cực trị 2 Hàm đa thức bậc 5 Có 2 cực trị 3 Hàm gồm 2 công thức Có 2 cực trị
Phân tích các bài toán Phiếu 1
Bài toán 1 và 2, chúng tôi chọn hàm số thuộc những hàm được khảo sát trong chương trình tạo điều kiện cho cả 3 kỹ thuật đếm cực trị, đếm số tiếp tuyến, dùng bảng tổng quát và dùng tính toán đại số đều có thể xuất hiện. Tuy nhiên chúng tôi dự đoán tỷ lệ HS sử dụng kỹ thuật đếm số cực trị để viết hướng dẫn sẽ cao hơn.
Bài toán 3 và 4, chúng tôi chọn hàm số nằm ngoài chương trình khảo sát hàm số và đều có cực trị gây khó khăn cho HS dùng bảng tổng kết dạng đồ thị hàm số trong SGK và càng khó khăn hơn cho kỹ thuật đại số. Từ những khó khăn đó, HS buộc phải sử dụng kỹ thuật đếm cực trị hoặc kỹ thuật đếm tiếp tuyến để viết hướng dẫn. Từ đó, quan niệm sai lầm của HS được bộc lộ rõ khi các em nhắm đến việc
đếm số cực trị có trên đồ thị. Theo như phân tích ở chương 2, thì chúng tôi dự đoán tỷ lệ HS sử dụng kỹ thuật đếm cực trị sẽ cao hơn so với kỹ thuật đếm tiếp tuyến.
Bài toán 5, chúng tôi chọn hàm số quen thuộc là hàm bậc 3 không có cực trị và kết hợp với 1 lời khẳng định chưa chính xác. Lời khẳng định này chúng tôi muốn HSnhận ra rằng số cực trị và số nghiệm đạo hàm của nó không liên quan với nhau hay nói cách khác là số cực trị không bằng số nghiệm của phương trình đạo hàm. Tuy là hàm bậc 3 là hàm quen thuộc trong chương trình nhưng lại chọn biểu đạt bằng lời nên có thể gây khó khăn cho HS trong việc nhận dạng đồ thị nên chúng tôi dự đoán tỷ lệ HS đồng ý sẽ cao hơn. Quan niệm sai lầm “hàm số không có cực trị thì nghiệm đạo hàm không có” sẽ được bộc lộ rõ khi HS đồng ý với lời khẳng định.
Phiếu 2
Bài toán 1, chúng tôi chọn biểu đạt bằng đồ thị và công thức tổng quát nhưng không có cực trị của hàm số bậc 3 trong bài toán khảo sát hàm số nhằm để HS có thể nhận ra hàm số không có cực trị nhưng phương trình y’=0 vẫn có 1 nghiệm.
Bài toán 2 và 3, chúng tôi chọn hàm số và cách biểu đạt giống với bài toán 3 và 4 của phiếu 1 kết hợp đưa ra 2 lời giải giả định tương ứng với 2 kỹ thuật đếm số cực trị và kỹ thuật đếm số tiếp tuyến song song với trục Ox, đồng thời yêu cầu giải thích nhằm xác định lại quan niệm của HS sau khi đọc 2 lời giải giả định. Điều quan trọng mà chúng tôi mong muốn HS có thể nhận ra số lượng cực trị và số nghiệm đạo hàm không bằng nhau. Cụ thể, với bài 2, trên đồ thị tại điểm uốn không có cực trị nhưng y’=0 vẫn có 1 nghiệm. Còn bài 3, trên đồ thị “tại điểm gãy” đạt cực trị nhưng tại đó không có đạo hàm. Ngoài ra, khi đưa ra 2 lời giải tường minh có thể giúp HS từ bỏ quan niệm sai ở bài toán 3+4 của phiếu 1 để đi đến một quan niệm đúng.
4.4.3. Các câu trả lời có thể có ở các bài toán và ảnh hưởng của biến 4.4.3.1. Phiếu 1 4.4.3.1. Phiếu 1
Bài 1 và 2
Hai bài này có cách giải giống nhau nên chúng tôi chỉ trình bày lời giải bài toán 1.
Câu trả lời mong đợi
Ta biết “Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm tại tiếp điểm (điểm tiếp xúc)”.
Trên đồ thị, ta xác định được tại 2 điểm cực trị và đường tiếp tuyến tại 2 điểm đó song song với trục hoành, nghĩa là các tiếp tuyến này có hệ số góc bằng 0. Vậy đạo hàm tại các điểm này bằng 0.
Kết luận: phương trình y’=0 có 2 nghiệm thực phân biệt.
Câu trả lời có thể có của HS
Chúng tôi dự đoán HScó thể dùng những kỹ thuật sau để giải:
- Sử dụng bảng tổng kết trong SGK sau đó đối chiếu với dạng đồ thị và kết luận số nghiệm của phương trình y’=0 có 2 nghiệm
- Sử dụng cách đếm số lượng cực trị: dựa vào đồ thị HS đếm có 2 cực trị và kết luận số nghiệm y’=0 có 2 nghiệm.
- Sử dụng đại số: HS chọn một công thức cụ thể của hàm số (bậc 3, bậc 4 trùng phương) có hình dáng đồ thị tương tự đồ thị đã cho. Sau đó tính đạo hàm và kết luận bài toán.
Các chiến lược có thể xuất hiện ở bài toán 1 và 2
- Chiến lược Stongquat: dựa vào bảng tổng kết. - Chiến lược Scuctri: đếm số cực trị.
- Chiến lược Sđaiso: gán các hệ số a,b,c vào công thức hàm số sao cho có dạng đồ thị giống với đề bài.
- Chiến lược Stieptuyen : đếm số tiếp tuyến song song với trục hoành
Ảnh hưởng của biến lên các chiến lược
Bài toán 1 và 2, chúng tôi chọn hàm số quen thuộc với biểu đạt bằng đồ thị và công thức tổng quát tạo điều kiện cả 4 chiến lược Scuctri, Sdaiso, Stongquatvà Stieptuyen
xuất hiện. Tuy nhiên, Stongquatít có khả năng xuất hiện hơn, vì HS cần phải nhớ rất nhiều dạng đồ thị của hàm số trong bảng nên khả năng nhớ chính xác không cao. Chúng tôi dự đoán Scuctri xuất hiện nhiều nhất.
Câu trả lời mong đợi
Ta biết “hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm tại tiếp điểm (điểm tiếp xúc)”. Trên đồ thị hàm số chỉ có 3 điểm mà tiếp tuyến tại đó song song với trục hoành, nghĩa là các tiếp tuyến này có hệ số góc bằng 0. Vậy đạo hàm tại các điểm này bằng 0.
Kết luận: phương trình y’=0 có 3 nghiệm thực phân biệt.
Câu trả lời của HS
Chúng tôi dự đoán HS có thể dùng những kỹ thuật sau để giải:
- Sử dụng cách đếm số lượng cực trị: dựa vào đồ thị HS đếm có 2 cực trị và kết luận số nghiệm y’=0 có 2 nghiệm.
- Sử dụng cách đếm số cực trị và kết hợp với Trường hợp hàm số bậc 3 có một điểm uốn (có nghiệm kép). Từ đó kết luận phương trình y’=0 có 3 nghiệm.
Các chiến lược có thể xuất hiện: Scuctri , Stieptuyen
Ảnh hưởng của biến lên các chiến lược
Chúng tôi lựa chọn hàm số không quen thuộc nhằm khóa chiến lược Stongquat, và chọn hàm số có biến nhằm tạo điều kiện cho chiến lược Scuctri sẽ dễ xuất hiện và tăng sự khẳng định quan điểm “Số cực trị bằng số nghiệm của phương trình y’=0”. Chúng tôi chọn biểu đạt đồ thị nhằm giúp HS nhìn rõ các điểm cực trị và điểm uốn với mong muốn chiến lược Stieptuyen có khả năng xuất hiện.
Bài toán 4
Câu trả lời mong đợi
Ta biết “hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm tại tiếp điểm (điểm tiếp xúc)”. Trên đồ thị hàm số tại điểm cực đại A(0, 4) ta vẽ được 1 đường tiếp tuyến song song với trục Ox, nghĩa là đường tiếp tuyến này có hệ số góc bằng 0. Vậy đạo hàm tại điểm A bằng 0. Mặt khác, tại điểm cực tiểu B(1, 2) ta không vẽ được đường tiếp tuyến song song với trục Ox (hay đồ thị hàm số bị gãy tại điểm B) nên không có đạo hàm tại điểm B.
Kết luận: phương trình y’=0 có 1 nghiệm thực.