Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.2. Giới thiệu khái niệm biến trong phân tích tổ chức toán học
1.2.5. Ví dụ một hệ sinh kiểu nhiệm vụ
Bessot và Chaachoua (2016) đưa ra ví dụ minh họa ở bậc trung học ở Pháp, nghiên cứu cấu trúc của các TCTH thời điểm gắn với KNV T: “Giải phương trình” bằng cách gắn T với một hệ các biến {V1, V2, V3, V4}. Trong đó mỗi biến có thể có thể nhận các giá trị khác nhau.
- Biến V1: Bậc của phương trình, xét 3 giá trị thích hợp theo hạn chế đầu tiên của thể chế: 0; 1; 2.
- Biến V2: Số nghiệm của phương trình. Biến này có thể nhận 4 giá trị : 0, 1, 2, vô hạn.
- Biến V3: Dạng đại số ở vế trái. Biến này có thể nhận các giá trị 0; hằng số, hằng số khác 0, hằng số khác không dương, hằng số khác không âm, đa thức bậc 1, bình phương của đa thức bậc 1, tích của hai đa thức bậc 1, đa thức bậc 2, đa thức bậc nhỏ hơn hay bằng 2
- Biến V4: Dạng đại số ở vế phải. Biến này nhận cùng các giá trị như biến V3. Ta kí hiệu hệ sinh của KNV là GT = [Giải phương trình ; V1, V2, V3, V4]. Theo chức năng thứ nhất của biến, việc chọn lựa các giá trị của một hay nhiều biến của GT tạo ra một tập hợp có cấu trúc về các KNV con. Chẳng hạn, KNV con
T1 = (Giải một phương trình; V1 = 2, V3 = tích của hai đa thức bậc 1, V4= 0) sinh ra từ hệ sinh KNV GT và việc thiếu V2 nghĩa là mọi giá trị của V2 đều có thể.
Chúng ta chú ý rằng không phải lúc nào ta cũng có thể xác định được một KNV con dựa vào tổ hợp các biến vì một số biến có thể nhận các giá trị phụ thuộc vào giá trị biến khác. Chẳng hạn:
KNV con T1’= (Giải một phương trình; V1 = 1, V2 = 2, V3 = tích của hai đa thức bậc 1, V4 = 0) không thể xảy ra được.
Nhóm nghiên cứu nhận thấy các giá trị của biến có thể được phân thành các cấp độ khác nhau. Ví dụ: Với biến V3 từ ví dụ trên, ta có thể lập bảng phân cấp dạng cây từ các giá trị 0, hằng số, hằng số khác không, hằng số dương và hằng số âm như sau:
Hình 1.1. Ví dụ một sơ đồ phân cấp về một tập con các giá trị của biến V3
Nếu ta cố định các giá trị của những biến khác, từ cấu trúc phân cấp ở trên tạo ra một hệ thống phân cấp các KNV liên quan. Ví dụ: Khi cố định biến V1 = 2, V3 = đa thức bậc 2. Ta có các KNV sau:
+ KNV T2 = (Giải một phương trình; V1= 2, V3 = đa thức bậc 2, V4 = Hằng số).
+ KNV T3 = (Giải một phương trình; V1 = 2, V3 = đa thức bậc 2, V4= Hằng số dương).
Ta thấy KNV T2 tổng quát hơn KNV T3. Theo định nghĩa KNV con, T3 là một KNV con của T2 và nếu một kỹ thuật thực hiện được các nhiệm vụ T2 thì nó cũng giải quyết được các nhiệm vụ T3.
Tương tự, nếu xem xét hằng số như một đa thức bậc 0 và lập được một phân cấp dạng cây như sau:
Hình 1.2. Ví dụ về một sơ đồ phân cấp cho tập các giá trị của một biến V3
Dựa vào sơ đồ phân cấp các giá trị của biến, ta thấy rằng một số KNV con phát sinh thêm có thể không tồn tại trong thể chế đang xét. Nguyên nhân là do sự hạn chế của thể chế trên các giá trị của biến. Chẳng hạn, KNV con: P1(x)Q1(x) = k, k ≠ 0 không bao giờ xuất hiện trong dạy học bậc trung học cơ sở Pháp (Chaachoua và Bessot, 2016).
Trong quá trình nghiên cứu và thực nghiệm trên HS, họ thấy rằng sự hạn chế của thể chế trên các giá trị của biến có thể gây ra những hậu quả trên TCTH cá nhân của HS. Nhóm nghiên cứu đã làm rõ điều này trong phần tổ chức hoạt động cá nhân.