Kỹ thuật tieptuyen
- Xác định tất cả các điểm có tiếp tuyến song song với trục hoành. - Đếm số tiếp tuyến.
- Kết luận số nghiệm của phương trình y’=0 bằng số tiếp tuyến.
Công nghệ tieptuyen: Hệ quả ý nghĩa hình học của đạo hàm “Tiếp tuyến tại x0 song song với trục Ox khi và chỉ khi f’(x0)=0”( khi hàm số khả vi tại x0).
Ví dụ 2: Xác định số nghiệm của phương trình y’=0 với y=f(x) khả vi trên R
KNV này không có trong SGK và đồ thị hàm số không nằm trong bài toán KSHS. Đồ thị cho thấy hàm số hàm số liên tục, có 2 điểm cực trị tại điểm A và B. Tuy nhiên, tại điểm B đồ thị “bị gãy” nên không có đạo hàm tại đó. Do đó, khi dùng kỹ thuật cực trị cuctri thì phương trình y’=0 có 2 nghiệm, còn khi dùng kỹ thuật tiếp tuyến tieptuyen thì phương trình y’=0 có 1 nghiệm.
Tuy nhiên, chúng tôi thấy SGK CB 12 không làm rõ vấn đề về mối quan hệ giữa khả vi và cực trị tại một điểm. Trong bài “cực trị của hàm số” ở trang 15 chỉ xuất hiện hình ảnh bảng biến thiên tổng quát để minh họa cho định lý điều kiện đủ để hàm số có cực trị như sau:
Với bảng BBT trên, chúng tôi thấy tại f’(x0) được SGK bỏ trống, điều này cho thấy rằng việc xác định f’(x0) phụ thuộc vào hàm số nên tại f’(x0) có thể bằng 0 hoặc không xác định. Theo chúng tôi, SGK không giải thích rõ mối quan hệ giữa cực trị và nghiệm của phương trình đạo hàm. Tuy nhiên, trong SGV CB 12 có một
ghi chú ở trang 32 như sau: “Đối với học sinh khá, giỏi có thể nêu ví dụ về những hàm số không có đạo hàm tại x0 nhưng vẫn có cực trị tại đó.”
Với nhận xét trên của SGV, trong SBT CB 12 có ví dụ 3 trang 10 và 1 ý trong bài tập 1.10 - trang 11 xuất hiện hàm số mà tại điểm x0 không khả vi nhưng vẫn có cực trị tại đó. Cụ thể, trong bài tập 1.10 trang 11 yêu cầu “tìm cực trị của hàm số: a) y= x-63
xvới lời giải như sau:
Sau khi xem xét SGK và SGV CB 12 về KNV “tìm cực trị của hàm số” thì kỹ thuật lập BBT dạng này hoàn toàn không có. Điều này cho thấy SGK không chú trọng đến những hàm số có BBT dạng này.
Nhận xét: KNV T’dothi chúng tôi đưa ra ví dụ 1 và ví dụ 2 với hai Trường hợp khác nhau:
- Trường hợp 1: Đồ thị hàm số không có cực trị tại điểm x0 nhưng tại x0 vẫn khả vi.
- Trường hợp 2: Đồ thị hàm số có cực trị tại một điểm x0 nhưng tại x0 không khả vi hay đồ thị “bị gãy” tại x0.
Mục đích chúng tôi đưa ra ví dụ của hai Trường hợp nhằm làm rõ vấn đề số nghiệm của phương trình y’=0 không phụ thuộc số cực trị của hàm số.
2.2.3. Kiểu nhiệm vụ TloiT'loi
Tloi là KNV con được sinh ra từ hệ sinh KNV GT với V1 chọn biểu đạt hàm số bằng lời, giá trị của biến V2 chọn hàm số trùng phương. Chẳng hạn,
Cho hàm số f khả vi trên (a,b) có đúng 3 cực trị và có 3 điểm mà tại đó tiếp tuyến của nó song song với trục Ox. Tìm số nghiệm của phương trình y’=0.
Đây là KNV không có trong các SGK hiện hành. Chúng tôi dự đoán các kỹ thuật có thể xảy ra như sau cuctri,tongquattieptuyen. Do 3 kỹ thuật này được trình bày trong KNV Tdothi nên chúng tôi không nhắc lại mà chỉ trình bày lời giải minh họa
Lời giải minh họa cho kỹ thuật cuctri:
- Số cực trị đúng bằng số nghiệm của phương trình y’=0
Hàm số có 3 cực trị nên y’=0 có 3 nghiệm
Lời giải minh họa cho kỹ thuật tongquat
- Hàm số có 3 cực trị nên đồ thị thuộc dạng hàm số bậc 4 (a>0 hoặc a<0)
- Đối chiếu bảng tổng kết số nghiệm của phương trình
y’=0 có 3 nghiệm
- Vậy phương trình y’=0 có 3 nghiệm thực phân biệt.
Lời giải minh họa cho kỹ thuật tieptuyen
- Đồ thị hàm số có 3 đường tiếp tuyến song song với trục Ox
- Số tiếp tuyến bằng số nghiệm của phương trình
y’=0.
- Vậy phương trình y’=0
có 3 nghiệm thực phân biệt
Nhận xét:
Chúng tôi nhận thấy khi chọn V2 nhóm hàm đa thức thuộc chương trình học nên kỹ thuật cực trị cuctrivà kỹ thuật tổng quát tongquat không dùng đến giả thiết tiếp tuyến nhưng vẫn cho kết quả đúng vì số tiếp tuyến song song với trục Ox bằng số cực trị.
2.2.3.2. Kiểu nhiệm vụ T’loi
T’loi cũng là KNV con sinh ra từ hệ sinh KNV GT với biến V1 chọn hàm số biểu đạt bằng lời, V2 là hàm bậc 5. Chẳng hạn,
Cho hàm số f khả vi trên (a,b) có đúng 2 cực trị và đồ thị của nó có 3 điểm mà tại đó tiếp tuyến của nó song song với trục Ox. Tìm số nghiệm của phương trình y’=0.
KNV này không có trong SGK nên chúng tôi dự đoán các kĩ thuật có thể xuất hiện là cuctri ,tieptuyen.
- Dùng kỹ thuật cuctri cho kết quả số nghiệm phương trình y’=0 có 2 nghiệm. -.Dùng kỹ thuật tieptuyen cho kết quả số nghiệm phương trình y’=0 có 3 nghiệm.
Từ những phân tích mà chúng tôi đã trình bày ở trên thì kỹ thuật tieptuyen cho kết quả đúng.
2.2.4. Kiểu nhiệm vụ TbbtT'bbt
2.2.4.1. Kiểu nhiệm vụ Tbbt
Tbbt là KNV sinh ra từ hệ sinh KNV GT với biến V1 chọn biểu đạt hàm số bằng bảng biến thiên, V2 là hàm số bậc 3.
Chúng tôi có thể đưa ví dụ sau: Xác định số nghiệm thực của phương trình y’=0 với y=f(x) khả vi trên R có BBT như sau:
Trong bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị, chúng ta sẽ tìm y’ trước, sau đó giải phương trình y’=0, kế đến lập BBT và lúc này BBT đóng vai trò là đối tượng nghiên cứu. Tuy nhiên, với KNV này thì BBT được cho sẵn và yêu cầu tìm số nghiệm của phương trình y’=0, đây là một trình tự làm ngược trong bước giải bài toán KSHS. Vì vậy, chúng ta dựa vào BBT để tìm nghiệm của phương trình
y’=0. Lúc này, BBT đã trở thành một công cụ để nghiên cứu. Do đó, để giải quyết được KNV này đòi hỏi người học cần phải có kỹ năng đọc BBT.
Nguyễn Thị Tuyết Lan chỉ ra rằng, trong BBT gồm có 3 dòng, trong đó: “Dòng thứ 2 biểu diễn dấu của đạo hàm trong những khoảng được chia bởi các giá trị của x ở dòng 1” (2013, tr 48).
Chúng tôi xin bổ sung thêm vào nhận xét của tác giả ở dòng thứ 2 như sau: Ngoài việc biểu diễn dấu của đạo hàm, dòng thứ 2 còn biểu diễn số nghiệm của phương trình y’=0 bằng số 0 tại các giá trị tương ứng của x. Để xác định số nghiệm của phương trình y’= 0 dựa vào dòng số 2, tức là dòng y’ (hay f’(x)).
Đây là ví dụ không có trong SGK nên chúng tôi xin dự đoán kỹ thuật giải như sau: