Bài toán 3, có 13,64 % (15/110) HS chấp nhận lời giải giả định của bạn A và
86,36 % HS còn lại chấp nhận lời giải già định của bạn B. So với bài toán 4 ở phiếu 1, một số HS đã rời bỏ chiến lược Scuctri chuyển sang sử dụng chiến lược Stieptuyen . Minh họa lời giải thích của một HS:
Hình 4.12. Bài toán 3.P2-Bài làm của HS lớp 12A07
Nhận xét, kết quả thu được ở phiếu 2 đã cho chúng tôi thấy rẳng, một số HS
từ bỏ quan niệm sai lầm chuyển sang một quan niệm đúng về mối quan hệ giữa cực trị và nghiệm phương trình đạo hàm. Cụ thể là:
- Có 35,45% HS đã từ chiến lược Scuctri ở bài toán 3 (phiếu 1) sang chiến lược Stieptuyen bài toán 2 (phiếu 2).
- Có 48,18% HS đã chuyển từ chiến lược Scuctri ở bài toán 4 (phiếu 1) sang chiến lược Stieptuyen bài toán 3 (phiếu 2).
Ngoài ra, một số kết quả trong bài toán 1 của phiếu 2 đã giúp chúng tôi nhận thấy rằng HS đã không hiểu ý nghĩa của đường tiếp tuyến ( ) được SGK vẽ trong bảng dạng đồ thị của hàm số bậc 3.
Giáo viên dựa vào yếu tố môi Trường tiến hành thể chế hóa bằng cách cung cấp thêm hệ quả ý nghĩa hình học đạo hàm của hàm số cho HS . Sau đó giáo viên đưa ra kết luận “với một hàm khả vi trên R, số nghiệm của phương trình y’ = 0
bằng số tiếp tuyến song song với trục hoành.”
4.6. Kết luận
Qua nghiên cứu thực nghiệm nhằm tìm hiểu quan điểm của HS về cách xác định số nghiệm của phương trình y’=0 từ các cách biểu đạt khác nhau của hàm số. Chúng tôi đã ghi nhận một số kết quả như sau:
Đối với dạng hàm số trong thể chế, HS dựa vào kiến thức ở chương trình 12 để giải quyết. Chẳng hạn:
+ Hơn 90 % HS dùng chiến lược đếm số cực trị (phiếu 1- bài 1 và 2)
+ Hơn 50% HS bảng tổng kết dạng đồ thị.(phiếu 1- bài 5 và phiếu 2 - bài 1) Các chiến lược HS sử dụng để xác định nghiệm của phương trình đạo hàm khi gặp dạng hàm số nằm ngoài thể chế (phiếu 1- bài 3 và 4) là:
+ Hơn 50% HS sử dụng chiến lược đếm số cực trị. + Dưới 50% HS sử dụng chiến lược tiếp tuyến.
Với kết quả ở phiếu 1, chúng tôi thấy rằng đa số HS đã sử dụng yếu tố công nghệ “số cực trị bằng số nghiệm phương trình y’=0” để giải quyết các hàm số nằm trong chương trình (bài 1 và 2) và cả những hàm số nằm ngoài chương trình học (bài 3 và 4). Thông qua bài làm của HS , chúng tôi mô tả TCTH cá nhân của HS từ KNV T theo mô hình T4TEL như sau:
KNV T*canhan: [Xác định số nghiệm của phương trình y’=0 với hàm số y=f(x) cho trước, V1 = bằng công thức của hàm số và bằng đồ thị của hàm số, V2 = hàm
nằm ngoài thể chế]
Kỹ thuật canhan={Đếm số cực trị; kết luận số nghiệm thực phương trình y'=0 bằng số cực trị}
Công nghệ canhan={số cực trị bằng số nghiệm của phương trình y’=0}
Từ mô hình TCTH cá nhân cho thấy sai lầm của HS khi áp dụng kiến thức để giải quyết một KNV không xuất hiện trong “thể chế thi tốt nghiệp THPT và thi đại học” trước năm 2017, đó là những KNV mà kỹ thuật của nó dựa trên việc đọc đồ thị. Bên cạnh đó, vấn đề giới hạn các dạng hàm số dạy trong thể chế cũng là nguyên nhân dẫn đến sai lầm này của HS khi giải quyết những KNV mới liên quan đến đồ thị hàm số và đạo hàm của nó.
Để giúp HS có thể nhận ra sai lầm chúng tôi đưa thêm một số bài toán ở phiếu số 2 với 2 lời giải tường minh “có lý” nhằm mục đích để HS từ bỏ quan điểm sai lầm để đi đến một quan niệm đúng. Cuối cùng, giáo viên là người thể chế hóa lại kiến thức và đưa ra kết luận “Một hàm khả vi trên R, số nghiệm của phương trình
KẾT LUẬN
Theo nghiên cứu của tác giả Bessot và Chaachoua (2016) về việc giới thiệu khái niệm biến trong lý thuyết nhân học đã giúp chúng tôi mô hình hóa một hệ sinh KNV từ một nhiệm vụ mới xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia 2017. Đồng thời, nó cho phép phân tích các kỹ thuật ứng với các kiểu nhiệm vụ con sinh ra từ hệ sinh KNV này. Từ đó, nhà nghiên cứu có thể thay đổi các giá trị của biến để quan sát và điều chỉnh mối quan hệ cá nhân của HS đối với tri thức.
Từ những đề thi trong kì thi THPT Quốc gia năm 2017 của BGD&ĐT, chúng tôi mô hình hóa hệ sinh KNV từ một KNV T “Xác định số nghiệm của phương trình y’=0 với hàm số y=f(x) khả vi trên R cho trước” và đặt hệ sinh KNV GT = [Xác định số nghiệm của phương trình y’=0 với hàm số y=f(x) khả vi trên R cho trước; V1, V2]. Việc thay đổi các giá trị của biến trong hệ sinh KNV giúp chúng tôi tìm ra các KNV con từ hệ sinh. Từ hệ sinh KNV, chúng tôi tìm ra KNV con đặc biệt T* với biến V1 hàm số được biểu đạt bằng công thức tổng quát và bằng đồ thị, biến V2 hàm số bậc 4 trùng phương. Đồng thời, chúng tôi đã mô tả TCTH từ KNV T theo mô hình T4TEL trong chương 2.
Trong chương 3, kết quả nghiên cứu về thực tế giảng dạy giáo viên xuất hiện 2 TCTH khác nhau cho cùng một KNV đặc biệt T*. Trong đó, có 3 giáo viên sử dụng kỹ thuật cuctri và 1 giáo viên sử dụng kỹ thuật tongquatđể giải quyết KNV đặc biệt này. Theo chúng tôi, cả hai kỹ thuật chỉ đúng trong Trường hợp số tiếp tuyến song song với trục Ox bằng số cực trị. Điều này có thể dẫn tới quan niệm chưa đúng trong TCTH cá nhân của HS.
Kết quả phần thực nghiệm trong chương 4 cho chúng ta thấy rằng, sự hạn chế các giá trị của biến đã làm xuất hiện kỹ thuật sai lầm trong TCTH cá nhân của HS. Vì vậy, với sự thay đổi hình thức thi hiện nay, những nhà nghiên cứu ở vai trò GV có thể dùng hệ sinh KNV làm cơ sở để dự đoán các KNV có thể xảy ra trong tương lai. Từ đó, GV cần dạy những ý nghĩa đúng của tri thức để HS xây dựng kỹ thuật giải quyết những KNV con có thể sinh ra từ hệ sinh KNV.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Brasset, N. (2017) Les décisions didactiques d’un enseignant dans un EIAH, étude de facteurs de type histoire didactique. (Thèse de doctorat). Grenoble : Université Grenoble Alpes.
Brousseau, G. (1997a). Theory of dạy họcal Situations in Mathematics. Didactique des Mathématiques, 1970–1990, Springer Netherlands.
Brousseau, G. (1997b) La théorie des situations didactiques : le cours de Montréal, disponible à l’adresse :
http://guy-brousseau.com/1694/la-theorie-des-situations-didactiques-le-cours- de-montreal-1997/
Chaachoua, H., Ferraton, G. & Desmoulins, C. (2013). Utilisation du modèle praxéologique de référence dans un EIAH. In Actes du 4e congrès pour la
Théorie Anthropologique du Didactique, Toulouse.
Chaachoua, H. (2015). Un cadre de référence didactique basé sur l’approche praxéologique pour représenter les connaissances dans un EIAH.
Communication au 3e Colloque International Franco-Vietnamien en
didactique des mathématiques. Hué.
Chaachoua, H., Bessot, A. (2016). Introduction de la notion de variable dans le
modèle praxéologique, Equipe MeTAH, Laboratoire LIG, Université
Grenoble Alpes, France.
Chevallard Y. (1985). La transposition didactique - du savoir savant au savoir enseigné. La Pensée Sauvage éditions : Grenoble.
Lê Thị Hoài Châu. (2008). Phương pháp dạy học Hình học ở Trường phổ thông.
Nxb Đại học quốc gia TP. Hồ Chí Minh.
Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến, Bessot, A., & Comiti, C. (2009). Những yếu tố cơ
bản của dạy học Toán. Nxb Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh.
Nguyễn Thị Hồng Duyên. (2012). Sự chuyển đổi hệ thống biểu đạt trong dạy học hàm số ở lớp 12. Luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục. Chuyên ngành lí luận và phương pháp bộ môn Toán. Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh.
Đặng Minh Hải. (2009). Các tính chất của hàm số và mối liên hệ giữa chúng trong dạy học toán phổ thông. Luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục. Chuyên ngành lí luận và phương pháp bộ môn Toán. Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh.
Trần Văn Hạo (chủ biên) và các tác giả. (2014). Đại số & Giải tích 11 cơ bản, Nxb Giáo dục. Hà Nội: Nxb Giáo dục.
Trần Văn Hạo (chủ biên) và các tác giả. (2012). Sách bài tập Đại số & Giải tích 11
cơ bản. Hà Nội:Nxb Giáo dục.
Trần Văn Hạo (chủ biên) và các tác giả. (2012). Sách giáo viên Đại số & Giải tích
11 cơ bản. Hà Nội:Nxb Giáo dục.
Trần Văn Hạo (chủ biên) và các tác giả. (2007). Giải tích 12 cơ bản. Hà Nội:Nxb Giáo dục.
Trần Văn Hạo (chủ biên) và các tác giả. (2014). Sách bài tập Giải tích 12 cơ bản. Hà Nội: Nxb Giáo dục.
Trần Văn Hạo (chủ biên) và các tác giả (2013). Sách giáo viên Giải tích 12 cơ bản. Hà Nội: Nxb Giáo dục.
Nguyễn Ngọc Kiên. (2012). Đồ thị hàm số trong mối liên hệ với biểu thức đại số của một hàm số ở Trường phổ thông. Luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục. Chuyên ngành lí luận và phương pháp bộ môn Toán. Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh.
KHỐI THPT HOCMAI. (06/8/2017). PEN-C 2018 - Thầy Lê Bá Trần Phương -
Nhận diện ĐTHS và cách giải quyết các bài toán [Tập tin Video]. Truy xuất
từ :
https://www.youtube.com/watch?v=JcHOtpp8dyk
Nguyễn Thị Tuyết Lan. (2013). Bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
ở Trường THPT Việt Nam. Luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục. Chuyên ngành
lí luận và phương pháp bộ môn Toán. Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh.
Lê Thị Bích Siêng. (2017). Bài toán khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số trong bối
học giáo dục. Chuyên ngành lí luận và phương pháp bộ môn Toán. Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh.
Phạm Thị Thanh. (2016). Hàm số đạo hàm trong dạy học toán bậc trung học phổ thông. Luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục. Chuyên ngành lí luận và phương pháp bộ môn Toán. Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh.
Thày Lê Bá Trần Phương giáo viên Toán. Trong hocmai.vn. Truy xuất từ https://hocmai.vn/giao-vien/91/thay-le-ba-tran-phuong.html
PHỤ LỤC
PHIẾU THỰC NGHIỆM HỌC SINH Phiếu 1
Các em thân mến, phiếu này không nhằm mục đích đánh giá mà chỉ phục vụ cho nghiên cứu. Các em vui lòng điền đầy đủ thông tin và tự lực (không trao đổi) trả lời các câu hỏi dưới đây. Cảm ơn các em rất nhiều.
Mã số HS :………. ... Lớp :……….
Bài toán 1: Đường cong (C1) ở hình bên dưới là đồ thị của hàm sốyax3bx2cxd với a, b, c, d là các số thực. Em hãy viết một hướng dẫn để chỉ cho bạn khác biết cách tìm số nghiệm thực của phương trình y’=0. ...
...
...
Bài toán 2 Đường cong (C2) ở hình bên dưới là đồ thị của hàm số y = ax4 + bx2 + c với a, b, c là các số thực. Em hãy viết một hướng dẫn để chỉ cho bạn khác biết cách tìm số nghiệm thực của phương trình y’=0. ...
...
...
Bài toán 3
Đường cong (C’) hình bên dưới là đồ thị của hàm số y = ax5 + bx3 + c với a, b, c là các số thực. Em hãy viết một hướng dẫn để chỉ cho bạn khác biết cách tìm số nghiệm thực của phương trình y’=0.
...
...
...
...
Bài toán 4 Đường cong (C) ở hình bên dưới là đồ thị của hàm số 1 , 1 , 2 x d cx x b ax y với a, b, c, d là các số thực. Em hãy viết một hướng dẫn để chỉ cho bạn khác biết cách tìm số nghiệm thực của phương trình y’=0. ...
...
...
Bài toán 5 Cho một hàm số y=f(x) nghịch biến trên R. Bạn A cho rằng: “Hàm số này không có cực trị vậy phương trình y’=0 vô nghiệm.” Em có đồng ý với ý kiến đó không? Giải thích câu trả lời của em. ...
...
Phiếu 2
Các em thân mến, phiếu này không nhằm mục đích đánh giá mà chỉ phục vụ cho nghiên cứu. Các em vui lòng điền đầy đủ thông tin và tự lực (không trao đổi) trả lời các câu hỏi dưới đây. Cảm ơn các em rất nhiều.
Mã số HS :……….. ... Lớp :……… Bài toán 1
Đường cong (C’’) ở hình bên là đồ thị của hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d với a, b, c, d là các số thực. Em hãy viết một hướng dẫn để chỉ cho bạnkhác biết cách tìm số nghiệm thực của phương trình y’=0.
... ...
Bài toán 2
Đường cong (C’) ở hình bên là đồ thị của hàm số y = ax5 + bx3 + c với a, b, c là các số thực. Tìm số nghiệm thực của phương trình y’=0.
Hai học sinh giải như sau:
Câu hỏi cho em:
Em đồng ý với lời giải của bạn nào và giải thích lý do. Nếu em không đồng ý với lời giải của cả hai bạn này thì hãy trình bày lời giải của em.
... ... ...
Bài toán 3
Đường cong (C) ở hình bên dưới là đồ thị của hàm số
1 , 1 , 2 x d cx x b ax y với a,
b, c, d là các số thực. Tìm số nghiệm thực của phương trình y’=0.
Học sinh A
Đồ thị hàm số đạt cực đại tại A (-2; 5) và đạt cực tiểu tại B(2, -3) Mà số cực trị bằng số nghiệm của phương trình y’=0.
Vậy phương trình y’=0 có 2 nghiệm thực phân biệt.
Học sinh B
Ta biết “Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm tại tiếp điểm (điểm tiếp xúc)”. Trên đồ thị hàm số tại 3 điểm A, B, C ta vẽ được
3 đường tiếp tuyến song song với trục Ox, nghĩa là các tiếp tuyến này có hệ số góc bằng 0.
Vậy đạo hàm tại các điểm này bằng 0.
Kết luận: phương trình y’=0 có 3 nghiệm thực phân biệt.
Hai học sinh giải như sau: Học sinh A
Đồ thị hàm số đạt cực đại tại A (0, 4) và đạt cực tiểu tại B(1, 2). Mà số cực trị bằng số nghiệm của phương trình y’=0.
Vậy phương trình y’=0 có 2 nghiệm thực phân biệt.
Học sinh B
Ta biết “Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm tại tiếp điểm (điểm tiếp xúc)”. Trên đồ thị hàm số tại điểm cực đại A(0, 4 )
ta vẽ được 1 đường tiếp tuyến song song với trục Ox, nghĩa là đường tiếp tuyến này có hệ số góc bằng 0. Vậy đạo hàm tại điểm A bằng 0. Mặt khác, tại điểm cực tiểu B(1, 2) ta không vẽ được đường tiếp tuyến song song với trục
Ox (hay đồ thị hàm số bị gãy tại điểm B) nên không có đạo hàm tại điểm B. Kết luận: phương trình y’=0 có 1 nghiệm thực.
Câu hỏi cho em:
Em đồng ý với lời giải của bạn nào và giải thích lý do. Nếu em không đồng ý với lời giải của cả hai bạn này thì em hãy trình bày lời giải của mình.
... ... ... ... ... ... ... ... ...
PHỤ LỤC
BÀI LÀM CỦA MỘT SỐ HỌC SINH Phiếu 1
Phiếu 2
Bài 2
PHỤ LỤC
THỰC NGHIỆM GIÁO VIÊN Giáo viên thứ nhất
0. GV: ghi đề (câu 14-mã đề 102) trích trong kì thi THPT Quốc gia 2017 1. GV. Nhìn vào hình dạng đồ thị cho cô biết đồ thị thuộc dạng hàm số nào? 2. HS: Hàm số bậc 4
3. GV: Câu hỏi này liên quan đến tìm số nghiệm của phương trình y’=0 dựa vào đồ thị hàm số của nó. Chúng ta đã gặp dạng này trong SGK chưa?
4. HS: dạ chưa.
5. GV: Vậy chúng ta nên dựa vào kiến thức nào đã học để giải quyết vấn đề này? 6. HS: Dựa vào đồ thị của hàm số bậc 4 để giải quyết ạ.
7. GV: đồ thị của hàm số bậc 4 có những Trường hợp nào?
8. HS: Dạ có 2 Trường hơp: có 3 cực trị và có 1 cực trị.
9. GV: Giả sử đề bài chưa cho đồ thị hàm số thì các em có còn nhớ điều kiện của hàm số bậc 4 có 3 cực trị và 1 cực trị khi nào không?
10. HS: - Hàm số có 1 cực trị khi và chỉ khi hệ số a,b cùng dấu hay a.b >0 - Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi hệ số a,b trái dấu hay a.b<0
11. GV: Dựa vào những lý thuyết về hàm bậc 4 đã được nhắc lại ở trên, các em hãy cho cô biết chúng ta nên làm gì tiếp theo ?
12. HS: Chúng ta sẽ đi xác định dấu của a
13. GV: đúng rồi. Xét dấu của a các em dựa vào đâu?
14. HS: Dựa vào đồ thị của hàm số.